Исследование функции и построение её графика. Элементы теории вероятностей. Комплексные числа
Определение наибольшего и наименьшего значения функции. Расчет площади криволинейной трапеции, объёма тела вращения. Приложение рядов к приближённым вычислениям. Абсолютная и относительная погрешности. Комплексные числа в расчёте физических величин.
| Рубрика | Математика |
| Вид | практическая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.11.2014 |
| Размер файла | 528,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Содержание
Практическая работа 1. Исследование функции и построение её графика
Практическая работа 2. Наибольшее и наименьшее значения функции
Практическая работа 3. Площадь криволинейной трапеции
Практическая работа 4. Объём тела вращения
Практическая работа 5. Приложение рядов к приближённым вычислениям
Практическая работа 6. Использование элементов теории вероятностей при решении практических задач
Практическая работа 7. Абсолютная и относительная погрешности
Практическая работа 8. Численное решение уравнений с одной переменной методом половинного деления
Практическая работа 9. Представление комплексных чисел в алгебраической, тригонометрической и показательной формах
Практическая работа 10. Применение комплексных чисел в расчёте физических величин
Практическая работа 1
Тема: исследование функции и построение её графика
Цель: научиться исследовать функции и строить графики с помощью производных первого и второго порядков.
Теоретический материал
Переменная y = f(x) является функцией от переменной x, если задана такая зависимость между этими переменными, которая позволяет для каждого значения x однозначно определить значение переменной y.
Совокупность всех тех значений, которые принимает аргумент х функции y = f(x), называется областью определения этой функции. Обозначается D(f).
Совокупность всех тех значений, которые принимает сама функция у, называется областью изменения этой функции. Обозначается E(f).
Нули функции - точки, в которых функция обращается в нуль. Это решения уравнения f(x) = 0 (точки пересечения графика с осью Ох).
Промежутки знакопостоянства функции - интервалы, на которых функция положительна (график расположен выше оси (Ох) или отрицательна (график расположен ниже оси Ох). Это решения неравенств f(x)> 0 и f(x)< 0.
Функция y = f(x) называется чётной, если при всех значениях аргумента f(-x) = f(x).
Функция y = f(x) называется нечётной, если при всех значениях аргумента f(-x) = -f(x). При этом имеется в виду, что если х входит в область определения, то и - х также входит в область определения.
Функция y = f(x) называется периодической, если существует такое число Т >0, что выполняется равенство f (x) = f (х±Т), верное при всех х.
Критическими точками функции y = f(x) называются точки, в которых производная обращается в нуль, а также точки, в которых производная не существует.
Точки экстремума функции - точки, лежащие внутри области определения, в которых функция принимает или самое большое (max) значение, или самое малое (min) значение по сравнению со значениями в близких точках. Экстремумом функции называется значение функции в точке экстремума.
Промежутки монотонности - это промежутки возрастания и убывания функции, т. е. интервалы, на которых функция или возрастает или убывает.
Кривая называется выпуклой вверх (выпуклой) на промежутке [a; c), если все точки кривой лежат ниже любой её касательной на [a;c),
где а< с < в (f ”(x)<0).
Кривая называется выпуклой вниз (вогнутой) на промежутке [c;b), если все точки кривой лежат выше любой её касательной на [c;b), (f”(x)> 0).
Точка М кривой, которая отделяет выпуклость от вогнутости, называется точкой перегиба графика функции.
Прямая параллельная оси Оу, называется вертикальной асимптотой графика функции y = f (x), если . Асимптота графика функции y = f (x), называется наклонной , если она пересекает ось Ох под углом , т.е. не под прямым углом. Частным случаем наклонной асимптоты является горизонтальная асимптота, параллельная оси Ох (ц = 0).
Пусть наклонная асимптота имеет вид у = kx + b, тогда:
Графиком функции y = f (x) называется множество точек плоскости с координатами (х; f (x)), где х пробегает область определения функции f (x).
Ход работы
При исследовании функции и изучении её свойств с целью построения графика находят:
1) область определения функции D(f) и, если возможно, область изменения E(f);
2) точки разрыва функции и промежутки непрерывности;
3) точки пересечения графика с осями координат;
4) промежутки знакопостоянства функции;
5) чётность, нечётность, периодичность;
6) критические точки функции, точки экстремума, экстремумы, промежутки монотонности;
7) промежутки выпуклости, вогнутости графика функции, точки перегиба;
8) асимптоты графика функции;
9) дополнительные точки (если это необходимо).
