Практическое применение теории массового обслуживания

Переводя этот показатель в количество перфокарт в 1 мин, находим, что оптимальное значение пропускной способности считывающего устройства равняется (123*1000)/(8*60)=256 перфокарт в 1 мин.

3.3.2 Оптимальное число обслуживающих приборов

Рассмотрим мультиканальную модель. Стоимостная модель массового обслуживания в данном случае должна быть ориентирована на определение оптимального числа обслуживающих приборов, которое мы обозначили выше через с. предполагается, что значения и фиксированы. Интегральная стоимость показателей задается формулой

где С1 - отнесены к единице времени затраты на обеспечение функционирования одного дополнительного обслуживающего прибора, LS(с)- среднее число находящихся в обслуживающей системе требований. Оптимальное значение с находим из условий

что эквивалентно неравенству

Величина С1/С2 теперь является указателем того, где должен начинаться поиск оптимального значения с.

Пример. На складе запасных частей производится замена вышедших из строя механических узлов новыми. Заявки на замену поступают в соответствии с пуассоновским распределением вероятностей со средним значением количества заявок, равным =17,5. Каждый работник данного склада способен удовлетворить в среднем =10 заявок в час. Затраты, ассоциированные с добавлением к штату обслуживающих одного человека, оцениваются в 6 долл. в час. Произведенные потери из-за простоя станка в период замены тех или иных вышедших из строя узлов и (или) деталей составляет 30 долл. В. час. Сколько человек должен включать штат обслуживающего персонала на складе запасных частей?

Определение оптимального значения с приведены в таблице 5.

Таблица 5

Поскольку C1/C2=6/30=0,2 имеем

Следовательно, оптимальное количество работников равняется 4.

Если C1=10 долл и C2=20 долл, то оптимальное количество работников равно:

, т.е. 3.

3.4 Моделирование с учетом предпочтительности уровня обслуживания

К моделям, в которых осуществляется учет предпочтительного уровня обслуживания, переходят из-за трудностей получения числовых значений стоимостных показателей (параметров) процесса массового обслуживания; при этом весь анализ производится на основе более примитивных оценок операционных характеристик, исследуемых СМО. При использовании таких моделей в ходе поиска "оптимальных" значений основных параметров проектируемой системы обращаются непосредственно к ее операционным характеристикам. При этом "оптимальность" связывают с возможностью обслуживающей системы удовлетворить некоторый желательный с точки зрения, принимающего решение, уровень активности системы. Эти желательные уровни определяются путем оценок верхних предельных значений тех конкурирующих экономических показателей, между которыми лицо, принимающее управляющее решение, хочет установить "баланс".

В мультиканальной модели задача заключается в определении оптимального значения числа обслуживающих приборов с с учетом того, что "конкурирующими" являются следующие показатели: средняя продолжительность ожидания WS и доля времени (Х), в течение которого обслуживающий прибор вынужденно бездействует. Эти показатели и определяют потенциальный характер процесса массового обслуживания. Обозначим верхние предельные значения WS и Х через и соответственно. Определим число обслуживающих приборов так, чтобы

Выражение для Х имеет вид

Решение задачи может быть найдено элементарным способом, если построить графики функций WS=WS(c) и X=X(c). Указав графически уровни и , можно сразу же выявить приемлемый диапазон значений с, т.е. такой диапазон значений с, для которого выполняются оба указанных выше условия.

Пример. Вернувшись к условию предыдущего примера, предположим, что цель заключается в определении такого числа работников на складе запасных частей, при котором среднее время ожидания от момента подачи заявки до момента получения требуемой запасной части не превышало бы 20 мин. одновременно потребуем, чтобы доля времени, в течение которого обслуживающий персонал на складе вынужден "простаивать", не превышала бы 15%.

В табл 6. приведены значения WS и X для различных с. с увеличением с величина WS уменьшается.

