Решение линейных уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Понятие о комплексном решении однородного линейного уравнения

Говоря о решении дифференциального уравнения, предполагаем, что это решение -- действительная функция. Однако для однородного линейного уравнения наряду с действительными решениями следует ввести понятие комплексного решения. Дадим сначала понятие о комплексной функции от действительной переменной. Пусть даны две действительные функции u(x) и v(x), определенные в интервале (a, b).

Функцию

y(x) = u(x) + iv(x) ? (i = ) (10.6)

будем называть комплексной функцией от действительной переменной x, определенной в интервале (a, b). При этом функции u(x) и v(x) называются действительной и мнимой частями комплексной функции y(x).

Примером комплексной функции от действительной переменной является показательная функция с чисто мнимым показателем e^ix, которая определяется равенством (формула Эйлера)

e^ix = cos x + i sin x.

Функции cos x и sin x являются действительной и мнимой частями комплексной функции e^ix. Так как они определены при всех значениях x, то и функция e^ix определена при всех значениях x.

Аналогично определяется показательная функция более общего вида e^бx, где линейный дифференциальный полином уравнение

б = a + ib



причем a и b -- действительные числа:

e^бx = e^{(a + ib)x} = e^ax + e^ibx = e^ax(cos bx + i sin bx) = e^axcos bx + ie^axsin bx.

Здесь действительная и мнимая части e^axcos bx, ie^axsin bx, а вместе с ними и функция e^бx определены при всех значениях x.

Введем понятие о производной комплексной функции действительной переменной. Предположим, что действительная и мнимая части комплексной функции (10.6)

y(x) = u(x) + iv(x) ? (i = )

имеют производную k-го порядка. Тогда производная k-го порядка этой функции определяется так:

y^(k) (x) = u^(k) (x) + iv^(k) (x). (10.7)

Используя формулу (10.7)

^y(k) ^{(x) = u}(k) ^{(x) + iv}(k) ^(x),

можем вычислить значение оператора L от комплексной функции действительной независимой переменной. При этом получим

L(u(x) + iv(x)) = L(u(x)) + iL(v(x)), (10.8)

т. е. значение оператора L от комплексной функции (10.6)

y(x) = u(x) + iv(x)



(i = ) является комплексной функцией действительной переменной x; причем действительной и мнимой частями этой функции являются значения оператора L от действительной и мнимой частей функции (10.6)

y(x) = u(x) + iv(x) ? (i = ).

Дадим теперь понятие о комплексном решении однородного линейного уравнения L(y) = 0. Функция (10.6)

y(x) = u(x) + iv(x) ? (i = )

называется комплексным решением уравнения L(y) = 0 в интервале (a, b), если она обращает это уравнение в тождество

L(u(x) + iv(x)) ? 0, (10.9)

справедливое при всех значениях x из интервала (a, b). Тождество

(10.9)L(u(x) + iv(x)) ? 0, в силу (10.8)L(u(x) + iv(x)) = L(u(x)) + iL(v(x))

равносильно следующему тождеству:

L(u(x)) + iL(v(x)) ? 0,

откуда вытекает, что

L(u(x)) ? 0, L(v(x)) ? 0 ?(a < x < b),

а это означает, что функции u(x) и v(x) являются решениями однородного уравнения L(y) = 0.

Таким образом, действительная и мнимая части комплексного решения однородного линейного уравнения являются действительными решениями этого уравнения, так что знание одного комплексного решения дает возможность найти два действительных решения.

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

2. Характеристическое уравнение линейного дифференциального уравнения

Рассмотрим линейное уравнение n-го порядка

L(y) ? y ⁽ⁿ⁾ + a₁ y ^{(n - 1)} + … + a_{n - 1} y ' + a_n y = f (x), (12.1)

где коэффициенты a₁, a₂, …, a_n суть действительные числа, а правая часть f (x) непрерывна в некотором интервале (a, b) (a ? - ?, b ? + ?).

Так как интегрирование неоднородного линейного уравнения приводится к интегрированию соответствующего однородного уравнения, то рассмотрим сначала вопрос о построении общего решения однородного уравнения

L(y) ? y ⁽ⁿ⁾ + a₁ y ^{(n - 1)} + … + a_{n - 1} y ' + a_n y = 0. (12.2)

Для нахождения общего решения этого уравнения достаточно знать фундаментальную систему решений. Так как коэффициенты уравнения постоянны и, следовательно, заведомо непрерывны при всех значениях x, то согласно теореме Пикара и все решения уравнения (12.2)

L(y) ? y (n) + a1 y (n - 1) + … + an - 1 y ' + an y = 0



определены при всех значениях x. Поэтому в дальнейшем мы не будем указывать ни интервал существования частных решений, ни область задания общего решения.

