Двухмерные массивы

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Контрольные задачи типового расчета по теории вероятностей

Задача 1.13

Наудачу взяты два положительных числа x и y,

Причем

x5, y2. (1)

Найти вероятность того, что

y+ax-b0 и y-cx0 (2)

если a=1, b=5, с=1.

Решение:

Подставим значения коэффициентов, получим следующие неравенства:

или (3)

Число всех возможных событий определяется площадью прямоугольника (1), т.е. S=10.

Число событий благоприятствующих событию A определяется границами прямоугольника и границами неравенства (3) (заштрихована):



Площадь заштрихованной трапеции

Вероятность P(A)=

Ответ: вероятность попадания в заданную область равна 0,6.

Задача 2.18.

В задаче приведена схема соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятность отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны p1=0,1; p2=0,2; p3=0,3; p4=0,4; p5=0,5. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.



Решение:

Сигнал пройдет со входа на выход при одномерной, безотказной работе первого элемента, и при безотказной работе элементов 2, 5 или элементов 3, 4. Это соответствует сумме произведений следующих событий:

A=B₁(B₂B₅+B₃B₄)

Так как события совместны и независимы, то следует переписать это выражение так, чтобы остались только произведения событий, и можно было применить формулу произведения независимых событий:

Для этого перейдем к противоположному, записанному в скобках событию: откажут верхняя и нижняя ветки элементов 2 - 5: , тогда

и

Ответ: вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход равна 0,5868.

Задача 3.19

Прибор состоит из трех блоков. Исправность каждого блока необходима для функционирования устройства. Отказы блоков независимы. Вероятность безотказной работы блоков соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. В результате испытаний прибор вышел из строя. Определить вероятность того, что отказали три блока.

Решение:

Обозначим события:

С_i - безотказная работа i-го блока;

A - прибор вышел из строя;

H₁ - из строя вышли три блока;

H₂ - из строя вышли один или два блока;

H₃ - из строя не вышел ни один блок.

События H₁, H₂ и H₃ несовместны.

Событие A наступает совместно с одним из событий H₁ или H₂.

Тогда по формуле Байеса имеем:

, где

; ; .

; .

Так как слагаемые - несовместные события, а события С_i - независимые (по условию), то можно применить «прямое» сложение и умножение вероятностей:

Условные вероятности при i=1 и 2, т.к. соответствующие события достоверны.



и

Ответ: вероятность того, что отказали три блока, равна 0,0361.

Задача 4.27

Вероятность того, что данный баскетболист забросит мяч в корзину, равна 0,95. Произведено десять бросков. Найти вероятность того, что будет девять попаданий.

Решение:

В результате каждого опыта наступает или не наступает событие - мяч попал в корзину. P(A)=p=0,95 следовательно, вероятность того, что мяч не попал: . Поскольку опыты независимы, то можно применить формулу Бернулли для определения вероятности того, что в n независимых опытах событие A произойдет ровно k раз:

, т.е.

Ответ: вероятность того, что будет 9 попаданий составляет 0,3151.

Задача 5.27

Дискретная случайная величина X может принимать одно из пяти фиксированных значений x1, x2, x3, x4, x5 с вероятностями р1, р2, р3, р4, р5 соответственно (табл.). Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины X. Рассчитать и построить график функции распределения.

вариант	X1	X2	X3	X4	X5	P1	P2	P3	P4	P5
5.27	2	4	6	8	10	0,2	0,3	0,05	0,25	0,2



Решение:

Математическое ожидание:

Второй начальный момент:

Дисперсия:

Функция распределения:

, т.е.

Аналогично:



6.

Построим график F(x):

Ответ:

Задача 6.18

Случайная величина Х задана плотностью вероятности

Определить константу с, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины Х, а также вероятность ее попадания в интервал [1;2].

вариант	ц(x,c)	a	b	б	в
6.18		0	2	1	2

Решение:

Найдем функцию распределения

Так как все значения , то при x=2 F(x)=1. Отсюда найдем с.

