Статистическое распределение случайной величины в выборке

Размещено на http://www.allbest.ru/

СОДЕРЖАНИЕ

1. График статической функции распределения

1.1 Обработка статических данных

1.2 Построение функции распределения

2. Гистограмма наработок между отказами

3. График функции распределения на вероятностной сетке

3.1 Распределение Вейбулла

4. Согласование теоретического распределения со статистическим (критерий Пирсона)

5. Средний и гамма - процентный ресурс машины

Список использованных источников



1. ГРАФИК СТАТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

1.1 Обработка статических данных

Первичные записи статических наблюдений за случайной величиной представлены в виде статического ряда, в котором записаны номера опытов и значений случайной величины, наблюдавшиеся в этих опытах.

Удобным способом получить представление о распределении случайной величины Ч является построение графика статической функции распределения выборки ():

где g - число опытов, в которых случайная величина X принимала значение меньше x; n - общее число произведенных опытов.

Статистический ряд перестроен так, чтобы полученные числовые значения случайной величины располагались в возрастающем порядке (вариационный ряд).

Для возрастающего ряда эмпирическая функция распределения :

Таблица 1.1 - Вариативный ряд наработки до отказа, тыс.км

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Тыс.км	666	729	734	761	836	953	993	998	1005	1050
Fi(t)	0,025	0,05	0,075	0,1	0,125	0,15	0,175	0,2	0,225	0,25
i	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Тыс.км	1119	1214	1232	1247	1274	1410	1424	1430	1436	1448
Fi(t)	0,275	0,3	0,325	0,35	0,375	0,4	0,425	0,45	0,475	0,5
i	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
Тыс.км	1470	1575	1676	1689	1704	1745	1869	1895	1925	1940
Fi(t)	0,525	0,55	0,575	0,6	0,625	0,65	0,675	0,7	0,725	0,75
i	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
Тыс.км	2067	2114	2267	2279	2510	2516	2729	2865	3455	3699
Fi(t)	0,775	0,8	0,825	0,85	0,875	0,9	0,925	0,95	0,975	1

1.2 Построение функции распределения

По оси абсцисс отложено значение случайной величины пробега l₄₀=3822 часа, а по оси ординат - значения функции распределения, изменяющиеся от нуля до единицы. Этими величинами будет ограничен график.

Коэффициент масштабирования по оси абсцисс , мм/час:

3)

где L - длина оси абсцисс, L=235 мм; - максимальное значение наработки

Коэффициент масштабирования по оси ординат :

где - длина оси ординат, ; - максимальное значение функции распределения, .

Исходя из формулы (3) длина участка на оси абсцисс , мм:



где - текущее значение наработки, тыс.км;

Аналогично для оси:

где - текущее значение функции распределения.

Таблица 1.2 - данные для построения графика

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Тыс.км	666	729	734	761	836	953	993	998	1005	1050
Fi(l)	0,025	0,05	0,075	0,1	0,125	0,15	0,175	0,2	0,225	0,25
S(Fi)	2,925	5,85	8,775	11,7	14,625	17,55	20,475	23,4	26,325	29,25
S(li)	9,7	12,9	14,25	14,8	15,4	15,6	21,3	26,5	30,5	31,25
i	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Тыс.км	1119	1214	1232	1247	1274	1410	1424	1430	1436	1448
Fi(l)	0,275	0,3	0,325	0,35	0,375	0,4	0,425	0,45	0,475	0,5
S(Fi)	32,175	35,1	38,025	40,95	43,875	46,8	49,725	52,65	55,575	58,5
S(li)	37,4	40,15	43,3	46,2	46,4	46,9	50,6	54	55,5	64,4
i	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
Тыс.км	1470	1575	1676	1689	1704	1745	1869	1704	1925	1940
Fi(l)	0,525	0,55	0,575	0,6	0,625	0,65	0,675	0,7	0,725	0,75
S(Fi)	61,425	64,35	67,275	70,2	73,125	76,05	78,975	81,9	84,825	87,75
S(li)	65,1	67	67,6	72,4	81,8	86,8	93,5	99,8	100,6	101,4
i	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
Тыс.км	2067	2114	2267	2279	2510	2516	2729	2865	3455	3699
Fi(l)	0,775	0,8	0,825	0,85	0,875	0,9	0,925	0,95	0,975	1
S(Fi)	90,675	93,6	96,525	99,45	102,37	105,3	108,22	111,15	114,075	117
S(li)	105,3	105,7	105,8	118,25	123	125,15	126,8	133,4	136,1	198

График представлен на рисунке 1.



2. ГИСТОГРАММА НАРАБОТОК МЕЖДУ ОТКАЗАМИ

Гистограмма изображает статическую плотность распределения. Заданные значения наработки разбиты на разряды. Определен интервал зоны рассеяния, как разность между наибольшим и наименьшим значением наработок, а затем данная зона разделена на 6 разрядов.