Строится график функции.
Пример.
Исследовать с помощью производной и построить график функции
Решение:
1)
2) - точка разрыва II-го рода (х = 0 - уравнение вертикальной асимптоты)
3) При
4)
при
при
5) Функция ни четная, ни нечётная, т.е. общего вида и непериодическая
6) Находим производную: при всех . Следовательно, всюду в функция возрастает.
Функция не имеет точек экстремума и экстремумов.
7)
а) при следовательно, при график вогнутый;
б) при следовательно, при .
8) а) прямая х = 0 (ось Оу) - вертикальная асимптота;
б) пусть наклонная асимптота имеет вид у = kx + b, тогда
у = х + 2 - уравнение наклонной асимптоты
Строим график функции
Задания для самостоятельной работы
Исследуйте средствами дифференциального исчисления функцию и постройте ее график
|
1 |
2 |
3 |
||
|
1 |
y = x2 - 5x + 4 |
y = x3 + x2 - 5x + 3 |
y = x3- x2 |
|
|
2 |
y = - x3+ x2 |
|||
|
y = 2 x3+ 3x2 - 5 |
y = x3+ 6x2+9x + 4 |
|||
|
3 |
||||
|
4 |
Практическая работа 2
Тема: наибольшее и наименьшее значения функции
Цель: научиться вычислять наибольшее и наименьшее значения функции и уметь применять полученные навыки при решении практических задач.
Теоретический материал
Наибольшее и наименьшее значения функции - самое большое или самое малое значение функции по сравнению со всеми возможными (в отличие от экстремумов, где сравнение ведётся только с близкими точками).
Ход работы
При вычислении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке находят:
1) производную f / (x);
2) критические точки;
3) значения функции в критических точках и на концах отрезка;
4) наибольшее и наименьшее значения функции.
Пример
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
f (x) = x3 - 3x2 + 4 на отрезке [1; 3]
Решение:
1) Функция f (x) непрерывна на отрезке [1; 3]. Находим f /(x) = 3x2 - 6x.
2) f /(x) = 0, 3x2 - 6x = 0, 3х(х - 2) = 0, х = 0, х = 2.
Критические точки х = 0, х = 2.
3) Отрезку [1;3] принадлежит лишь одна из этих критических точек, а именно х = 2. Вычислим значения функции f (x) в точке х = 2 и на концах отрезка х = 1 и х = 3.
f (2) = 23 - 3. 22 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0;
f (1) = 13 - 3. 12 + 4 = 1 - 3 + 4 = 2;
f (3) = 33 - 3. 32 + 4 = 27 - 27 + 4 = 4.
4) Таким образом, наибольшее значение функции равно 4 и оно достигается на правой границе отрезка в точке х = 3; наименьшее значение функции равно 0 и достигается ею во внутренней точке х = 2.
Задача. Электрическую лампочку можно передвигать по вертикальной прямой ОВ (см. рис.). На каком расстоянии от горизонтальной плоскости её следует поместить, чтобы в точке А этой плоскости получить наибольшую освещённость?
Освещенность вычисляется по формуле , где (сила света источника В).
За независимую переменную, с изменением которой менялось бы расстояние лампочки от плоскости стола, а следовательно, и освещенность можно выбрать любую из следующих величин: прежде всего саму величину , затем Взяв за независимую переменную угол и воспользовавшись тем, что , получим довольно простое выражение через :
Найдем наибольшее значение полученной функции в промежутке изменения независимой переменной . Дифференцируя , получим
.
Решая уравнение , находим, что функция в интервале имеет единственную критическую точку Так как на концах промежутка функция равна нулю, а , то при освещенность будет наибольшая.
