Открытые и замкнутые множества. Внутренние и граничные точки. Множества плотные в себе, совершенные множества

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Курсовая работа

Открытые и замкнутые множества. Внутренние и граничные точки. Множества плотные в себе, совершенные множества



Введение

множество грань ограниченный замкнутый

Людям постоянно приходится иметь дело с различными совокупностями предметов, что повлекло за собой возникновение понятия числа, а затем и понятия множества, которое является одним из основных простейших математических понятий и не поддается точному определению.

Основной задачей данной работы являлось изучение основных понятий и теорем теории множеств и их применение. Для достижения этой цели в работе были рассмотрены все исходные понятия и теоремы теории множеств, при этом доказательства наиболее важных теорем и следствий были детально разобраны. Основное внимание было уделено открытым и замкнутым множествам, множествам плотным в себе, совершенным множествам и изучению точечных множеств.

Важной целью курсовой работы явилось решение ряда интересных задач, которые дают некоторые представление о характере проблем, решаемых в самой теории множеств и ее приложениях.

Актуальность темы связана с тем, что теория множеств, хотя и является одной из наиболее молодых отраслей математики, оказала огромное влияние на развитие математики и стала фундаментом целого ряда новых математических дисциплин. Хотелось бы отметить, что некоторые вопросы теории множеств должны быть включены в программы средней школы. Несмотря на высокую степень абстракции, усвоение теории множеств не представляет особых трудностей, так как не требует предварительной подготовки.

Теория множеств изучает общие свойства множеств, преимущественно бесконечных. Понятие множества простейшее математическое понятие.

Множеством называется собрание, совокупность, коллекция вещей, объединенных по какому-либо признаку или по какому-либо правилу. Понятие множества возникает путем абстракции. Рассматривая какую-либо совокупность предметов как множество, отвлекаются от всех связей и соотношений между различными предметами, составляющими множества, но сохраняют за предметами их индивидуальные черты. Таким образом, множество, состоящее из пяти монет, и множество, состоящее из пяти яблок, - это разные множества. С другой стороны, множество из пяти монет, расположенных по кругу, и множество из тех же монет, положенных одна на другую, - это одно и то же множество.

Приведем несколько примеров множеств. Можно говорить о множестве песчинок, составляющих кучу песка, о множестве всех планет нашей солнечной системы, о множестве всех людей, находящихся в данный момент в каком-либо доме, о множестве всех страниц этой книги. В математике тоже постоянно встречаются различные множества, например множество всех корней заданного уравнения, множество всех натуральных чисел, множество всех точек на прямой и т.д.

Математическая дисциплина, изучающая общие свойства множеств, т.е. свойства множеств, не зависящие от природы составляющих их предметов, называется теорией множеств. Эта дисциплина начала бурно развиваться в конце XIX и начале XX в. Основатель научной теории множеств - немецкий математик Г. Кантор.

В 1870-х годах немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) создал теорию множеств - исключительно мощное и важное математическое учение, оказавшее огромное влияние на развитие современной математики. Теория множеств не только явилась фундаментом целого ряда новых математических дисциплин, но и оказала глубокое влияние на понимание самого предмета математики. Помимо прочего в канторовской теории множеств, впервые были развиты конструктивные подходы к анализу проблемы бесконечности, более двух тысяч лет являвшейся лишь предметом филологических упражнений философов.

Работы Кантора по теории множеств выросли из рассмотрения вопросов сходимости тригонометрических рядов. Это весьма обычное явление: очень часто рассмотрение конкретных математических задач ведет к построению весьма абстрактных и общих теорий. Значение таких абстрактных построений определяется тем, что они оказываются связанными не только с той конкретной задачей, из которой они выросли, но имеют приложения и в ряде других вопросов.

В частности, именно так обстоит дело и с теорией множеств. Идеи и понятия теории множеств проникли буквально во все разделы математики и существенно изменили ее лицо. Поэтому нельзя получить правильного представления о современной математике, не познакомившись с элементами теории множеств. Особенно большое значение имеет теория множеств для теории функций действительного переменного.

Множество считается заданным, если относительно любого предмета можно сказать, принадлежит он множеству или не принадлежит. Иными словами, множество вполне определяется заданием всех принадлежащих ему предметов. Если множество M состоит из предметов a, b, c,…, и только из этих предметов, то пишут .

