Звичайні диференціальні рівняння 1-го та 2-го порядку

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Зміст

Вступ

Історичний обрис розвитку теорії диференціальних рівнянь

Задачі, що приводять до поняття диференціальних рівнянь

Основні поняття. Теорема існування та єдності

Рівняння з відокремлюваними змінними

Однорідні рівняння 1-го порядку та рівняння, що до них зводяться

Лінійні диференціальні рівняння 1-го порядку. Рівняння Бернуллі

Рівняння у повних диференціалах. Інтегруючий множник

Висновок

Література

диференціальний рівняння інтегрування



Вступ

Математик - це той, хто вміє знаходити

Аналогію між твердженнями; кращий ма-

Тематик той, хто встановлює аналогії до-

ведень; більш сильний математик той, хто

помічає аналогії теорій; але можна

представити собі і такого, хто між

аналогіями бачить аналогії.

Стефан Банах

Сучасна теорія диференціальних рівнянь посідає чільне місце серед інших математичних дисциплін. Гармонійне поєднання теоретичного та прикладного аспектів робить її однаково привабливою і цікавою як для суто математиків, так і для тих, хто займається застосуванням математики в різноманітних галузях знань. Механіка, фізика, радіо електрика, хімія, біологія, економіка, машинобудування - це далеко не повний перелік наук, у яких знаходять широке використання диференціальні рівняння.

Мета даної роботи - поглибити знання з теорії диференціальних рівнянь 1-го та 2-го порядку; систематизувати і узагальнити матеріал по даному питанню. Для досягнення мети були поставлені такі задачі: розглянути основні види диференціальних рівнянь 1-го та 2-го порядку та методи їх розв'язування, підібрати короткий збірник задач, в яких розглядається дане питання та дати деякі типові розв'язки диференціальних рівнянь, розглянутих у даній роботі.



Історичний обрис розвитку теорії диференціальних рівнянь

З задачами, що відносяться до теорії диференціальних рівнянь (з використанням терміну), математики зустрілися на кордоні XVI-XVII ст.ст., - вперше вірогідно, в області обчислювальної математики, при створенні логарифмічних таблиць. З робіт І. Ньютона (1642-1727рр) та І.В. Лейбніца (1646-1716) починається перший період історії диференціальних рівнянь, що охоплюють останню чверть XVII та все XVIII ст.ст.

Вивчення проблем динаміки точки і твердого тіла, а також деяких геометричних задач методами диференціального та інтегрального числення призвело до виділення найпростіших класів звичайних рівнянь 1-го та 2-го порядків. У перші половині XVIII ст. диференціальні рівняння стають основною зброєю не тільки в механіці, а і у диференціальній геометрії та варіаційному численні. Теорія диференціальних рівнянь першопочатково розвивалася всередині математичного аналізу і лише згодом виділилася у особливу математичну науку. Термін “диференціальні рівняння” у використання ввів Лейбніц(вперше у листі до Ньютона(1676р7.), а потім у печаті, починаючи з 1684р .).Значний внесок у розвиток теорії зробили брати Я. Бернуллі (1654-1705рр.) та І. Бернуллі (1667-1748рр.). У подальшій розробці теорії диференціальних рівнянь прийняли участь видатні вчені XVIII ст. Особливо великий внесок петербургського академіка Л. Ейлера (1707-1765рр.). а по тім французьких математиків А. Клеро (1713-1765рр.), Ж. Даламбер (1717-1783рр.), Ж.Л.Лагранжа (1736-1813рр.). Перша чверть XIX ст. стала переломною епохою у розвитку всієї математики. Перш за все, корінній перебудові піддався фундамент математичного аналізу, нові ідеї і методи якого вплинули і на розвитоктеорії диференціальних рівнянь. Була поставлена загальна проблема існування розв'язків диференціальних рівнянь. Точне формулювання і точне рішення цієї задачі для досить широкого класу випадків належало Коші. У другій половині XIX і на початку XX ст.ст. особливої уваги заслуговують два нових напрямки в розвитку звичайних диференціальних рівнянь. Один з них пов'язаний був з розвитком понять теорії груп, а другий - з вивченням деяких задач небесної механіки, астрономії. Важливою віхою в історії диференціальних рівнянь у цей час є створення якісної теорії, яка була одночасно створена А. Пуанкаре (1854-1912рр.) і А.М. Ляпуновим (1857-1918рр.). Вагомим були досягнення радянських математиків у розвитку теорії диференціальних рівнянь. У загальній теорії інтегральних кривих, що визначаються звичайними диференціальними рівняннями, П. С. Александров і В.В. Немицький дали нове доведення теореми Пеано. Тихонов подав новий приклад послідовних наближень, що знайшов широкий простір використання. Краєві задачі лінійних диференціальних рівнянь розробив у Одесі М. Г. Крейн. Наближені методи з давніх часів притягували увагу багатьох вчених , зокрема Ейлера, Лобачевського (алгебраїчні рівняння) і, особливо, Чебишева та його учнів. Оригінальний виклад прийомів чисельного інтегрування диференційованих рівнянь, розроблених у XIX ст., дав у 1917-1918 рр. акад. А. Н. Крилов (1863-1945рр.) У ці часи розділ нашої теорії був збагачений рядом значних відкриттів, важливих для практичних застосувань. Перш за все треба відмітити варіаційні методи(Л. В. Канторович). Ряд нових прийомів був отриманий і з допомогою заміни диференціального рівняння рівнянням у кінечних різницях, якою, по суті, користувався ще Ейлер (Л. А. Люстерник, Крилов, Боголюбов, Д.Ю. Панов, Ш. Е. Микеладзе та інші). Новий важливий метод чисельного інтегрування звичайного рівняння y`=f(x,y) з допомогою побудови двох функцій, що наближують розв'язок знизу і зверху, був запропонований акад. Чаплигіним (1869-1942рр.). Нарешті, в останні роки отримали розвиток теорія і конструювання механічних і електричних приборів для інтегрування диференціальних рівнянь. Різних типів, яким, безперечно, належить блискуче майбутнє (І. С. Брук, А І. Гутенмахер, Люстерник та інші).



