Уравнения Бернулли

Размещено на http://www.allbest.ru/

ШПАРГАЛКА

УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ

Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости.

Для элементарной струйки идеальной жидкости уравнение бернулли может быть получено на основе второго закона Ньютона, записанного для произвольного элементарного объема жидкости:

gz+ P/q+u^2/2=const

где gz-удельная потенциальная энергия положения, P/q-удельная потенциальная энергия давления, u^2/2- удельная кинематическая энергия.

Поделив выражение на g, получим:

Z+P/gq+u^2/2g=const

где z-геометрический напор, P/gq- тур

пьезометрический напор,

U^2/2g- скоростной напор.

С помощью уравнения Бернулли решается большинство задач практической гидравлики. Для этого выбирают два сечения по длине потока, таким образом, чтобы для одного из них были известны величины Р, с, g, а для другого сечения одна или величины подлежали определению. Уравнение Бернулли для реальной жидкости будет иметь вид:

Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли.

Положение любой частицы жидкости относительно некоторой произвольной линии нулевого уровня 0-0 определяется вертикальной координатой Z. Для реальных гидравлических систем это может быть уровень, ниже которого жидкость из данной гидросистемы вытечь не может. Например, уровень пола цеха для станка или уровень подвала дома для домашнего водопровода.

Как и в гидростатике, величину Z называют нивелирной высотой.

Второе слагаемое - носит название пьезометрическая высота. Эта величина соответствует высоте, на которую поднимется жидкость в пьезометре, если его установить в рассматриваемом сечении, под действием давления P.

Сумма первых двух членов уравнения ѕ гидростатический напор.

Третье слагаемое в уравнения Бернулли называется скоростной высотой или скоростным напором. Данную величину можно представить как высоту, на которую поднимется жидкость, начавшая двигаться вертикально со скорость u при отсутствии сопротивления движению.

Сумму всех трёх членов (высот) называют гидродинамическим или полным напором и, как уже было сказано, обозначают буквой Н.

Все слагаемые уравнения Бернулли имеют размерность длины и их можно изобразить графически.

Значения - нивелирную, пьезометрическую и скоростную высоты можно определить для каждого сечения элементарной струйки жидкости. Геометрическое место точек, высоты которых равны , называется пьезометрической линией. Если к этим высотам добавить скоростные высоты, равные , то получится другая линия, которая называется гидродинамической или напорной линией.

Из уравнения Бернулли для струйки невязкой жидкости (и графика) следует, что гидродинамический напор по длине струйки постоянен.

Уравнение Бернулли для потока реальной (вязкой) жидкости. Коэффициент Кориолиса. уравнение бернулли жидкость формула

При переходе элементарной струйки в поток идеальной жидкости имеющий реальный размер и ограниченный стенками, необходимо учесть неравномерность распределения скоростей по сечению, а также потери энергии напора(следствии вязкости жидкости).

Неравномерное распределение скоростей означается скольжением, сдвигом одних слоев «частей жидкости» по другим, как следствии возникает напряжение.

При движении жидкости отдельные струйки оказывают одна другую в поперечном направлении такое же давление как слой жидкости в неподвижном состоянии

Z₁+P₁/pg+d₁*v²_ср1/2g = Z₂+P₂/pg+d₂*v²_ср2+?h_потери

В реальных потоках жидкости присутствуют силы вязкого трения. В результате слои жидкости трутся друг об друга в процессе движения. На это трение затрачивается часть энергии потока. По этой причине в процессе движения неизбежны потери энергии. Эта энергия, как и при любом трении, преобразуется в тепловую энергию. Из-за этих потерь энергия потока жидкости по длине потока, и в его направлении постоянно уменьшается. Т.е. напор потока Hпотока в направлении движения потока становится меньше. Если рассмотреть два соседних сечения 1-1 и 2-2, то потери гидродинамического напора ”h составят:

где H1-1- напор в первом сечении потока жидкости,

H2-2- напор во втором сечении потока,

h - потерянный напор - энергия, потерянная каждой единицей веса движущейся жидкости на преодоление сопротивлений на пути потока от сечения 1-1 до сечения 2-2.

С учётом потерь энергии уравнение Бернулли для потока реальной жидкости будет выглядеть

Индексами 1 и 2 обозначены характеристики потока в сечениях 1-1 и 2-2.

