Рівномірний розподіл

Размещено на http://www.allbest.ru/

План

ергодичний ймовірність рівномірний розподіл

1. Неперервні розподіли: рівномірний розподіл і його параметри

2. Стаціонарні та ергодичні випадкові процеси

3. Задача

Рекомендована література

1. Неперервні розподіли: рівномірний розподіл і його параметри

Рівномірний розподіл (неперервний) -- в теорії імовірностей розподіл, який характеризується тим, що ймовірність будь-якого інтервала залежить тільки від його довжини.

Кажуть, що випадкова величина має неперервний рівномірний розподіл на відрізку , де , якщо щільність має вигляд:

Пишуть: . Деколи значення щільності в граничних точках і міняють на інші, наприклад .Так як інтеграл Лебега від щільності не залежить від поведінки останньої на множинах міри нуль, ці варіації не впливають на знаходження зв'язаних з цим розподілом імовірностей.

Функція розподілу:

Інтегруючи визначену вище щільність отримуємо:

Оскільки щільність рівномірного розподілу розривна в граничних точках відрізка , то функція розподілу в цих точках не є диференційовною. В інших точках справедлива рівність:

.

Функція моментів:

Простим інтегруванням отримуємо:

,

звідки знаходимо всі потрібні моменти неперервного рівномірного розподілу:

,

,

.

Таким чином

.

Стандартний рівномірний розподіл:

Якщо , а , тобто , то такий неперервний рівномірний розподіл називають стандартним. Має місце твердження:

якщо випадкова величина , и , где , то .

Таким чином, маючи генератор випадкового вибору із стандартного неперервного рівномірного розподілу, легко побудувати генератор вибору будь-якого неперервного рівномірного розподілу.

Рівномірний розподіл на відрізку [a, b]:

Кажуть, що випадкова величина [a, b] розподілена рівномірно на відрізку [a, b], якщо всі її можливі значення зосереджені в цьому відрізку і щільність розподілу її ймовірностей на цьому відрізку стала і дорівнює

Але за властивістю щільності розподілу

Тоді

Отже, . Тоді щільність рівномірного розподілу [a, b] має вигляд

Знайдемо функцію розподілу цієї випадкової величини за означенням функції розподілу

Отже, функція розподілу має вигляд

Відрізок [a, b] називають відрізком концентрації рівномірного розподілу.

Графік щільності ймовірностей і функції розподілу для рівномірно розподіленої на відрізку [a, b] функції зображено на рис. 1 і рис. 2 відповідно

Рис. 1

Рис. 2

Наведемо приклади рівномірного розподілу:

Поїзди метрополітену їдуть з інтервалом 2 хв. Пасажир виходить на платформу в деякий момент часу. Час t - очікування поїзда є випадкова величина розподілена рівномірно на відрізку [0, 2].

Похибка заокруглення числа задовільно описується рівномірним розподілом на відрізку .

Рівномірний розподіл називають ще законом рівномірної щільності.

2. Стаціонарні та ергодичні випадкові процеси

Поняття випадкового процесу введено в XX столітті і пов'язано з іменами А.Н. Колмогорова (1903-1987), А.Я. Хинчина (1894-1959), Е.Е. Слуцького (1880-1948), Н. Вінера (1894-1965).

Це поняття в наші дні є одним з центральних не тільки в теорії ймовірностей, але також в природознавстві, інженерній справі, економіці, організації виробництва, теорії зв'язку. Теорія випадкових процесів належить до категорії найбільш розвинених математичних дисциплін. Безсумнівно, що ця обставина значною мірою визначається її глибокими зв'язками з практикою. XX століття не могло задовольнитися тією ідейною спадщиною, яку було отримано від минулого. Дійсно, в той час, як фізика, біолога, інженера цікавив процес, тобто зміна досліджуваного явища в часі.

Для дослідження зміни в часі теорія ймовірностей кінця XIX-початку XX століття не мала ні розроблених окремих схем, ні тим більш загальних прийомів. А необхідність їх створення буквально стукала у вікна та двері математичної науки. Вивчення броунівського руху в фізиці підвело математику до порога створення теорії випадкових процесів.

Вважаю за необхідне згадати ще про дві важливі групи досліджень, розпочаті в різний час і з різних приводів.