Таблица 2.1 - Статистический ряд наработки между отказами машин

Номер разряда, i	Разряд	Длина разряда li	Частота (число) наблюдений в разряде gi	Частость =gi/n	Высота разряда f*(ti) 10-3
	от бi	до вi
1	0	500	500	7	0.175	0,35
2	500	1000	500	10	0.25	0,5
3	1000	1500	500	8	0.2	0,4
4	1500	2000	500	6	015	0,3
5	2000	2500	500	6	0.15	0,3
6	2500	4000	1500	3	0,075	0,05

Высота разряда гистограммы

Общее число наблюдения n:

Сумма частостей



По оси ординат отложено значение, а по оси абсцисс - значения наработки по разрядам. Масштабы по осям взяты аналогично масштабам функции распределения.

Гистограмма представлена на рисунке 2.

Рисунок.2. Гистограмма наработки между отказами

На основании гистограммы наработки между отказами можно установить два закона распределения :

1.Логарифмически нормальное распределение;

2.Закон распределения Вейбулла.



3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НА ВЕРОЯТНОСТНОЙ СЕТКЕ

При небольшом числе опытов для определения закона распределения, его параметров, значений гамма - процентного ресурса и вероятности безотказной работы удобно пользоваться вероятностными шкалами.

На сетке, построенной на этих шкалах (так называемой вероятностной бумаге), график функции распределения является прямой линией. На сетку нанесены точки, соответствующие экспериментальным значениям случайной величины t и значениям экспериментальной функции распределения F(t). Если эти точки располагаются на вероятностной бумаге близко к прямой, то это свидетельствует о согласии опытных данных с тем законом распределения, для которого построена вероятностная бумага.

Логарифмически нормальный закон распределения

Порядок построения вероятностной сетки для логарифмически нормального закона распределения:

- По оси х в масштабе откладываются значения десятичного логарифма случайной величины (наработки) lgl_i, ч.

- Коэффициент масштабирования м_l , (мм):

, (10)

где L_l - заданное расстояние на графике в мм (L_l = 250 мм),

(11)

- Произвольное расстояние S_l , (мм) по оси x рассчитывается по формуле:

, (12)

где lgt_i - десятичный логарифм текущего значения наработки.

- Коэффициент масштабирования, расстояния S_F такие же, как при построении вероятностной сетки для нормального закона распределения.

статистический вероятностный закон распределение

Таблица 3.1 - Вероятностная шкала длиной 150 мм для логарифмически нормального закона распределения [2]

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Тыс.км	249	284	300	510	601	772	888	903	1039	1238
Fi(l)	0,05	0,1	0,15	0,2	0,25	0,3	0,35	0,4	0,45	0,5
S Fi(l)	-39,9	-31,1	-25,75	-20,4	-16,55	-21,7	-9,42	-6,15	-3,5	0
lg (li)	2,49	2,84	3,0	5,1	6,01	7,72	8,88	9,03	1,039	1,238
S lg(li)	37,5	45,2	47,7	71,3	77,9	93,2	94,9	95,6	0	8,15
Тыс.км	1289	1393	1798	2026	2407	2566
Fi(l)	0,55	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95
S Fi(l)	3,5	6,15	12,7	20,4	31,1	39,9
lg (li)	1,289	1,393	1,798	2,026	2,407	2,566
S lg(li)	11,6	14,5	25,7	30,3	36,2	41

3.2 Распределение Вейбулла

Функция распределения случайной величины:

, (13)

видно, что данная функция - уравнение кривой.

Логарифмируем эту функцию:



Логарифмируем второй раз и в результате получаем линейную зависимость:

(14)

Порядок построения вероятностной сетки для закона распределения Вейбула:

- По оси х в масштабе откладываются значения десятичного логарифма случайной величины (наработки) lgt_i, тыс.км.. Коэффициент масштабирования, расстояния S_t такие же, как при построении вероятностной сетки для логарифмически нормального закона распределения.

- По оси y (F_i(t)) в масштабе откладываются значения выражения

- Коэффициент масштабирования м_F , (мм):

, (15)

где L_F - заданное расстояние на графике в мм (L_F = 150 мм),

(16)

максимальное значение уравнения при F(t) = 1? 0,999:

минимальное значение уравнения при F(t) = 0 ? 0,001:

- Произвольное расстояние S_F , (мм) по оси y рассчитывается по формуле:

, (17)

где F_i(l) - текущее значение функции распределения.

- Условный ноль для оси у (F_i(l)):

при F(l) = 0,632.

Для построения графика функции распределения Вейбулла необходимо вы брать минимум 14 значений результатов опытов, выберем 16.

Таблица 3.2 - Вероятностная шкала длиной 150 мм для закона распределения Вейбулла.

