Елементи комбінаторики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вступ

Усі процеси, що відбуваються у природі чи людському суспільстві, є наслідком взаємодії багатьох факторів. Для того щоб вивчити ці процеси і надалі керувати ними, необхідно з'ясувати, яку роль у досліджуваному процесі відіграє кожний фактор окремо. Наприклад, у разі вивчення руху тіла слід з'ясувати, які сили спричинюють його рух, а які гальмують; яким чином саме рухоме тіло впливає на ті сили, що діють на нього.

Досліджуючи процес зміни курсу деякої валюти, скажімо гривні, потрібно з'ясувати вплив багатьох економічних і соціальних факторів як внутрішніх, так і зовнішніх, що можуть істотно змінювати курс національної валюти щодо долара, німецької марки і т. ін.

Усі зазначені фактори необхідно подати з допомогою певних кількісних оцінок, а далі -- скористатися відповідними математичними методами. Отже, щоб мати змогу застосувати математичні методи з метою вивчення взаємодії тих чи інших факторів, слід уміти виражати дію кожного з них кількісно.

Щоб дістати потрібні числові дані, необхідно провести серію спостережень. Отже, спостереження є найважливішою ланкою будь-якого експерименту. Слід, проте, ураховувати, що жодний найретельніше підготовлений експеримент не дозволяє виокремити саме той фактор, який для нас головний. Адже в здійснюваному експерименті ми не в змозі вилучити численні зайві фактори, які нас не цікавлять. Так, вивчаючи падіння тіла, ми не уникнемо дії на нього сил, зумовлених обертанням Земної кулі.

Отже, кожне спостереження дає нам лише наслідок взаємодії основного фактора, який нас цікавить, з багатьма сторонніми, другорядними. Деякі з них потрібно й можна враховувати в дослідженнях. Урахування ж решти факторів або в принципі неможливе, або недоцільне з якихось міркувань. Тому за реальних умов під час дослідження будь-якого процесу застосовують метод його формалізації, беручи до уваги лише ті фактори, які істотно впливають на зазначений процес.

Водночас усі ті фактори, якими експериментатор нехтує, загалом відбиваються на наслідках експерименту, надаючи їм неоднозначності.

Математична наука, що вивчає закономірності масових подій, називається теорією ймовірностей.

Науку, що використовує теорію ймовірностей для обробки численних одиниць інформації як наслідків експерименту, називають математичною статистикою.

1. Елементи комбінаторики

1.1 Основні принципи комбінаторики

Досить поширеними є задачі, в яких треба знайти або число можливих розміщень предметів, або число способів, якими можна здійснити деякий вибір, тощо. Такі задачі називають комбінаторними, а галузь математики, яка вивчає теорію скінченних множин, комбінаторикою. Найпростіші задачі комбінаторики вимагають підрахунку числа підмножин заданої множини. Основними принципами (правилами) комбінаторики є принцип суми і принцип добутку.

Принцип суми. Якщо множина A містить п елементів, а множина В -т елементів і А ? В = Ш, то множина AUВ містить п + т елементів.

Справді, елементи множини А занумеруємо від 1 до п. Серед них немає елементів з множини В, оскільки А ? В = 0. Отже, коли ми переходимо до підрахунку елементів, що належать множині В, то починаємо з номера п +1. Далі буде номер п + 2, п + 3 , ..., п + т, оскільки в множині В за умовою т елементів. Цим усі елементи множини AUВ буде вичерпано, вони дістануть номери від 1 до п + т.

Правило суми можна сформулювати ще й так: якщо якийсь вибір А можна здійснити п способами, а другий вибір В можна здійснити т способами, то вибір А або В можна здійснити п + т способами.

Принцип суми за індукцією поширюється на к множин.

Принцип добутку. Нехай маємо дві множини:

А={a₁ ,а₂ , ..., a_n }, В={b₁ b₂ , ..., b_n }.

Тоді множина всіх можливих пар

С={(а_i , b_i )З i=1, 2, ..., п; j = 1, 2, ..., m} містить п-т елементів.

Розіб'ємо множину С на множини

С={(а₁ , b₁ ), (а₁ , b₂ ), …, (а₁ , b_m ) }

С={(а₂ , b₁ ), (а₂ , b₂ ), …, (а₂ , b_m ) }

С={(а_n , b₁ ), (а_n , b₂ ), …, (а_n , b_m ) }

Неважко помітити, що множини С₁ , С₂ , ..., С_n , попарно не перетинаються і C = C_l UC₂ U … UC_n . Оскільки кожна з підмножин С₁ , С₂ , ..., С_n ,містить т елементів, то за принципом суми число елементів в об'єднанні їх дорівнює п*т.