Если учесть, что характеристики потока V и ± зависят от геометрии потока, которая для напорных потоков определяется геометрией трубопровода, понятно, что потери энергии (напора) в разных трубопроводах будут изменяться неодинаково. Показателем изменения напора потока является гидравлический уклон I, который характеризует потери напора на единице длины потока. Физический смысл гидравлического уклона - интенсивность рассеяния энергии по длине потока. Другими словами, величина I показывает, как быстро трубопровод поглощает энергию потока, протекающего в нём.

Это отношение живой силы потока к живой силе, вычисленной в предположении, что скорости во всех точках живого сечения равны средней скорости.

Коэффициент Кориолиса в выражении удельной кинетической энергии через среднюю скорость потока учитывает влияние неравномерности распределения скоростей по живому сечению потока.

Основы гидродинамического подобия.

Гидродинамическое подобие - это подобие потоков несжимаемой жидкости, включающее в себя подобие геометрическое, кинематическое и динамическое.

Теория размерности и подобия позволяет уменьшить количество экспериментов за счет перехода к безразмерным параметрам и уменьшению числа влияющих факторов. Для получения адекватных результатов при проведении эксперимента необходимо обеспечить подобие условий проведения эксперимента. Существуют законы подобия:

1) Геометрическое подобие. Подразумевает пропорциональность линейных размеров и равенство условных размеров.

2) Кинематическое подобие. Подразумевает пропорциональность величин скоростей в соответственно таких и равенство углов характеризующих направление этих скоростей при соблюдении геометрического подобия.

3) Динамическое подобие. Подразумевается пропорциональность сил одинаковой природы в соответствии при соблюдении геометрического и кинетического подобия

=F1/F2 Полное динамическое подобие крайне сложно добиться, поэтому пытаются обеспечить динамическое подобие главных сил действующих на поток(главными силами считают силы инерции)

Режимы течения жидкости в трубах.

Существует два режима течения жидкостей. Течение называется ламинарным (слоистым), если вдоль потока каждый выделенный тонкий слой скользит относительно соседних, не перемешиваясь с ними, и турбулентным (вихревым), если вдоль потока происходит интенсивное вихреобразование и перемешивание жидкости (газа).

Ламинарное течение жидкости как правило наблюдается при небольших скоростях ее движения. Внешний слой жидкости, примыкающий к поверхности трубы, в которой она течет, из-за сил молекулярного сцепления прилипает к ней и остается неподвижным. Скорости последующих слоев тем больше, чем больше их расстояние до поверхности трубы, при этом наибольшей скоростью обладает слой, который движется вдоль оси трубы.

При турбулентном течении частицы жидкости приобретают составляющие скоростей, которые перпендикулярны течению, и они могут двигаться из одного слоя в другой. Скорость частиц жидкости быстро возрастает по мере удаления от поверхности трубы, затем изменяется незначительно. Так как частицы жидкости могут перейти из одного слоя в другой, то их скорости в различных слоях мало отличаются. Из-за большого градиента скоростей у поверхности трубы обычно происходит образование вихрей.

Профиль усредненной скорости при турбулентном течении в трубах (рис. 2) отличается от параболического профиля при ламинарном течении в трубах более быстрым возрастанием скорости у стенок трубы и меньшей кривизной в центральной части течения.

Характер течения зависит от безразмерной величины, называемой числом

где н = з/с - кинематическая вязкость; с-плотность жидкости; <v>-средняя по сечению трубы скорость жидкости; d - характерный линейный размер, например диаметр трубы.

При малых значениях числа Рейнольдса (Re?1000) наблюдается ламинарное течение, область перехода от ламинарного течения к турбулентному происходит при 1000?Re?2000, а при Re=2300 (для гладких труб) течение - турбулентное. Если число Рейнольдса одинаково, то режим течения различных рассматриваемых жидкостей (газов) в трубах разных сечений одинаков.

Кавитация. Кавитамция (от лат. cavita -- пустота) -- процесс парообразования и последующей конденсации пузырьков пара в потоке жидкости, сопровождающийся шумом и гидравлическими ударами, образование в жидкости полостей (кавитационных пузырьков, или каверн), заполненных паром самой жидкости, в которой возникает. Кавитация возникает в результате местного понижения давления в жидкости, которое может происходить либо при увеличении её скорости (гидродинамическая кавитация), либо при прохождении акустической волны большой интенсивности во время полупериода разрежения (акустическая кавитация), существуют и другие причины возникновения эффекта. Перемещаясь с потоком в область с более высоким давлением или во время полупериода сжатия, кавитационный пузырёк схлопывается, излучая при этом ударную волну.

