Размещено на http://www.allbest.ru

План:

Вступ

Два визначення визначника n- го степеня

Транспонування матриці

Властивості визначників

Методи розв'язування визначників n- го степеня

Метод Крамера

Визначник Вандермонда

Список використаної літератури



Вступ

Розширення використання та застосування математичних методів, яких потребують багато галузей науки та техніки, залежить від розвитку самої математики. У наш час ми є свідками бурного розвитку як самої математики, так і росту застосувань математичних методів в інших науках. Математичні методи, як методи дослідження та опису явищ, їх моделювання широко проникають у всі галузі науки і з їх допомогою часто вдається досягти значного прогресу. визначник матриця крамер вандермонд

Абстрактність математики породжує деякі труднощі щодо її застосування при постановці конкретних задач, але в той же самий час її абстрактність додає їй силу та універсальність.

Велике значення для розв'язування конкретних задач у багатьох галузях науки відіграє застосування такого математичного поняття як визначник квадратної матриці. Особливо часто вирішення конкретної задачі зводиться до розв'зання системи з багатьма невідомими.

Як приклад можна привести застосування методу визначників у електротехніці. Зокрема він застосовується у розрахунках лінійних електричних кіл. Також велике практичне значення має формула для обчислення об'єму паралелепіпеда, вершини якого задані своїми координатами в деякій ПДСК. Навіть існують способи аналітичного задання кривих другого порядку та площин за допомогою визначника. Також можна відмітити, що задачі знаходження спільних дільників та коренів двох многочленів та визначення коефіцієнта повних витрат, валового випуску продукції, коефіцієнту непрямих витрат у економіці теж на певному рівні вирішення зводяться до відшукання визначника квадратної матриці (подекуди п-го порядку).

Метод обчислення визначників з числовими елементами, який заключається в тому, що всі елементи деякого рядка (стовпця) матриці, крім одного, перетворюються в нулі, з подальшим пониженням порядку, стає занадто громіздким у випадку визначників даного порядку з буквеними елементами. Йдучи цим шляхом, в загальному випадку можна прийти до виразу, який є обчисленням визначника за означенням. Тим більш цей метод не є зручним у випадку визначника з буквеними або числовими елементами й довільним порядком п.

Загального методу для обчислення таких визначників не існує (не враховуючи зведення визначника, даного в його означенні). До визначників того чи іншого спеціального виду застосовуються різні методи обчислення, які приводять до виразу, що є більш простими (тобто, що містять меншу кількість дій), ніж вираз визначника за означенням. Можна виділити серед всіх методів найбільш застосовувані і найбільш загальні.



Два визначення визначника n-го степеня

Перше визначення визначника n-го порядку

Нехай дана квадратна матриця A порядку n

A = .

Визначником n -го порядку матриці A називається алгебраїчна сума всіх можливих добутків її елементів, побудованих за правилом: з кожного рядка і кожного стовпчика матриці береться по одному і лише по одному елементу. Якщо після упорядковання співмножників у добутку за першим індексом другі індекси утворюють парну перестановку, перед добутком ставиться знак +, якщо непарну перестановку, то перед добутком ставиться знак _.

Визначник матриці A позначається так

= .

Числа a_іj називаються елементами визначника . Визначник матриці A ще називається детермінантом і позначається det A.

Зрозуміло, що визначник складається з n! добутків. Наприклад,



=

Беремо з першого рядка елемент -5, що знаходиться у першому рядку і третьому стовпчику. З другого рядка беремо число 5, яке знаходиться у другому рядку і першому стовпчику. З третього рядка беремо число -3, яке знаходиться у третьому рядку і другому стовпчику. З четвертого рядка беремо число 6, що знаходиться у четвертому рядку і четвертому стовпчику. Добуток (-5)5(-3)6 є одним з добутків визначника , оскільки серед його співмножників є по одному і лише по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпчика визначника. З'ясуємо знак при цьому добутку. Далі місце елемента у визначнику будемо позначати парою чисел (і,j) (і-й рядок і j-й стовпчик). Елементи добутку у визначнику знаходяться на місцях (1,3),(2,1),(3,2),(4,4). Після упорядкування співмножників добутку за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 3,1,2,4. В цієї перестановці 2 інверсії, перестановка парна, отже, знак при добутку +.

Друге визначення визначника

Нехай дана квадратна матриця A порядку n

A = .

Визначником n-го порядку матриці A називається алгебраїчна сума всіх можливих добутків її елементів, побудованих за правилом: з кожного рядка і з кожного стовпчика матриці береться по одному і лише по одному елементу. Якщо після упорядкування співмножників у добутку за другим індексом перші індекси утворюють парну перестановку, перед добутком ставиться знак +, якщо непарну перестановку, то перед добутком ставиться знак _.