Наведені правила очевидним чином узагальнюються на випадки довільних скінченних об'єднань множин, що попарно не перетинаються, та на скінченні декартові добутки.

Правило добутку застосовується для підрахунку кількості об'єктів, що розглядаються як елементи декартових добутків відповідних множин. Отже, ці об'єкти являють собою скінченні послідовності - пари, трійки тощо.

Нагадаємо, що з точки зору математики послідовність довжини m елементів множини A - це функція, яка натуральним числам 1, 2, …, m ставить у відповідність елементи з A .

Означення . Розміщення з повтореннями по m елементів n -елементної множини A - це послідовність елементів множини A , що має довжину m .

Приклад. При A ={a , b , c } розміщення з повтореннями по два елементи - це пари (a ,a ), (a ,b ), (a ,c ), (b ,a ), (b ,b ), (b ,c ), (c ,a ), (c ,b ), (c ,c ).

Якщо |A |=n , то за правилом добутку множина всіх розміщень з повтореннями, тобто множина A^m =A ґA ґ…ґA , містить n^m елементів. Зокрема, якщо |A |=2, то розміщень з повтореннями 2^m . Зауважимо, що ці розміщення можна взаємно однозначно поставити у відповідність послідовностям з 0 і 1 довжини m .

У багатьох комбінаторних задачах об'єкти, кількість яких треба обчислити, являють собою послідовності, у яких перший елемент належить множині A ₁ , другий - A ₂ , тощо. Але досить часто множина A ₂ визначається лише після того, як зафіксовано перший член послідовності, A ₃ - після того, як зафіксовано перші два і т.д. Обчислимо, наприклад, кількість 7-цифрових телефонних номерів, у яких немає двох однакових цифр поспіль. Якщо на першому місці в номері є, наприклад, 1, то на другому може бути будь-яка з 9 інших цифр. І так само на подальших сусідніх місцях. Таким чином, тут |A ₁ |=10, |A ₂ |=|A ₃ |=…=|A ₇ |=9, і загальна кількість номерів є 10Ч9⁶ .

Розміщення та перестановки без повторень

Означення . Розміщення по m елементів n -елементної множини A , де m Јn - це послідовність елементів множини A , що має довжину m і попарно різні члени.

Приклади.

1. При A ={a , b , c } розміщення по два елементи - це пари (a ,b ), (a ,c ), (b ,a ), (b ,c ), (c ,a ), (c ,b ).

2. Розподіл n різних кульок по одній на кожний з m різних ящиків, m Јn . Ящики можна пронумерувати від 1 до m , кульки - від 1 до n . Тоді кожному розподілу взаємно однозначно відповідає послідовність довжини m попарно різних номерів від 1 до n .

Неважко підрахувати кількість послідовностей з прикладу 2. На першому місці може стояти будь-який із номерів 1, …, n . На другому - незалежно від того, який саме був на першому, будь-який із n -1, що залишилися. І так далі. За принципом добутку, таких послідовностей

комбінаторика добуток біном ньютон

n Ч(n -1)Ч…Ч(n -m +1),

або n !/(n -m )!. Цей добуток позначається або (n)_m або n^m .

Означення . Перестановка n елементів множини A без повторень - це розміщення по n елементів, тобто послідовність елементів множини A , що має довжину n і попарно різні члени.

Приклад. При A ={a , b , c } усі перестановки -це трійки (a ,b ,c ), (a ,c ,b ), (b ,a ,c ), (b ,c ,a ), (c ,a ,b ), (c ,b ,a ).

Очевидно, що кількість перестановок n елементів дорівнює кількості розміщень по m при m =n , тобто n !. Отже, nⁿ =n !.

3. Комбінації без повторень

Означення . Комбінація по m елементів n -елементної множини - це її m -елементна підмножина.

Приклади.

1. При A ={a , b , c } усі комбінації по два елементи - це підмножини {a ,b }, {a ,c }, {b ,c }.

2. Розподіл n різних кульок по одній на кожний з m однакових ящиків, m Јn . Оскільки ящики однакові, то розподіл взаємно однозначно визначається підмножиною з m кульок, що розкладаються.

