Симметрические многочлены и теорема Виета

Размещено на http://www.allbest.ru/

СОДЕРЖАНИЕ

1. Многочлены

2. Симметрические многочлены

3. Использование теоремы Виета и теории симметрических многочленов на примерах

Список использованной литературы

ВВЕДЕНИЕ

Задачи на симметричные многочлены часто встречаются на олимпиадах и различных экзаменах. Решение многих задач элементарной алгебры значительно облегчается, если использовать симметричность условия задачи. В этой работе показано, как использовать симметрию при решении систем уравнений, иррациональных уравнений, неравенств и т. д. Все эти задачи решаются единообразным методом, основанным на теории симметрических многочленов.

Не всем известно, какие замены нужно делать, чтобы свести эти задачи к более простым. Наша работа посвящена исследованию этого вопроса, мы не только указываем эти замены, но и доказываем теорему о том, что они всегда приводит к результату, этот факт школьники принимают на веру. Доказательство проводится элементарными методами.

многочлен симметрический теорема виет

1. МНОГОЧЛЕНЫ. ТЕОРЕМА ВИЕТТА

Основные определения. Основное понятие теории многочленов - многочлен от одного переменного - рассматривается в школьном курсе. Под многочленом понимается выражение вида

a₀х^n-1 + … +a_n-1x + a_n, (1.1)

где а₀, а₁, …, а_n-1, a_n - произвольные действительные числа. Это выражение может состоять и из одного слагаемого - такой многочлен называется, естественно, одночленом. Ниже мы сделаем сделаю ещё некоторые уточнения, касающиеся многочленов нулевой степени и нулевого многочлена.

Степень многочлена. Пусть f(x) = а₀хⁿ + a₁x^n-1 + … +a_n - произвольный многочлен. В этой записи мы не требуем обязательно, чтобы коэффициент а₀ был отличен от нуля, но если он всё же отличен от нуля, то число n называется степенью многочлена f(x). Степень многочлена f(x) часто обозначается через deg f(x).

Например,

deg (-2x²-3x) = 2,

deg (0x⁵+0x⁴-x³) = 3.

Рассмотрим специально два случая, когда многочлен f(x) в действительности не содержит х. Это может случиться, если коэффициенты многочлена f(x) равны 0 - в этом случае я буду называть многочлен нулевым и обозначать его символом 0. Если же f(x) = a₀ 0, то многочлен f(x) имеет степень 0.

Напомним, что при а₀ 0 коэффициент а₀ называют старшим коэффициентом многочлена f(x), а сам одночлен а₀хⁿ - его старшим членом. Коэффициент а_n называется свободным членом.

Если

f(x) = a₀xⁿ + … + a_n-1x + a_n , g(x) = b₀x^k + … + b_k-1x + b_k

- два произвольных многочлена соответственно степеней n и k, (т.е. а₀ 0, b₀ 0), то при их перемножении получим, очевидно, многочлен со старшим членом а₀b₀x^n+k. Отсюда следует важное утверждение:

степень произведения двух нулевых многочленов равна сумме степеней сомножителей.

Ясно, что это утверждение верно и для любого конечного числа многочленов. Из него следует, в частности, что произведение ненулевых многочленов не может быть равно 0, или, что то же самое,

f(x)g(x) = 0 f(x) = 0 или g(x) = 0 (1.2)

Что же касается суммы двух многочленов, то о её степени можно сделать в общем случае одно заключение:

степень суммы многочленов не превосходит наибольшей из степеней слагаемых.

Значения многочлена, корни многочлена. Вместо переменной х в многочлен f(x), то есть в выражение вида (1), можно, очевидно, подставить любое действительное число с. В результате получится некоторое действительное число; это число называется значением многочлена f(x) при х = с (или в точке с) и обозначается через f(c):

f(c) = a₀cⁿ + a₁c^n-1 + … + a_n-1c + a_n.



Отметим два простых равенства, связанные со значениями многочлена и полезные для решения задач:

f(0) = a_n , f(1) = a₀ + a₁ + … + a_n-1 + a_n ,

т.е. свободный член многочлена является его значением в точке 0, а сумма коэффициентов многочленов есть его значение в точке 1.