Задачі, що приводять до поняття диференціальних рівнянь

Розглянемо декілька задач, що приводять до поняття диференціальних рівнянь.

Візьмемо приклад з механіки. Дослідимо рух точки mпо вертикальній прямій під дією сили земного тяжіння. За вісь Оу приймемо вертикальну пряму, по якій рухається (падає) точка; початок розмістимо на поверхні землі, а додатній напрям домовимося відраховувати вгору. Щоб знати рух, тобто положення нашої точки в довільний момент t після початку руху (що відповідає значенню t=0), треба знати вираз єдиної координати цієї точки у як функції t. Таким чином у нас незалежною змінною є t, а шуканою функцією у. Складемо рівняння для знаходження у. із механічного змісту другої похідної випливає, що прискорення дорівнює; з другого боку, відомо, що прискорення сили тяжіння у кожній точці земної поверхні та поблизу неї стале і (приблизно) рівне 981 см/с2, воно позначається літерою g, gсм/ с2; воно направлено вниз, відповідно у нашій системі координат йому треба надати знак - . Прирівнявши два знайдених вирази для прискорення точки, отримаємо рівняння, в кому невідомою є функція у: =-9.

Вода витікає через отвір7 на дні циліндричної посудини. За яким законом буде знижуватися рівень води у посудині з плином часу, якщо відомо, що швидкість vвитікання речовини з отвору залежить від висоти hстовпця речовини наступним чином:

v=0.6( gсм/ с2).

Позначимо через Hвисота посудини,S - площа його основи, S - площа отвору і h - висота рідини у посудині в момент часу t. Протягом часу від t до t+ t висота рівня посудини знизиться від h до h+h, h. За цей час із посудини витече об'єм води рівний - h. Таким же повинен бути об'єм струї речовини, що витекла за цей час з отвору. Він рівний площі S, помноженої на довжину шляху l, що проходить частина речовини з моменту t до t+ t. Рух її не рівномірний: в момент t швидкість v=0.6, а в момент (t+ t) v=0.6. Для обрахунку довжини пройденого шляху скористаємося середньою швидкістю: l= vсерt, де vсер =0.6, (0). Таким чином ми приходимо до співвідношення: -h = 0.6*t*. Звідси маємо, що , де k=0.6 .Переходячи до границі при t, отримуємо диференціальне рівняння нашої задачі: .