З кожної m -елементної комбінації елементів n -елементної множини можна утворити m ! перестановок елементів цієї підмножини. Їх можна розглядати як розміщення по m елементів. Таким чином, кожні m ! розміщень із тим самим складом, але різним порядком елементів відповідають одній комбінації. Звідси очевидно, що кількість комбінацій є =. Ця кількість позначається або .

Правило добутку можна сформулювати ще й так: якщо якийсь вибір А можна здійснити п різними способами, а для кожного з цих способів деякий другий вибір В можна здійснити т способами, то вибір А і В у вказаному порядку можна здійснити п * т способами.

Приклад 1. З міста А у місто Б веде 6 шляхів, а з міста Б у місто В 4 шляхи (рис. 298). Скількома шляхами можна проїхати з містам у місто В1 Вибравши один із шести шляхів з міста А у місто Б, далі можемо вибрати шлях від Б до В чотирма способами. Тому на підставі правила добутку дістанемо 6 * 4 = 24.

Приклад 2. До міста А, Б і В додамо ще одне місто Г і кілька нових шляхів (рис. 299). Скількома маршрутами тепер можна дістатися з міста А у місто В?

Розглянемо два випадки: шлях проходить через місто Б або через місто Г. Для кожного з цих випадків за правилом добутку неважко під-| рахувати кількість маршрутів (для першого - 24, для другого - 6). За правилом суми маємо остаточно: 24 + 6 = 30. Отже, загальна кількість маршрутів 30.

Приклад 3. У крамниці продають 5 склянок, 3 блюдця і 4 ложки. Скількома способами можна купити два предмети з різними назвами?

Можливими є три випадки: перший - купують склянку з блюдцем, другий - склянку з ложкою, третій - блюдце і ложку. У кожному з цих випадків за правилом добутку неважко підрахувати кількість можливих варіантів: 15, 20 і 12. За правилом суми маємо остаточно: 15 + 20 + 12 = 47.

Сформулюємо тепер принцип (правило) добутку у загальному вигляді.

Нехай треба виконати одну за одною kдій. Якщо першу дію можна виконати n, способами, другу- п₂ способами,..., k-ту- п_k способами, то всі kдій разом можуть бути виконані n способами, де п =п₂ *п₂ *...* п_k .

1.2 Перестановки

Нехай треба підрахувати число способів, за якими можна розмістити в ряд nпредметів. Якщо дані предмети розглядати як елементи множини то кожне розміщення є скінченною множиною, елементи якої записано у певному порядку.

Скінченні множини, для яких істотним є порядок елементів, називаються впорядкованими. Вказати порядок розміщення елементів у скінченній множині з п елементів означає поставити у відповідність кожному елементу даної множини певне натуральне число від 1 до п .

Дві впорядковані множини називаються рівними, якщо вони складаються з тих самих елементів і однаково впорядковані. З цього випливає, що множини (а, b, с) і (b, с, а) - це різні впорядковані множини.

Означення. Будь-яка впорядкована множина, що складається з п елементів, називається перестановкою з п елементів.

Перестановки з п елементів складаються з одних і тих самих елементів, а відрізняються одна від одної лише порядком.

Наприклад, з елементів множини А = {1, 2, 3} можна утворити шість перестановок: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1).

Число перестановок у множині з п елементів позначають Р_п .

Доведемо, що

Р_п =n!,(1)

де п! = 1*2* ... *п .

Для доведення застосуємо метод математичної індукції.

1. Якщо п = 1, маємо Р_п =1 = 1!; тобто формула (1) виконується.

2. Припустимо, що для n = 1 рівність Р_к = k! виконується (п і k -натуральні числа).

Доведемо, що для п = k +1 виконуватиметься рівність

Р_{k +1} =(к + 1)!

На перше місце можемо поставити будь-який з k+ 1 елементів множини. Тоді kмісць, які залишилися, можна задавати будь-якою перестановкою з kелементів. Число таких перестановок Р_k . Таким чином, перестановку з k + 1 елемента даної множини можна розглядати як пару: на першому місці - елемент множини, на другому - перестановка з kелементів, що залишились (таких перестановок Р_k ). На підставі принципу добутку число всіх перестановок (всіх таких пар)

Р_{k +1} =(к + 1) Р_k ,(1)

З формули (2) дістаємо

Р_{k +1} =(к + 1) Р_k = Р_k * (к + 1) =k! * (k+1)=1*2*…*k* (k+1)=(k+1)!

Приклад 1. Скількома способами можна розмістити в один ряд червону, синю, чорну та зелену фішки?

Р₄ = 4! = 1*2*3*4 = 24.