Так, после раскрытия скобок и приведение подобных членов в выражении

f(x) = (2x² - 3x + 1)²⁰⁰¹ + (2x³ + 3x - 4)²⁰⁰²

получится многочлен со свободным членом f(0) = 1 - 4²⁰⁰² и суммой коэффициентов f(1) = 1.

Определение. Число с называется корнем многочлена f(x), если f(c) = 0.

Понятие корня является центральным понятием в теории многочленов. Исторически теория многочленов и была создана для решения разнообразных вопросов, связанных с решением алгебраических уравнений произвольной степени, т.е. с нахождением корней многочленов. Более того, именно в результате попыток отыскания общей формулы для решения кубических уравнений математиками были открыты комплексные числа.

Основная теорема алгебры многочленов и её следствия. Теория многочленов с комплексными коэффициентами оказывается более стройной и более простой, чем теория многочленов с действительными коэффициентами, и объясняется это именно основной теоремой, справедливой для многочленов с комплексными коэффициентами. Сформулирую её:

Всякий многочлен степени n 1 с комплексными коэффициентами имеет, по крайней мере, один комплексный корень.

Эта теорема впервые строго была доказана немецким математиком К.Ф. Гауссом и часто называется поэтому теоремой Гаусса. Для доказательства этой теоремы требуются утверждения, далеко выходящие за рамки наших возможностей, и я поэтому приводить его не буду.

Главное для нас - это следствия, которые вытекают из основной теоремы.

1. Всякий многочлен степени n 1 с комплексными коэффициентами раскладывается в произведение n линейных множителей.

Это утверждение легко доказывается по индукции. При n = 1 сам многочлен является линейным. Предположим, что утверждение уже доказано для многочленов степени n, и пусть f(х) - многочлен степени n + 1. тогда f(x) имеет некоторый корень а₁ С, и по теореме Безу f(x) представляется в виде

f(x) = (x - a₁) f₁(x).

Но многочлен f₁(x) имеет степень n, и по предположению индукции раскладывается в произведение n линейных множителей. Но тогда f(x) является произведением n + 1 линейного множителя, что и требовалось доказать.

2. Всякий многочлен степени n 1 с комплексными коэффициентами имеет n корней, если считать каждый корень столько раз, какова его кратность.

Действительно, так как многочлен степени n 1 раскладывается в произведение n линейных множителей:

f(x) = a₀(х - а₁)(x - a₂) … (x - a_n).

Ясно при этом, что а₀, …, а_n - это корни многочлена f(x). Объединяя в последнем равенстве равные сомножители в степени, f(x) можно представить в виде

f(x) = a₀(x - ₁)^k1(x -₂)^k2 … (x - _s)^ks,

где корни _1, …,_s уже все различны, а показатели k₁, …, k_s - это кратности соответствующих корней.

Поскольку степени многочленов в левой и правой частях этого равенства, естественно, одинаковы, то

n = k₁ + k₂ + … + k_s,

что и требовалось доказать.

3. Многочлен f(x) делится на многочлен g(x) тогда и только тогда, когда всякий корень f(x) является корнем g(x) и кратность его в g(x) не больше кратности в f(x).

Докажем это утверждение, используя разложение многочленов f(x) и g(x) на линейные множители.

Отметим, что для многочленов с действительными коэффициентами соответствующее утверждение неверно; например, многочлен х + 1 не делится на многочлен х³ + х² + х +1 = (х +1)(х² + 1), хотя оба они имеют ровно один корень - 1. Основная теорема алгебры многочленов позволяет для многочленов любой степени сформулировать утверждение, которое при n = 2 доказывается в школьном курсе под названием теорема Виета. Это утверждение и в общем случае называется теоремой Виета.

4. Пусть

f(x) = a₀xⁿ + … + a_n-1x + a_n (а₀?0) -

многочлен с комплексными коэффициентами. Тогда для любого k = 1,...,n сумма всевозможных произведений корней многочлена f(x), состоящих из k сомножителей, равна (-1)^ka_k/a₀.

В частности, сумма всех корней многочлена f(x) равна -(а₁/а₀), сумма попарных произведений равна а₂/а₀, произведение всех корней равно (-1)ⁿa_n/a₀.