Гнучка однорідна нитка підвищена за два кінці. Знайти рівняння кривої, по якій розміститься нитка під дією власної ваги (так розміщуються підвісні канати, проводи). Нехай М0(0,b)-найбільш низька точка нитки, М - її довільна точка. Розглянемо частину нитки М0М. Ця частина знаходиться у рівновазі під дією трьох сил: сила натягу Т, що діє по дотичній у т. М і складає з віссю Ох кут ; сила натягу Hу т. М0, що діє горизонтально; вага нитки , направлена вертикально вниз, де - довжина дуги М0М, - лінійна вага нитки. Розклавши натяг Т на горизонтальну та вертикальну складові, отримаємо рівняння рівноваги: Т = Н, Т = . Поділивши другу рівність на першу, отримаємо: =. Покладемо тепер, що рівняння шуканої кривої можна записати у вигляді у=f(x). Тут f(x) - невідома функція, яку треба знайти. Зауважимо, що . Відповідно приходимо до диференціального рівняння виду , де .

Установлено, щошвидкість розпадурадія прямо пропорційна його кількості в кожний момент. Визначити закон зміни маси радію в залежності від часу.

Швидкість розпаду визначається наступнім чином. Нехай у момент t була маса m, в момент (t+ t) - маса (m+m). За час t розпалась маса m. Відношення є швидкістю (середня) розпаду. Границя цього відношення при t: є швидкістюрозпаду радія в момент t. За умовою задачі , де k0 - коефіцієнт пропорційності. , бо з плином часу маса радію зменшується.

Основні поняття. Теореми

Означення: диференціальним рівнянням називається рівняння, що повязує незалежну змінну х, шукану функцію y=f(x) та її похідні .

Символічно диференціальні рівняння можна записати так або . Якщо шукана функція y=f(x) є функція однієї незалежної змінної, то диференціальне рівняння називається звичайним.

Означення: порядком диференціального рівняння називають порядок найвищої похідної, що входить у рівняння.

Означення: розв'язком диференціального рівняння наз. будь-яка функція y=f(x) така, що при підставці її у дане рівняння, вона перетворює його в тотожність.

Означення: загальним розв'язком диференціального рівняння 1-го порядку наз. функція y=(x,С), яказалежить від однієї довільної сталої С і задовольняє наступнім умовам:

а) вона задовольняє диференціальне рівняння при будь-якому конкретному значенні сталої С;

б) яка б не була початкова умова у= при х=, тобто , можна знайти таке значення С=, що функція y=(x,), задовольняє дану початкову умову. При цьому зауважимо, що значення належать до тієї області зміни змінних х і у, в якій виконуються умови теореми існування і єдності розв'язку.

У процесі пошуку загального розв'язку диференціального рівняння ми часто приходимо до співвідношення виду , яке нерозв'язне відносно у. Вирішивши його відносно у, отримуємо загальний розв'язок. Але виразити у в елементарних функціях не завжди вдається; в таких випадках загальний розв'язок залишається в неявному вигляді.

Рівність виду,що задає неявно загальний розв'язок, наз. загальним інтегралом диференціального рівняння.

Означення: частинним розв'язком наз. довільна функція y=(x,),яка отримується із загального розв'язку y=(x,С),якщо в ньому довільній сталій С надати визначене значення С=. Співвідношення наз. в цьому випадку частинним інтегралом. Дамо геометричну інтерпретацію диференціального рівняння 1-го порядку. Нехай дано диференціальне рівняння, розв'язане відносно пропорції: і нехай y=(x,С) є загальний розв'язок даного рівняння. Цей загальний розв'язок визначає сімейство інтегральних кривих на площині Оху. Дане рівняння для кожної точки Мз коефіцієнтами х та у визначає значення похідної , тобто кутовий коефіцієнт дотичної до інтегральної кривої, що проходить через цю точку. Таким чином, дане диференціальне рівняння дає сукупність напрямків або, як кажуть, визначає поле напрямків на площині Оху. Отже, з геометричної точки зору задача інтегрування диференціального рівняння заклечається в знаходженні кривих, напрям дотичних до яких співпадає з напрямком поля у відповідних точках. Для диференціального рівняння геометричне місце точок, в яких виконується співвідношення , наз. ізокліною, даного диференціального рівняння. При різних значеннях k отримуємо різні ізокліни. Рівняння ізокліни, що відповідає значенню k, буде, очевидно, . Побудувавши сімейство ізоклін, можна наближено побудувати сімейство інтегральних кривих. Кажуть, що знаючи ізокліни, можна якісно визначити положення інтегральних кривих на площині.