Предметы, составляющие какое-либо множество, принято называть его элементами. Тот факт, что предмет т является элементом множества M, записывается в виде и читается: «m принадлежит M», или «m есть элемент M». Если же предмет m не принадлежит множеству M, то пишут: . Каждый предмет может служить лишь одним элементом заданного множества; иными словами, все элементы одного и того же множества отличны друг от друга.

Элементы множества M могут сами быть множествами, однако, во избежание противоречий, приходится требовать, чтобы само множество M не было одним из своих собственных элементов: .

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством. Например, множество всех действительных корней уравнения есть пустое множество. Пустое множество в дальнейшем будем обозначать через .

Если для двух множеств M и N каждый элемент x множества M является также элементом множества N, то говорят, что M входит в, что M есть часть N, что M есть подмножество M или что M содержится в N; это записывается в виде или .

Например, множество M={1,2} есть часть множества N={1,2,3}.

Ясно, что всегда . Удобно считать, что пустое множество есть часть любого множества.

Два множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов. Например, множество корней уравнения и множество M={1,2} между собою равны.

Множества могут состоять из самых различных элементов. Именно этим объясняется чрезвычайная широта теории множеств и ее приложимость к самым разным областям знания.



1. Точечные множества

Множества, элементами которых являются точки, называются точечными множествами. Таким образом, можно говорить о точечных множествах на прямой, на плоскости, в каком-либо пространстве. Ради простоты мы ограничимся рассмотрением точечных множеств на прямой.

Между действительными числами и точками на прямой имеется тесная связь: каждому действительному числу можно отнести точку на прямой и обратно. Поэтому, говоря о точечных множествах, мы будем причислять к ним и множества, состоящие из действительных чисел - множества на числовой прямой. Обратно: для того чтобы задать точечное множество на прямой, мы будем обычно задавать координаты всех точек нашего множества.

Точечные множества (и, в частности, точечные множества на прямой) обладают рядом особых свойств, отличающих их от произвольных множеств и выделяющих теорию точечных множеств в самостоятельную математическую дисциплину. Прежде всего имеет смысл говорить о расстоянии между двумя точками. Далее, между точками на прямой можно установить соотношения порядка (левее, правее); в соответствии с этим говорят, что точечное множество на прямой является упорядоченным множеством. Наконец, как уже отмечалось выше, для прямой справедлив принцип Кантора; это свойство прямой принято характеризовать как полноту прямой.

Введем обозначения для простейших множеств на прямой.

Отрезок [a, b] - это множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам .

Интервал (a, b) - это множество точек, координаты которых удовлетворяют условиям .

Полуинтервалы (a, b) и (a, b) определяются соответственно условиями: и .

Интервалы и полуинтервалы могут быть несобственными. Именно, обозначает всю прямую, а, например, - множество всех точек, для которых .

Начнем с рассмотрения различных возможностей расположения множества в целом на прямой.

1.1 Ограниченные и неограниченные множества

Множество E точек на прямой может либо состоять из точек, расстояния которых от начала координат не превосходят некоторого положительного числа, либо иметь точки, сколь угодно далекие от начала координат. В первом случае множество E называется ограниченным, а во втором - неограниченным. Примером ограниченного множества может служить множество всех точек отрезка [0,1], а примером неограниченного множества-множество всех точек с целыми координатами.

Нетрудно видеть, что если a - фиксированная точка на прямой, то множество E будет ограничено в том и только в том случае., если расстояния от точки a до любой точки не превосходят некоторого положительного числа.

1.2 Множества, ограниченные сверху и снизу

Пусть E - множество точек на прямой. Если на прямой существует такая точка A, что любая точка расположена левее точки A, то говорят, что множество E ограничено сверху. Аналогично, если на прямой существует такая точка a, что любая точка расположена правее точки a, то множество E называется ограниченным снизу. Так, множество всех точек на прямой с положительными координатами ограничено снизу, а множество всех точек с отрицательными координатами ограничено сверху.

Ясно, что данное выше определение ограниченного множества эквивалентно следующему: множество E точек на прямой называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу. Несмотря на то, что эти два определения очень похожи друг на друга, между ними имеется существенное различие: первое основано на том, что между точками на прямой определено расстояние, а второе, что эти точки; образуют упорядоченное множество.

Можно также сказать, что множество ограничено, если оно целиком расположено на некотором отрезке [a, b].

1.3 Верхняя и нижняя грань множества

Пусть множество E ограничено сверху. Тогда на прямой существуют точки A, правее которых нет ни одной точки множества E. Используя принцип Кантора, можно показать, что среди всех точек A, обладающих этим свойством, найдется самая левая. Эта точка называется верхней гранью множества E. Аналогично определяется нижняя грань точечного множества.