Доказательство теоремы Виета для произвольного k довольно громоздко, и мы ограничимся только крайними случаями: k = 1 и k = n. Представим f(x) в виде:

f(x) = a₀(х - а₁)(x - a₂) … (x - a_n)

и тогда после раскрытия скобок в правой части будем иметь:

a₀xⁿ + … + a_n-1x + a_n =

=а₀хⁿ - a₀(a₁ + ... +a_n)x^n-1+ ... + (-1)ⁿa₀a₁a₂ ... a_n.

Но, как видно выше, если два многочлена равны, то равны и коэффициенты при одинаковых степенях х. Поэтому

a₀(a₁ + ... +a_n)=а₁,

(-1)ⁿa₀a₁a₂ ... a_n = а_n ,

откуда и следует требуемое равенство.

Следующее утверждение является одним из показательных примеров применения комплексных чисел к задачам «чисто действительными», не имеющим в своей постановке к комплексным числам никакого отношения.

5. Всякий многочлен степени n ? 1 c действительными коэффициентами раскладывается в произведение линейных двучленов и квадратных трехчленов с отрицательными дискриминантами, имеющими действительные коэффициенты.

Это утверждение докажу индукцией по степени n. Для многочленов степени 1 и 2 утверждение верно; предположим, что оно справедливо для любых многочленов степени ? n, и пусть f(x) имеет степень n + 1.

Многочлен f(х) имеет комплексный корень а. По теореме Безу

f(x) = (x - a) g(x), (1.3)

И если число а действительное, то g(x) - многочлен с действительными коэффициентами. Тогда по предположению индукции g(x) раскладывается в произведение требуемого вида. Но тогда в силу (1.3) такое разложение существует и для многочлена f(x).

Пусть теперь а - число комплексное, т.е. а ? . Вспомним следствие из теоремы о свойствах сопряженных чисел; согласно этому число также является корнем многочлена f(x). Тогда из (1.3) при х = получаем, что

= (1.4)

Поскольку и - числа действительные, то трехчлен имеет действительные коэффициенты (и, очевидно, отрицательный дискриминант), так что и многочлен h(x) имеет действительные коэффициенты как частное двух многочленов с действительными коэффициентами.

Но многочлен h(x) имеет степень меньше n, так что к нему применимо предположение индукции. После этого требуемое утверждение для многочлена f(x) вытекает из равенства (1.4).

Теорема доказана. Если старший коэффициент а₀ многочлена f(х) отличен от 1, то для применения формул Виета необходимо сначала разделить все коэффициенты на а₀, что не влияет на корни многочлена. Таким образом, в этом случае формулы Виета дают выражения для отношений всех коэффициентов к старшему.

2. СИММЕТРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ

Среди многочленов от нескольких неизвестных выделяются те, которые не меняются ни при какой перестановке неизвестных. В такие многочлены все неизвестные входят, следовательно, вполне симметричным образом, и поэтому эти многочлены называются симметрическими многочленами (или симметрическими функциями). Простейшими примерами будут: сумма всех неизвестных x₁+ х₂ + ... + х_n ,сумма квадратов неизвестных х₁² + х₂² + ... + х_n², произведение неизвестных х₁х₂...х_n и т.д. Сумма, разность и произведение двух симметрических многочленов сами будут симметрическими. Следующие n симметрических многочленов от n неизвестных называются элементарными симметрическими многочленами:

(2.1)

Эти многочлены, симметричность которых очевидна, играют в теории симметрических многочленов очень большую роль. Они подсказаны формулами Виета, и поэтому можно сказать, что коэффициенты многочлена от одного неизвестного, имеющего старшим коэффициентом единицу, будут, с точностью до знака, элементарными симметрическими многочленами от его корней.

Симметрическим многочленом будет всякая целая положительная степень любого из элементарных симметрических многочленов, а также произведение таких степеней и всякая сумма указанных произведений. Иными словами, всякий многочлен от элементарных симметрических многочленов ₁,₂,…, _n , рассматриваемый как многочлен от неизвестных х₁,х₂,...,х_n, будет симметрическим. Так, положим n = 3 и возьмем многочлен ₁₂ + 2₃. Заменяя 1, ₂ и 3 их выражениями, мы получим:

₁₂ + 2₃ = x₁²x₂ + x₁²x₃ + x₁x₂² + x₂²x₃ + x₁x₃² + x₂x₃² + 5x₁x₂x₃;

справа стоит симметрический многочлен от х₁, х₂, х₃.