Накладемо деякі передумови на праву частину диференціального рівняння (1 порядку), та доведемо існування та єдність розв'язку, що визначається початковими даними. Перше доведення існування розв'язків диференціального рівняння належить Коші. Розглянемо доведення дане Пікаром; воно приводиться за допомогою методу послідовних наближень, який не тільки встановлює, що розв'язок існує, але й дає можливість обрахування.

Теорема: нехай дано диференціальне рівняння (1) і початкова умова ,при . (2) Нехай та неперервні в замкнутій області Д,

Дмал.1, тоді в деякому інтервалі (4) існує розв'язок рівняння (1), що задовольняє початкову умову (2); при цьому розв'язок єдиний. Число lбуде визначене нижче.

Доведення: спочатку розглянемо метод наближеного інтегрування диференціального рівняння. Використаємо при цьому теорію рядів. Інтегруючи члени рівняння (1) в межах від до і враховуючи, що , отримуємо . (5)

В останньому рівнянні шукана функція знаходиться під знаком інтегралу, і тому це рівняння називають інтегральним. Функція , що задовольняє рівняння (1) і початкові умови (2), задовольняє рівняння (5). Очевидно, що функція , що задовольняє рівняння (5), задовольняє рівняння (1) і початкові умови (2). Будемо вважати нульовим наближенням розв'язку. Підставляючи у підінтегральну функцію у правій частині рівності (5) замість у значення , отримаємо . (6)

Це є перше наближення розв'язку диференціального рівняння (1), що задовольняє умови (2). Підставляючи перше наближення у підінтегральну функцію у рівність (6), маємо (7).

Це друге наближення. Продовжуючи цей процес, маємо:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (8)

З того, що і неперервні у замкненій області D, випливає, що існують такі сталі M>0 іN>0, що для всіх точок області виконуються співвідношення:

,(9) (10)

Число у рівності (4) - найменше з чисел а і , тобто . (11)

Застосуємо теорему Лагранжа до функції для двох довільних точок та , що належать області D:

, де , відповідно, . Тому для будь-яких двох точок виконується: .(12)

Повернемося до рівності (6). З неї з врахуванням (9), (4), (11) отримаємо . (13)

Таким чином, функція , визначена рівність (6) на відрізку (4), не виходить за межі області D.Перейдемо тепер до рівності (7). Аргументи функції не виходять із області D. Тому можна записати, що (14).

Методом повної індукції можна довести, що для будь-якого n виконується , якщо х належить інтервалу (4). Доведемо тепер, що існує границя , і функція у(х) задовольняє диференціальне рівняння (1) і початкову умову (2). Для доведення розглянемо ряд виду (17) з загальним членом, при цьому . Очевидно, що сума n+1 членів цього ряду рівна (18).

Оцінимо члени ряду (17) по абсолютній величині: (19).

На основі (6), (7) та (10) знаходимо (беремо знак +, якщо , і знак -, якщо ). Таким чином . (20)

Аналогічно з врахуванням (20)(21).

Продовживши так і далі, знайдемо: (22).

Таким чином для інтервалу функціональний ряд (17) мажорується. (Ряд називається мажорним, якщо кожен його член по абсолютній величині не більший відповідного члена деякого збіжного числового ряду з додатніми членами). Відповідний числовий ряд з додатніми членами, які більші за абсолютні величини відповідних членів ряду (17), буде (23) з загальним членом . Цей ряд збіжний, що легко перевірити, використавши ознаку Даламбера: . Таким чином ряд (17) мажорується, відповідно, він збіжний. Так як його члени є неперервні функції, то він збігається до неперервної функції у(х). Таким чином, ,(24) де у(х)- неперервна функція. Ця функція задовольняє початкову умову, так як для всіх n . Доведемо, що отримана функція у(х) задовольняє рівняння (1). Знову запишемо останнє із рівностей (8): (25)

Доведемо, що , (26) де у(х) визначена рівністю (24). Відмітимо, що оскільки ряд (17) мажорується, то із (24) слідує, що для будь-якого >0 знайдеться таке n,що буде . (27)З урахуванням (27) на всьому інтервалі (4) можемо записати: Але . Відповідно, . Із останньої рівності випливає рівність (26). Тепер, переходячи в обох частинах рівності (25) до границі при , отримаємо, що у(х), визначена рівність (24), задовольняє рівняння . (28)

Як вказувалося раніше, звідси випливає, що знайдена функція у(х) задовольняє диференціальне рівняння (1) і початкову умову(2). Тепер доведемо єдність даного розв'язку. Припустимо, що існує два розв'язки рівняння (1), задовольняючих умову (2), тобто дві криві, що виходять з точки . Відповідно, обидві ці функції задовольняють рівняння (28): Розглянемо різницю (29). Перетворимо підінтегральну різницю за формулою Лагранжа з врахуванням (10): (30). Із цієї рівності отримуємо: (31). На основі (29), з врахуванням (31), можна записати нерівність (32).

