Показательная функция, ее свойства и график

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Показательная функция, ее свойства и график

Цель урока

Образовательная: Обобщить пройденный материал. Ввести определение показательной функции. Сформулировать её основные свойства. Показать построение графиков функции.

Развивающая: Создать условия для развития логического мышления, развивать умение анализировать и внимание.

Воспитательная: Воспитывать самостоятельность, расширить кругозор учащихся.

Вид учебного занятия: лекционно-практическое занятие

Тип урока: комбинированный

Методы обучения: словесный, объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый

Междисциплинарные связи: физика, информатика, естествознание, химия

Обеспечение урока: ПК, презентация

Литература:

1.М.И. Башмаков Математика - М.: Издательский центр «Академия», 2012. - 320 с.

Ход урока

1 Организационный момент

2. Проверка домашнего задания.

Сообщения о тригонометрических функциях

Представление тригонометрической функции.

Ученик.

Еще в четвертом веке у индийцев, в астрономических трудах,

Встречалось синуса понятье пока в одной - не разных четвертях.

Они назвали «дживой» хорду, что означает «тетива», и эту хорду, после половинку, за синус принимали все сперва.

Потом арабы слово исказили, назвали хорду они словом «джайб»,

А переводом «пазуха», «карман» ей были иль «выпуклость» - то знал тогда и раб.

Затем названье на латинском дали и это был двенадцатый уж век, тогда-то джайб и «синусом» назвали, и слово взял в работу человек. Символику английский математик в семнадцатом столетье предложил.

Фамилия - Норвурд, он много лет потратил и много сил в тот важный труд вложил!

Был синус с треугольниками связан, предложено обозначенье: S.

Но больше Эйлеру научный мир обязан: он ввел символику, какая есть сейчас.

Французский математик Жиль Пирсон впервые синусоиду построил.

С циклоидой тогда возился он, а заодно и графиком всех удостоил.

Затем явился сам Декарт, а с ним и «Геометрия» - его известный всем трактат -

И взлет тригонометрии!

2. Изучение нового материала.

Какая функция называется показательной?

Учебник, страница 245 (прочитать)

Записать определение показательной функции:

Повторение свойств степени (слайд) (игра в мяч)

2.1 Построить графики функций: и .



График показательной функции
y = ax, a > 1	y = ax, 0< a < 1

2.2Свойства показательной функции (стр. 245)+ презентация

Свойства показательной функции	y = ax, a > 1	y = ax, 0< a < 1
1. Область определения функции
2. Область значений функции
3. Промежутки сравнения с единицей	при x > 0, ax > 1	при x > 0, 0< ax < 1

при x < 0, 0< a^x < 1Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

при x < 0, ax > 1
4. Чётность, нечётность.	Функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида).
5. Монотонность.	монотонно возрастает на R	монотонно убывает на R
6. Экстремумы.	Показательная функция экстремумов не имеет.
7. Асимптота	Ось Ox является горизонтальной асимптотой.
8. При любых действительных значениях xи y;

2.3. Задание для самостоятельного выполнения (выполняется в тетради): В одной координатной плоскости построить графики функций:

y=2^x, y=3^x, y=5^x, y=10^x.

Сделать выводы.

График функции у=2^х мы уже строили, графики остальных функций строим аналогично, причем, достаточно будет найти значения функций при х=0 и при х=±1.

(Слайд презентации)

Выводы:

1) Переменная х может принимать любое значение (D (y)=R), при этом значение у всегда будет больше нуля (E (y)=R₊).

2) Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в нулевой степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как положительное число в любой степени не может быть равным нулю. Чем больше основание а (если a>1) показательной функции у=а^х, тем ближе расположена кривая к оси Оу.

3) Все данные функции являются возрастающими, так как большему значению аргумента соответствует и большее значение функции.

2.4 Сделать задание в тетради:

y=(¹/₂)^x, y=(¹/₃)^x, y=(¹/₅)^x, y=(¹/₁₀)^x. Сделать выводы. (Слайды презентации)

Смотрите построение графика функции y=(¹/₂)^x выше, графики остальных функций строим аналогично, вычислив их значения при х=0 и при х=±1.

1) Переменная х может принимать любое значение: D (y)=R, при этом область значений функции: E (y)=R₊.

2) Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в нулевой степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как положительное число в любой степени не может быть равным нулю.

3) Чем меньше основание а (при 0<a<1) показательной функции у=а^х, тем ближе расположена кривая к оси Оу.

4) Все эти функции являются убывающими, так как большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

2.5 Решить графически уравнения: (Слайды презентации)

1)) 3^x=4-x.



В одной координатной плоскости построим графики функций: у=3^х и у=4-х.

Графики пересеклись в точке А (1; 3). Ответ: 1.

2) 0,5^х=х+3.

Данное задание учащийся решает самостоятельно.

