Центр поверхности второго порядка
Доказательство теоремы общей декартовой системы координат при условии не асимптотического направления уравнений. Определение координат для произведения двух линейных множителей. Способы параллельного переноса декартового комплекса второго порядка.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 27.11.2014 |
| Размер файла | 66,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Северо-Восточный федеральный университет им. М.К. Аммосова
Институт математики и информатики
Кафедра алгебры и геометрии
РЕФЕРАТ
по направлению: Математика
ЦЕНТР ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПРЯДКА
В данной работе рассмотрено тема «центры поверхности второго прядка». Работа состоит из теоретической и практической частей. В теоретической части работы три параграфа, раскрывающих заданную тему.
Практическая часть работы содержит четыре примера по нахождению центра поверхности второго порядка.
Цель: изучить центр поверхности второго порядка.
Задача:
1. Уметь использовать метод преобразования при решении задач;
2. Уметь делать выводы;
3. Развить навыки решения задач по данной теме.
Определение 1. Центром поверхности второго порядка называется центр симметрии этой поверхности.
Докажем, что начало координат является центром симметрии. Для этого нужно доказать две теоремы:
Теорема 1. Пусть относительно общей декартовой (или аффинной) системы координат Oxyz, задана поверхность второго порядка общим уравнением:
И прямая:
Не асимптотического направления, заданная своими параметрическими уравнениями. Для того чтобы начало координат был центром этой поверхности, необходимо и достаточно, чтобы в уравнение (1) отсутствовали члены первой степени x, y и z, т. е., чтобы a1, а2, а3 - были равны 0.
Доказательства необходимости.
Пусть начало координат является центром поверхности (1). Возьмем на этой поверхности произвольную точку М с координатами (x, y, z). Её координаты будут удовлетворять уравнению (1), а так как начало координат является центром симметрии поверхности (1), то уравнению (1) будут удовлетворять и координаты точки М' (-x, -y, -z), симметричной точке М относительно координат, т. е.:
Из этого соотношения (1) находим:
a1x + a2y + a3z = 0
Этому уравнению удовлетворяют координаты всех точек поверхности (1). Предположим, что хотя бы одно из чисел "a1, a2, a3" не равно нулю. Тогда все точки поверхности лежат в плоскости:
a1x + a2y + a3z = 0
Это может быть тогда и только тогда, когда уравнение (1) определяет две плоскости, совпадающие с плоскостью:
a1x + a2y + a3z = 0
На основание теоремы., левая часть уравнение (1) разлагается в произведение двух линейных относительно x, y, z множителей, одним из которых является форма:
a1x + a2y + a3z
F = (a1x + a2y + a3z) (Ax + By + Cz + D)
Плоскость, заданная уравнением:
(Ax + By + Cz + D) = 0
На основании сделанного выше замечание должна совпадать с плоскостью:
a1x + a2y + a3z = 0
a1 : a2 : a3 = A : B : CD = 0
И потому:
F = k (a1x + a2y + a3z) 2
Мы приходим к противоречию с тем, что в уравнение (1) хотя бы один из коэффициентов при x, y или z в первой степени отличен от нуля.
Что и требовалось доказать.
Теорема 2. Если относительно общей системы координат поверхность второго порядка задана общим уравнением:
То координаты "x0, y0, z0" ее центра определяются из системы:
Причем в случае несовместимости этой системы поверхность не имеет центра.
Доказательство.
Произведем параллельный перенос данной декартовой системы координат, при котором новым началом координат будет точка О' (x0, y0, z0). Обозначая старые координаты произвольные точки М через "x, y, z", а новые ее координаты- через "x', y', z", будем иметь:
x = x' + x0, y = y' + y0, z = z' + z0
И уравнение (1) примет вид:
F = a11x'2 + a22y'2 + a33z'2 + 2a12x'y' + 2a23y'z' + 2a31z'x' + 2 (a11x0 + a12y0 + a13z0 + a1) x' + 2 (a11x0 + a12y0 + a13z0 + a2) y' + 2 (a11x0 + a12y0 + a13z0 + a3) z' + F (" x0,y0,z0") = 0
Где:
"F (" x0,y0,z0) - результат подстановки координат (x0, y0, z0) точки O' в левую часть уравнения (1).
На основании теоремы 1 точка О' (x0, y0, z0) будет центром поверхности (1) тогда и только тогда, когда:
Что требовалось доказать.
Классификация поверхностей второго порядка по характеру места центров. теорема декартовый множитель
Пусть поверхность второго порядка задана общим уравнением:
F = a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a23yz + 2a31zx + 2a14x + 2a24y + 2a34z + a4 = 0
Относительно общей декартовой системы координат.
Рассмотрим матрицы:
В таблице даны необходимые и достаточные признаки характера места центров поверхности, заданной уравнением:
В самом деле, если каждое из уравнений (5) из является уравнением первой степени, т. е., в каждом из уравнений (5) хотя бы один из коэффициентов при x, y или z не равен нулю, то таблица сразу следует из «о» взаимном расположении трех плоскостей. Впрочем, эта таблица следует и из общей теории систем линейных уравнений.
Заключение
В данной работе были рассмотрены «центры поверхностей второго порядка». Так же были приведены примеры решений типовых задач для самостоятельной работы студента. Целью данной работы было закрепление пройденного материала.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Общее уравнение кривой второго порядка, преобразование систем координат. Классификация кривых по инвариантам, исследование уравнения кривой второго порядка. Изучение и примеры исследования инвариант поворота и параллельного переноса систем координат.