Розглянемо таке значення х, щоб . Для визначеності будемо вважати, що , для випадку доведення аналогічне.

Нехай найбільше значення на інтервалі набувається при і дорівнює . Тоді нерівність (32) для точки набуде вигляду або . За припущенням існування двох різних розв'язків прийшли до суперечності. Отже, розв'язок єдиний. Теорему доведено.

Зауваження 1: використовуючи інші методи доведення, можна стверджувати, що існує розв'язок рівняння (1), що задовольняє умову (2), якщо функція неперервна у області D (теорема Пеано).

Зауваження 2: прийомом, аналогічними тому, яким було отримане співвідношення (22), можна показати, що похибка при заміні розв'язку у(х) його n-м наближенням задається формулою .

Означення: рівняння виду , де - задані функції від х або сталі, причому для всіх значень х із тієї області, в якій ми його розглядаємо, називається лінійним диференціальним рівнянням другого порядку.

У подальшому будемо вважати, що функції неперервні при всіх значеннях х, причому коефіцієнт . Якщо , то рівняння називається лінійним неоднорідним, якщо ж , то лінійно однорідним. Установимо деякі властивості лінійних однорідних рівнянь.

Теорема1: якщо та - два частинних розв'язки лінійного однорідного рівняння другого порядку (1) то є також розв'язок цього рівняння.

Доведення: так як і - розв'язки рівняння, тому (2). Підставляючи у рівняння (1) суму і використовуючи (2), будемо мати тобто є розв'язком рівняння.

Теорема 2: якщо - розв'язок рівняння (1) і С-стала, то С - теж розв'язок (1).

Доведення: підставляючи у рівняння(1) вираз С , отримаємо теорему доведено.

Означення: два розв'язки рівняння (1) і називаються лінійно незалежними на відрізку , якщо їх співвідношення на цьому відрізку не є сталим.

Означення: якщо є функції від х, то визначник називається визначником Вронського або вронскіаном даних функцій.

Теорема: якщо функції і лінійно залежні на відрізку , то визначник Вронського на цьому відрізку тотожно рівний нулю.

Дійсно, якщо , де , то і

Теорема: якщо визначник Вронського складений для розв'язків і лінійного однорідного рівняння(1), не рівний нулю при якомусь значенні на відрізку , де коефіцієнти рівняння неперервні, то він не перетворюється в нуль ні при якому значенні на цьому відрізку.

Доведення: так як - розв'язки рівняння (1), то Домножимо члени першої рівності на а другої на і віднімемо, отримаємо

(3)

Тоді рівність (3) набуде вигляду:

(4). Знайдемо розв'язок рівняння (6), що задовольняє початкову умову Знайдемо спочатку загальний розв'язок рівняння (6), Відокремлюючи змінні, отримаємо , звідки ,звідси . (5)

Остання формула називається формулою Ліувіля. Розв'язок, що задовольняє початкові умови, прийме вигляд . ( )

За умовою , тоді із ( ) слідує, що .

Теорема: якщо розв'язки рівняння (3) лінійно незалежні на відрізку , то визначникВронського , складений для цих розв'язків, не перетворюється в нуль в жодній точці вказаного відрізку.

Доведення: функція є розв'язком рівняння (1)на відрізку , що задовольняє початковим умовам , , де . Із теореми існування та єдності випливає, що не існує іншого розв'язку рівняння (1), що задовольняє початковим умовам; із цієї теореми випливає також, що якщо розв'язок рівняння(1) тотожній нуль на деякому відрізку чи інтервалі що належить , то цей розв'язок тотожно рівний нулю на всьому відрізку . Тепер припустимо, що в деякій точці відрізку . Тоді визначник Вронського буде рівний нулю і всіх точках відрізку : або Припустимо, що на , тоді можна записати, що або . Звідки слідує, що і - лінійно залежні, що суперечить умові. Далі припустимо, що в точках , що належать . Розглянемо інтервал , на ньому . Відповідно, на основі раніше доведеного, . Розглянемо функцію Ця функція є розв'язком рівняння (1) та на . Відповідно на відрізку або на , тобто та лінійно незалежні. Таким чином доведено, що вронскіан не перетворюється в нуль в жодній точці відрізку

Теорема: якщо та - лінійно незалежні розв'язки рівняння(1), то (6), де - довільні сталі, є його загальний розв'язок.