Если во множестве E есть самая правая точка, то она, очевидно, и будет верхней гранью множества E. Однако может случиться, что во множестве E нет самой правой точки. Например, множество точек с координатами

ограничено сверху и не имеет самой правой точки. В таком случае верхняя грань не принадлежит множеству E, но сколь угодно близко к имеются точки множества . В приведенном выше примере .



1.4 Расположение точечного множества вблизи какой-либо точки на прямой

Пусть E - точечное множество и x - какая-либо точка на прямой. Рассмотрим различные возможности расположения множества E вблизи точки x. Возможны следующие случаи:

1. Ни точка x, ни достаточно близкие к ней точки не принадлежат множеству E.

2. Точка x не принадлежит E, но сколь угодно близко к ней имеются точки множества E.

3. Точка x принадлежит E, но все достаточно близкие к ней точки не принадлежат E.

4. Точка x принадлежит E, и сколь угодно близко к ней имеются другие точки множества E.

В случае 1 точка x называется внешней к множеству E, в случае 3 - изолированной точкой множества E, а в случаях 2 и 4 - предельной точкой множества E.

Таким образом, если , то точка x может быть либо внешней к E, либо предельной для него, а если , то она может быть либо изолированной точкой множества E, либо его предельной точкой.

Предельная точка может принадлежать и не принадлежать множеству E и характеризуется тем условием, что сколь угодно близко к ней имеются точки множества E. Иными словами, точка x является предельной точкой множества E, если любой интервал , содержащий точку x, содержит бесконечно много точек множества E. Понятие предельной точки является одним из весьма важных понятий теории точечных множеств.

Если точка x и все достаточно близкие к ней точки принадлежат множеству E, то такая точка x называется внутренней точкой множества E. Всякая точка x, которая не является для E ни внешней, ни внутренней, называется граничной точкой множества E.

Укажем несколько примеров, поясняющих все эти понятия.

Пример 1. Пусть множество состоит из точек с координатами

Тогда каждая точка этого множества является его изолированной точкой, точка 0 есть предельная точка (не принадлежащая этому множеству), а все остальные точки на прямой - внешние к .

Пример 2. Пусть множество состоит из всех рациональных точек отрезка [0,1]. Это множество не имеет изолированных точек, каждая точка отрезка [0,1] является предельной точкой , а все остальные точки на прямой - внешние к . Ясно, что среди предельных точек множества имеются как принадлежащие к нему, так и не принадлежащие ему.

Пример 3. Пусть множество состоит из всех точек отрезка [0,1]. Как и в предыдущем примере, множество не имеет изолированных точек, и каждая точка отрезка [0,1] является его предельной точкой. Однако, в отличие от предыдущего примера, все предельные точки принадлежат этому множеству.

Пример 4. Пусть множество состоит из всех точек с целыми координатами на прямой. Каждая точка является его изолированной точкой; множество не имеет предельных точек.

Отметим также, что в примере 3 всякая точка интервала (0,1) является внутренней точкой , а в примере 2 всякая точка отрезка [0,1] - граничная точка .

Из приведенных выше примеров видно, что бесконечное множество точек на прямой может иметь изолированные точки , а может их не иметь; точно так же оно может иметь внутренние точки и может их не иметь . Что же касается предельных точек, то лишь множество E_4 примера 4 не имеет ни одной предельной точки. Как показывает следующая важная теорема, это связано с тем, что множество неограниченно.

2. Открытые и замкнутые множества

Одна из основных задач теории точечных множеств - изучение свойств различных типов точечных множеств. Познакомимся с этой теорией на двух примерах и изучим свойства так называемых замкнутых и открытых множеств.

Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Если множество не имеет ни одной предельной точки, то его тоже принято считать замкнутым. Кроме своих предельных точек, замкнутое множество может также содержать изолированные точки. Множество называется открытым, если каждая его точка является для него внутренней.

Приведем примеры замкнутых и открытых множеств.

Всякий отрезок [a, b] есть замкнутое множество, а всякий интервал (a, b) - открытое множество. Несобственные полуинтервалы и замкнуты, а несобственные интервалы и открыты. Вся прямая является одновременно и замкнутым и открытым множеством. Удобно считать пустое множество тоже одновременно замкнутым и открытым. Любое конечное множество точек на прямой замкнуто, так как оно не имеет предельных точек.

Множество, состоящее из точек:

замкнуто; это множество имеет единственную предельную точку x=0, которая принадлежит множеству.