Приклад 2. Скількома способами можна розмістити за столом 10 чоловік?

Р₁₀ =10! = 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10 = 3628800.

1.3 Розміщення

Нехай деяка множина складається з п різних елементів.

Означення. Розміщеннями з п елементів по kназиваються підмножини, що мають kелементів, вибраних з даних п елементів і розміщених у певному порядку (k<п).

Розміщення можуть відрізнятися одне від одного або самими елементами, або порядком їх розміщення.

Наприклад, нехай маємо три елементи: 1, 2, 3. Тоді розміщення з трьох елементів по два мають вигляд: (1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 1), (2, 3), (З, 2). Розміщення (1, 2) і (2, 1) відрізняються лише порядком. Вони утворюють два різних числа 12 та 21. Розміщення (1, 2) і (1, 3) відрізняються самими елементами. Вони утворюють два різних числа 12 і 13.

Кількість розміщень з даних п елементів по kпозначають через А^k _n , = k < п.

Доведемо, що

А^k _n = n(n-1)(n-2)...(n-(k-1)).(1)

Якщо множина містить п елементів, то при утворенні розміщень по одному елементу таких розміщень буде п (стільки, скільки елементів у множині). Отже, А^k _n = п.

Утворимо тепер розміщення з п елементів по два. Для цього візьмемо п розміщень по одному елементу і до кожного розміщення допишемо кожний з решти п -1 елементів даної множини. Таким чином, А^k _n = n(n-1).

Застосуємо метод математичної індукції. Припустимо, що для А² _n правильною є формула (1). Розміщення з п елементів по k + і можна розглядати як пару: на першому місці будь-яке розміщення з п елементів по k(їх кількість А^k _n ), на другому - будь-який елемент з решти п - kелементів. За правилом добутку дістанемо

А_n ^{k +1} = А_n ^k (n-k). (2)

Користуючись формулою (1), маємо

А_n ^{k +1} =п(п-1)(п-2)...(п-(k-і))(п-k) = = n(n- 1)(n - 2)...(n- (k-1))(n-(k +1-1)).

Оскільки

то формулу (1) можна записати ще так:

. (3)

Приклад 1. Скількома способами можна вибрати з 10 кандидатів три особи на три різні посади?

Для розв'язування задачі треба знайти число розміщень з 10 елементів по три. Отже, за формулою (1) маємо

A³ ₁₀ =10*9*8 = 720.

Приклад 2. Скільки трицифрових чисел з різними цифрами можна утворити з цифр 0, 1,2, 3, 4?

Загальна кількість трицифрових чисел з різними цифрами є кількістю

розміщень з 5 елементів по три, тобто А³ ₅ = 5 * 4 * 3 = 60. Проте із загальної кількості чисел треба відкинути числа, що починаються з нуля. Таких чисел стільки, скільки можна утворити розміщень з чотирьох цифр по два без нуля, тобто А² ₄ =4*3 = 12. Отже, шукана кількість трицифрових чисел дорівнює 60 - 12 = 48 .

1.4 Комбінації

Означення. Будь-яка підмножина з kелементів даної множини, яка містіть п елементів, називається комбінацією з п елементів по k.

З одного елемента можна утворити тільки одну комбінацію. З двох елементів а і bможна утворити дві комбінації по одному елементу і тільки одну комбінацію з двох елементів.

З трьох елементів a, b, cможна утворити такі комбінації: {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}.

Комбінації з п елементів даної множини по kможна також розглядати як розміщення з п елементів по k, які відрізняються принаймні одним елементом. Виникає запитання, як визначити кількість комбінацій з n елементів по k. Число комбінацій з п по kпозначається С^k _n . Доведемо, що

. (1)

Розглянемо множину, яка складається з п елементів, і комбінації, які складаються з kелементів. Всього комбінацій С^k _n . Якщо з кожної такої комбінації утворити всі можливі перестановки (їх буде Р_k = k!), то дістанемо всі можливі розміщення з п елементів по к, тобто число А^k _n . Отже,

А^k _n = Р_k *С^k _n , (2)

Звідки

Зауважимо, що за означенням покладають 0! = 1. Тому неважко помітити, що С¹ ₁ =1і Сⁿ _n = 1.

Приклад. Збори з 30 осіб вибирають трьох делегатів на конференцію. Скількома способами це можна зробити?

Із множини у 30 осіб треба вибрати підмножину з трьох осіб. Цеможна зробити способами .