Доведення:якщо і - довільні, то за попередніми теоремами видно, що функція є розв'язком рівняння (1). Доведемо тепер, що при довільних початкових умовах можна підібрати і так, щоб відповідний частковий розв'язок задовольняв заданим початковим умовам. Підставляючи початкові умови у рівність (6) будемо мати ,(7) де

Із системи(7) можна визначити і , так як визначник цієї системи є визначник Вронського при і, відповідно не рівний нулю (в силу лінійної незалежності розв'язків і ).Частковий розв'язок, який отримано із сімейства (6) при знайдених значеннях та , задовольняє заданим початковим умовам.

Теорема: якщо відомо один частковий розв'язок лінійного однорідного рівняння другого порядку , то знаходження загального розв'язку зводиться до інтегрування функцій.

Зауваження: ця теорема дозволяє знаходити загальний розв'язок диференціального рівняння другого порядку з змінними коефіцієнтами, якщо відомий один його частинний розв'язок. Так як іноді вдається вгадати або знайти один частковий розв'язок безпосередньо, то ця теорема в багатьох випадках може виявитися корисною.

Рівняння з відокремлюваними змінними

Розглянемо диференціальне рівняння виду (1) де права частина є добутком функцій, одна з яких залежить тільки від , друга - тільки від . перетворимо його наступним чином (вважаючи, що ): ( ) Вважаючи, що - відома функція від , рівність ( ) можна розглядати як рівність двох диференціалів, а невизначені інтеграли від них будуть різнитися сталим доданком. Інтегруючи ліву частину по , а праву по , знайдемо .( ) Отримали співвідношення, що показує розв'язок , незалежну змінну і довільну сталу , тобто отримали загальний інтеграл рівняння (1). Диференціальне рівняння типу ( ) (2) називається рівнянням з відокремленими змінними. Загальний інтеграл його за доведенням є . Рівняння виду .(3) називається рівнянням з відокремлюваними змінними. Воно може бути зведене (ці перетворення можна проводити тільки в тій області, де ні , ні не перетворюються в 0) до рівняння з відокремлюваними змінними шляхом ділення обох частин на вираз :

або тобто рівняння виду (2).

Зауваження: найпростішим диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними є рівняння виду або Його загальний інтеграл має вигляд .

Однорідні рівняння 1-го порядку та рівняння, що до них зводяться

Означення: функція називається однорідною функцією n-го виміру відносно змінних та , якщо при будь-якому справедлива тотожність

Означення: рівняння першого порядку називається однорідним відносно і , якщо функція є однорідною нульового виміру відносно і . Розглянемо розв'язання однорідного рівняння. За умовою Поклавши у цій тотожності , отримаємо тобто однорідна функція нульового виміру залежить лише від відношення аргументів. Диференціальне рівняння у цьому випадку набуде вигляду . Зробимо підстановку у вигляді , тобто Тоді маємо, що Підставляючи цей вираз похідної у попереднє рівняння, отримаємо Це рівняння з відокремлюваними змінними: або Інтегруючи останній вираз, знайдемо або Підставляючи після інтегрування замість відношення , отримаємо інтеграл рівняння Розглянемо рівняння, що зводяться до однорідних. До таких рівнянь відносяться рівняння виду (1) Якщо , то рівняння (1), очевидно, однорідне. Нехай тепер і (або одна з них) відмінні вівд нуля. Зробимо заміну змінних (2) Тоді Підставляючи у рівняння (1) вирази та будемо мати (3)

Підберемо і таким чином, щоб виконувалися рівності

(4)

Тобто визначимо і як розв'язки системи рівнянь (4). При цій умові рівняння (3) стає однорідним:

Розв'язавши це рівняння і повернувшись знову до та за формулами (2), отримаємо розв'язок рівняння (1). Система (4) не має розв'язку, якщо

тобто Але в цьому випадку тобто і, відповідно, рівняння (1)можна перетворити до вигляду (5)

Тоді підстановкою (6) рівняння зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними. Дійсно звідки маємо (7)

Підставляючи в рівняння (5) вирази (6) і (7), отримаємо: а це і є рівняння з відокремлюваними змінними. Прийом, застосований до інтегрування рівняння (1), застосовується і до інтегрування рівняння де - яка завгодно неперервна функція.