Явление кавитации носит локальный характер и возникает только там, где есть условия. Перемещаться в среде возникновения не может. Кавитация разрушает поверхность гребных винтов, гидротурбин, акустических излучателей и др. Кавитация также приносит пользу -- ее применяют в промышленности, медицине, военной технике и других смежных областях.

Гидравлические потери. Путевые потери напора. Формула Дарси-Вейсбаха.

Потери удельной энергии (напора) зависят от формы, размеров русла, скорости течения и вязкости жидкости, а иногда и от абсолютного давления в ней. Вязкость жидкости, хотя и является первопричиной всех гидравлических потерь, но далеко не всегда оказывает самое существенное влияние на их величину.

h-потеря напора здесь она измеряется в метрах.

ж-Это коэффициент сопротивления(НАПОР),

V - скорость потока жидкости. Измеряется [Метр/секунда].

g - ускорение свободного падения равен 9,81 м/с

Путевые потери- при протекания жидкости изменяется v(скорость)

Формула Дарси -- Вейсбаха

Если гидравлическое сопротивление представляет собой участок трубы длиной и диаметром , то коэффициент Дарси определяется следующим образом: о=л*L/D л- коэффициент потерь на трение по длине, тогда формула Дарси приобретает вид:

л*L/D*V²/2g

Гидравлические потери. Местные гидравлические сопротивления. Коэффициент местного сопротивления. Примеры местных сопротивлений

Потери удельной энергии (напора) зависят от формы, размеров русла, скорости течения и вязкости жидкости, а иногда и от абсолютного давления в ней. Вязкость жидкости, хотя и является первопричиной всех гидравлических потерь, но далеко не всегда оказывает самое существенное влияние на их величину.

h-потеря напора здесь она измеряется в метрах.

ж-Это коэффициент сопротивления(НАПОР),

V - скорость потока жидкости. Измеряется [Метр/секунда].

g - ускорение свободного падения равен 9,81 м/с

Местными гидравлическими сопротивлениями -называются любые участки гидравлической системы, где имеются повороты, преграды на пути потока рабочей жидкости, расширения или сужения, вызывающие внезапное изменение формы потока, скорости или направления ее движения. В этих местах интенсивно теряется напор. Примерами местных сопротивлений могут быть искривления оси трубопровода, изменения проходных сечений любых гидравлических аппаратов, стыки трубопроводов и т.п.

Все гидравлические потери энергии делятся на два типа: потери на трение по длине трубопроводов и местные потери, вызванные такими элементами трубопроводов, в которых вследствие изменения размеров или конфигурации русла происходит изменение скорости потока, отрыв потока от стенок русла и возникновение вихреобразования.

Простейшие местные гидравлические сопротивления можно разделить на расширения, сужения и повороты русла, каждое из которых может быть внезапным или постепенным. Более сложные случаи местного сопротивления представляют собой соединения или комбинации перечисленных простейших сопротивлений.

Внезапное расширение трубопровода

При внезапном расширении трубы (рис. 1.63) поток расширяется до большего диаметра не сразу, жидкость отрывается от стенок и дальше движется в виде свободной струи, отделенной от остальной жидкости поверхностью раздела. Поверхность раздела неустойчива, в кольцевом пространстве между потоком и стенкой трубы образуются вихри. Струя постепенно расширяется, пока на некотором расстоянии l от начала расширения не заполняет все сечение «2-2» трубы

В кольцевом пространстве между струей и стенками жидкость находится в вихревом движении: жидкость из этой зоны вовлекается в центральную струю, с другой стороны , жидкость из струи попадает в вихревую зону. Благодаря отрыву потока, и вихреобразованию происходит потеря напора. Обозначим давление, скорость и площадь потока в сечении 1 - 1 соответственно через Р1 , V1, S1 , а в сечении 2 - 2 через Р2 , V2, S2.

