Загальні поняття про числові ряди

Размещено на http://allbest.ru

Размещено на http://allbest.ru

1. Загальні поняття про числові ряди

Нехай маємо скінченний набір чисел Існує число S, що являється сумою всіх чисел цього набору

Дія додавання чисел комутативна (переставна) в тому сенсі, що від перестановки доданків сума не змінюється:

і т. д.

Крім того, ця дія задовольняє асоціативному (сполучному) закону, згідно якого для знаходження суми декількох доданків ці доданки можна об'єднати в групи, знайти суми доданків, що входять в кожну із цих груп, і всі отримані суми додати. Наприклад:

Відмітимо, на кінець, ще дистрибутивний (розподільчий) закон додавання по відношенню до множення:

Нехай тепер маємо нескінченну послідовність чисел

які можуть бути як дійсними, так і комплексними.

Запишемо такий вираз:

(1)



Цей вираз позбавлений будь-якого змісту, оскільки операція додавання нескінченної множини чисел безпосередньо не виконувана.

Тому він представляє собою деякий символ, який ми і назвемо нескінченним рядом або просто рядом.

Для позначення ряду використовується також і коротка форма запису(читається: сума від 1 до ).

Числа називаються членами ряду. Якщо відомий закон, по якому для кожного можна знайти , то ряд вважається заданим; називають загальним членом ряду.

Очевидно, що зовсім несуттєво, який номер ми будемо приписувати першому по порядку члену ряду (1).

Зокрема, іноді зручно починати нумерацію членів з нульового члена. Тоді ряд (1) набере вигляду:

або .

збіжність числовий біноміальний гаусс

Розглянемо ряд і постараємося надати йому числового змісту. Будемо додавати підряд члени ряду, починаючи з першого. Результат, отриманий від додавання перших членів, називається -ною частинною сумою ряду (1)

Очевидно, перша, друга, третя і т. д. частинні суми ряду



-----------------------------

.......................................

складають нескінченну послідовність.

1.1 Збіжність числових рядів

Означення. Ряд називається збіжним, якщо послідовність його частинних сум має скінченну границю:

Значення цієї границі називається сумою ряду. Якщо ж послідовність частинних сум ряду границі не має, то ряд називається розбіжним. Із означення випливає що сума ряду не обов'язково існує.

В цьому полягає основна відмінність нескінченних рядів від скінченних сум: у любої скінченної сукупності чисел обов'язково існує сума, «додати» ж нескінченну множину чисел виявляється не завжди можливим.

З цієї точки зору ряди, що мають скінченну суму, представляють найбільший інтерес.

Тому числові ряди діляться на два класи:

1) ряди, що мають скінченну суму. Такі ряди називаються збіжними;

2) ряди, що мають нескінченну суму або взагалі її не мають. Такі ряди називаються розбіжними

Якщо ряд збігається і сума його є , то говорять, що він збігається до суми і пишуть. Якщо ряд має нескінченну суму, то іноді використовують вираз «ряд розбігається до плюс чи мінус нескінченності» і пишуть:

±.



2. Додаткові ознаки збіжності додатних рядів

2.1 Ознака Куммера

Нехай дано ряд и довільна числова послідовність , така що ряд розходиться. Тоді ряд сходиться, якщо для всіх виконується нерівність:

,

де .

Якщо же для , то ряд розходиться.

Додатні i додатне оборотні оператори. Нехай оператор A діє з бананового простору E_i з клином K_i у банаховий простiр E_j з клином K_{j ,} де i, j ?{1, 2}.

Оператор A називають додатним, якщо AK_i ? K_j, тобто з x > 0 випливає Ax > 0.

Оператор A називають монотонним, якщо з x 6 y випливає Ax 6 Ay. Очевидно, що лінійний додатний оператор A: E_i > E_j є монотонним.

Лінійний неперервний оператор B, що діє з банахового простору E_i з клином K_i у банаховий простір E_j з клином K_j , називають додатно оборотним, якщо цей оператор має неперервний обернений B^?1 i B^?1K_j ? K_i

Якщо для операторів A, B ? L(E_i, E_j ) оператор A?B є додатним, то будемо записувати A > B. Очевидно, що множина всіх додатних операторів A ? L(E_i, E_j ) є конусом у просторі L(Ei, Ej ).

Цей конус позначатимемо через K(E_i, E_j ).

Також очевидно, що K(E_j,E_s), K(E_i, E_j ) ? K(E_i, E_s), s ? {1, 2}.

Якщо існує ліміт:

то при ряд збіжний, а при -- розбіжний.

2.2 Ознака Раабе

Ознака Раабе (ознака Раабе - Дюамеля) - ознака збіжності знакоположітельних числових рядів, встановлений Йозефом Людвігом Раабе (Joseph Ludwig Raabe) і незалежно Жан-Марі Дюамелем.