По-перше, це роботи А.А. Маркова (1856-1922) з вивчення ланцюгових залежностей. По-друге, роботи Е.Е. Слуцького (1880-1948) з теорії випадкових функцій.

Обидва ці напрями грали дуже істотну роль у формуванні загальної теорії випадкових процесів.

Залишалося здійснити глибокий аналіз наявних робіт, висловлених в них ідей і результатів і на їх базі здійснити необхідний синтез.

Визначення випадкового процесу і його характеристики.

Визначення: Випадковим процесом X (t) називається процес, значення якого при будь-якому значенні аргументу t є випадковою величиною.

Іншими словами, випадковий процес являє собою функцію, яка в результаті випробування може прийняти той чи інший конкретний вид, невідомий заздалегідь. При фіксованому t = t ₀ X (t ₀₎ являє собою звичайну випадкову величину, тобто перетин випадкового процесу в момент t _0.

Приклади випадкових процесів:

чисельність населення регіону з плином часу;

число заявок, що надходять в ремонтну службу фірми, з плином часу.

Випадковий процес можна записати у вигляді функції двох змінних X (t, щ), де щ € Щ, t € T, X (t, щ) € ? і щ - елементарне подія, Щ - простір елементарних подій, Т - безліч значень аргументу t, ? - безліч можливих значень випадкового процесу X (t, щ).

Реалізацією випадкового процесу X (t, щ) називається невипадкова функція x (t), в яку перетворюється випадковий процес X (t) в результаті випробування (при фіксованому щ), тобто конкретний вид, який приймає випадковий процес X (t), його траєкторія.

Таким чином, випадковий процес X (t, щ) поєднує в собі риси випадкової величини і функції. Якщо зафіксувати значення аргументу t, випадковий процес перетворюється на звичайну випадкову величину, якщо зафіксувати щ, то в результаті кожного випробування він перетворюється на звичайну невипадкову функцію.

Кажуть, що випадковий процес має порядок n, якщо він повністю визначається щільністю спільного розподілу ц (x _1, x _2, ..., x _n; t _1, t _2, ..., t _n) n довільних перерізів процесу, тобто щільністю n-мірної випадкової величини (X (t _1), X (t _2), ..., X (t _n)), де X (t _i) - поєднання випадкового процесу X (t) в момент часу t _i, i = 1, 2, ..., n.

Як і випадкова величина, випадковий процес може бути описаний числовими характеристиками. Якщо для випадкової величини ці характеристики є постійними числами, то для випадкового процесу - невипадковими функціями.

Математичним очікуванням випадкового процесу X (t) називається невипадкова функція a _x (t), яка при будь-якому значенні змінної t дорівнює математичному очікуванню відповідного перерізу випадкового процесу X (t), тобто a _x (t) = М [X (t)].

Дисперсією випадкового процесу X (t) називається невипадкова функція D _x (t), при якому значенні змінної t рівна дисперсії відповідного поєднання випадкового процесу X (t), тобто D _x (t) = D [X (t)].

Середнім квадратичним відхиленням у _x (t) випадкового процесу X (t) називається арифметичне значення кореня квадратного з його дисперсії, тобто у _x (t) = D _x (t).

Математичне сподівання випадкового процесу характеризує середню траєкторію всіх можливих його реалізацій, а його дисперсія або середнє квадратичне відхилення - розкид реалізацій щодо середньої траєкторії.

Введених вище характеристик випадкового процесу виявляється недостатньо, тому що вони визначаються тільки одномірним законом розподілу. Якщо для випадкового процесу Х ₁ (t) характерно повільна зміна значень реалізацій зі зміною t, то для випадкового процесу Х ₂ (t) це зміна проходить значно швидше. Іншими словами, для випадкового процесу Х ₁ (t) характерна тісна імовірнісна залежність між двома його поєднаннями Х ₁ (t ₁₎ і Х ₁ (t _2), в той час як для випадкового процесу Х ₂ (t) ця залежність між сполученнями Х ₂ (t ₁₎ і Х ₂ (t ₂₎ практично відсутня. Зазначена залежність між сполученнями характеризується кореляційною функцією.