Таким образом,
Это и есть искомая величина
Задания для самостоятельной работы
1. Найти наибольшее и наименьшее значения следующих функций:
|
1 |
2 |
3 |
||
|
1 |
y = 2x2 - 8x +1 |
y = x5 - 5x3 - 8 |
y = 2x3 -3x2 -12x+1 |
|
|
на отрезке [0; 3] |
на отрезке [0; 2] |
на отрезке [4; 5] |
||
|
2 |
y = 2x3-15x2+24x+3 |
y = 2x3+3x2 -12x -1 |
y = -x3- 3x2+ 9x -2 |
|
|
на отрезке [2; 3] |
на отрезке [-1; 2] |
на отрезке [-2; 2] |
||
|
3 |
y = 2x3 + 3x2 + 2 |
y = -x3+3x2+4 |
y = 2x3 - 9x2 - 3 |
|
|
на отрезке [-2; 1] |
на отрезке [-3; 3] |
на отрезке [-1; 4] |
||
|
4 |
y = x3-3x2 - 9x - 4 |
y = 2x3 + 3x2 |
y = x3 - 6x2 + 1 |
|
|
на отрезке [-4; 4] |
на отрезке [-1; 1] |
на отрезке [-1; 2] |
2. Над центром круглого стола радиуса r висит лампа. На какой высоте следует подвесить эту лампу, чтобы на краях стола получить наибольшую освещённость (см. рис.)?
Практическая работа 3
Тема: площадь криволинейной трапеции.
Цель: научиться вычислять с помощью интегралов площади различных фигур и уметь применять это при решении практических задач.
Теоретический материал
Теорема Ньютона - Лейбница
Пусть f - данная функция; F - её произвольная первообразная. Тогда:
Площадь криволинейной трапеции равна S = F(b) - F(a)
Ход работы при вычислении площади криволинейной трапеции:
1) определяем границы фигуры, площадь которой нужно найти;
2) выполняем рисунок;
3) вычисляем площадь криволинейной трапеции с помощью формулы Ньютона - Лейбница
Примеры:
1. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y = 3x2, прямыми x = 2, x = 4 и осью абсцисс.
Решение:
1) x = 2, x = 4 - границы фигуры (относительно оси Ox), площадь которой нужно найти;
2) выполняем рисунок:
3) вычисляем площадь:
Ответ: 56 ед2
2. Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми и осью ординат.
Решение:
1) у = 1, у = 3 - границы фигуры (относительно оси Oy), площадь которой нужно найти;
2) выполняем рисунок:
3) вычисляем площадь:
Ответ: 8 ед2
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
у = 5 - х2 и у = х - 1.
Решение:
1) определяем границы фигуры, площадь которой нужно найти:
5 - х2 = х - 1;
- х2 - х +5 +1 = 0;
- х2 - х +6 = 0;
х1 = - 3; х2 = 2.
2) выполняем рисунок:
3) вычисляем площадь:
Ответ: ед2
Задания для самостоятельной работы
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
|
1 |
2 |
3 |
||
|
1 |
и осью абсцисс |
и осью абсцисс |
||
|
2 |
и осью ординат |
, , и осью абсцисс |
, , и осью абсцисс |
|
|
3 |
и осью абсцисс |
и осью абсцисс |
и осью абсцисс |
|
|
4 |
, и осями координат |
, , и осью абсцисс |
и осью абсцисс |
функция объем площадь погрешность комплексный
Практическая работа 4
Тема: объём тела вращения
Цель: научиться вычислять с помощью интегралов объёмы тел вращения и уметь применять полученные знания при решении практических задач.
Теоретический материал
Интегральная формула для объёма:
где - площадь переменного сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси OX. Объём тела вращения вычисляется по формуле:
Ход работы при вычислении объёма тела вращения:
1) определяем границы тела, объём которого нужно найти;
2) выполняем рисунок;
3) вычисляем объём с помощью формулы:
(вращение вокруг Ох)
(вращение вокруг Оу)
Примеры:
1. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной синусоидой у = sin x и отрезком 0 ? х ? р оси абсцисс
Решение:
1) - границы тела вращения;
2) выполняем рисунок;
3) Вычисляем объем:
Ответ: ед3
2. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной ветвью параболы и отрезком 1 ? у ? 4 оси ординат.