Окончательный вид функции распределения:

Определим вероятность попадания величины X на заданный отрезок:

Окончательный вид плотности вероятности:



Математическое ожидание:

Второй начальный момент:

Дисперсия:

Ответ: c=0,0547; m_x=1,75; D_x=0,0486; P=0,9922.

Задача 7.25

Случайная величина X распределена равномерно на интервале .

Построить график случайной величины y=cos(2x) и определить вероятность g(y).

Решение:

График y=cos(2x):



Плотность случайной величины X:

Обратная функция:

однозначна на отрезке , а на отрезке она двузначна, т.е. ,

Производная:

,тогда на интервале [0,5;1]:

Общее выражение для плотности вероятности:



Задача 8.8

Двухмерный случайный вектор (X,Y) равномерно распределен внутри выделенной области S. Двухмерная плотность вероятности f(x,y) одинакова для любой точки этой области S:

вариант	x1	x2	x3	x4	x5	x6	y1	y2
8.8	0	0	2	2	4	4	1	2

Вычислить коэффициент корреляции между величинами X и Y.

Решение: математический статистика вероятность дисперсия

Построим область S. Соединим последовательно точки с координатами из таблицы:

-точку (x1;0)=(0;0) с точкой (x2;y2)=(0;2);

-точку (x2;y2)=(0;2) с точкой (x4;y2)=(2;2);

-точку (x4;y2)=(2;2) с точкой (x3;y1)=(2;1);

-точку (x3;y1)=(2;1) с точкой (x5;y1)=(4;1);

-точку (x5;y1)=(4;1) с точкой (x6;0)=(4;0);

Это соответствует многоугольнику с координатами X=(0;0;2;2;4;4), Y=(0;2;2;1;1;0)

Для решения задачи необходимо вычислить начальные моменты первого и второго порядков, т.е. m_x, m_y, M_2x, M_2y, M_xy, D_x, D_y, K_xy.



Область S представлена на рисунке.

Область S ограничена осями и прямыми:

1. y=2

2. x=2

3. y=1

4. y=4

Геометрически плотность вероятности величины (X;Y) можно представить прямоугольной призмой с основанием S и объемом равным единице.

Площадь области S (затемненной фигуры) равна , следовательно, высота призмы , а плотность вероятности величины (X;Y):

При интегрировании по области S рассмотрим два участка: 1) x изменяется от 0 до 2, y изменяется от 0 до 2; 2) x изменяется от 2 до 4, y изменяется от 0 до 1.

Определим m_x:



Определим m_y:

Определим M_xy:



Определим К_xy:

Определим M_2x:

Определим M_2y:



Определить D_x:

Определить D_y:

Тогда коэффициент корреляции r_xy будет:

Ответ: коэффициент корреляции r_xy=-0,3636.

2. Контрольные задачи типового расчета по математической статистике

Задача 9.

По выборке одномерной случайной величины:

- получить вариационный ряд;

- построить на масштабно-координатной бумаге формата А4 график эмпирической функции распределения F^*(x);

- построить гистограмму равноинтервальным способом;

- построить гистограмму равновероятностным способом;

- вычислить точечные оценки математического ожидания и дисперсии;

- вычислить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии ();

- выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия и критерия Колмогорова ().

Решение

Дана выборка одномерной случайной величины X:

0,24	0,21	0,26	0,68	0,26	1,34	2,61	1,21	0,70	1,69
2,60	0,98	5,23	0,27	5,08	0,90	1,01	0,66	1,61	0,13
0,04	1,84	0,94	0,54	4,84	1,32	4,84	0,36	0,07	1,28
0,78	1,42	1,15	0,23	0,62	3,68	1,57	2,26	0,65	2,68
1,07	2,32	0,84	0,11	0,89	0,84	1,60	2,82	0,24	0,10
0,47	0,06	0,41	0,99	0,50	0,44	0,17	1,16	0,25	0,14
0,31	2,93	0,45	0,94	3,77	0,39	0,18	1,67	0,18	2,51
1,56	1,43	1,21	0,92	3,53	0,86	2,77	1,59	0,10	0,52
0,07	4,05	1,35	0,32	1,31	2,18	2,86	0,12	0,36	0,35
1,78	1,18	0,84	4,21	1,65	3,24	0,62	0,74	3,17	0,79