Визначення: кореляційною функцією випадкового процесу Х (t) називається невипадкова функція

K _x (t _1, t ₂₎ = M [(X (t ₁₎ - a _x (t ₁₎₎ (X (t ₂₎ - a _x (t _2))]

двох змінних t ₁ і t _2, яка при кожній парі змінних t ₁ і t ₂ дорівнює коваріації відповідних поєднань Х (t ₁₎ і Х (t ₂₎ випадкового процесу.

Очевидно, для випадкового процесу Х (t ₁₎ кореляційна функція K _{x 1} (t _1, t ₂₎ зменшується в міру збільшення різниці t ₂ - t ₁ значно повільніше, ніж K _{x 2} (t _1, t ₂₎ для випадкового процесу Х (t _2).

Кореляційна функція K _x (t _1, t ₂₎ характеризує не тільки ступінь тісноти лінійної залежності між двома сполученнями, а й розкид цих поєднань щодо математичного очікування a _x (t). Тому розглядається також нормована кореляційна функція випадкового процесу. Нормованою кореляційною функцією випадкового процесу Х (t) називається функція:

P _x (t _1, t ₂₎ = K _x (t _1, t ₂₎ / у _x (t ₁₎ у _x (t ₂₎ (2)

Стаціонарні випадкові процеси:

Випадковий процес Х (t) називають стаціонарним у вузькому сенсі, якщо

F (x _1, ..., x _n; t _1, ..., t _n) = F (x _1, ..., x _n; t ₁ + Д, ..., t _n + Д)

При довільних

n ? 1, x _1, ..., x _n, t _1, ..., t _n; Д; t ₁ € T, t _i + Д € T.

Тут F (x _1, ..., x _n; t _1, ..., t _n) - n-мірна функція розподілу випадкового процесу Х (t).

Випадковий процес Х (t) називають стаціонарним у широкому сенсі, якщо

m (t) = m (t + Д), K (t, t ') = K (t + Д, t' + Д)

(T € T, t '€ T, t + Д € T), t' + Д € T)

Таким чином, для процесу, стаціонарного в широкому сенсі, математичне очікування і дисперсія не залежать від часу, а K (t, t ') являє собою функцію вида:

K (t, t ') = k (ф) = k (- ф), ф = t' - t.

Ергодична властивість стаціонарних випадкових процесів

Нехай Х (t) - стаціонарний випадковий процес на відрізку часу [0, T] з характеристиками

M [X (t)] = 0, K (t, t ') = M [X (t) X (t')] = k (ф),

ф = t '- t, (t, t') € T Ч T.

Ергодична властивість стаціонарного випадкового процесу полягає в тому, що за досить тривалу реалізаціїю процесу можна судити про його математичне сподівання, дисперсію, кореляційну функцію.

Розподіли випадкових величин:

Випадкова величина - це величина, яка в результаті випробувань може приймати певні значення (із сукупності своїх значень) з певною ймовірністю. Випадковою можна назвати будь-яку (не обов'язково чисельну) змінну x, значення якої створюють множину випадкових елементарних подій {х}.

Розрізняють дискретні і неперервні випадкові величини.

Дискретною випадковою величиною називається випадкова величина, що приймає скінчене число значень з множини, елементи якої можна пронумерувати.

Неперервною випадковою величиною називається випадкова величина, можливі значення якої неперервно заповнюють деякий інтервал.

Рядок розподілу дискретної випадкової величини x може бути представлений як у табличній формі - у вигляді таблиці, де перераховано значення випадкової величини х₁, х₂, х_п з відповідними до них ймовірностями р₁, р₂, р_п, так і у вигляді графічного зображення.

3. Задача

Періодичний сигнал S(t), в загальному випадку комплексний, має заданий період Т. Отримайте вираз, що зв'язує середню за період міцність цього сигналу Р_ср з коефіцієнтами С_n його ряду Фурє.

Розв'язок:

Середня за період міцність сигналу:

Так як

то

Отримаємо:

Рекомендована література

1. Баскаков С.И. Радиоьехнические цепи и сигналы. - М.: Высшая школа, 2000.

2. Попов В.П. Основы теории цепей. - М.: Высшая школа, 2000.

Размещено на Allbest.ru