Исследование закона распределения случайной величины

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача. В течение 100 лет (1841-1940) в Стокгольме наблюдалась средняя температура в июле:

температура частота

до 12,4 10

12,5-12,9 12

13,0-13,4 9

13,5-13,9 10

14,0-14,4 19

14,5-14,9 10

15,0-15,4 9

15,5-15,9 6

16,0-16,4 7

от 16,5 8

б1= 0,05, б2= 0,02, б3= 0,01, r = 0.56.

1. Построить графики эмпирической функции распределения и полигона частот исследуемой случайной величины.

2. Вычислить несмещенные оценки математического ожидания Х и дисперсии у2.

3. Выдвинуть и проверить гипотезу о законе распределения генеральной совокупности с уровнем значимости б1.

4. Проверить гипотезы о среднем значении:

эмпирический график гипотеза величина

Н0 : ЕХ = [Х] Н0 : EХ=[Х]+I

Н1 : EX ? [Х] Н4 : EХ<[Х]+I

с уровнем значимости б2 и б3 соответственно.

5. Построить доверительный интервал для математического ожидания исследуемой случайной величины и в случае нормального распределения генеральной совокупности для дисперсии с уровнем доверия r.

Решение.

Мы имеем интервальный ряд, для таких рядов обычно строят гистограмму частот, а полигон частот строится для дискретного ряда. Поэтому преобразуем данные наблюдений в дискретное статистическое распределение: за значение случайной величины Х примем середину интервала, вероятность рассчитаем p(i) =n(i)/N

Проверим: сумма вероятностей должна быть равна 1: 0,1+0,12+0,09+0,1+0,19+0,1+0,09+0,06+0,07+0,08 = 1

Строим график эмпирической функции распределения:

0 при х <? 12,4

0,1 при 12,4 ? х < 12,5

0,22 при 12,5 ? х < 13.0

F(x) = 0,31 при 13,0 ? x < 13,5

0,41 при 13,5 ? х < 14.0

0,6 при 14.0 ? х < 14,5

0,7 при 14,5 ? х < 15.0

0,79 при 15.0 ? х < 15,5

0,85 при 15,5 ? х < 16.0

0,92 при 16.0 ? х < 16,5

1 при х ? 16.5

Полигон частот - ломаная, отрезки которой соединяют точки (t; n). Если соединить ломаной точки (Х, р), получим полигон относительных частот.

2. Вычислить несмещенные оценки математического ожидания Х и дисперсии у2.

Выборочная средняя является несмещенной оценкой математического ожидания генеральной совокупности: Хср = М(Х) = (?Xi*ni)/n =(12,4*10+12,7*12+13,2*9+13,7*10+14,2*19+14,7*10+15,2*9+15,7*6+16,2*7+16,5*8)/100 = 14,254

Найдем выборочную дисперсию по формуле: Dв = 1/n * ?ni*Xi2 - (Xcp)2 =

=(12,42*10+12,72*12+13,22*9+13,72*10+14,22*19+14,72*10+15,22*9+15,72*6+16,22*7+16,52*8)/100 - 14,2542 = 1,659

Чтобы получить несмещенную оценку генеральной дисперсии, нужно выборочную дисперсию умножить на дробь n/(n-1) :

M(D) =S2 = Dв * n/(n-1) = 1.659*100/99 = 1,676

Несмещенное среднее квадратическое отклонение у = ?ЇS2 = 1.295

3. Выдвинуть и проверить гипотезу о законе распределения генеральной совокупности с уровнем значимости б1.

Форма полигона частот дает возможность выдвинуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

Проверим эту гипотезу, используя критерий Пирсона. Вычислим теоретические вероятности попадания случайной величины в данный интервал, используя таблицы значений функции Лапласа и найденную оценку среднего квадратического отклонения:

p(a<X?b) = Ф((b-M(X))/у) - Ф((a-M(X))/у)