Вариационный ряд получается путем расположения элементов выборки по возрастанию:

Вариационный ряд (расположение по строкам)

0,040	0,060	0,070	0,070	0,100	0,100	0,110	0,120	0,130	0,140
0,170	0,180	0,180	0,210	0,230	0,240	0,240	0,250	0,260	0,260
0,270	0,310	0,320	0,350	0,360	0,360	0,390	0,410	0,440	0,450
0,470	0,500	0,520	0,540	0,620	0,620	0,650	0,660	0,680	0,700
0,740	0,780	0,790	0,840	0,840	0,840	0,860	0,890	0,900	0,920
0,940	0,940	0,980	0,990	1,010	1,070	1,150	1,160	1,180	1,210
1,210	1,280	1,310	1,320	1,340	1,350	1,420	1,430	1,560	1,570
1,590	1,600	1,610	1,650	1,670	1,690	1,780	1,840	2,180	2,260
2,320	2,510	2,600	2,610	2,680	2,770	2,820	2,860	2,930	3,170
3,240	3,530	3,680	3,770	4,050	4,210	4,840	4,840	5,080	5,230

Эмпирическая функция распределения:

Эмпирическая функция распределения случайной величины Х равна частоте того, что Х примет значение меньшее, чем аргумент функции х, и определяется формулой

Где n - объем выборки, в нашей задаче n=100;

-отличающиеся элементы вариационного ряда, k = 1, 2, 3, … , n_x, n_x ? n;

m_k - количество значений в вариационном ряду равных .

Суммирование ведется по всем удовлетворяющим условию .

Объединим совпадающие элементы вариационного ряда и сформируем таблицу из четырех столбцов:

1-й столбец - неповторяющиеся значения элементов вариационного ряда

2-й столбец - количество таких элементов m;

3-й - их относительные частоты

4-й - соответствующие значения эмпирической функции распределения.

x	m	p*	F*(x)
0,0400	1,0000	0,0100	0,0100
0,0600	1,0000	0,0100	0,0200
0,0700	2,0000	0,0200	0,0400
0,1000	2,0000	0,0200	0,0600
0,1100	1,0000	0,0100	0,0700
0,1200	1,0000	0,0100	0,0800
0,1300	1,0000	0,0100	0,0900
0,1400	1,0000	0,0100	0,1000
0,1700	1,0000	0,0100	0,1100
0,1800	2,0000	0,0200	0,1300
0,2100	1,0000	0,0100	0,1400
0,2300	1,0000	0,0100	0,1500
0,2400	2,0000	0,0200	0,1700
0,2500	1,0000	0,0100	0,1800
0,2600	2,0000	0,0200	0,2000
0,2700	1,0000	0,0100	0,2100
0,3100	1,0000	0,0100	0,2200
0,3200	1,0000	0,0100	0,2300
0,3500	1,0000	0,0100	0,2400
0,3600	2,0000	0,0200	0,2600
0,3900	1,0000	0,0100	0,2700
0,4100	1,0000	0,0100	0,2800
0,4400	1,0000	0,0100	0,2900
0,4500	1,0000	0,0100	0,3000
0,4700	1,0000	0,0100	0,3100
0,5000	1,0000	0,0100	0,3200
0,5200	1,0000	0,0100	0,3300
0,5400	1,0000	0,0100	0,3400
0,6200	2,0000	0,0200	0,3600
0,6500	1,0000	0,0100	0,3700
0,6600	1,0000	0,0100	0,3800
0,6800	1,0000	0,0100	0,3900
0,7000	1,0000	0,0100	0,4000
0,7400	1,0000	0,0100	0,4100
0,7800	1,0000	0,0100	0,4200
0,7900	1,0000	0,0100	0,4300
0,8400	3,0000	0,0300	0,4600
0,8600	1,0000	0,0100	0,4700
0,8900	1,0000	0,0100	0,4800
0,9000	1,0000	0,0100	0,4900
0,9200	1,0000	0,0100	0,5000
0,9400	2,0000	0,0200	0,5200
0,9800	1,0000	0,0100	0,5300
0,9900	1,0000	0,0100	0,5400
1,0100	1,0000	0,0100	0,5500
1,0700	1,0000	0,0100	0,5600
1,1500	1,0000	0,0100	0,5700
1,1600	1,0000	0,0100	0,5800