Решение:
1) у = 1, у = 4 - границы тела вращения;
2) выполняем рисунок;
3) вычисляем объём:
Ответ: ед3
Задания для самостоятельной работы
Найти объём тела вращения:
|
1 |
2 |
3 |
||
|
1 |
у = 3х2, у = 0, х = 0, х = 2 Ох - ось вращения |
у = 7х, у = 0 х = 3, х = 5 Ох - ось вращения |
у = х2 , у = 0 х = -2, х = 6 Ох - ось вращения |
|
|
2 |
, , , Оу - ось вращения |
, , , Ох - ось вращения |
, , , Оу - ось вращения |
|
|
3 |
у = 9 - х2, у = 0, Оу - ось вращения |
у = 4 - х2, у = 0, Оу - ось вращения |
у = 16 - х2, у = 0, Ох - ось вращения |
|
|
4 |
у = х2- 4х +3, у = 0, х = 0, Оу - ось вращения |
y = sin x, у = 1, x = 0 Оу - ось вращения |
у = 7х, у = 2 Оу - ось вращения |
Практическая работа 5
Тема: приложение рядов к приближённым вычислениям
Цель: научиться выполнять приближённые вычисления с помощью рядов Тейлора и Маклорена и уметь применять полученные знания при решении практических задач.
Теоретический материал
Рядом Тейлора для функции f (x) в точке xo называется ряд вида
При ряд Тейлора называется рядом Маклорена
Ход работы при выполнении приближённых вычислений с помощью рядов:
1) разложить данную функцию в ряд Тейлора:
Или ряд Маклорена:
2) определить, сколько членов ряда надо взять, чтобы получить значение с требуемой точностью;
3) выполнить вычисления.
Примеры:
1. Вычислить число е, т.е. значение функции ех при х = 1, с точностью 0,001 (если известно, что е < 3).
Решение
Имеем
Тогда
причем абсолютная погрешность этого приближения равна
где
При получаем
При этом
где . Но так как , то
Число определим из неравенства
Имеем:
Достаточно взять, так как .
Следовательно,
Задание для самостоятельной работы
|
1 |
2 |
3 |
||
|
1 |
sin 18° c четырьмя верными знаками |
ln 1,2, с точностью до 0,01 |
с точностью до 0.0001 |
|
|
2 |
cos 15° c четырьмя верными знаками |
ln 1,5, с точностью до 0,01 |
с точностью до 0,0001 |
|
|
3 |
с точностью до 0,001 |
ln 1,7, с точностью до 0,01 |
с точностью до 0,0001 |
Практическая работа 6
Тема: использование элементов теории вероятностей при решении практических задач
Цель: научиться находить вероятность того или иного события, математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение случайной величины Х и применять полученные знания при решении практических задач.
Теоретический материал
Вероятностью события А называется отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных исходов испытания: P(A) =
Дискретной случайной величиной называется такая величина, число возможных значений которой либо конечное, либо бесконечное счётное множество, т. е. множество, элементы которого могут быть пронумерованы.
Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х с законом распределения:
|
X |
… |
… |
|||||
|
p |
… |
… |
Называется число
Дисперсией случайной величины (степенью рассеяния значений случайной величины относительно центра, т.е. математического ожидания) называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания
или
Средним квадратическим отклонением случайной величины называется величина Она характеризует примерный размах самого отклонения.
Ход работы при нахождении дисперсии и среднего квадратического отклонения дискретной случайной величины:
1) задать закон распределения этой величины (составить таблицу):
|
X |
… |
… |
|||||
|
p |
… |
… |
где - возможные значения случайной величины,
- их вероятности;
2) найти математическое ожидание М(Х) дискретной случайной величины Х по формуле:
3) найти дисперсию дискретной случайной величины по формуле:
или
4)найти среднее квадратическое отклонение случайной величины по формуле:
Примеры:
1. Дискретная случайная величина распределена по закону:
|
X |
-1 |
0 |
1 |
2 |
|
|
p |
0.2 |
0.1 |
0.3 |
0.4 |
Найти
Решение
Сначала находим
,
а затем
2. Вероятность того, что расход электроэнергии в колледже в течение одних суток не превысит установленной нормы, равна p = 0,85. Найти вероятность того, что в ближайшие 25 суток расход электроэнергии в течение 20 суток не превысит нормы.
Решение
Так как вероятность нормального расхода электроэнергии на протяжении каждых из 25 суток постоянна и равна p = 0,85, то вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна q = 1 - p = 1- 0,85 = 0,15.