Лінійні диференціальні рівняння 1-го порядку. Рівняння Бернуллі

Означення: лінійним рівнянням першого порядку називається рівняння, лінійне відносно невідомої функції і її похідної. Воно має вигляд (1) де і - задані неперервні функції від (або сталі). Розв'язок рівняння (1)будемо шукати у вигляді добутку двох функцій від : (2). Одну із цих функцій можна взяти довільною, а друга визначається на основі рівняння (1). Продиференціювавши обидві частини рівності (2), знаходимо Підставляючи отриманий вираз похідної у рівняння (1), будемо мати, що або (3).

Виберемо функцію таку, щоб (4)

Відокремлюючи змінні в цьому диференціальному рівнянні відносно функції , знаходимо Проінтегрувавши, отримаємо або Оскільки нам досить якого-небудь відмінного від нуля розв'язку рівняння (4), то за функцією візьмемо (5) де - деяка первісна. Очевидно, що

Підставляючи отримане значення у рівняння (3), отримаємо (враховуючи, що ), або звідки маємо Підставляючи і у формулу (2), остаточно отримаємо або (6)

Зауваження: очевидно, що вираз (6) не зміниться, якщо замість функції , визначеної рівністю (5), ми візьмемо яку-небудь функцію Дійсно, підставляючи у (6)замісить , отримаємо У першому доданку добуток є довільна стала, яку позначимо однією літерою , і знову приходимо до виразу (6). Якщо позначити то вираз (6) набуде вигляду Очевидно, що це загальний інтеграл, так як можна підібрати так, що буде задовольнятися початкову умову при . Значення визначається з рівняння

Зауваження: часто зустрічаються лінійні рівняння з сталими коефіцієнтами (7) де і - сталі. Його можна розв'язувати за допомогою підстановки (2) або щляхом відокремлення змінних: де або остаточно маємо (де позначено ). Це і є загальний розв'язок рівняння (7).

Розглянемо рівняння виду (8) де і - неперервні функції від (або сталі), а (інакше отримаємо лінійне рівняння). Це рівняння, що називається рівнянням Бернуллі, зводиться до лінійного наступними перетвореннями. Розділивши усі члени рівняння на , отримаємо (9)

Зробимо заміну виду Тоді Підставляючи ці значення у рівняння (9), будемо мати лінійне рівняння Знайшовши його загальний інтегралі підставивши замість вираз знайдемо загальний інтеграл рівняння Бернуллі.

Зауваження: аналогічно до того, як це робиться для лінійних рівнянь, можна показати, що розв'язок рівняння Бернуллі можна шукати у вигляді добутку двох функцій де - деяка функція, відмінна від 0 і задовольняє рівняння

Рівняння у повних диференціалах. Інтегруючий множник

Означення: рівняння (1) називається рівнянням у повних диференціалах, якщо і - неперервні диференційовані функції, для яких виконується співвідношення (2) причому неперервні в деякій області. Розглянемо інтегрування рівнянь в повних диференціалах. Доведемо, що якщо ліва частина рівняння (1) є повний диференціал, то виконується умова (2), і навпаки - при виконанні умови (2) ліва частина рівняння (1) є повним диференціалом деякої функції , тобто рівняння (1) має вигляд (3) і, відповідно, його загальний інтеграл є

Покладемо спочатку, що ліва частина рівняння (1) є повний диференціал деякої функції тобто тоді (4)

Продиференціювавши перше співвідношення по , а друге - по , отримаємо Вважаючи неперервність других похідних, будемо мати тобто рівність (2)є необхідною умовою для того, щоб ліва частина рівняння (1) була повним диференціалом деякої функції Покажемо, що ця умова є і достатньою, тобто при виконанні рівності (2) ліва частина рівняння (1) є повним диференціалом деякої функції Із співвідношення знаходимо де - абсциса довільної точки із області існування розв'язку. При інтегруванні по ми вважаємо сталим і тому довільна стала інтегрування може залежати від підберемо функцію так, щоб виконувалося друге із співвідношень (4). Для цього диференціюємо (інтеграл залежить від . Для того, щоб знайти похідну від цього інтеграла по , треба про диференціювати по підінтегральну функцію: Це витікає із теореми Лейбніца про диференціювання визначеного інтегралу по параметру) обидві частини останньої рівності по і результат прирівняємо до :

але так як то мажемо записати тобто або Відповідно або Таким чином, функція буде мати вигляд Тут точка - це точка, в околі якої існує розв'язок диференціального рівняння (1). Прирівнявши цей вираз до довільної сталої , отримаємо загальний інтеграл рівняння(1): (5)

Нехай ліва частина рівняння(1) не є повним диференціалом. Іноді вдається підібрати таку функцію , після множення на яку всіх членів рівняння ліва частина рівняння стає повним диференціалом.