x	m	p*	F*(x)
1,1800	1,0000	0,0100	0,5900
1,2100	2,0000	0,0200	0,6100
1,2800	1,0000	0,0100	0,6200
1,3100	1,0000	0,0100	0,6300
1,3200	1,0000	0,0100	0,6400
1,3400	1,0000	0,0100	0,6500
1,3500	1,0000	0,0100	0,6600
1,4200	1,0000	0,0100	0,6700
1,4300	1,0000	0,0100	0,6800
1,5600	1,0000	0,0100	0,6900
1,5700	1,0000	0,0100	0,7000
1,5900	1,0000	0,0100	0,7100
1,6000	1,0000	0,0100	0,7200
1,6100	1,0000	0,0100	0,7300
1,6500	1,0000	0,0100	0,7400
1,6700	1,0000	0,0100	0,7500
1,6900	1,0000	0,0100	0,7600
1,7800	1,0000	0,0100	0,7700
1,8400	1,0000	0,0100	0,7800
2,1800	1,0000	0,0100	0,7900
2,2600	1,0000	0,0100	0,8000
2,3200	1,0000	0,0100	0,8100
2,5100	1,0000	0,0100	0,8200
2,6000	1,0000	0,0100	0,8300
2,6100	1,0000	0,0100	0,8400
2,6800	1,0000	0,0100	0,8500
2,7700	1,0000	0,0100	0,8600
2,8200	1,0000	0,0100	0,8700
2,8600	1,0000	0,0100	0,8800
2,9300	1,0000	0,0100	0,8900
3,1700	1,0000	0,0100	0,9000
3,2400	1,0000	0,0100	0,9100
3,5300	1,0000	0,0100	0,9200
3,6800	1,0000	0,0100	0,9300
3,7700	1,0000	0,0100	0,9400
4,0500	1,0000	0,0100	0,9500
4,2100	1,0000	0,0100	0,9600
4,8400	2,0000	0,0200	0,9800
5,0800	1,0000	0,0100	0,9900
5,2300	1,0000	0,0100	1,0000



График F^*(x)



Построение гистограмм

а) Равноинтервальный метод

В этом методе диапазон значений вариационного ряда делится на равные интервалы длинны h и подсчитывается число m_i точек, попавших на каждый интервал. Точки подсчитываются по вариационному ряду или по таблице для построения эмпирической функции распределения. Если значение точки попадает на границу между интервалами, то в счетчик каждого интервала добавляется по 0,5.

Число интервалов гистограммы определяется по формуле:

Все интервалы имеют равную длину, следовательно:

Таблица для построения гистограммы

инт	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
mi	34.000	22.000	15.000	7.000	6.000	5.000	3.000	3.000	1.000	4.000
fi	0.655	0.424	0.289	0.135	0.116	0.096	0.058	0.058	0.019	0.077
Ai	0.040	0.559	1.078	1.597	2.116	2.635	3.154	3.673	4.192	4.711
Bi	0.559	1.078	1.597	2.116	2.635	3.154	3.673	4.192	4.711	5.230

Здесь инт - номер интервала гистограммы;

mi - количество значений вариационного ряда, попавших в i-ый интервал;

fi - статистическая плотность (высота) i-го интервала равна ;

Ai - левая граница i-го интервала гистограммы;

Bi - правая граница i-го интервала гистограммы;

Начинается гистограмма с тоски x =0,0400 и заканчивается при x =5,2300 (первая и последняя точки вариационного ряда). Площадь каждого столбика гистограммы равна относительной частоте .

Равноинтервальная гистограмма

б) Равновероятностная гистограмма

При построении гистограммы этим методом интервалы определяются так, чтобы на каждый из них попало бы одинаковое число точек, т.е. вариационный ряд делится по порядку на М равных групп. Если значение последнего элемента интервала совпадает со значением первого элемента следующего интервала, то это значение берется в качестве границы между этими интервалами. Если такие значения не совпадают, то в качестве границы берется средняя тоска между ними.