По формуле Бернулли
находим искомую вероятность:
Задания для самостоятельной работы
Дискретная случайная величина распределена по закону:
|
1 |
2 |
3 |
|||||||||||
|
1 |
X |
-1 |
0 |
2 |
X |
1 |
0 |
2 |
X |
1 |
0 |
2 |
|
|
p |
0,2 |
0,1 |
0,15 |
p |
0,2 |
0,6 |
0,14 |
p |
0,7 |
0,3 |
0,14 |
||
|
2 |
X |
1 |
0 |
2 |
X |
-1 |
0 |
2 |
X |
-1 |
0 |
2 |
|
|
p |
0,3 |
0,1 |
0,15 |
p |
0,3 |
0,6 |
0,15 |
p |
0,8 |
0,5 |
0,15 |
||
|
3 |
X |
-1 |
0 |
2 |
X |
-1 |
0 |
2 |
X |
-1 |
0 |
2 |
|
|
p |
0,4 |
0,2 |
0,12 |
p |
0,7 |
0,1 |
0,12 |
p |
0,3 |
0,2 |
0,17 |
||
|
4 |
X |
1 |
0 |
2 |
X |
1 |
0 |
2 |
X |
1 |
0 |
2 |
|
|
p |
0,2 |
0,5 |
0,12 |
p |
0,7 |
0,4 |
0,11 |
p |
0,2 |
0,6 |
0,14 |
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Практическая работа 7
Тема: абсолютная и относительная погрешности
Цель: научиться находить абсолютную и относительную погрешности, границы абсолютной и относительной погрешностей, уметь применять приближённые вычисления при решении практических задач
Теоретический материал
Величина , где - точное значение числа, - его приближенное значение, называется абсолютной погрешностью числа а.
Границей абсолютной погрешности (её предельным значением) называется возможно меньшее число Д, про которое известно,
Относительной погрешностью числа а называется отношение абсолютной погрешности к абсолютному значению числа а: .
Границей относительной погрешности (её предельным значением) называется возможно меньшее число д, про которое известно, что или или , откуда следует, что .
В отличие от абсолютной, относительная погрешность всегда величина безразмерная, обычно выражаемая в процентах.
Ход работы при решении прикладных задач с использованием приближенных вычислений:
1)найти абсолютную погрешность числа по формуле:
, где - точное значение числа, - его приближенное значение;
2) найти относительную погрешность числа по формуле:
3) определить границы погрешностей;
4) выполнить вычисления.
Пример
При измерениях для длины l некоторого провода получено значение l = 50 ± 0,1 м, для диаметра d - значение d = 2 ± 0,1 мм. Вычислить границы относительных погрешностей длины и диаметра провода.
Решение
- граница абсолютной погрешности длины провода,
- граница абсолютной погрешности диаметра провода. Граница относительной погрешности числа a определяется по формуле:
где - граница абсолютной погрешности числа приближенное значение а.
Вычисляем границы относительных погрешностей длины и диаметра провода:
В процентах имеем:
Задания для самостоятельной работы
Найти абсолютную и относительную погрешности и границы погрешностей медного провода диаметром D мм и длиной l м , если:
|
1 |
2 |
3 |
||
|
1 |
D = 4 ± 0,2мм |
D = 2± 0,05 мм |
D = 3 ± 0,1мм |
|
|
l = 2350 ± 0,1 м |
l = 2250 ± 0,2 м |
l = 5350 ± 0,2, м |
||
|
2 |
D = 3 ± 0,2мм |
D = 4 ± 0,1мм |
D = 2 ± 0,1мм |
|
|
l = 5000 ± 0,5м |
l = 3350 ± 0,1 м |
l = 2000 ± 0,2 м |
||
|
3 |
D = 3 ± 0,2 мм |
D = 4 ± 0,3мм |
D = 4 ± 0,1мм |
|
|
l = 8300 ± 0,5м |
l = 4350 ± 0,1 м |
l = 2650 ± 0,2, м |
Практическая работа 8
Тема: численное решение уравнений с одной переменной методом половинного деления
Цель: научиться находить приближённое значение положительного действительного корня алгебраического уравнения
Теоретический материал
Теорема Декарта: Число положительных корней уравнения , где равно или на чётное число меньше числа перемен знаков в ряду коэффициентов уравнения.
Так как при замене «» на «» корни уравнения меняют знаки, то с помощью этой теоремы можно оценить и число отрицательных корней.