Формулювання

Ряд сходиться, якщо при достатньо великих виконується нерівність де . Eсли , Починаючи з деякого , То ряд розходиться.

Формулювання в граничній формі:

Якщо існує межа: то при ряд сходиться, а при - Розходиться.

Зауваження: Якщо , То ознака Раабе не дає відповіді на питання про збіжність ряду.

У тих випадках, коли зазначені прості ознаки не дають відповіді, доводиться вдаватися до більш складним ознаками, заснованим на порівнянні випробуваного ряду вже з іншими стандартними рядами, так би мовити, «повільніше» збіжними або «повільніше» розбіжними, ніж прогресія. Ми розглянемо тут ще ознака Раабе (J. L. Raabe); він здійснює порівняння даного ряду (А) з гармонійними рядами - збіжними:

і розбіжними:

- саме за допомогою теореми 3.

При цьому доводиться розглядати варіанту Раабе:

Ознака Раабе. Якщо, при досить великих виконується нерівність де постійне число, більше одиниці, то ряд сходиться; якщо ж, починаючи з деякого місця, то ряд розбігається.

Отже, нехай, при досить великих маємо:

Візьмемо тепер довільну кількість s між Так як за відомим граничним співвідношенням [77, 5)]:



то для достатньо великих буде

а отже, і

Це нерівність можна переписати наступним чином:

Праворуч ми маємо відношення двох послідовних членів ряду застосувавши теорему 3, переконуємося в збіжності ряду (А).

Якщо ж, починаючи з деякого місця,

звідси відразу знаходимо, що



застосувавши до рядів (А) і (Н) теорему 3, укладаємо про расходимости ряду (А).

Ознака Раабе теж застосовується переважно в граничній формі: Припустимо, що варіанта має межу (кінцеву чи ні): Тоді при ряд сходиться, а при ряд розходиться.

2.3 Ознака Єрмакова

Ознака Єрмакова: Припустимо раніше функцію безперервної, позитивної і монотонно спадною 1. Тоді, якщо для досить великих х (скажімо, для ) виконується нерівність , то ряд (7) сходиться, якщо ж (для ) , то ряд (7) розходиться.

Доведення: Нехай виконується перша нерівність. При будь-якому будемо мати (підстановка)

звідси



так як у від'ємник в останніх дужках позитивно. В такому випадку

додаючи до обох частин інтеграл отримаємо

і тим більше - враховуючи (12) -

Так як зі зростанням і інтеграл зростає, то для нього існує кінцевий межа і - за інтегральним ознакою - ряд (7) сходиться.

Нехай тепер має місце друга нерівність.

Тоді

і - якщо до обох частин додати інтеграл



(так як, зважаючи на (12),

Визначимо тепер послідовність

вважаючи за доведеним

так що

Звідси ясно, що

і - за інтегральним ознакою - ряд (7) розходиться.



2.4 Ознака Гаусса

Ознака збіжності Гаусса: Більш чутливим, ніж ознака збіжності Раабе, і більш практичним, ніж ознака збіжності Бертрана, є ознака збіжності Гаусса.

Теорема (ознака збіжності Гаусса).

Нехай для ряду ставлення сусідніх членів може бути представлено у вигляді
де - постійні, а - обмежена величина. Тоді ряд
сходиться, якщо
Цей ряд розбігається, якщо

Доведення. Перш за все,

так що при затвердження ознаки Гаусса перетворюється на затвердження ознаки Даламбера. Далі, при тому що при ознака Гауса випливає з ознаки Раабе. Нарешті, при



Останній ж межа через обмеженість величини дорівнює нулю, і конусність ряду випливає з ознаки Бертрана.

Приклади: 1. Візьмемо так званий гіпергеометричний ряд

В цілях спільності дослідження ми будемо припускати, що - довільні дійсні числа, причому числа не є цілими і неположительными (якщо хоча б одне з чисел а або - ціле зовсім друга, то написаний ряд стає сумою кінцевого числа членів, а при функція взагалі не визначено).

Для цього ряду, очевидно, і тому

Отже, при ознака Даламбера дає нам абсолютну збіжність (і тим самим - просто збіжність) гіпергеометричного ряду.

Отже, за теоремою Абеля (§ 2 глави 6) гіпергеометричний ряд сходиться (і притому абсолютно) при члени гіпергеометричного ряду, починаючи з деякого все виявляються позитивними.

Тому те, що цей ряд не буде абсолютно сходитися, означає, що він повинен просто розходитися. Застосовуючи знову теорема Абеля, ми бачимо, що гіпергеометричний ряд розходиться і при негативних х, для яких Нам залишається розглянути випадки. При напишемо



Ми маємо

і аналогічно

Підставляючи це в (12.20) та розкриваючи дужки, ми отримуємо де величина обмежена. Зауважимо, що (12.21) можна розуміти також як розкладання відносини як функції від за формулою Маклорена. Згідно з (12.21) гіпергеометричний ряд сходиться при на підставі ознаки Гауса при і розбігається при Звернемося до випадку Тут ставлення сусідніх членів

із зростанням прагне так що, починаючи з деякого місця, гіпергеометричний ряд виявляється знакочередующимся.