Таблица для построения гистограммы

i	Ai	Bi	hi	fi
1.0000	0.0400	0.1550	0.1150	0.8696
2.0000	0.1550	0.2650	0.1100	0.9091
3.0000	0.2650	0.4600	0.1950	0.5128
4.0000	0.4600	0.7200	0.2600	0.3846
5.0000	0.7200	0.9300	0.2100	0.4762
6.0000	0.9300	1.2100	0.2800	0.3571
7.0000	1.2100	1.5800	0.3700	0.2703
8.0000	1.5800	2.2900	0.7100	0.1408
9.0000	2.2900	3.2050	0.9150	0.1093
10.0000	3.2050	5.2300	2.0250	0.0494

Здесь i -- номер интервала гистограммы;

Аi-- левая граница i-го интервала гистограммы;

Bi -- правая граница i-го интервала гистограммы;

hi-- ширина i-го интервала;

fi-- высота i-го интервала ; ,

m-- число точек на i-ом интервале;

n-- число элементов вариационного рада.

Равновероятностная гистограмма

Оценка математического ожидания

Оценка дисперсии

Выборочная дисперсия

Среднеквадратическое отклонение S₀=1,2631

Доверительные интервалы

Построим доверительные интервалы математического ожидания m_x и дисперсии D_x с доверительной вероятностью p=0,95. Согласно центральной предельной теореме при достаточно большом объеме выборки n(n20…50) закон распределения несмещенных точечных оценок m_x и D_x можно считать нормальным при любом законе распределения случайной величины. Тогда доверительный интервал для математического ожидания будет определяться выражением: , где z_p определяется по таблице нормального распределения для заданной доверительной вероятности p. В нашем случае n=100, , S₀=1,2631, z_p=1,96.

Величина , а доверительный интервал:

, т.е. .

Доверительный интервал для дисперсии будет определяться выражением:

,

Здесь

,

а доверительный интервал: (1,5954±0,4444), т.е. (1,1509D_x2,0398).

Проверка гипотезы о законе распределения случайной величины

Наблюдая функцию распределения и гистограмму, выдвинем гипотезу H₀ об экспоненциальном законе распределения.



Оценка параметра: .

Проверка гипотезы по критерию .

Используем равноинтервальную гистограмму. Интервал гистограммы h=0,5190. Тогда теоретическая вероятность попадания случайной величины в каждый интервал:

p₁=F(x₁)

p₂=F(x₂)-F(x₁)

………………………………….

p₁=F(x₁)-F(x_i-1)

………………………………….

P₁₀=1-F(x₉),

где x_i=x_i-1+h, i=1,2…10, x₀=0.

Частоты P_i и вероятности для каждого интервала

Инт:	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
xi:	0,559	1,078	1,597	2,116	2,635	3,154	3,673	4,192	4,711	Inf
exp:	0,343	0,555	0,698	0,796	0,862	0,906	0,937	0,957	0,971	1,000
pi:	0,343	0,212	0,144	0,097	0,066	0,045	0,030	0,020	0,014	0,029
Pi*:	0,340	0,220	0,150	0,070	0,060	0,050	0,030	0,030	0,010	0,040

здесь: инт-- номер интервала;

Inf=;

xi-- значения случайной величины x_i для расчета теоретических вероятностей, i=1,2,…,10;

exp -- значения величин F(x_i) в выражениях (1), i=1,2,…,10;

pi-- теоретические вероятности попадания случайной величины на i-й интервал, определяемая формулами (1), i=1,2,…,10.

Pi*= -- относительные частоты, m_i -- число точек, попавших на i-й интервал;

Величина определяется по формуле:

Число степеней свободы k=M-s-1=10-1-1=8, здесь s -- число параметров от которых зависит закон распределения. Для экспоненциального это один параметр: .

По таблице распределения для уровня значимости a = 0,05 и k = 8 имеем:

Т.к. , то гипотезу H₀ принимаем.

Критерий Колмогорова.