Теорема:
1) Если , где
где , и то
где - корень уравнения ,
2) Все положительные действительные корни уравнения находятся в промежутке r ? х ? R, а все отрицательные действительные корни уравнения находятся в промежутке
Теорема:
Если непрерывная функция f(x), определяющая алгебраическое уравнение f(x) = 0, на концах отрезка [a;b] принимает значения разных знаков, т. е. f(a)·f(b) < 0,и её первая производная сохраняет знак внутри этого отрезка, то на (a;b) находится ровно один действительный корень данного уравнения.
Ход работы:
1) графически определяем приблизительные границы промежутка , содержащего один положительный действительный корень данного алгебраического уравнения так, чтобы
2) разделим промежуток точкой на два одинаковых: и
Если , то корень содержится в промежутке .
Если же , то корень содержится в промежутке .
Предположим, для определённости, что корень находится в промежутке
3) Рассмотрим абсолютное значение разности
Если , то процесс нахождения приближённого значения следует закончить и в качестве взять величину
Если то следует разделить промежуток точкой на два одинаковых: и повторить все указанные действия до достижения заданной точности е.
Пример
Методом половинного деления найти приближённое значение положительного действительного корня уравнения с точностью до 0,1.
Решение
1) Данное уравнение преобразуем к виду
Строим графики функций , y = 2x + 1
Найдём абсциссы их точек пересечения
Из сравнения двух графиков видно, что положительный действительный корень уравнения расположен в промежутке, причём функция непрерывна во всех точках этого промежутка (её производная положительна при ), а на его концах принимает значения разных знаков, т.е. и .
2) Разделим промежуток 1? x ? 2 на два одинаковых:
1? x ? 1,5 и 1,5 ? x ? 2
Найдём значение функции в точке x = 1,5:
Следовательно, корень уравнения расположен в промежутке, так как , а
Рассмотрим абсолютное значение разности . Так как оно больше 0,2, вычисления продолжаем.
3) Разделим промежуток 1,5 ? x ? 2 на два одинаковых:
1,5? x ? 1,75 и 1,75 ? x ? 2
Найдём значение функции в точке x = 1,75:
Следовательно, корень уравнения расположен в промежутке так как , а
Рассмотрим абсолютное значение разности так как . Так как оно больше 0,2, вычисления продолжаем.
4) Разделим промежуток 1,5 ? x ? 1,75 на два одинаковых:
1,5? x ? 1,625 и 1,625 ? x ? 1,75.
Найдём значение функции в точке :
. Следовательно, корень уравнения расположен в промежутке 1,5 ? x ? 1,625, так как а .
Рассмотрим абсолютное значение разности Так как оно меньше 0,2, можно сделать вывод о том, что необходимая точность достигнута. В качестве возьмём величину
Итак, с точностью до 0,1, положительный действительный корень уравнения равен 1,56.
Задания для самостоятельной работы
Методом половинного деления с точностью до 0,01 найдите приближённое значение наибольшего действительного корня следующих алгебраических уравнений:
|
1 |
2 |
3 |
||
|
1 |
||||
|
2 |
Практическая работа 9
Тема: представление комплексных чисел в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.
Цель: научиться переводить комплексные числа из алгебраической в тригонометрическую и показательную формы.
Теоретический материал
Число вида z = x + i y, где х и у - любые действительные числа, а i - мнимая единица, определяемая равенством , называется комплексным числом.
Числа х и у называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа z и обозначаются: х = Re z, y = Im z.
Запись комплексного числа в виде z = x + i y называется алгебраической формой комплексного числа.
Комплексное число z = x + i y может быть изображено в декартовой координатной плоскости XОY либо точкой с абсциссой х и ординатой у, либо радиус-вектором этой точки:
Длина этого вектора называется модулем комплексного числа z и обозначается |z| или r:
|z|
Угол, образованный этим вектором с положительным направлением действительной оси Ох, называется аргументом числа z и обозначается Arg z.
Величина многозначна и определена с точностью до числа, кратного 2р. Значение , заключённое в пределах от , называется главным и обозначается |z| или : .
Два комплексных числа и считаются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части: , .
Два комплексных числа и , отличающиеся только знаком мнимой части, называются сопряженными.
Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа имеют вид:
z = ,
z = ,
где и - соответственно модуль и главное значение аргумента комплексного числа z.
Ход работы:
1) найти модуль комплексного числа по формуле:
;
2) найти главное значение аргумента комплексного числа по формуле:
3) представить комплексное число в тригонометрической и показательной формах, используя формулы:
z =
Пример
Представить в тригонометрической и показательной формах комплексное число .
