Производная и дифференциал
Задачи, приводящие к понятию производной. Исследование уравнения неравномерного прямолинейного движения, определенного на заданном множестве. Определение тангенса угла наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой, расчет производной.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 11.12.2014 |
| Размер файла | 199,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru
Размещено на http://www.allbest.ru
Задачи, приводящие к понятию производной
1. Задача о скорости движения. Рассмотрим уравнение неравномерного прямолинейного движения S=¦(t), определенного на множестве (a,b). Зафиксируем последовательно два момента времени t0 и t 1 О(a,b) и обозначим D t =t1 - t0.
Средней скоростью движения, соответствующей некоторому промежутку времени t, называется отношение пройденного пути, за этот промежуток времени
(1)
Средняя скорость не характеризует движение в каждый момент времени. Для того чтобы найти скорость в данный момент t0, необходимо уменьшить промежуток времени t=t1-t0. Чем меньше промежуток , тем меньше средняя скорость отличается от скорости в данный момент времени, т. е. от мгновенной, точное значение скорости равно пределу при , т. е.
(2)
2. Задача о касательной. Пусть на множестве (a, b) задана функция y=¦(x). Отметили в декартовой ee системе координат XOY график в виде кривой К x0;
Возьмем две точки М0 (¦(x0)) и М1(x1;¦(x1)) и проведем через них секущую М0 М1, ее угол наклона обозначим через a1. Тогда, если точка М1, двигаясь по кривой будет приближаться к точке М0, положение секущей изменяется.
Рис.1 К задаче о секущей
Когда точка М1 совместиться с М0, секущая превратиться в касательную. В этом случае a1=a0, где a0 - угол наклона касательной.
Из рисунка видно, что
(3)
т.к. x1-x0=D x- это приращение аргумента, ¦(x1)-¦(x0)=D y - приращение функции, то
tga1= (4)
Осуществляя предельный переход, когда М1 М0
. (5)
Учитывая (5), имеем
(6)
Итак, тангенс угла наклона касательной , равен пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее, равно нулю.
Тангенс угла наклона касательной показывает, во сколько раз быстрее изменяется функция по сравнению с изменением аргумента в точке касания, т.е. характеризует скорость процесса или явления, описываемого кривой К. Зная тангенсы углов наклона касательной к графику функции в двух различных точках, можно сравнивать ''крутизну подъема'' графика. Так в точке (x0,f(x0)) (см. рис.) касательная расположена ''круто'', т. е. тангенс угла наклона большой, функция изменяется быстро, тогда как в точке (x1,f(x1)) тангенс угла наклона касательной мал, функция изменяется медленно.
В точках, где касательная горизонта (tg =0), изменение функции почти не происходит.
Если касательная к графику функции в некоторой точке ^ к оси OX, то функция изменяется с бесконечно большой скоростью.
Определение. Пусть функция задана на множестве , . Производная функции в точке есть
Определение. Пусть функция задана на множестве , . Производная функции в точке есть
Доказательство равносильности двух определений.
производная прямолинейный движение касательная
Рассмотрим разность
Функция задана и
Если произвольным образом задать значение функции при , то последнее равенство будет выполняться и при .
Определение. Пусть , . Функция называется дифференцируемой в точке , если существует такое число и такая функция , что имеет место равенство
Функция, которая каждому числу ставит в соответствие число , называется дифференциалом функции в точке .
Мы доказали, что если у функции есть производная в точке , то дифференцируема в этой точке (за число можно взять число ).
Докажем, что если функция дифференцируема в точке , то у нее есть производная в точке .
Попутно мы доказали, что число в правой части равенства определяется однозначно и равно .
Обозначение. - дифференциал функции в точке .
Дифференциал - линейная функция приращения :
Пример.
Пример.
Пример.
-- обозначение дифференциала тождественной функции
Обозначения.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Задачи, приводящие к понятию производной. Особенности определения с помощью этого основного понятия дифференциального исчисления уравнения касательной к непрерывной кривой в заданной точке, скорости, производительности труда в определенный момент времени.
презентация [263,8 K], добавлен 21.09.2013Нахождение частной производной первого порядка. Определение области определения функции. Расчет производной от функции, заданной неявно. Полный дифференциал функции двух переменных. Исследование функции на экстремум, ее наименьшее и наибольшее значения.
контрольная работа [1,1 M], добавлен 12.11.2014Правило нахождения производной произведения функций. Формулы нахождения производных для функций, заданных параметрически. Геометрический смысл производной. Приращение и дифференциал функции. Наибольшее и наименьшее значения на замкнутом множестве.