Считаем параметры закона известными, т.е. параметр =1,3321. Строим теоретическую функцию распределения:

Построим совместно графики эмпирической и теоретической функций распределения. Найдем наибольшее отклонение эмпирической функции F^*(x) от теоретической F(x). Для этого берем значения x из таблицы для построения F^*(x) в области самых больших отклонений этих функций на графике, вычисляем F(x)

Для выбранных x по выражению (2).

Затем вычисляем наибольшую разницу для выбранных x.

В нашем случае получим наибольшую разницу в точке x = 1,6900 (штрихпунктирная линия на графике). Значение функции F^*(x) в этой точке (заметим, что если F^*(x) лежит ниже F(x),то значение F^*(x) надо брать по предыдущей точке)

F^*(1,6900)=0,7600, а F(x)==F(1,6900)=1-exp(-1,6900/1,3321)=0,7188

Наибольшее отклонение:

Тогда значение критерия Колмогорова будет:

По таблице Колмогорова для уровня значимости a=0,05 находим

Т.к. , гипотезу H₀ принимаем.

Оба критерия дают одинаковый результат: следует принять гипотезу H₀ -- об экспоненциальном законе распределения.

Задача 10.

По выборке двухмерной случайной величины:

-вычислить точечную оценку коэффициента корреляции;

-вычислить интервальную оценку коэффициента корреляции;

-проверить гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости;

-вычислить оценки параметров а₀ и а₁ линии регрессии ;

-построить диаграмму рассеивания и линию регрессии.

Решение.

Дана выборка двухмерной случайной величины:

X ; Y

2,24; 5,64	2,51;5,64	5,16; 5,30	1,53; 4,26	2,56; 3,73
3,06; 2,94	2,87; 4,01	4,22; 4,40	3,64; 3,67	3,56; 5,20
5,00; 6,08	4,16; 5,12	3,36; 5,16	4,56; 7,10	3,38; 4,00
4,87; 5,36	3,71; 4,80	3,08; 4,34	4,10; 5,55	1,94; 4,77
4,78; 5,72	3,63; 5,58	4,83; 4,15	3,74; 5,50	4,68; 5,88
5,21; 7,84	4,14; 6,09	4,21; 6,92	2,61; 4,35	4,22; 6,75
4,49; 5,06	2,74; 5,66	3,88; 5,49	4,19; 5,60	3,46; 5,48
2,67; 3,90	4,15; 4,59	3,00; 4,16	3,16; 5,73	2,58; 4,71
3,12; 5,50	4,34; 6,25	4,87; 5,67	4,36; 3,23	1,35; 4,73
5,30; 6,18	5,19; 5,68	4,00; 5,06	4,31; 4,85	3,69; 4,22

X и Y столбцы матрицы В, а конкретные i-ые значения случайной величины обозначим (x_i; y_i).

Число опытов n=50.