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Тыс.км	249	284	300	510	601	772	888	903	1039	1238
Fi(l)	0,05	0,1	0,15	0,2	0,25	0,3	0,35	0,4	0,45	0,5
lg li	2,49	2,84	3,0	5,1	6,01	7,72	8,88	9,03	1,039	1,238
S(li)	37,5	45,2	47,7	71,3	77,9	93,2	94,9	95,6	100	108,15
S(Fi)	-50,4	-38,2	-31,8	-25,45	-21,47	-17,5	-14,45	-11,4	-8,8	-6,2
i	11	12	13	14	15	16
Тыс.км	1289	1393	1798	2026	2407	2566
Fi(l)	0,55	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95
lg li	1,289	1,393	1,798	2,026	2,407	2,566
S(li)	111,6	114,5	125,7	130,3	136,2	141
S(Fi)	-3,95	-1,7	3,1	8,3	14,15	18,6

После построения графиков вероятностных шкал закона логарифмически нормального распределения и закона Вейбулла, видно, что точки расположенные графике функции распределения Вейбулла образуют прямую, это свидетельствует о согласии опытных данных с выбранным законом.

Определения параметров закона распределения Вейбула. Параметр распределения а определяется графически - это расстояние от оси F(t) до точки пересечения горизонтальной линии, проходящей через вероятность F(t)=0,632 и линии, построенной по точкам[2]:

S_а = 19 мм, тога по графику:

а = 1900;

Параметр распределения b:

, (18)

где б - угол наклона прямой, построенной на вероятностной сетке (б = 44,5^o),



4. СОГЛАСОВАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СО СТАТИСТИЧЕСКИМ (КРИТЕРИЙ ПИРСОНА)

Для нахождения свойств, определяющих надёжность машин или элементов по статистическому распределению случайной величины в выборке, найден закон распределения случайной величины, справедливый для генеральной совокупности - это экспоненциальный закон распределения.

Вид предполагаемого закона распределения выбран исходя из внешнего вида: статистической функции распределения, гистограммы наработок между отказами, графика функции распределения на вероятностной сетке.

Правильность предположения о виде закона проверяем с помощью критерия Пирсона :

, (19)

где P_i^*- вероятность, определенная по статистическим данным (частость), Р_i - вероятность, рассчитанная по предполагаемой формуле предполагаемого закона (в данном случае экспоненциального), n -- общее число произведенных опытов (n = 40), к - количество разрядов гистограммы (к = 6).

Предполагаемый закон распределения (Вейбула):

, (20)

(где - параметры распределения; - наработка машин до отказа, тыс.км. Вероятность попадания случайной величины в разряд:



, (21)

где - функция распределения наибольшего значения разряда, - функция распределения наименьшего значения разряда.

Подставляя формулу (17) в формулу (18) получено:

Таблица 4.1. - Теоретические значения вероятностей

Номер разряда	Середина разряда	Мат ожидание:
1	250	43,75	1-0,838		0,001
2	750	187,5	0,838-0,648	0,190	0,019
3	1250	250	0,648-0,479	0,169	0,0057
4	1750	262,5	0,479-0,343	0,136	0,0014
5	2250	337,5	0,343-0,239	0,104	0,02
6	3250	243,7	0,239-0,072	0,167	0,05

Критерий Пирсона :

Принят .

Число степеней свободы r:

где k - число разрядов статистического ряда; k = 6; - число параметров логарифмически нормального распределения; .

Для значений и найдена вероятность [2].

Проверка:

где - заданная вероятность; [1 стр. 29].

Так как условие (23) выполняется, то отсюда следует, что закон распределения Вейбулла можно принимать за истину



5. СРЕДНИЙ И ГАММА - ПРОЦЕНТНЫЙ РЕСУРС МАШИНЫ

Средний ресурс в статистической трактовке:

Для закона Вейбула значение гамма - процентного ресурса, тыс.км.:

где г - процентный ресурс машины, указанный в задании, г=80%.

тыс.км.

Значение гамма - процентного ресурс проверяется по функции распределения, представленной на рисунке 1. Абсцисса точки пересечения графика функции распределения и прямой, проведенной из точки F(l) = 0,2 (или, иначе, вероятность безотказной работы P(l) = 0,8 должна быть близка к значению ресурса).

Действительно расчётная тыс.км.

По рисунку 1 тыс.км.

Это условие выполняется, значит расчеты выполнены верно, и данные значения наработок подчиняются закону распределения Вейбулла.



СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. СТО СГУПС 1.01СДМ.01-2007. Курсовой и дипломный проекты. Требования к оформлению.:

2. Основы теории надежности и технической диагностики. Каргин В.А., Учеб. Пособие. Новосибирск: Изд-во СГУПСа,2002.99 с.

Размещено на Allbest.ru

...