контрольная работа [75,5 K], добавлен 07.09.2010Предел отношения приращения функции к приращению независимого аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Обозначения производной. Понятие дифференцирования функции производной и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к кривой.
презентация [246,0 K], добавлен 21.09.2013Производная функция. Касательная к кривой. Геометрический смысл производной. Производные от элементарных функций. Изучение функций с помощью производной. Максимум и минимум функции. Точки перегиба. Дифференциал.
статья [122,0 K], добавлен 11.01.2004Определение производной функции, геометрический смысл ее приращения. Геометрический смысл заданного отношения. Физический смысл производной функции в данной точке. Число, к которому стремится заданное отношение. Анализ примеров вычисления производной.
презентация [696,5 K], добавлен 18.12.2014Определение производной, понятие интеграла и определение предела функции. Дифференцирование и применение производной к решению задач. Исследование функции, вычисление интегралов и доказательство неравенств. Порядок вычисления пределов, Правило Лопиталя.
курсовая работа [612,2 K], добавлен 01.06.2014Геометрический смысл производной. Анализ связи между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Производные основных элементарных функций. Правила дифференцирования. Нахождение производной неявно заданной функции. Логарифмическое дифференцирование.
презентация [282,0 K], добавлен 14.11.2014Понятие производной, правила её применения, геометрический и физический смысл производной. Применение производной в науке и технике и о решении задач в этой области. Актуальность дифференциального исчисления в связи с научно-техническим прогрессом.
реферат [458,8 K], добавлен 17.05.2009Поиск производной сложной функции как равной производной функции по промежуточному аргументу, умноженной на его производную по независимой переменной. Теорема о связи бесконечно малых величин с пределами функций. Правило дифференцирования сложной функции.
презентация [62,1 K], добавлен 21.09.2013Основные определения и теоремы производной, дифференциала функции; техника дифференцирования. Применение производных к вычислению пределов. Исследование функции на монотонность и точки локального экстремума. Полное исследование функции, асимптоты графика.
контрольная работа [539,8 K], добавлен 20.03.2016Понятие производной, ее геометрический и физический смысл, дифференциал. Исследование функций и построение графиков. Разложение на множители, упрощение выражений. Решение неравенств, систем уравнений и доказательство тождеств. Вычисление пределов функции.
контрольная работа [565,5 K], добавлен 16.11.2010Частные случаи производной логарифмической функции. Производная показательной функции, экспоненты, степенной, тригонометрических функций. Производная синуса, косинуса, тангенса, котангенса, арксинуса. Производные обратных тригонометрических функций.
презентация [332,2 K], добавлен 21.09.2013Сущность предела функции, ее производной и дифференциала. Основные теоремы о пределах и методы их математического вычисления. Производная, ее физический и геометрический смысл. Связь непрерывности и дифференцируемости, основные правила дифференцирования.
презентация [128,4 K], добавлен 24.06.2012Осуществление интерполяции с помощью полинома Ньютона. Уточнение значения корня на заданном интервале тремя итерациями и нахождение погрешности вычисления. Применение методов Ньютона, Сампсона и Эйлера при решении задач. Вычисление производной функции.
контрольная работа [155,2 K], добавлен 02.06.2011Вычисление производной функции и ее критических точек. Определение знака производной на каждом из интервалов методом частных значений. Нахождение промежутков монотонности и экстремумов функции. Разложение подынтегральной функции на простейшие дроби.
контрольная работа [134,7 K], добавлен 09.04.2015Производная - основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Исследование правил дифференцирования, которые используют при нахождении производных. Определение производной алгебраической суммы конечного числа.
презентация [175,0 K], добавлен 21.09.2013Производные основных элементарных функций. Логарифмическое дифференцирование. Показательно-степенная функция и ее дифференцирование. Производная обратных функций. Связь между дифференциалом и производной. Теорема об инвариантности дифференциала.
лекция [191,4 K], добавлен 05.03.2009Пределы последовательностей и функций. Производная и дифференциал. Геометрические изложения и дифференцированные исчисления (построение графиков). Неопределенный интеграл. Определенный интеграл. Функции нескольких переменных, дифференцированных исчислений
контрольная работа [186,9 K], добавлен 11.06.2003Нахождение пределов, не используя правило Лопиталя. Исследование функции на непрерывность, построение ее графика. Определение типа точки разрыва. Поиск производной функции. Поиск наибольшего и наименьшего значения функции на указанном ее отрезке.
контрольная работа [1,1 M], добавлен 26.03.2014