Оценки математических ожиданий по каждой переменной



Оценки начальных моментов второго порядка по каждой переменной

Оценка смешанного начального момента второго порядка

Таблица данных

N	x	y	x?2	y?2	x*y
1.0000	2.2400	5.6400	5.0176	31.8096	12.6336
2.0000	2.5100	5.6400	6.3001	31.8096	14.1564
3.0000	5.1600	5.3000	26.6256	28.0900	27.3480
4.0000	1.5300	4.2600	2.3409	18.1476	6.5178
5.0000	2.5600	3.7300	6.5536	13.9129	9.5488
6.0000	3.0600	2.9400	9.3636	8.6436	8.9964
7.0000	2.8700	4.0100	8.2369	16.0801	11.5087
8.0000	4.2200	4.4000	17.8084	19.3600	18.5680
9.0000	3.6400	3.6700	13.2496	13.4689	13.3588
10.0000	3.5600	5.2000	12.6736	27.0400	18.5120
11.0000	5.0000	6.0800	25.0000	36.9664	30.4000
12.0000	4.1600	5.1200	17.3056	26.2144	21.2992
13.0000	3.3600	5.1600	11.2896	26.6256	17.3376
14.0000	4.5600	7.1000	20.7936	50.4100	32.3760
15.0000	3.3800	4.0000	11.4244	16.0000	13.5200
16.0000	4.8700	5.3600	23.7169	28.7296	26.1032
17.0000	3.7100	4.8000	13.7641	23.0400	17.8080
18.0000	3.0800	4.3400	9.4864	18.8356	13.3672
19.0000	4.1000	5.5500	16.8100	30.8025	22.7550
20.0000	1.9400	4.7700	3.7636	22.7529	9.2538
21.0000	4.7800	5.7200	22.8484	32.7184	27.3416
22.0000	3.6300	5.5800	13.1769	31.1364	20.2554
23.0000	4.8300	4.1500	23.3289	17.2225	20.0445
24.0000	3.7400	5.5000	13.9876	30.2500	20.5700
25.0000	4.6800	5.8800	21.9024	34.5744	27.5184
26.0000	5.2100	7.8400	27.1441	61.4656	40.8464
27.0000	4.1400	6.0900	17.1396	37.0881	25.2126
28.0000	4.2100	6.9200	17.7241	47.8864	29.1332
29.0000	2.6100	4.3500	6.8121	18.9225	11.3535
30.0000	4.2200	6.7500	17.8084	45.5625	28.4850
31.0000	4.4900	5.0600	20.1601	25.6036	22.7194
32.0000	2.7400	5.6600	7.5076	32.0356	15.5084
33.0000	3.8800	5.4900	15.0544	30.1401	21.3012
34.0000	4.1900	5.6000	17.5561	31.3600	23.4640
35.0000	3.4600	5.4800	11.9716	30.0304	18.9608
36.0000	2.6700	3.9000	7.1289	15.2100	10.4130
37.0000	4.1500	4.5900	17.2225	21.0681	19.0485
38.0000	3.0000	4.1600	9.0000	17.3056	12.4800

39.0000	3.1600	5.7300	9.9856	32.8329	18.1068
40.0000	2.5800	4.7100	6.6564	22.1841	12.1518
41.0000	3.1200	5.5000	9.7344	30.2500	17.1600
42.0000	4.3400	6.2500	18.8356	39.0625	27.1250
43.0000	4.8700	5.6700	23.7169	32.1489	27.6129
44.0000	4.3600	3.2300	19.0096	10.4329	14.0828
45.0000	1.3500	4.7300	1.8225	22.3729	6.3855
46.0000	5.3000	6.1800	28.0900	38.1924	32.7540
47.0000	5.1900	5.6800	26.9361	32.2624	29.4792
48.0000	4.0000	5.0600	16.0000	25.6036	20.2400
49.0000	4.3100	4.8500	18.5761	23.5225	20.9035
50.0000	3.6900	4.2200	13.6161	17.8084	15.5718
среднее	3.7282	5.1520	14.8395	27.4999	19.6320

Оценки дисперсий



Оценка корреляционного момента

Точечная оценка коэффициента корреляции

Вычислим интервальную оценку коэффициента корреляции с доверительной вероятностью p=0,95.

При нормальном случайном векторе, доверительный интервал можно определить следующим образом:

(r₁,

где

Величина u_p определяется по таблице нормированного распределения для доверительной вероятности p: u_p=1,96



Ответ: (0,1930.

Проверка гипотезы о некоррелированности X,Y при уровне значимости a=0,05.

Предположим, что двухмерная случайная величина (X,Y) распределена по нормальному закону. Выдвинем гипотезу: H₀: R_XY=0; и альтернативную:

H₁: R_XY0.

Для проверки гипотезы используем критерий:

t распределена по закону Стьюдента с (n-2) степенями свободы, если гипотеза H₀ верна.

По заданному уровню значимости a вычисляем доверительную вероятность

p=1-a=0,95 и из таблицы Стьюдента берем критическое значение t_p,n-2=2,0106, т.к. , то гипотеза H₀ отклоняется, а следовательно величины X,Y коррелированные.

Уравнение линии регрессии

Коэффициенты линии регрессии:



Т.о. уравнение регрессии имеет вид:

Построим уравнение регрессии и диаграмму рассеивания:





Список использованной литературы

1. «Теория вероятностей и математическая статистика » методические указания, 2009 -- А.И. Волковец, А.Б. Гуринович, А.В. Алексенчик.

2. «Те...