Висновок

При вивченні теми диференціальні рівняння 1-го та 2-го порядку можна спостерігати, що в історії розвитку теорії диференціальних рівнянь, на мою думку, виділяється в три етапи: 1)зародження теорії диференціальних рівнянь. Період, що охоплює останню чверть XVII та все XVIII ст.ст., з яким пов'язані імена таких вчених, як Ньютон, Лейбніц, брати Бернуллі, Ейлер, Клеро, Даламбер, Лагранж; 2)розвиток теорії у другій половині XIX і на початку XXст.ст. Важливий внесок у подальший розвиток теорії зробили Пуанкаре, Ляпунов та ряд вітчизняних математиків, зокрема Александров, Немицький, Лобачевський, Канторович та інші; 3)сучасність.

Математика не стоїть на місці, а безперервно рухається в перед, з розвитком людства виникає ще більша потреба в науці завдяки чому в останні роки отримали бурхливого розвитку різні теорії, пов'язані з інтегруванням диференціальних рівнянь різних типів, яким, безперечно належить яскраве майбутнє (Брук, Гутенмахер, Люстерник та інші). У даній роботі було систематизовано та узагальнено матеріал по темі, для чого було розглянуто ряд диференціальних рівнянь 1-го та деякі види диференціальних рівнянь 2-го порядків. Уmзалежності від змінних, що входять у рівняння, виду шуканої функції та її похідних можна виділити окремі види диференціальних рівнянь, зокрема рівняння з відокремлюваними змінними; однорідні рівняння та лінійні 1-го порядку; лінійні однорідні та неоднорідні 2-го порядку; рівняння у повних диференціалах; рівняння Бернуллі, що зводяться до лінійних; рівняння Клеро та Лагранжа. Для всіх цих видів рівнянь дано в роботі алгоритми розв'язків. Зокрема однорідні рівняння 1-го порядку шляхом підстановки зводяться до рівнянь з відокремлюваними змінними; лінійні диференціальні рівняння 1-го порядку та рівняння Бернуллі розв'язуються шляхом введення замість шуканої функції добуток двох допоміжних функцій. Рівняння Клеро та Лагранжа розв'язуються шляхом введення допоміжного параметра. Деякі рівняння 2-го порядку шляхом введення заміни зводиться до рівнянь 1-го порядку . Для лінійних однорідних рівнянь 2-го порядку загальний інтеграл виражається в залежності від виду коренів характерного рівняння. Щодо загального розв'язку неоднорідного рівняння 2-го порядку, то він представляється як сума якогось часткового розв'язку цього рівняння і загального розв'язку відповідного однорідного рівняння. Для знаходження часткового розв'язку розглянуто метод варіації довільних сталих. Для неоднорідних лінійних рівнянь 2-го порядку із сталими коефіцієнтами знаходження часткового розв'язку залежить від виду неоднорідності.

Для закріплення теоретичного матеріалу запропоновано короткий збірник задач та дано типові розв'язки різних видів рівнянь, які розглянуто у теоретичній частині роботи. Задачі підібрано з урахуванням викладеного матеріалу.



Література

Айнс Є. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Х.: Техиздат, 1939.-715 с.

Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: 1984.- 222 с.

Горт В. Дифференциальные уравнения. Л.: Гостехиздат, 1933. - 479 с.

Матвеев М. Н. Дифференциальные уравнения. М.: Просвещение, 1988. - 254 с.

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчесление. М.: Наука, 1985. - 560 с.

Самойленко А. М. та інші. Диференціальні рівняння. К.: Либідь, 1994. - 359 с.

Степанов В. В. Курс дифференциальныхуравнений. М.: ГИТТЛ, 1950. - 467 с.

Школьник А. Г. Дифференциальные уравнения. М.: Учпедгиз, 1963. - 197 с.

Размещено на Allbest.ru

...