Прежде чем составлять исходные уравнения, сделаем три допущения: 1) распределение скоростей в сечениях 1-1 и 2-2 равномерное; т. е. б1 = б2 =1, что обычно принимается при турбулентном режиме. 2) учитывая, что участок 1-2 невелик, силами трения пренебрегаем; З) Принимаем, что в сечении 1 - 1 давление Р1 действует по всей площади S2.

Запишем для сечений 1 - 1 и 2 - 2 уравнение Бернулли с учетом потери напора hрасш на расширение и, принимая, что z1 = z2= 0, получим

(9.1)

Затем применим теорему Эйлера об изменения количества движения к цилиндрическому объему, заключенному между сечениями 1 - 1, 2 - 2 и стенкой трубы.

«Сила, действующая на тело равна изменению количества движения тела за единицу времени».

Соответствующее изменение количества движения является разностью между секундным количеством движения, выносимым из рассматриваемого объема и вносимым в него:

Q*с*( V2 -V1)=V2S2 с* (V2 -V1) . (9.2).

Получим (Р1 -Р2 ) * S2 = V2S2 с* (V2 -V). (9.3)

Разделим полученное уравнение на с*g, S2, учитывая, что, преобразуем правую часть уравнения.

(9.4.), подставим (2) в (1).

Сгруппировав члены, получим

Т. е. потеря напора при внезапном расширении русла равна скоростному напору, определенному по разности скоростей. Эту формулу называют теоремой Борда в честь французского ученого, который вывел ее в 1766 г.

По уравнению расхода V1S1 = V2S2, полученный результат можно выразить относительно скорости V1 в узкой трубе, в сечении «1-1»:

(9.5)

Коэффициент потерь для внезапного расширения трубопровода:

(9.6)

Формула хорошо подтверждается опытом при турбулентном течении и широко используется в расчетах. Когда площадь S2, весьма велика по сравнению с площадью S1 и, следовательно, скорость V2 можно считать равной нулю, потеря на расширение

Т. е. в этом случае теряется весь скоростной напор (вся кинетическая энергия, которой обладает жидкость); коэффициент потерь о = 1. Такому случаю соответствует, например, подвод жидкости по трубе к резервуару достаточно больших размеров.

Внезапное расширение трубопровода. Коэффициент местного сопротивления (теорема Борда).

Все гидравлические потери энергии делятся на два типа: потери на трение по длине трубопроводов и местные потери, вызванные такими элементами трубопроводов, в которых вследствие изменения размеров или конфигурации русла происходит изменение скорости потока, отрыв потока от стенок русла и возникновение вихреобразования.

Простейшие местные гидравлические сопротивления можно разделить на расширения, сужения и повороты русла, каждое из которых может быть внезапным или постепенным. Более сложные случаи местного сопротивления представляют собой соединения или комбинации перечисленных простейших сопротивлений.

Внезапное расширение трубопровода

При внезапном расширении трубы (рис. 1.63) поток расширяется до большего диаметра не сразу, жидкость отрывается от стенок и дальше движется в виде свободной струи, отделенной от остальной жидкости поверхностью раздела. Поверхность раздела неустойчива, в кольцевом пространстве между потоком и стенкой трубы образуются вихри. Струя постепенно расширяется, пока на некотором расстоянии l от начала расширения не заполняет все сечение «2-2» трубы

В кольцевом пространстве между струей и стенками жидкость находится в вихревом движении: жидкость из этой зоны вовлекается в центральную струю, с другой стороны , жидкость из струи попадает в вихревую зону. Благодаря отрыву потока, и вихреобразованию происходит потеря напора. Обозначим давление, скорость и площадь потока в сечении 1 - 1 соответственно через Р1 , V1, S1 , а в сечении 2 - 2 через Р2 , V2, S2.

Прежде чем составлять исходные уравнения, сделаем три допущения: 1) распределение скоростей в сечениях 1-1 и 2-2 равномерное; т. е. б1 = б2 =1, что обычно принимается при турбулентном режиме. 2) учитывая, что участок 1-2 невелик, силами трения пренебрегаем; З) Принимаем, что в сечении 1 - 1 давление Р1 действует по всей площади S2.

Запишем для сечений 1 - 1 и 2 - 2 уравнение Бернулли с учетом потери напора hрасш на расширение и, принимая, что z1 = z2= 0, получим

(9.1)

Затем применим теорему Эйлера об изменения количества движения к цилиндрическому объему, заключенному между сечениями 1 - 1, 2 - 2 и стенкой трубы.