Основная задача состоит в том, чтобы выяснить, как устроено произвольное замкнутое или открытое множество. Для этого нам понадобится ряд вспомогательных фактов, которые мы примем без доказательства.

1. Пересечение любого числа замкнутых множеств замкнуто.

2. Сумма любого числа открытых множеств есть открытое множество.

3. Если замкнутое множество ограничено сверху, то оно содержит свою верхнюю грань. Аналогично, если замкнутое множество ограничено снизу, то оно содержит свою нижнюю грань.

Пусть E - произвольное множество точек на прямой. Назовем дополнением множества E и обозначим через CE множество всех точек па прямой, не принадлежащих множеству E. Ясно, что если x есть внешняя точка для E, то она является внутренней точкой для множества CE и обратно.

4. Если множество F замкнуто, то его дополнение CF открыто и обратно.

Предложение 4 показывает, что между замкнутыми и открытыми множествами имеется весьма тесная связь: одни являются дополнениями других. В силу этого достаточно изучить одни замкнутые или одни открытые множества. Знание свойств множеств одного типа позволяет сразу выяснить свойства множеств другого типа. Например, всякое открытое множество получается путем удаления из прямой некоторого замкнутого множества.

Приступаем к изучению свойств замкнутых множеств. Введем одно определение. Пусть F - замкнутое множество. Интервал (a, b), обладающий тем свойством, что ни одна из его точек не принадлежит множеству F, а точки a и b принадлежат F, называется смежным интервалом множества F.

К числу смежных интервалов мы будем также относить несобственные интервалы или , если точка a или точка b принадлежит множеству F, а сами интервалы с F не пересекаются. Покажем, что если точка x не принадлежит замкнутому множеству F, то она принадлежит одному из его смежных интервалов.

Обозначим через часть множества F, расположенную правее точки x. Так как сама точка x не принадлежит множеству F, то можно представить в форме пересечения:



Каждое из множеств F и замкнуто. Поэтому, в силу предложения 1, множество замкнуто. Если множество пусто, то весь полуинтервал не принадлежит множеству F. Допустим теперь, что множество не пусто. Так как это множество целиком расположено на полуинтервале, то оно ограничено снизу. Обозначим через b его нижнюю грань. Согласно предложению 3, , а значит . Далее, так как b есть нижняя грань множества , то полуинтервал (x, b), лежащий левее точки b, не содержит точек множества и, следовательно, не содержит точек множества F. Итак, мы построили полуинтервал (x, b), не содержащий точек множества F, причем либо , либо точка b принадлежит множеству F. Аналогично строится полуинтервал (a, x), не содержащий точек множества F, причем либо , либо . Теперь ясно, что интервал (a, b) содержит точку x и является смежным интервалом множества F. Легко видеть, что если и - два смежных интервала множества F, то эти интервалы либо совпадают, либо не пересекаются.

Из предыдущего следует, что всякое замкнутое множество на прямой получается путем удаления из прямой некоторого числа интервалов, а именно смежных интервалов множества F. Так как каждый интервал содержит по крайней мере одну рациональную точку, а всех рациональных точек на прямой - счетное множество, то легко убедиться, что число всех смежных интервалов не более чем счётно. Отсюда получаем окончательный вывод. Всякое замкнутое множество на прямой получается путем удаления из прямой не более чем счетного множества непересекающихся интервалов.

В силу предложения 4, отсюда сразу вытекает, что всякое открытое множество на прямой представляет собой не более чем счетную сумму непересекающихся интервалов. В силу предложений 1 и 2, ясно также, что всякое множество, устроенное, как указано выше, действительно является замкнутым (открытым).

Как видно из нижеследующего примера, замкнутые множества могут иметь весьма сложное строение.

2.1 Канторово совершенное множество

Построим одно специальное замкнутое множество, обладающее рядом замечательных свойств. Прежде всего удалим из прямой несобственные интервалы и . После этой операции у нас останется отрезок [0,1]. Далее, удалим из этого отрезка интервал , составляющий его среднюю треть. Из каждого из оставшихся двух отрезков и удалим его среднюю треть. Этот процесс удаления средних третей у остающихся отрезков продолжим неограниченно. Множество точек на прямой, остающееся после удаления всех этих интервалов, называется канторовым совершенным множеством; мы будем обозначать его буквой P.

Рассмотрим некоторые свойства этого множества.