Таблица 6

Из табл 6. видно, что при переходе от с=2 к с=3 происходит резкое уменьшение WS. Любое последующее увеличение значения с приводит к незначительному изменению WS. Обратившись теперь к Х, мы видим, что переход от с=2 к с=3 более чем в три раза увеличвает долю времени, в течение которого работники вынуждены простаивать. Следовательно, выбор между вариантом, когда с=2 и вариантом, когда с=3, должен осуществляться с учетом того, насколько значимо снижение простоя каждого станка из-за необходимости заменить в нем определенные детали с 25, 6 до 7,6 мин; при этом следует, естественно, помнить, что уменьшение WS с 26,5 до 7,6 мин. влечет за собой увеличение средней доли вынужденных простоев обслуживающего персонала на складе запасных частей с 12,5 до 41,7%.

3.5 Линейный способ решения СМО

Некоторые задачи СМО можно решать методом решения задач линейного программирования (ЗЛП). Рассмотрим этот метод на конкретном примере. ЗЛП характеризуется наличием целевой функции и системой ограничений переменных.

Пример. В полосе обороны обнаружено 180 различных объектов противника, которые подлежат уничтожению. Все они могут быть сведены в три типовые группы (табл. 7). Для нанесения ударов привлекается 180 средств трех разнородных групп: баллистические ракеты, истребители бомбардировщики и артиллерийские подразделения. Одно средство поражения может нанести удар в данный момент только по одному объекту. Требуется так распределить средства поражения по объектам противника, чтобы число обслуженных объектов было максимальным. Исходные данные задачи представлены в табл. 1.

Таблица 7

Исходными данными задачи являются: тип и число средств, тип и число объектов обслуживания, плотность потока и вероятность обслуживания Pобс. В табл. 7 переменные х11, х12, …, х33 обозначают число средств данной группы, планируемое для нанесения ударов по типовым объектам противника.

Решение.

1 этап решения.

Целевая функция и система ограничений:

Приводим ограничения к канонической форме

В результате решения (см. приложение 1(2 этап)) получаем следующий результат: оптимальным способом обслуживания объектов противника является такой, когда 24 баллистические ракеты необходимо спланировать по объектам третьего типа, 12 и 48 истребителей-бомбардировщиков направить соответственно на объекты второго и третьего типа, а огонь 96 артиллерийских подразделений спланировать поровну соответственно по объектам первого и второго типа. При таком распределении средств поражения по объектам противника достигается максимальное число обслуженных объектов. Математическое ожидание числа обслуженных объектов равно М=153,36. Задача решена при помощи прикладного пакета Excel.

Заключение

В данном курсовом проекте представлена тема "Системы массового обслуживания". Системы массового обслуживания имеют огромное практическое применение в наше время, что показано в рассмотренных примерах. СМО разделяются на большое количество типов. В пояснительной записке рассмотрены следующие виды: система массового обслуживания типа (M/M/1):(GD//). В модели (M/M/1):(GD//) имеется единственный узел обслуживания (обслуживающий прибор), а на вместимость блока ожидания и емкость источника требований никаких ограничений не накладывается. Входной и выходной потоки являются пуассоновскими с параметрами и соответственно. Система массового обслуживания типа (M/M/1):(GD/N/). Разница между моделью типа (M/M/1):(GD/N/) и моделью типа (M/M/1):(GD//) заключается только в том, что требований, допускаемых в блок ожидания обслуживающей системы, равняется N. Это означает, что при наличии в системе N требований ни одна из дополнительных заявок на обслуживание не может присоединяться к очереди в блоке ожидания. Система массового обслуживания типа (M/M/c):(GD//). Процесс массового обслуживания, описываемый моделью (M/M/c):(GD//), характеризуется интенсивностью входного потока и тем обстоятельством, что параллельно обслуживаться может не более с клиентов. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента равняется 1/. Входной и выходной потоки являются пуассоновскими. Также рассмотрены модели со стоимостными характеристиками и моделирование с учетом предпочтительности уровня обслуживания.

Список использованной литературы

1. Лукин А.И. Системы массового обслуживания - М.: Высшая школа,1980.

2. Саати Т.Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения- М.: 1971.

3. Саульев В.К. Математические модели теории массового обслуживания - М.: 1979.

Таха Х. Введение в исследование операций. -М.: Мир, 1985.

Приложение А

Решение СМО методом ЗЛП

Список сокращений

ТМО - теория массового обслуживания.

СМО - система массового обслуживания.

ЗЛП - задача линейного программирования.

Размещено на Allbest.ru