Решение:
1) находим модуль комплексного числа:
2) находим главное значение аргумента комплексного числа z: так как вектор, изображающий число z лежит в I четверти и , то
3) находим тригонометрическую форму: , находим показательную форму:
Задания для самостоятельной работы
Представить в тригонометрической и показательной формах следующие комплексные числа:
|
1 |
2 |
3 |
||
|
1 |
1 - i |
-1 + i |
- 2 - 2i |
|
|
2 |
v3 + i |
- v2 + iv6 |
v3 + 2i |
|
|
3 |
-v3 + i |
v2 + iv6 |
- v3 + 2i |
|
|
4 |
5+ 2i |
4 - 5i |
4 + 2i |
Практическая работа 10
Тема: применение комплексных чисел в расчёте физических величин.
Цель: рассмотреть примеры применения комплексных чисел при расчётах электрических цепей.
Теоретический материал
В промышленных масштабах электрическая энергия производится, передается и расходуется потребителями в виде синусоидальных токов, напряжений и ЭДС. При расчете и анализе электрических цепей применяют несколько способов представления синусоидальных электрических величин (аналитический способ, временная диаграмма, графоаналитический способ, аналитический метод с использованием комплексных чисел). В электротехнике мнимая единица i обозначается буквой j, так как буквой i традиционно обозначается сила тока в цепи. Графически синусоидальные величины изображаются в виде вращающегося вектора. Совокупность векторов, изображающих синусоидальные величины (ток, напряжение, ЭДС) одной и той же частоты называют векторной диаграммой.
Ход работы:
1) по изображению векторной диаграммы записать формулы для силы тока, напряжения или ЭДС;
2) найти силу тока, напряжения или ЭДС при заданных условиях.
Пример. Дана векторная диаграмма неразветвлённой цепи переменного тока:
Вектор представляет вектор напряжения , модуль которого равен = 220 В, вектор представляет вектор напряжения , модуль которого равен = 127 В. Электрическая цепь составлена из двух последовательно включённых участков с напряжениями и .
Найти напряжение данного участка электрической цепи на зажимах.
Решение
Так как соединение последовательное, то:
В
Задание для самостоятельной работы
При данных условиях предыдущей задачи найти напряжение участка электрической цепи при параллельном соединении.
Литература
1. Пехлецкий И.Д. Математика, СПО. - М.: Академия, 2008.
2. Григорьев С.Г., Задулина С.В. Математика, СПО. - М.: Академия, 2009.
3. Спирина М.С., Спирин П.А. Теория вероятностей и математическая статистика, СПО. - М.: Академия, 2007.
4. Валуце И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. - М.: Наука, 1980.
5. Подольский В.А., Суходский А.М. Сборник задач по высшей математике. - М.: Высшая школа, 1974.
6. Башмаков М.И. Математика, 10 кл. - М.: Академия, 2009.
7. Башмаков М.И. Математика, 11 кл. - М.: Академия, 2009.
8. Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф. За страницами учебника математики. - М.: Просвещение, 1997.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Комплексные числа в алгебраической форме. Степень мнимой единицы. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Тригонометрическая форма. Приложение теории комплексных чисел к решению уравнений 3-й и 4-й степени. Комплексные числа и параметры.
дипломная работа [1,1 M], добавлен 10.12.2008Комплексные числа и комплексные равенства, их алгебраическая и тригонометрическая формы. Арифметические действия над комплексными числами. Целые функции (многочлены) и их свойства. Решение алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел.
лекция [464,6 K], добавлен 12.06.2011Нахождение пределов, не используя правило Лопиталя. Исследование функции на непрерывность, построение ее графика. Определение типа точки разрыва. Поиск производной функции. Поиск наибольшего и наименьшего значения функции на указанном ее отрезке.
контрольная работа [1,1 M], добавлен 26.03.2014Полное исследование функции с помощью производных, построение графика функции, нахождение ее наибольшего и наименьшего значения на отрезке. Методика вычисления неопределенных и определенных интегралов. Нахождение общего решения дифференциального уравнения
контрольная работа [133,4 K], добавлен 26.02.2012Правило нахождения точек абсолютного или глобального экстремума дифференцируемой в ограниченной области функции. Составление и решение системы уравнений, определение всех критических точек функции, сравнение наибольшего и наименьшего ее значения.