Отже, на підставі ознаки Лейбніца необхідною умовою його збіжності є



або, що те ж саме,

Але

Значить,

З (12.22) слід, що

або, розкладаючи написаний логарифм, що розуміється як функція від за формулою Маклорена, отримаємо

де всі числа 0 обмежені.

Підстановка в (12.24) дає нам



З расходимости гармонійного ряду випливає, що при написаний ряд розходиться з необмеженим зростанням часткових сум. Отже, у цьому випадку виконується (12.23) і, крім того,

Таким чином, дотримуються всі умови ознаки Лейбніца, і гіпергеометричний ряд сходиться.

Якщо ж то (12.23) не має місця і гіпергеометричний ряд розходиться.

З'ясуємо, нарешті, питання абсолютної збіжності гіпергеометричного ряду Для цього необхідно, щоб сходився ряд модулів членів цього ряду. Але, очевидно, починаючи з деякого місця, модулі членів гіпергеометричного ряду з співпадають з членами гіпергеометричного ряду з тими ж значеннями параметрів , для якого

Значить, при гіпергеометричний ряд сходиться абсолютно, а також при сходиться, але лише умовно.

Зокрема, вважаючи у виразі (12.18) для гіпергеометричного ряду ми отримаємо

тобто біноміальний ряд.

Застосовуючи до нього отримані тільки для гіпергеометричного ряду результати, ми встановлюємо, що біноміальний ряд сходиться при розходиться при він сходиться якщо, і розбігається, якщо а при сходиться абсолютно, якщо сходиться умовно, якщо , нарешті, розходиться, якщо

Умови збіжності (12.16) а ознаці Гаусса разом з умовами випромінювання (12.17), очевидно, вичерпують всі логічні можливості для значень параметрів До і Тому ознака Гаусса є необхідним і достатнім, тобто «ідеально чутливим» ознакою збіжності.

Практичність його також незаперечна. З огляду на сказаного ще у глави 3 його вада має полягати в тому недостатньою широті. І справді, можливість представляти відношення сусідніх членів ряду у вигляді (12.15) виявляється не такою вже частою.

Приклади. 1. Розглянемо ряд асходимость цього ряду, встановлена в прикладі 5 § 4 глави 3, нами вже використовувалися. Для нього ми, очевидно, маємо

або, розкладаючи як функцію в ряд Маклорена і утримуючи два перших члена,

де - обмежені числа, причому, як неважко перевірити, чи всі 0, починаючи з деякого місця можуть бути обмежені знизу деякою позитивною постійною. Припустимо, що в цих умовах ставлення може бути представлено у вигляді (12.15). Порівняння з правою частиною останньої формули дає нам Останнє відношення при зростанні прагне до нуля.

Однак у випадку обмежених зверху і обмеженої знизу 0 цього не може бути. Значить, у вигляді (12.15) ставлення сусідніх членів розглянутого ряду дуже.

Для ряду ми також можемо написати

.



Висновок

Дана курсова робота присвячена питанню числових рядів та додатковим ознакам збіжності числових рядів: ознака Куммера, ознака Раабе, ознака Бертрана, ознака Гаусса та ознака Єрмакова. Широка, практична і неодноразово застосовувалася в ході курсу математичного аналізу - ознака збіжності Даламбера є недостатньо чутливою. Вона, взята у своїй неграничні формі, в принципі не здатна виявляти збіжність ряду , якщо . Перехід до неграничної форми цієї ознаки незначно підвищує її чутливість. Порівнюючи ознаки Даламбера та ознаку Раабе, можна побачити, що остання є більш чутливою ознакою.

Нам відомі ряди ,що дуже повільно збігаються, а також і вельми повільно розбіжні. Природно було спробувати побудувати ознаки збіжності рядів, засновані на порівнянні їх членів з членами цих «мляво розвиваючихся» рядів. Така конструкція була запропонована Куммером.

Чутливішою, ніж ознака Куммера, а значить практичнішою у застосуванні є ознака збіжності Бертрана.

Більш чутливою, ніж ознака збіжності Раабе, і більш практичною, ніж ознака збіжності Бертрана, є ознака збіжності Гаусса.

В даній роботі було розглянуто: загальні поняття та основним властивості числових рядів, було введено означення числової послідовності, знакозмінного ряду, часткової суми, збіжного і розбіжного числового ряду,



Список використаної літератури

1. В. Ю. Слюсарчук ОПЕРАТОРНI АНАЛОГИ ОЗНАКИ КУММЕРА

2. Научная библиотека избранных естественно-научных изданий научная-библиотека

3. Курс дифференциального и интегрального исчисления. (В 3-х томах) Фихтенгольц Г.М.

Размещено на Allbest.ru

...