Эйлер доказал, что для однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами всегда можно построить фундаментальную систему решений, состоящую из элементарных функций, и, следовательно, это уравнение всегда интегрируется в элементарных функциях. Ниже это утверждение доказывается для уравнения второго порядка и распространяется на уравнение n-го порядка.

Рассмотрим уравнение второго порядка

L(y) ? y '' + py ' + qy = 0, (12.3)

где p и q -- действительные числа. Будем, следуя Эйлеру, искать частное решение уравнения (12.3)

L(y) ? y '' + py ' + qy = 0 в виде

y = eлx, (12.4)

где л -- подлежащее определению число (действительное или комплексное). Согласно определению решения функция (12.4)

y = eлx

будет решением уравнения (12.3)

L(y) ? y '' + py ' + qy = 0,

если л выбрано так, что функция (12.4)y = eлx обращает это уравнение в тождество

L(eлx) ? 0. (12.5)

Вычисляя L(eлx), т. е. подставляя функцию (12.4)y = eлx в левую часть уравнения (12.3)

L(y) ? y '' + py ' + qy = 0

и принимая во внимание, что

(eлx)(k) = лk eлx, (12.6)

будем иметь

L(e^лx) = (e^лx)'' + p(e^лx)' + q(e^лx) = (л² + pл + q)e^лx,

так что

L(e^лx) = (л² + pл + q)e^лx (12.7)

или

L(e^лx) = P(л)e^лx,

где

P(л) = л² + pл + q.

л² + pл + q = 0. (12.8)



Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его корни -- характеристическими числами уравнения (12.3)

L(y) ? y '' + py ' + qy = 0.

Заметим, что характеристическое уравнение (12.8)

л2 + pл + q = 0

может быть составлено по данному дифференциальному уравнению (12.3)

L(y) ? y '' + py ' + qy = 0

заменой y '', y ' и y на л2, л и 1, т. е. степень л совпадает с порядком производной, если условиться считать, что производная нулевого порядка от функции есть сама функция y(0) ? y.

Структура фундаментальной системы решений, а вместе с ней и общего решения уравнения (12.3)

L(y) ? y '' + py ' + qy = 0

зависит от вида корней характеристического уравнения (12.8)

л2 + pл + q = 0.



3. Интегрирование однородного линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае различных корней характеристического уравнения

Рассмотрим сначала случаи, когда эти корни различные и действительные. Обозначим их через л₁ и л₂. Тогда, подставляя в формулу

(12.4)y = eлx

вместо л числа л1 и л2, получим два частных решения уравнения (12.3)

L(y) ? y '' + py ' + qy = 0

y1 = , y1 = . (12.9)

Эти решения, очевидно, линейно независимы, так как их отношение

=

не равно тождественно постоянной величине. В линейной независимости решений (12.9)

y1 = , y1 =

можно убедиться также при помощи определителя Вронского. Имеем

W(x) = = (л2 - л1) ? 0.



Следовательно, частные решения y₁ = , y₁ = образуют фундаментальную систему решений. Тогда общим решением уравнения (12.3)

L(y) ? y '' + py ' + qy = 0 будет

y = C1 + C2 .

Предположим теперь, что корни характеристического уравнения комплексные. Так как коэффициенты этого уравнения действительные, то эти комплексные корни являются сопряженными, так что они имеют вид

л1 = a + bi, л2 = a - bi.

Подставляя корень

л1 = a + bi в формулу (12.4)y = eлx,

получим комплексное решение

y = e(a + bi)x. (12.10)

Но

e(a + bi)x = eax eibx = eax(cos ax + i sin bx),

поэтому решение (12.10)

y = e(a + bi)x можно записать так:

y = eaxcos ax + i eaxsin bx. (12.11)



Отделяя в комплексном решении (12.11)

y = eaxcos ax + i eaxsin bx

действительную и мнимую части, получим два действительных частных решения

y1 = eaxcos ax, y2 = eaxsin bx. (12.12)

Эти решения, очевидно, независимы, так как

? const.