тригонометрический уравнение показательный

В одной координатной плоскости строим графики функций: у=0,5^х (y=(¹/₂)^x)

и у=х+3. Графики пересеклись в точке В (-1; 2). Ответ: -1.

3. Физминутка (3 мин): сидя откинувшись на спинку стула. Зажмурить глаза. Открыть веки, поморгать. Послушать музыку.

4. Работа по теме урока:

Учебник стр. 238 №39

Дополнительно:

Найти область значений функции: 1) y=-2^x; 2) y=(¹/₃)^x+1; 3) y=3^x+1-5.

(Слайды презентации)

Первый пример учитель объясняет подробно на слайде. Остальные учащиеся выполняют самостоятельно.

Решение.

1) y=-2^x

Область значений показательной функции y=2^x - все положительные числа, т.е.

0<2^x<+?. Значит, умножая каждую часть двойного неравенства на (-1), получаем:

- ?<-2^x<0.

Ответ: Е(у)=(-?; 0).

2) y=(¹/₃)^x+1;

0<(¹/₃)^x<+?, тогда, прибавляя ко всем частям двойного неравенства число 1, получаем:

0+1<(¹/₃)^x+1<+?+1;

1<(¹/₃)^x+1<+?.

Ответ: Е(у)=(1; +?).

3) y=3^x+1-5.

Запишем функцию в виде: у=3^х•3-5.

0<3^x<+?; умножаем все части двойного неравенства на 3:

0•3<3^x•3<(+?)•3;

0<3^x•3<+?; из всех частей двойного неравенства вычитаем 5:

0-5<3^x•3-5<+?-5;

- 5<3^x•3-5<+?.

Ответ: Е(у)=(-5; +?).

Что нового мы узнали на уроке?

Какую функцию называют показательной?

Какие виды показательной функции вы знаете?

5. Домашнее задание

№43 (1,2), стр. 285

6. Рефлексия

Что нового мы узнали на уроке?

Какую функцию называют показательной?

Какие виды показательной функции вы знаете?

Дополнительно (слайд)

Число одна из важнейших постоянных в математике. По определению, оно равно пределу последовательности при неограниченном возрастании n. Обозначение e ввёл Леонард Эйлер в 1736 г. Он вычислил первые 23 знака этого числа в десятичной записи, а само число назвали в честь Непера «неперовым числом».

Число e играет особую роль в математическом анализе. Показательная функция с основанием e, называется экспонентой и обозначается y = e^x.

Первые знаки числа e запомнить несложно: два, запятая, семь, год рождения Льва Толстого - два раза, сорок пять, девяносто, сорок пять.

Представление показательной функции.

Первый ученик. Слушайте, слушайте, слушайте внимательно! И тогда признаете обязательно: самая важная - функция показательная! На рисунке представлены графики этой функции (Рисунок 23. Рисунок 24). Историю представим мы немного, события расставив по порядку: вы знаете, еще 40 веков назад в египетском папирусе записан ряд. Про семь домов, где кошек 49, и каждая из них по 7 мышей съедает и тем всем столько зерен сохраняет, что мер 17000 составляет. Мы объяснили факт немножко, священна почему в Египте кошка.



Рис. 23	Рис. 24

Второй ученик. О том еще известна нам легенда, что как-то у арабского царя

Изобретатель шахматной доски, наверно потребовал за доску ту зерна. Причем за клетку первую - зерно, а за вторую - два просил изобретатель, за третью - снова больше раза в два, немало времени царь на подсчет потратил. Когда же подсчитали - прослезились: число двадцатизначно получилось! Хватило б зернами засеять нам всю сушу и миллионы лет пришлось зерно бы кушать.

Третий ученик. Все знают, что такое ростовщик. Тот человек проценты брать привык.

Они встречались в Вавилоне древнем, где пятую часть «лихвы» взимали в среднем!

Пятнадцатый век - рожденье банков, дающих деньги людям под процент, тогда и встал вопрос довольно ярко о дробном показателе, сомненья нет. Его развили математик Штифель, Оресм, Шюке, затем Исаак Ньютон. И в завершении Бернулли Иоганном был термин «показательной» введен. На множестве всех чисел он ее нам ввел, как открыватель функции в историю вошел.

Итак, показательная функция не случайно родилась, в жизнь органически влилась и движением прогресса занялась.

Четвертый ученик. Показательная функция, подобно линейной и квадратичной, очень часто реализуется в физических, биологических и иных законах. И это, конечно, не является случайностью. В жизни нередко приходится встречаться с такими фактами, когда скорость изменения какой-либо величины пропорциональна самой величине (размножение бактерий, ход химической реакции и т.д.). В этом случае рассматриваемая величина будет изменяться по закону, имеющему вид: y = y₀a^x.