Множество P замкнуто, так как оно образуется путем удаления из прямой некоторого, множества непересекающихся интервалов. Множество P не пусто; во всяком случае в нем содержатся концы всех выброшенных интервалов.

Замкнутое множество P называется совершенным, если оно не содержит изолированных точек, т.е. если каждая его точка является предельной точкой. Покажем, что множество P совершенно. Действительно, если бы некоторая точка x была изолированной точкой множества P, то она служила бы общим концом двух смежных интервалов этого множества. Но, согласно построению, смежные интервалы множества P не имеют общих концов.

Множество P не содержит ни одного интервала. В самом деле, допустим, что некоторый интервал целиком принадлежит множеству P. Тогда он целиком принадлежит одному из отрезков, получающихся на n-м шаге построения множества P. Но это невозможно, так как при длины этих отрезков стремятся к нулю.

Можно показать, что множество P имеет мощность континуума. В частности, отсюда следует, что канторово совершенное множество содержит, кроме концов смежных интервалов, еще и другие точки. Действительно, концы смежных интервалов образуют лишь счетное множество.

Разнообразные типы точечных множеств постоянно встречаются в самых различных разделах математики, и знание их свойств совершенно необходимо при исследовании многих математических проблем. Особенно большое значение имеет теория точечных множеств для математического анализа и топологии.

Приведем несколько примеров появления точечных множеств в классических разделах анализа.

Пусть f(x) - непрерывная функция, заданная на отрезке [a, b]. Зафиксируем число и рассмотрим множество тех точек x, для которых . Нетрудно показать, что это множество может быть произвольным замкнутым множеством, расположенным на отрезке [a, b]. Точно так же множество точек x, для которых , может быть каким угодно открытым множеством . Если есть последовательность непрерывных функций, заданных на отрезке [a, b], то множество тех точек x, где эта последовательность сходится, не может быть произвольным, а принадлежит к вполне определенному типу.

Свойства

· Канторово множество является нигде не плотным совершенным множеством.

· Канторово множество континуально.

· Канторово множество имеет топологическую размерность 0.

· Канторово множество имеет промежуточную (то есть не целую) Хаусдорфову размерность равную . В частности, оно имеет нулевую меру Лебега.

Математическая дисциплина, занимающаяся изучением строения точечных множеств, называется дескриптивной теорией множеств. Весьма большие заслуги в деле развития дескриптивной теории множеств принадлежат советским математикам - Н.Н. Лузину и его ученикам П.С. Александрову, М.Я. Суслину, А.Н. Колмогорову, М.А. Лаврентьеву, П.С. Новикову, Л.В. Келдыш, А.А. Ляпунову и др.

Исследования Н.Н. Лузина показали, что имеется глубокая связь между дескриптивной теорией множеств и математической логикой. Трудности, возникающие при рассмотрении ряда задач дескриптивной теории множеств (в частности, задач об определении мощности тех или иных множеств), являются трудностями логической природы. Напротив, методы математической логики позволяют более глубоко проникнуть в некоторые вопросы дескриптивной теории множеств.



3. Множества плотные в себе, совершенные множества

Плотное множество - подмножество, точками которого можно приблизить любую точку объемлющего пространства.

Определения:

- Пусть даны топологическое пространство и два подмножества Тогда множество A называется плотным во множестве B, если любая окрестность любой точки B содержит хотя бы одну точку из A, то есть

- Множество A называется всюду плотным, если оно плотно в X.

Замечание:

Приведённое выше определение плотности множества эквивалентно любому из нижеперечисленных:

- Множество A плотно в B тогда и только тогда, когда замыкание A содержит B, то есть В частности, A всюду плотно, если

- Множество A плотно в B тогда и только тогда, когда внутренность дополнения к A не пересекается с B, то есть В частности, A всюду плотно, если

Примеры:

- Множество плотно в себе, если в любой окрестности каждой точки х этого множества содержится хотя бы одна точка множества, отличная от х.

- Множество рациональных чисел Q плотно в пространстве вещественных чисел R.

3.1 Плотные и неплотные множества

Множество Е называется плотным на М, если каждая точка множества М является предельной точкой Е, т.е. в любой окрестности имеются точки, принадлежащие Е. Плотные множества на всей прямой называются всюду плотными. Множество называется нигде не плотным (на прямой), если оно неплотно ни на каком интервале, иными словами, если каждый интервал прямой содержит подинтервал, целиком свободный от точек данного множества. Аналогично определяются множества, нигде не плотные на плоскости или, вообще, в произвольном топологическом пространстве. Для того чтобы замкнутое множество было нигде не плотным, необходимо и достаточно, чтобы его дополнение было всюду плотно. Примером замкнутого (даже совершенного) нигде не плотного множества является т. н. канторово совершенное множество. Сумму счётного множества нигде не плотных множеств называется множеством первой категории, а дополнение к множеству первой категории - множеством второй категории. Эти понятия играют важную роль в теории линейных нормированных пространств. Различные категории множеств существенны также в теории единственности тригонометрических рядов.