1.5 Властивості комбінацій

Числа і т.д. зручно записати у вигляді такої трикутної таблиці:

Обчисливши значення кожного символу, дістанемо

Таку таблицю називають трикутником Паскаля. На «бічних сторонах» цього трикутника стоять одиниці, а "всередині", за властивістю 2, кожне число дорівнює сумі двох чисел, що стоять над ним: 2=1+1; 3=1+2; 4=1+3; 6=3+3 і т.д. Ця властивість дає можливість виписувати послідовно рядки трикутника Паскаля, не обчислюючи перед цим значення символів .

1.6 Біном Ньютона

З алгебри відомо формули скороченого множення:

(a + b)² =a² +2ab + b² ,

(а + b)³ = а³ + 3a² b + 3ab² + b² .

Коефіцієнти в правих частинах цих формул збігаються відповідно з другим і третім рядками трикутника Паскаля. Чи буде зберігатись ця закономірність для 4-го, 5-го і т.д. степеня суми?

Щоб відповісти на це запитання, розглянемо вираз (1 + х)^п , де п -натуральне число. Запишемо цей вираз як добуток співмножників:

Розкривши у правій частині дужки, дістанемо многочлен, який можна розмістити за степенями букви х. До цього многочлена ввійдуть усі степені х з показниками від 0 (вільний член) до п. Щоб записати цей многочлен, треба знайти його коефіцієнти. Нехай ціле число kзадовольняє нерівності 0 < k< n. З'ясуємо, який коефіцієнт має степінь х^к . Цей коефіцієнт дорівнює кількості подібних членів виду х^k , які дістанемо, розкривши дужки. Щоб дістати х^k , беремо в kдужках другий доданок, а в інших п-kдужках перший доданок, і перемножуємо їх. Такий вибір можна здійснити С^k _п способами. Отже, розкривши дужки, матимемо С^k _п подібних членів виду х^k . Після зведення подібних членів дістанемо відповідний член С^k _п x^k . Залишається надати kвсіх можливих значень k = 0, 1, 2, ..., п, і члени додати. Таким чином, можна записати:

або, використовуючи символ суми,

Нарешті, розглянемо вираз (а + b)^п . Подамо його у вигляді

Якщо позначити = х, то за формулою (2) дістанемо

Або

Формула (3) називається формулою бінома Ньютона.

Розгорнутий вигляд формули (3):

З формули (4) видно, що її коефіцієнти - це рядки трикутника Паскаля.

Поклавши у формулі (4) а = b= 1, дістанемо

Нехай маємо скінченну множину, яка містить п елементів. Тоді кількість підмножин цієї множини дорівнює 2ⁿ . Наприклад, для множини {a,b,c} маємо Ш, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}.

1.7 Формули включень і виключень

Кількість елементів об'єднання двох множин, що не перетинаються, є сумою їх кількостей. Але якщо множини перетинаються, то елементи перетину при цьому додаванні кількостей враховуються двічі. Тому їх кількість треба один раз відняти:

|A ИB |=|A |+|B |-|A ЗB |. (*)

При обчисленні |A ИB ИC | додавання |A |+|B |+|C | веде до того, що елементи кожного з перетинів |A ЗB |+|B ЗC |+|A ЗC | враховуються двічі, тому їх треба по одному разу відняти. Якщо перетин A ЗB ЗC порожній, то в результаті кожний елемент об'єднання враховано по одному разу, і все гаразд. Якщо ні, то в результаті елементи цього перетину тричі додаються і тричі віднімаються, тобто у виразі

|A |+|B |+|C |-|A ЗB |-|B ЗC |-|A ЗC |

не враховані. Отже, їх треба додати:

|A ИB |=|A |+|B |+|C |-|A ЗB |-|B ЗC |-|A ЗC |+|A ЗB ЗC |. (**)

Вирази (*), (**) наводять на припущення, що в загальному випадку об'єднання n множин A ₁ , A ₂ , …, A_n

|A ₁ ИA ₂ И…ИA_n |=|A ₁ |+|A ₂ |+…+|A_n |-|A ₁ ЗA ₂ |-|A ₁ ЗA ₃ |-…-|A_{n -1} ЗA_n |+|A ₁ ЗA ₂ ЗA ₃ |+…+|A_{n -2} ЗA_{n -1} ИA_n |-…+(-1)^{n +1} |A ₁ ЗA ₂ З…ЗA_n |. (1)

Як бачимо, кількості елементів усіх можливих перетинів непарної кількості множин додаються, а парної - віднімаються. Формула (1) називається формулою включень і виключень .