курсовая работа [654,1 K], добавлен 28.09.2019Основные свойства кривых второго порядка. Построение кривой в канонической и общей системах координат. Переход уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду. Исследование формы поверхности методом сечений и построение полученных сечений.
курсовая работа [166,1 K], добавлен 17.05.2011Уравнение для описания поверхности второго порядка в аффинной системе координат. Виды квадрики в прямоугольной системе координат: мнимый эллипсоид, гиперболоид, конус, параболоид, цилиндр, плоскости. Способы приведения квадрики к каноническому виду.
курсовая работа [4,5 M], добавлен 19.09.2012Эллипс, гипербола, парабола как кривые второго порядка, применяемые в высшей математике. Понятие кривой второго порядка - линии на плоскости, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением. Теоремма Паскамля и теорема Брианшона.
реферат [202,6 K], добавлен 26.01.2011Кривая и формы поверхности второго порядка. Анализ свойств кривых и поверхностей второго порядка. Исследование форм поверхности методом сечений плоскостями, построение линии, полученной в сечениях. Построение поверхности в канонической системе координат.
курсовая работа [132,8 K], добавлен 28.06.2009Нахождение координат треугольника по заданным вершинам. Условия перпендикулярности, параллельности и совпадения прямых. Уравнение плоскости, проходящей через точку. Составление канонических уравнений прямой, кривой второго порядка и поверхности.
контрольная работа [259,7 K], добавлен 28.03.2014Доказательство теоремы единственности для кривых второго порядка. Преимущества и недостатки разных способов доказательства теоремы единственности. Пучок кривых второго порядка. Методы решения теоремы единственности для поверхностей второго порядка.
курсовая работа [302,7 K], добавлен 22.01.2011Исследование кривой второго порядка. Определение типа кривой с помощью инвариантов. Приведение к каноническому виду, построение графиков. Исследование поверхности второго порядка. Определение типа поверхности. Анализ формы поверхности методом сечений.
курсовая работа [231,0 K], добавлен 28.06.2009Приведение уравнения к каноническому виду при помощи преобразований параллельного переноса и поворота координатных осей. Нахождение фокусов, директрис, эксцентриситета и асимптот кривой. Построение графика кривой в канонической и общей системах координат.
контрольная работа [133,5 K], добавлен 12.01.2011Понятие и сущность определителей второго порядка. Рассмотрение основ системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Изучение определителей n–ого порядка и методы их вычисления. Особенности системы из n линейных уравнений с n неизвестными.
презентация [316,5 K], добавлен 14.11.2014Роль идей и методов проективной геометрии в математической науке. Закономерности кривых второго порядка и кривых второго класса, основные теоремы Паскаля и Брианшона, описывающие замечательное свойство шестиугольника вписанного в кривую второго порядка.
курсовая работа [1,9 M], добавлен 04.11.2013Теория определителей в трудах П. Лапласа, О. Коши и К. Якоби. Определители второго порядка и системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Определители третьего порядка и свойства определителей. Решение системы уравнений по правилу Крамера.
презентация [642,7 K], добавлен 31.10.2016Теория инвариантов уравнения линии второго порядка от трех переменных, определение канонического уравнения. Общий пример решения задачи на определение вида и расположения поверхности, заданной относительно декартовой прямоугольной системы координат.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 02.06.2013Аналитическая геометрия. Декартова система координат, линии на плоскости и кривые второго порядка. Поверхности в трехмерном пространстве. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Элементы математического анализа. Основные правила комбинаторики.
отчет по практике [1,1 M], добавлен 15.11.2014Виды дифференциальных уравнений: обыкновенные, с частными производными, стохастические. Классификация линейных уравнений второго порядка. Нахождение функции Грина, ее применение для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями.
курсовая работа [4,8 M], добавлен 29.04.2013Система линейных уравнений. Общее и частные решения системы линейных уравнений. Нахождение векторного произведения. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Исследование функции на непрерывность. Тригонометрическая форма числа.
контрольная работа [128,9 K], добавлен 26.02.2012Исследование общего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (каноническим) формам. Инвариантность выражения АС-В2. Классификация линий второго порядка. Уравнения, определяющие эллипс и гиперболу. Директрисы кривых второго порядка.
курсовая работа [132,1 K], добавлен 14.10.2011Решение задач систем линейных алгебраических уравнений, матричных уравнений, методы Гаусса и Кремера. Нахождение длины и координат вектора и исчисление его скалярного произведения. Уравнение прямой и определение координат точек неравенства; пределы.
контрольная работа [220,9 K], добавлен 06.01.2011Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка, общий вид. Линейная зависимость векторов и функций. Определитель Вронского, практические примеры его нахождения. Неоднородные уравнения второго порядка, теорема и доказательство, решение.
презентация [272,9 K], добавлен 17.09.2013Вектор в декартовой системе координат как упорядоченная пара точек (начало вектора и его конец). Линейные операции с векторами. Базис на плоскости и в пространстве. Свойства скалярного произведения. Кривые второго порядка. Каноническое уравнение параболы.
учебное пособие [312,2 K], добавлен 09.03.2009