практическая работа [62,7 K], добавлен 26.04.2010Число как основное понятие математики. Натуральные числа. Простые числа Мерсенна, совершенные числа. Рациональные числа. Дробные числа. Дроби в Древнем Египте, Древнем Риме. Отрицательные числа. Комплексные, векторные, матричные, трансфинитные числа.
реферат [104,5 K], добавлен 12.03.2004Определение числа e, вычисление его приближенного значения и его трансцендентность. Анализ формул числа е с помощью рядов и пределов функции. Проявление числа e в реальной жизни и его практическое применение. Применение числа e в математических задачах.
курсовая работа [352,9 K], добавлен 17.05.2021Расчет первообразной, построение ее графика. Построение семейства первообразных при изменении произвольной постоянной от -10 до 10. Расчет площади площадь криволинейной трапеции. Поиск интеграла методом подстановки. Расчет длины кривой ro=a(1+сosphi).
контрольная работа [94,6 K], добавлен 02.11.2011Расчет частных производных первого порядка. Поиск и построение области определения функции. Расчет полного дифференциала. Исследование функции на экстремум. Поиск наибольшего и наименьшего значения функции в замкнутой области. Производные второго порядка.
контрольная работа [204,5 K], добавлен 06.05.2012Мнимые и действительные, равные и сопряжённые комплексные числа; модуль и аргумент. Арифметические действия над множеством комплексных чисел: сумма, разность, произведение, деление. Представление комплексных чисел на координатной комплексной плоскости.
презентация [60,3 K], добавлен 17.09.2013Вычисление первого и второго замечательных пределов, неопределенного и определенного интегралов, площади криволинейной трапеции, координат середин сторон треугольника с заданными вершинами. Определение критических точек и асимптот графика функции.
контрольная работа [138,8 K], добавлен 29.01.2010Системы линейных уравнений. Функции: понятия и определения. Комплексные числа, действия над ними. Числовые, функциональные, тригонометрические ряды. Дифференциальные уравнения. Множества, операции над ними. Теория вероятностей и математической статистики.
учебное пособие [4,7 M], добавлен 29.10.2013Двумерная функция распределения вероятностей случайных величин. Понятие условной функции распределения и плотности распределения вероятностей. Корреляция двух случайных величин. Система произвольного числа величин, условная плотность распределения.
реферат [325,3 K], добавлен 23.01.2011Нахождение наибольшего и наименьшего значения (экстремумы) функции в замкнутой ограниченной области. Геометрический и симплексный метод составления плана выпуска продукции, разложение в ряд Фурье по синусам непериодической функции, её график и сумма.
курсовая работа [282,7 K], добавлен 25.04.2011Основные понятия, действия над случайными событиями. Классическое определение, свойства вероятностей. Правила вычисления вероятностей случайных событий. Построение законов распределения вероятностей случайных величин, вычисление числовых характеристик.
задача [82,0 K], добавлен 12.02.2011Нахождение производных функций. Определение наибольшего и наименьшего значения функции. Область определения функции. Определение интервалов возрастания, убывания и экстремума. Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба. Производные второго порядка.
контрольная работа [98,4 K], добавлен 07.02.2015Определение наименьшего и наибольшего значения функции в ограниченной области и ее градиента; общего интеграла и общего и частного решения дифференциального уравнения. Исследование ряда на абсолютную сходимость с применением признаков Коши и Даламбера.
контрольная работа [107,2 K], добавлен 25.11.2013Методы вычислительной математики, работа с приближёнными величинами. Понятие абсолютной, предельной абсолютной и относительной погрешности приближённого числа. Выведение формулы предельной абсолютной и относительной погрешностей для заданной функции.
контрольная работа [85,3 K], добавлен 05.09.2010Расчет площади треугольника АВС, при условии, что размер каждой клетки равняется 1*1 см. Определение корня уравнения (4x+5)=5. Поиск значения выражения 7*5log52. Определение наибольшего значения заданной функции y=4x-4tgx+п-9 на отрезке [-п/4;п/4].
контрольная работа [13,5 K], добавлен 27.12.2013Построение графика непрерывной функции. Определение множителя Лагранжа. Критические точки - значения аргумента из области определения функции, при которых производная функции обращается в нуль. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
контрольная работа [295,5 K], добавлен 24.03.2009