Таким чином, на відміну від першого означення визначника, за другим означенням знак при добутку визначається парністю перестановки перших індексів при упорядкуванні співмножників за другим індексом.

Теорема..

Два означення визначника еквівалентні.

Користуючись другим означенням визначник матриці A можна записати аналітично так:

= ,

де сума береться по всім перестановкам чисел 1,2,...,n.

Транспонування матриці

Нехай дана матриця A порядку m x n

A = .

Складемо нову матрицю B за такими правилами. Запишемо елементи першого рядка матриці A, зберігаючи їх порядок, до першого стовпчика матриці B. Далі елементи другого рядка матриці A, зберігаючи їх порядок, запишемо до другого стовпчика матриці B і т.д. Такий процес називається транспонуванням матриці A. В результаті одержимо матрицю B порядку n x m, яка називається транспонованою матрицею для матриці A і позначається A^T.



A^T = .

Зрозуміло, що (A^T)^T = A.

Теорема..

Нехай A - квадратна матриця. Тоді визначники матриць A^T і A рівні.

Таким чином, транспонування не змінює визначника матриці. Далі будемо вважати визначники взаємно транспонованих матриць тотожними.

Властивості визначників

Зауваження. Будемо формулювати властивості визначників для рядків визначників. Але при цьому будемо враховувати, що вони вірні і для стовпчиків визначників.

1. Якщо всі елементи деякого рядка визначника дорівнюють нулю (нульовий рядок), то визначник дорівнює нулю.

2. Якщо у визначнику переставляються місцями два рядки, то змінюється лише знак визначника.

Припустимо, що у визначнику міняються місцями і-й і j-й рядки (іj), тоді

= = - .

3. Якщо два рядки визначника співпадають, то визначник дорівнює нулю.

4. Якщо деякий рядок визначника помножується на число , то визначник помножується на .

Припустимо, що у визначнику

=

помножується на і-й рядок, тоді

= = .

З цієї властивості випливає, що якщо всі елементи деякого рядка визначника помножені на деяке число , то це число можна винести за знак визначника як множник.

Два рядки визначника називаються пропорційними, якщо один з них можна одержати помноженням другого на деяке число.

5. Якщо два рядки визначника пропорційні, то визначник дорівнює нулю.

Нехай (b_i1, b_i2,…,b_in) і (с_i1, с_i2,…,с_in) - два рядки. Під сумою цих рядків розуміється рядок вигляду (b_i1+с_i1, b_i2 +с_i2,…,b_in+с_in).

6. Якщо у визначнику і-рядок є сумою двох рядків, то визначник можна розкласти в суму двох визначників ₁ і ₂ за і-м рядком таким чином, що і-рядком визначника ₁ є перший доданок, а і-м рядком визначника ₂ - другий доданок і-го рядка визначника . Решта рядків визначників ₁ і ₂ співпадають з відповідними рядками визначника .

Припустимо, що у визначнику і-й рядок є сумою двох рядків, тоді

= = +.

Аналогічно, якщо і-й рядок визначника є сумою k рядків, то визначник можна розкласти в суму k визначників за і-м рядком.

7. Якщо до рядка визначника додати інший рядок, помножений на число, то визначник не змінюється.

Нехай ,,..., _ деякі рядки визначника , а ₁,₂,...,_n - деякі числа. Тоді рядок ₁+₂+...+_nназивається лінійною комбінацією рядків ,,...,

8. Якщо у визначнику деякий рядок є лінійною комбінацією інших рядків, то визначник дорівнює нулю.

9. Якщо до рядка визначника додати лінійну комбінацію інших рядків, то визначник не змінюється.

Методи розв'язування визначників n- го степеня

Загального методу обчислення визначників n-го порядку з буквеними або числовими елементами не існує (крім виразу згідно з означенням визначника). Для обчислення визначників того чи іншого спеціального виду застосовують різні методи. Не претиндуючи на повноту, розглянемо деякі з них.

Метод зведення до трикутного виду. Він полягає в такому перетворенні визначника, коли всі елементи, що лежать по один бік від головної діагоналі, перетворюються в нулі. Тоді утворений визначник дорівнює добутку елементів головної діагоналі.