Доведення формули (1) можна провести з використанням індукції за n , але тут ми його не наводимо.

Ця формула дає змогу за кількостями елементів у кожній з множин, в усіх можливих їх перетинах по дві, по три і т.д. множини обчислити кількість елементів об'єднання.

Приклад. Є група студентів, серед яких каву п'ють 12 (це множина A ), чай - 10 (множина B ), йогурт - 8 (C ), каву і чай - 5 (A ЗB ), каву і йогурт - 4 (A ЗC ), чай і йогурт - 3 (B ЗC ), усі три напої - 1 (A ЗB ЗC ). Тоді всього студентів у групі 12+10+8-5-4-3+1=19.

За допомогою формули (1) можна обчислити кількість елементів деякої множини U , що не належать жодній з її підмножин A ₁ , A ₂ , …, A_n :

|U \(A ₁ ИA ₂ И…ИA_n )|=|U |-|A ₁ |-|A ₂ |-…-|A_n |+|A ₁ ЗA ₂ |+|A ₁ ЗA ₃ |+…+|A_{n -1} ЗA_n |-|A ₁ ЗA ₂ ЗA ₃ |-…-|A_{n -2} ЗA_{n -1} ИA_n |+…+(-1)ⁿ |A ₁ ЗA ₂ З…ЗA_n |. (2)

Формулу (2) також називають формулою включень і виключень.

Задачі

Задача№1

Умова задачі

Три стрілка роблять по одному пострілу по одній і тій же меті. Вірогідність ураження цілей рівні відповідно р ₁ = 0,9, р ₂ = 0,8, р ₃ = 0,7.

Знайти ймовірності того, що:

а) всі три стрілка потрапляють у ціль;

б) тільки один з них потрапляє в ціль;

в) хоча б один стрілець влучає в ціль.

Розв'язання

Позначимо події: А - всі 3 стрілка потрапляють у ціль; В - тільки один стрілець влучає в ціль; С - хоча б один стрілець влучає в ціль.

Вірогідність промахів рівні відповідно: q ₁ = 0,1, q ₂ = 0,2, q ₃ = 0,3.

а) Р (А) = р ₁ р ₂ р ₃ = 0,9 • 0,8 • 0,7 = 0,504.

б) Р (В) = p ₁ q ₂ q ₃ + q ₁ p ₂ q ₃ + q ₁ q ₂ p ₃ = 0,9 • 0,2 • 0,3 + 0,1 • 0,8 • 0, 3 + 0,1 • 0,2 • 0,7 = 0,092.

в) Подія С - Усі три стрілка хиблять. Тоді

Р (С) = 1 - Р (С) = 1 - 0,1 • 0,2 • 0,3 = 1 - 0,006 = 0,994.

Відповідь: 0,994.

Задача№2

Умова задачі Ймовірність появи події А рівна p = 4/5. Знайти ймовірність того, що в серії n = 8 випробувань дана подія з`явиться рівно k = 3 рази.

Розв'язання

Використаємо формулу Бернуллі, яка полягає в тому, що в серії з n незалежних випробувань, подія наступить рівно k разів:

де p = 4/5, n = 8, k = 3.

Відповідь: 0,0092.

Задача№3

Умова задачі У збиральний цех надходять 20 деталей з першого автомата, 40 деталей з другого, 10 деталей з третього, 30 деталей з четвертого. Імовірність браку з першого автомата рівна 0.1, з другого - 0.6, з третього - 0.2, з четвертого - 0.3. Визначити ймовірність того, що: - взята навмання деталь буде бракованою, - бракована деталь виготовлена на 1 автоматі.

Розв'язання

Нехай подія А полягає в тому, що деталь - бракована.

Події Н_і (і = 1..4) полягають в тому, що деталь надійшла з і-автомата.

Всього деталей: 20 + 40 + 10 + 30 = 100.

Події Н_і несумісні та утворюють повний простір подій:

H₁ + H₂ + H₃ + H₄ = Щ

Ймовірності цих подій такі:

P(H₁) = 20/100 = 0,2, P(H₂) = 40/100 = 0,4, P(H₃) = 10/100 = 0,1, P(H₄) = 30/100 = 0,3.

Умовні ймовірності того, що бракована деталь взята з і-автомата, рівні:

P(A|H₁) = 0,1, P(A|H₂) = 0,6, P(A|H₃) = 0,2, P(A|H₄) = 0,3.

Размещено на Allbest.ru

...