1. По закону показательной функции размножалось бы все живое на Земле, если бы для этого имелись благоприятные условия, т.е. не было естественных врагов и было вдоволь пищи. Доказательство тому - распространение Австралии кроликов, которых там раньше не было. Достаточно было выпустить пару особей, как через некоторое время их потомство стало национальным бедствием.

2. Если бы все маковые зерна давали всходы, то через 5 лет число «потомков» одного растения равнялось бы 243 * 10¹⁵ или приблизительно 2000 растений на 1 м² суши.

3. Потомство комнатных мух за лето только от одной самки может составить 8 * 10¹⁴. Эти мухи весили бы несколько миллионов тонн, а выстроенные в одну цепочку, они составили бы расстояние, большее, чем расстояние от Земли до Солнца. Потомство пары мух за 2 года имело бы массу, превышающую массу земного шара. И только благодаря сообществу животных и растений, когда увеличение одного вида влечет за собой рост количества его врагов, устанавливается динамическое равновесие в природе.

Пятый ученик. 4. В природе, технике и экономике встречаются многочисленные процессы, в ходе которых значение величины меняется в одно и то же число раз, т.е. по закону показательной функции. Эти процессы называются процессами органического роста или органического затухания. Например, рост бактерий в идеальных условиях соответствует процессу органического роста; радиоактивный распад вещества - процессу органического затухания. Законам органического роста подчиняется рост вклада в Сберегательном банке, восстановление гемоглобина в крови, донора или раненого, потерявшего много крови, рост дрожжей, ферментов, микроорганизмов. Закон органического роста выражается формулой: N = N₀e^kt. По этому же закону изменяется количество древесины в дереве, что имеет большое значение для рационального ведения лесного хозяйства.

5. В природе и технике часто можно наблюдать процессы, которые подчиняются законам выравнивания, описываемым показательной функцией. Например, температура чайника изменяется со временем (согласно формуле Т = Т₀ + (100 - Т₀) е^-kt. Процессы выравнивания также можно наблюдать при включении и выключении электрического тока в цепи при падении тел в воздухе с парашютом. В биологии процесс выравнивания встречается при разрушении адреналина в крови; о работе почек судят по их способности выводить радиоактивные вещества, количество которых уменьшается по показательному закону.

6. Радий распадается в зависимости от времени по закону М = М₀ e^-kt, где: М₀ - начальное количество радия, k - некоторый коэффициент. Пользуясь этой формулой, ученые смогли подсчитать возраст Земли, то есть время, в течение которого радий смог распадаться нормально.

Шестой ученик. 7. Вы все слышали о цепных реакциях, теорию которых в 20-х годах описал молодой химик Н.Н. Семенов, а потом развили ученые-атомщики. Как управлять этим процессов в мирных целях? На этот вопрос можно ответить только при помощи знаний о показательной функции. 8. Давление атмосферы, выраженное в миллиметрах ртутного столба, меняется по закону: , где h - высота точки над уровнем моря (в м). Эту формулу используют геодезисты для барометрического инвелирования, то есть для определения разности высот над уровнем моря двух точек на земной поверхности.

9. При прохождении света через мутную среду каждый слой этой среды поглощает строго определенную часть падающего на него света. Сила света I определяется по формуле:

I = I₀e^-ks, где: s - толщина слоя, k - некоторый коэффициент, характеризующий мутную среду.

Подобный же закон будет характеризовать процесс поглощения газа соответствующей средой, изменение скорости ветра и т.п.

10. Закон охлаждения. Пусть Т₁ - температура тела, Т₀ - температура окружающей среды, где Т₁>Т_0, Тогда температура тела Т будет меняться по закону: Т = Т₀ + (Т₁ - Т₀) е^-kt, где k - некоторый коэффициент, зависящий от природы охлаждающего тела.

Пример, на рис изображен график, показывающий процесс остывания расплавленного парафина. Если коэффициент будет не известен, то необходимо опытным путем узнать температуру Т₂ в какой-нибудь момент времени t₂. Тогда: Т₂ = Т₀ + (Т₁ - Т₀) е^-kt, Откуда найдем: Следовательно:

Седьмой ученик. Многообразные применения показательной (или её ещё называют, экспоненциальной) функции вдохновили английского поэта Элмера Брила на написание «Оды экспоненте», отрывок из которой гласит:

«…Ею порождено многое из того, что «достойно упоминания»,

Как говорили наши англосаксонские предки. Могущество её порождений

Заранее обусловлено её собственной красотой и силой, Ибо они суть физическое воплощение

Абстрактной идеи е. Английские моряки любят и знают её

Под именем «Гунтер». Две шкалы Гунтера - вот чудо изобретательности.

Экспонентой порождена логарифмическая линейка: у инженера и астронома не было

Инструмента полезнее, чем она. Даже изящные искусства питаются ею.

Разве музыкальная гамма не есть набор неперовых логарифмов? И таким образом нечто абстрактно красивое стало предком одного из величайших человеческих достижений»

Размещено на Allbest.ru

...