1. Обчислити визначник

Розв'язання. До кожного рядка, починаючи з другого, додамо перший рядок, помножений на -1. Дістанемо:

З першого стовпчика винесемо за знак визначника вираз , з другого ,…, з n-го . Матимемо:

Беручи до уваги, що додамо до першого стовпця решту стовпців. Дістанемо

Метод виділення лінійних множників. Цей метод полягає в тому, що буквенний визначник n-го порядку розглядають як многочлен певного, наприклад m-го, степеня від одного або кількох невідомих (букв). Безпосередньо або після деяких перетворень визначника знаходять m взаємно простих лінійних множників, на кожен з яких ділиться розглядуваний визначник. Тоді з точністю до сталого множника c визначник дорівнюватиме добутку знайдених лінійних множників. Сталий множник c знаходять в результаті порівняння відповідного члена визначника з членом добутку лінійних множників.

Метод рекурентних співвідношень. Суть цього методу полягає в тому, що заданий визначник виражають через визначники такого самого виду, але нижчого порядку. Здобуту рівність називають рекурентним співвідношенням.

Приклад 2. Обчислити визначник



Розв'язання: Звернемо увагу на одну особливість даного визначника: елементи головної діагоналі є послідовні непарні числа 1, 3, 5, …, , а решта елементів кожного стовпця дорівнює номеру стовпця.

Додамо до останнього рядка перший, помножений на - 1. Матимемо

Цей визначник розкладемо за елементами останнього рядка

Дістали рекурентне співвідношення.

Застосовуючи тепер до цю рекурентну формулу, знайдемо:

і тому

Повторюючи ці міркування ще n - 3 рази, дістанемо:



Метод Крамера

Для системи n лінійних рівнянь з n невідомими (над довільним полем)

з визначником матриці системи Д, що не рівний нулеві, розв'язок записується у такому вигляді:

(i-й стовпчик матриці системи замінюється стовпчиком вільних членів).

Іншим чином правило Крамера формулюється так: для будь-яких коефіцієнтів c1, c2, …, cn виконується рівність:

У такій формі формула Крамера справедлива без припущення, що Д не рівне нулю, не треба навіть, аби коефіцієнти системи були елементами цілісного кільця (визначник системи навіть може бути дільником нуля у кільці коефіцієнтів). Також можна вважати, що або набори b1,b2,...,bn та x1,x2,...,xn, або набір c1,c2,...,cn складаються не з елементів кільця коефіциєнтів системи, а деякого модуля над цим кільцем. В такому вигляді формула Крамера використовується, наприклад, при доведенні формули для визначника Грама і Леми Накаями

Приклад

Система лінійних рівнянь:

Визначники:

Розв'язок:

Приклад:

Визначники:



Визначник Вандермонда

Визначником Вандермонда n-го порядку називається визначник

_n = .

Доведемо, що

_n = (a₂-a₁)(a₃-a₁)(a₃-a₂)…(a_n-a₁)(a_n-a₂)…(a_n-a_n-1) = .

Доведення проведемо індукцією за порядком n визначника

При n=2

Припустимо, що твердження виконується для визначника Вандкрмонда Д_n-1 порядку n-1 і знайдемо визначник Д_n. Як відомо, визначник не змінюється, якщо від деякого рядка відняти інший рядок, домножений на число. Тому у визначника Д_n спочатку від останнього рядка віднімаємо рядок з номером (n-1), домножений на a₁. Потім від (n-1) - го рядка віднімемо рядок з номером n-2, домножений на і т.д., нарешті, від другого рядка віднімемо перший рядок, домножений на a₁. Ці операції не змінюють величин визначника.

Одержуємо

Розкладемо визначник за елементами першого стовпчика. Оскільки у першому стовпчику лише один ненульовий елемент, то

З кожного стовпчика можна винести множник за знак визначника. Тому

Одержуємо визначник Вандермонда порядку n-1. Враховуючи припущення індукції



Список використаної літератури:

1. Скорняков Л.А. Элементы алгебры. - М.: Наука, 1980.- 240с.

2. Васильченко І.П. Вища математика для економістів: підручник. - К.: Знання-Прес, 2002. - 454 с.

3. Кудрявцев Л.Д. Мысли о современной математике и её изучение.- М.: Наука, 1977. - 112 с.

4. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров.- М.: Наука, 1978. - 873 с.

5. Завало С. Т., Левіщенко С. С., Пилаєв В.В., Рокицький І.О. Алгебра і теорія чисел. Практикум: В 2-х ч. - К.: Вища шк., 1983. - Ч.1 - 232с.

6. Окунев Л. Я. Сборник задач по высшей алгебре. - М.: Просвещение, 1964.

7. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Наука, 1974.- 384с.

Размещено на Allbest.ru

...