Обращением этого результата является следующая основная теорема о симметрических многочленах:

Теорема 2.1

Всякий симметрический многочлен от неизвестных х₁, х₂, ... , х_n, является многочленом от элементарных симметрических многочленов ₁,₂, … , _n[2]

Доказательство

Упорядочим данный симметрический многочлен f(x₁, x₂, … , x_n) лексикографически (как в словаре), т.е. таким образом, чтобы слагаемое х₁ ... х_nⁿ предшествовало слагаемому х₁'... х_nⁿ в том случае, если первая ненулевая разность _i - _i положительна. Пусть в его лексикографической записи будет член

а₀х₁^к1х₂^к2 … х_n^kn. (2.2)

Показатели при неизвестных в этом члене должны удовлетворять неравенствам

k₁ k₂ … k_n (2.3)

Действительно, пусть при некотором i будет k_i k_i+1. Многочлен f(x₁, x₂, … , x_n), будучи симметрическим, должен содержать член

a₀x₁^k1x₂^k2 … x_i^Ki+1x_i+1^ki … x_n^kn, (2.4)

получающийся из члена (2.2) транспозицией неизвестных х_i и х_i+1.Это приводит нас к противоречию, так как член (2.4) в смысле лексикографического расположения выше члена (2.2): показатели при х₁, х₂, ... , х_i-1 в обоих членах совпадают, но показатель при х_i в члене (2.4) больше, чем в члене (2.2).

Возьмем теперь следующее произведение элементарных симметрических многочленов (ввиду неравенств (2.3) все показатели будут неотрицательными):

₁ = a₀₁^k1-k2₂^k2-k3 … _n-1^Kn-1-Kn_n^Kn. (2.9)

Это будет симметрический многочлен от неизвестных х₁, х₂, ... , х_n , причем его высший член равен члену (2.2). Действительно, высшие члены многочленов ₁,₂, ₃, … , _n равны соответственно x₁, x₁x₂ , x₁x₂x₃ ,…, x₁x₂ … x_n , а так как высший член произведения равен произведению высших членов сомножителей, то высшим членом многочлена ₁ будет

a₀x₁^k1-k2(x₁x₂)^k1-k3(x₁x₂x₃)^k3-k4…(x₁x₂…x_n-1)^Kn-1-Kn(x₁x₂…x_n)^Kn = a_ox₁^k1x₂^k2…x_n^Kn .

Отсюда следует, что при вычитании ₁ из f высшие члены этих многочленов взаимно уничтожатся, т.е. высший член симметрического многочлена f-₁ = f₁ будет ниже члена (2.2), высшего в многочлене f. Повторяя для многочлена f_i этот же прием, мы придем к равенству

f₁ = ₂+f₂

где ₂ есть произведение степеней элементарных симметрических многочленов, а f₂ - симметрический многочлен , высший член которого ниже, чем высший член в f₁. Отсюда вытекает равенство

f = ₁+₂+f₂

Продолжая этот процесс, мы для некоторого s получим f_s = 0 и поэтому придем к выражению для f в виде многочлена от ₁,₂,…,_n:

_s

f(x₁,x₂,…,x_n) = _I = (₁,₂,…,_n ) .

^I=1

В самом деле, если бы этот процесс был бесконечным, то мы получили бы бесконечную последовательность симметрических многочленов

f₁,f₂,…,f_s,…, (2.10)

причем высший член каждого из них был бы ниже, чем высшие члены предшествующих многочленов, и тем более ниже, чем (2.2). Однако, если

bx₁^l1x₂^l2…x_n^ln (2.11)

есть высший член многочлена f_s то из симметричности этого многочлена следуют неравенства

l₁ l₂ … l_n , (2.12)

подобные неравенствам (2.3). С другой стороны, так как член (2.2) выше члена (2.11), то

k₁ l₁ (2.13)

Легко заметить ,что системы целых неотрицательных чисел l_1,l₂, … ,l_n удовлетворяющих неравенствам (2.12) и (2.13), можно выбрать лишь конечным числом способов.