3.2 Совершенные множества

Совершенное множество - замкнутое множество, не имеющее изолированных точек, то есть совпадающее с множеством всех своих предельных точек.

Примеры

· Классическим примером нигде не плотного, совершенного множества является Канторово множество.

Свойства

· Всякое непустое совершенное множество евклидова пространства имеет мощность континуума.

· Множество точек конденсации любого множества является совершенным.

· Теорема Кантора - Бендиксона. Всякое множество вещественных чисел есть объединение совершенного множества своих точек конденсации и счётного множества.

· Эта теорема обобщена на случай подмножеств метрического пространства со счётной базой.

3.3 Применение в экономике

В математической экономике любые множества и функции описывают ту или иную структуру и взаимосвязь между экономическими величинами, любые их формальные (теоретические) свойства являются отражением или следствием фактов, имеющих место в реальной экономике.

Множество называется замкнутым, если вместе с внутренними точками он содержит и все свои граничные точки. Напомним, что точка называется внутренней точкой множества B, если существует такое число , что - окрестность точки целиком содержится во множестве В. Те точки , для которых это условие не выполняется называются граничными.

В экономико-математических моделях возникает необходимость формального описания множества допустимых для потребления наборов товаров, множества существующих технологических способов производства, множества вариантов планов, управленческих решений и т.д. Замкнутость таких множеств содержательно означает, что помимо промежуточных можно выбрать и «крайние» положения «рычагов управления». Кстати, часто наилучшими являются как раз эти крайние значения. Например, для выполнения плана может потребоваться использование всего запаса сырья. Математически замкнутое множество может быть описано, например, системой нестрогих неравенств.

Заметим, что к этому теоретико-множественному свойству не относится часто употребляемое понятие замкнутости экономики. Последняя означает отсутствие импорта и экспорта готовой продукции, сырья и внешних инвестиций для рассматриваемого экономического региона.

Множество называется ограниченным, если его можно заключить в сферу конечного радиуса r. Другими словами, для любого справедливо , то есть компоненты вектора х не имеют бесконечно большое и бесконечно малое значение. Например, относительно пространства цен товаров можно говорить о его ограниченности сверху (оно всегда ограниченно снизу нулем) так как практически нет товаров, имеющих бесконечно большую цену.

Множество называется выпуклым, если для любых выполняется условие . То есть множество В вместе с любыми своими точками содержит и все их выпуклые комбинации. Содержательно это означает, что вместе с допустимыми x¹ и x² допустимы и их «смеси». Например, если и - два допустимых с точки зрения бюджета потребителя набора товаров, то допустимым является любой набор

.



Заключение

После проделанной работы можно сделать следующий вывод:

Множество, не содержащее ни одной своей граничной точки, т.е. состоящее из одних внутренних точек, называется открытым. Множество, содержащее все свои граничные точки, т.е. совпадающее со своим замыканием, называется замкнутым. Так как множество и его дополнение имеют одну и ту же границу, то множество замкнуто в том и только в том случае, если его дополнение открыто.

Внутренняя часть любого множества есть открытое множество.

Замыкание любого множества есть замкнутое множество.

Сумма и пересечение конечного числа открытых множеств открыты.

Понятия «множества» и «элементы множеств» составляет основной словарь математической логики. Именно эти понятия закладывают основу, которая необходима для дальнейших построений.

Теория множеств - раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики.



Список использованной литературы

1. Александров П.С., Введение в общую теорию множеств и функций, ч. 1, М. - Л., 1948 г.

2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Физматлит, 2004. - 575 с.

3. Зорич В.А. Математический анализ. Ч. 1. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1981.

4. http://mathhelpplanet.com

5. Кантор, Г. Труды по теории множеств [Текст] / Г. Кантор; Под ред. А.Н. Колмогров, А.П. Юшкевич. - М.: Наука, 1995. - 387 с.

6. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под общ. ред. В.И. Ермакова - М.: ИНФРА-М, 2007. - 656 с. - (100 лет РЭА им. Г.В. Плеханова).

Размещено на Allbest.ru

...