«Сила, действующая на тело равна изменению количества движения тела за единицу времени».

Соответствующее изменение количества движения является разностью между секундным количеством движения, выносимым из рассматриваемого объема и вносимым в него:

Q*с*( V2 -V1)=V2S2 с* (V2 -V1). (9.2).

Получим (Р1 -Р2 ) * S2 = V2S2 с* (V2 -V).(9.3)

Разделим полученное уравнение на с*g, S2, учитывая, что, преобразуем правую часть уравнения.

(9.4.),

подставим (2) в (1). Сгруппировав члены, получим

Т. е. потеря напора при внезапном расширении русла равна скоростному напору, определенному по разности скоростей. Эту формулу называют теоремой Борда в честь французского ученого, который вывел ее в 1766 г.

По уравнению расхода V1S1 = V2S2, полученный результат можно выразить относительно скорости V1 в узкой трубе, в сечении «1-1»:

(9.5)

Коэффициент потерь для внезапного расширения трубопровода:

(9.6)

Формула хорошо подтверждается опытом при турбулентном течении и широко используется в расчетах. Когда площадь S2, весьма велика по сравнению с площадью S1 и, следовательно, скорость V2 можно считать равной нулю, потеря на расширение

Т. е. в этом случае теряется весь скоростной напор (вся кинетическая энергия, которой обладает жидкость); коэффициент потерь о = 1. Такому случаю соответствует, например, подвод жидкости по трубе к резервуару достаточно больших размеров.

Ламинарное течение жидкости в круглых трубах. Профиль скорости в поперечном сечении.

Течение жидкости в цилиндрической трубе, при котором скорости частиц жидкости всюду направлены вдоль оси трубы, называется ламинарным или слоистым. Такое течение возможно только при не очень большой скорости потока вязкой жидкости в трубах малого поперечного сечения. С увеличением скорости или с увеличением площади сечения трубы характер течения принципиально изменяется. Вместо слоистого течения возникает носящее нерегулярный характер завихрение, или турбулентное течение. Изменение характера течения можно наблюдать в эксперименте со стеклянными трубками различного сечения при различных перепадах давления, при различных скоростях жидкости. Линии тока при стационарном течении можно сделать видимыми, впуская во входное сечение стеклянной трубки окрашенную струйку жидкости. При небольшой скорости потока в узкой трубке подкрашенная струйка движется ровно и параллельно оси трубки. При постепенном увеличении скорости потока внезапно начинается нерегулярное движение, которое постепенно захватывает всю трубку, струйка, ровная у входа, разбивается на множество извилистых струек. Такие нерегулярные изменения движения происходят не из-за изменения внешних условий, а вследствие неустойчивости ламинарного течения при больших скоростях.

Турбулентное течение жидкости в круглых трубах. Пульсации, линии тока, коэффициент Кориолиса

Турбулентным называется течение, сопровождающееся интенсивным перемешиванием жидкости с пульсациями скоростей и давлений. Наряду с основным продольным перемещением жидкости наблюдаются поперечные перемещения и вращательные движения отдельных объемов жидкости. Переход от ламинарного режима к турбулентному наблюдается при определенной скорости движения жидкости. Эта скорость называется критической v_кр. Значение этой скорости прямо пропорционально кинематической вязкости жидкости и обратно пропорционально диаметру трубы.

Пульсации это колебания давлений и скоростей. Турбулентное течение обладает рядом сложных свойств, поэтому нет универсальной материальной модели данного течения.

ф = фв + фт

В турбулентном течении траектории движении жидких частиц изменяются по времени, могут пересекаться итд.

х = хср + хпульсац.

Рассматривая установившееся осредненное турбулентное движение в плоской трубе (рис. 1), представляют себе линии тока осредненного движения в виде прямых, параллельных оси трубы. Это - стратификация по скорости. При установившемся движении во всех сечениях трубы имеет место одинаковый профиль осредненных скоростей . Форма профиля зависит от свойств турбулентного движения и будет в дальнейшем определена. Линии тока пульсационного движения пересекают линии тока осредненного движения, проникают из одного слоя осредненного движения в другой и создают при этом перемешивание жидкости сквозь площадки, расположенные вдоль линий тока осредненного движения.

Коэффициент Кориолиса в турбулентном течении =1,04.

Размещено на Allbest.ru

...