p(0<X?12,4) = Ф((12,4-14,254)/1,295) - Ф((0-14,254)/1,295) = Ф((-1,432) - Ф(-11,01) = -0,424 +0,5 = 0,076

p(12,4<X?12,9) = Ф((12,9-14,254)/1,295) - Ф((12,4-14,254)/1,295) = Ф((-1,0456) - Ф(-1,432) = -0,352 +0,424 = 0,072

p(12,9<X?13,4) = Ф((13,4-14,254)/1,295) - Ф((12,9-14,254)/1,295) = Ф((-0,659) - Ф(-1,046) = -0,245 +0,352 = 0,107

p(13,4<X?13,9) = Ф((13,9-14,254)/1,295) - Ф((13,4-14,254)/1,295) = Ф((-0,273) - Ф(-0,659) = -0,106 +0,245 = 0,139

p(13,9<X?14,4) = Ф((14,4-14,254)/1,295) - Ф((13,9-14,254)/1,295) = Ф((0,113) - Ф(-0,273) = 0,044 +0,106 = 0,150

p(14,4<X?14,9) = Ф((14,9-14,254)/1,295) - Ф((14,4-14,254)/1,295) = Ф((0,499) - Ф(0,113) = 0,192 - 0,044 = 0,148

p(14,9<X?15,4) = Ф((15,4-14,254)/1,295) - Ф((14,9-14,254)/1,295) = Ф((0,885) - Ф(0,499) = 0,311 - 0,192 = 0,119

p(15,4<X?15,9) = Ф((15,9-14,254)/1,295) - Ф((15,4-14,254)/1,295) = Ф((1,27) - Ф(0,885) = 0,398 - 0,311 = 0,087

p(15,9<X?16,4) = Ф((16,4-14,254)/1,295) - Ф((15,9-14,254)/1,295) = Ф((1,657) - Ф(1,273) = 0,449 - 0,398 = 0,051

p(16,4<X?25) = Ф((25-14,254)/1,295) - Ф((16,4-14,254)/1,295) = Ф((10,756) - Ф(1,657) = 0,5 - 0,449 = 0,051

Занесем рассчитанные величины в таблицу и рассчитаем разности между теоретическими и фактическими частотами p(i) - w(i), а также величины (p(i) - w(i))2 /w(i) :

Расчетное значение критерия Пирсона Х2 = n* (p(i) - w(i))2 /w(i) = 100*0.118474 = 11.8474

При уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы 10-3 = 7 (10-число интервалов, 3 - т.к. нормальное распределение) находим по таблице критическое значение Х2крит = 14,07.

Т.к. расчетное значение Х2 меньше критического, то при заданном уровне значимости (опасности отвергнуть правильную гипотезу не более чем в 5% случаев) гипотеза о нормальном распределении не отвергается. Вероятность того, что фактическое распределение можно считать нормальным, не менее 0,105 т.е. 10,5%.

5. Построить доверительный интервал для математического ожидания исследуемой случайной величины и в случае нормального распределения генеральной совокупности для дисперсии с уровнем доверия г = 0.56.

Если Хср = 14,254 - выборочная средняя, а М(Х) - математическое ожидание генеральной совокупности, то нам нужно найти д такое, чтобы Р(¦М(Х) - Хср¦< д ) = г

Так как генеральная дисперсия нам неизвестна, используем исправленную дисперсию S2

Доверительный интервал имеет вид: (Хср - tг*S/vЇn ; Хср + tг*S/vЇn ), где tг находим по таблице коэффициентов доверия при уровне доверия 0,56 и объеме выборки 100: tг = 0,765

14,254 - 0,765*1,295/10 < M(X) < 14,254+0,765*1,295/10 ; 14,155 < M(X) < 14,353

Доверительный интервал для математического ожидания с надежностью 0,56 : (14,155 ; 14,353)

Оценим неизвестную генеральную дисперсию с надежностью г = 0.56. При неизвестном математическом ожидании доверительный интервал для дисперсии имеет вид:

(n-1) * S2 /ч2L < у2 < (n-1) * S2 /ч2R где значения критерия находим по таблицам при числе степеней свободы n-1 = 100-1 = 99: ч2R - для вероятности г = 0.56, ч2L - для вероятности 1 - г = 0,44

Находим по таблице: ч2R = 96,233 ; ч2L = 100,465;

Рассчитываем : (n-1)*S2 /ч2R = 99*1.676/96,233 = 1,724 ; (n-1)*S2 /ч2L = 99*1,676/100,465 = 1,652;

Доверительный интервал для генеральной дисперсии с надежностью 0,56 : (1,652; 1,724)

4. Проверить гипотезы о среднем значении:

1) Н0 : ЕХ = [Х] 2) Н0 : EХ=[Х]+I

Н1 : EX ? [Х] Н1 : EХ<[Х]+I

б2 = 0,02 б3 = 0,01

с уровнем значимости б2 и б3 соответственно

Итак, 1) нужно проверить гипотезу о равенстве генерального мат. ожидания выборочной средней при неизвестной генеральной дисперсии. Альтернативная гипотеза: генеральная средняя не равна выборочной средней. Уровень значимости 0,02.

Критерий для принятия нулевой гипотезы следующий: ¦ЕХ - Хср¦*vЇ(n-1) /S < tn-1,1-б/2

По таблице критических точек распределения Стьюдента для двусторонней области находим:

при n-1 = 100-1 =99; 1-0.02/2 = 0.99 tn-1,1-б/2= 2.36

Двусторонняя критическая область имеет вид: Н1 Н0 Н1 -2,36 0 2,36

Т.к. -2,36 < (14 -14,254)*vЇ(100-1) /1,295 < 2,36 ; -2,36 <1.95 < 2,36 ; то нет оснований отвергать нулевую гипотезу о равенстве генеральной средней и выборочной средней.

2) проверим гипотезу Н0 : EХ=[Х]+1 т.е ЕХ = 14,254+1 = 15,254 при альтернативной гипотезе Н1: ЕХ<15,254 на уровне значимости 0,01.

Здесь будет левосторонняя критическая область, при n-1 = 100-1 = 99; 1-0.01/2 = 0.995 найдем tn-1,1-б/2= - 2,626. Построим критическую область: Н1 Н0 -2,626

Вычисляем значение статистики: (Хср - ЕХ)*vЇ(n-1)/S = (14,254-15,254)*vЇ99 /1,295 = -7,6833

Это значение попадает в критическую область, что дает нам основание отвергнуть нулевую гипотезу об отклонении генеральной средней от выборочной средней на 1 и принять альтернативную гипотезу: отклонение генеральной средней от выборочной меньше 1 при уровне значимости 0,01.

Размещено на Allbest.ru