Действительно, если даже отказаться от требования (2.12) и лишь предполагать, что все l_i будет возможен лишь (k₁ + 1)ⁿ способами. Отсюда следует, что последовательность многочленов (2.10) со строго понижающимися высшими членами не может быть бесконечной . Теорема доказана.

Рассмотрим некоторые возможные применения этой теоремы.

Метод решения симметрических систем состоит в представлении симметрических многочленов через многочлены от основных симметрических многочленов.

x² + y² = (x + y)² - 2xy ,

x³ + y³ = (x + y)^{3 -} 3xy (x + y),

x² + y² + z² = (x + y + z)² - 2 (xy + yz +zx).



3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРЕМЫ ВИЕТА И ТЕОРИИ СИММЕТРИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ НА ПРИМЕРАХ

Пример 1

Решить систему

Решение:

Многочлены x² + 3xy + y² и xy являются симметрическими от двух переменных x и y. Представим их через многочлены

u = x + y и v = xy :

x² + 3xy + y² = (x + y)² + xy = u² + v, xy = v.

Тогда для для переменных u и v получим систему

u² + v = 61,

v = 12,

которая равносильна системе

u² = 49,

v = 12,

имеющей решения: u ₁ = 7, v₁ = 12 и u ₂ = -7, v₂ = 12. Таким образом, исходная система равносильна совокупности двух систем:

x + y = 7, x + y = -7,

xy = 12, xy = 12,

Решая каждую из этих систем, например, методом подстановки, получим решения исходной системы: (4;3), (3;4), (-4; -3), (-3; -4).

Пример 2

Пусть x₁ и x₂ - корни уравнения 3x² - аx - 2а - 1 = 0. Вычислить x₁³ + x₂³.

Решение: По формуле суммы кубов получаем

= x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂ )(x₁² - x₁x₂ + x₂² ) = (x₁ + x₂ )(x₁ + x₂ )² - 3x₁ x₂

По теореме Виета

x₁ + x₂ = а/3

x₁ x₂ = - 2а + 1/3

Значит

f= а/3а²/9 - 3( - 2а + 1/3) = а/3а²/9 + 2а + 1 = а(а² + 18а + 9)/27

Ответ: а(а² +18а + 9)/27

Пример 3

Найти наименьшее значение выражения x₁² + x₂² , если x₁ и x₂ - корни уравнения x² - 2ах + а + 6 = 0.

Решение:

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁ x₂ = 4а² - 2(а + b) = 4а² - 2а - 12

Найдем наименьшее значение квадратного трехчлена



y = 4а² - 2а - 12 , а = ј.

Теперь найдем наименьшее значение x₁² + x₂² , подставив в выражение 4а² - 2а - 12 значение а = 1/4

Имеем

x₁² + x₂² = 4 х 1/16 - 2 х 1/4 - 12 = - 49/4 = - 12,25

Ответ: - 12,25.

Пример 4

Пусть x₁ и x₂ - корни уравнения x² - 17x -23= 0. Вычислить.

Решение:

.

По формуле суммы кубов и теоремы Виета получаем

x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂ )(x₁² - x₁x₂ + x₂² ) = (x₁ + x₂ )(x₁ + x₂ )² - 3x₁ x₂ =17(17²-3(-23))

.

И подставляя,



Пример 5

Решить систему уравнений

Введем замену , , тогда система примет вид

Выразив через из второго уравнения и подставим в первое, получим уравнение, получим кубическое уравнение . Далее можно,- делитель свободного члена, подобрав корень =2, и воспользовавшись теоремой Безу, решим уравнение. Получим: = 2, = -4. Тогда = 0 , = 6.

В результате:

х + у =2 или х + у = -4

ху =0 ху = 6

первая система имеет решение: (2 ; 0), вторая система решений не имеет.

Ответ: (2 ; 0)

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гальперин Г.А., Толпыго А.К., “Московские математические олимпиады”, М., “Просвещение”, 1986

2. Готман Э.Г., Скопець З.А., “Задача одна - решения разные”, К., Родник 1938

3. Горнштейн П.И., “Задачи с параметрами”, К., 1999

4. В.Г. Болтянский, Н.Я. Виленкин Симметрия ав алгебре, МЦНМО, 2002.- 240 с

5. Под ред. Фирсова В.В., “Избранные вопросы математики”, М., “Просвещение”, 1990

Размещено на Allbest.ru

...