Аналогично убеждаемся, что сопряженному корню

л2 = a - bi

соответствуют действительные частные решения

eaxcos ax, - eaxsin bx. (12.13)

Если корни л1 и л2 чисто мнимые, т. е.? л1 = ib ? и ? л2 = - ib,? то им соответствуют линейно независимые частные решения вида

y1 = C1 cos ax, ?y2 = C2 sin bx. (12.14)

Эти решения образуют фундаментальную систему решений уравнения (12.3)



L(y) ? y '' + py ' + qy = 0, а

y = C1cos ax + C2sin bx

есть общее решение этого уравнения.

Случай кратных корней характеристического уравнения

Предположим теперь, что характеристическое уравнение (12.8)

л2 + pл + q = 0

имеет равные корни

л1 = л2 = - .

Нам надо найти два линейно независимых частных решения. Одним частным решением, очевидно, будет

y1 = (12.15)

y1 = . (12.15, а)

Убедимся непосредственной подстановкой в уравнение (12.3)

L(y) ? y '' + py ' + qy = 0 в том, что

y2 = x (12.16)

есть второе частное решение уравнения (12.3)

L(y) ? y '' + py ' + qy = 0,

линейно независимое с решением (12.15)



y1 = :

= - x,

= - p + x. (12.17)

Поэтому

L(x) = - px + x + px - x + qx = - + q x ? 0 (12.18)

- q = 0.

Общим решением уравнения (12.3)

L(y) ? y '' + py ' + qy = 0 будет

y = (C1 + C2x).

Подбор частных решений линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью.

4. Случай для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью имеющей вид полинома от x степени m

Для уравнения с постоянными коэффициентами в случае, когда правая часть имеет специальный вид, удается найти частное решение методом неопределенных коэффициентов (методом подбора частных решений).

Рассмотрим этот метод для уравнения n-го порядка вида

L(y) ? y (n) + a1 y (n - 1) + … + an - 1 y ' + an y = Pm (x)e бx, (14.1)

где a1, …, an -- действительные числа, б -- действительное число, Pm (x) -- полином от x степени m, которая может быть равной нулю, так что этот полином может вырождаться в число, отличное от нуля.

Метод неопределенных коэффициентов состоит в том, что задается вид частного решения с неопределенными коэффициентами, которые определяются подстановкой в данное уравнение. Вид частного решения уравнения зависит от того, совпадает ли число б с корнями характеристического уравнения:

1. Если б не является корнем характеристического уравнения, то частное решение имеет вид

y1 = Qm (x)e бx,

где Qm (x) -- полином степени m с коэффициентами, подлежащими определению.

2. Если б является корнем характеристического уравнения кратности k, то

y1 = xk Qm (x)e бx,

т. . частное решение приобретает множитель xk.

Случай для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью имеющей вид:

e бx(P1 (x)cos bx + P2 (x)sin bx).



Рассмотрим уравнение

L(y) ? y (n) + a1 y (n - 1) + … + an - 1 y ' + an y = e бx(P1 (x)cos bx + P2 (x)sin bx), (14.2)

где б и b -- действительные числа, P1 и P2 -- полиномы от x, старшая степень которых равна m, так что один из них обязательно имеет степень m, а степень другого не превосходит m, и он может быть даже тождественно равен нулю. Составим комплексное число б + ib, где действительная часть б есть коэффициент показателя множителя e бx, а мнимая часть b -- коэффициент аргумента bx функций cos bx и sin bx. Укажем вид частного решения уравнения.

L(y) ? y (n) + a1 y (n - 1) + … + an - 1 y ' + an y = e бx(P1 (x)cos bx + P2 (x)sin bx) в двух случаях:

1. Если число б + ib не является корнем характеристического уравнения, то

y1 = e бx(Q1 (x)cos bx + Q2 (x)sin bx),

где Q1 и Q2 -- полиномы степени m с неопределенными коэффициентами; причем надо брать оба эти полинома даже в том случае, когда один из полиномов P1 и P2 тождественно равен нулю. Если число б + ib есть корень характеристического уравнения кратности k, то

y1 = xke бx(Q1 (x)cos bx + Q2 (x)sin bx),

т. е. частное решение приобретает множитель xk.

Размещено на Allbest.ru

...