Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Національний педагогічний університет імені М.П.Драгоманова

Фізико-математичний інститут

Кафедра вищої математики

Курсова робота

з геометрії

На тему: Трикутники площини Лобачевського

Зміст

• Вступ
• Розділ 1. Неевклідова геометрія, або геометрія Лобачевського
• 1.1 Історія виникнення геометрії Лобачевського
• 1.2 Основні поняття, аксіоми і наслідки з них
• Розділ 2. Властивості трикутників на площині Лобачевского
• Висновки
• Список використаних джерел
• Вступ
• У III столітті до нашої ери грецький вчений Евклід привів в систему відомі йому геометричні відомості у великому творі «Начала». Ця книга більше двох тисяч років служила підручником геометрії у всьому світі.
• Уважне вивчення системи Евкліда привело вчених до висновку, що в «Началах» є досить серйозні недоробки. Наприклад, число аксіом, сформульованих Евклідом, є недостатнім для строгого викладу геометрії, тому Евклід при викладі деяких своїх доведень спирався на безпосередню очевидність, наочність, інтуїцію і чуттєві сприйняття.

Окрім геометрії, яку вивчають в школі(Геометрії Евкліда), існує ще одна геометрія, геометрія Лобачевского. Ця геометрія істотно відрізняється від Евкліда, наприклад, в ній стверджується, що через цю точку можна провести безліч прямих, паралельних цій прямій, що сума кутів трикутника менше 180о. У геометрії Лобачевского не існує прямокутників, подібних трикутників і так далі.

Неевклідова геометрія з'явилася внаслідок довгих спроб довести V постулат Евкліда - аксіому паралельності. Ця геометрія багато в чому дивовижна, незвичайна і багато в чому не відповідає нашим звичним уявленням про реальний світ. Але в логічному відношенні ця геометрія не поступається геометрією Евкліда.

В історії розвитку аксіоматичного методу важливу роль зіграли аксіоми Д. Гільберта, німецького ученого(1862-1943), що виділявся серед плеяди учених того періоду. Ці аксіоми свого часу відповідали рівню суворості геометрії. У 1899 р. Д. Гільберт писав: «Геометрія, так само як і арифметика, вимагає для своєї побудови тільки небагатьох простих основних положень. Ці основні положення називаються аксіомами геометрії. Встановлення аксіом геометрії і дослідження їх взаємовідносин - це завдання, яке з часів Евкліда стало темою численних прекрасних творів математичної літератури. Завдання це зводиться до логічного аналізу нашого просторового представлення.

Аксіоматичний метод, уперше розроблений Д. Гільбертом в геометрії з нових позицій, проник і в інші гілки математики : в теорію множин, алгебру, топологію, теорію ймовірностей та ін. Окрім цього, аксіоматичний метод став використовуватися і при побудові інших наук, особливо фізики. Ці досягнення пов'язані з переворотом в геометрії, здійсненим М.І. Лобачевським. Історично склалося, що саме до п'ятого постулату Евкліда упродовж багатьох віків було привернуто увагу математиків. Глибоко проаналізувавши спроби доведень п'ятого постулату, як своїх, так і що належать іншим математикам, М.І. Лобачевський прийшов до переконання про незалежність цього постулату від інших аксіом, тобто до несуперечності геометрії, в якій аксіоматизується існування двох різних прямих, що проходять через цю точку паралельно заданій прямій.

М.І. Лобачевський не лише передбачив існування нової геометрії - неевклідової, але і детально її розробив. Його точка зору суперечила усім уявленням людини про навколишній світ. Нова геометрія різко розходилася з філософським поглядом того часу на простір (І.Кант), тому це відкриття було приголомшуючим. Виходило так, що припущення про неевклідовість реального фізичного простору несуперечило аксіомам Евкліда, окрім п'ятого постулату.

У 70-і роки минулого століття була доведена несуперечність геометрії, що по праву отримала ім'я Лобачевского. Це доведення було побудовано з допомогою моделей Келі-Клейна та Пуанкаре

Розділ 1. Неевклідова геометрія, або геометрія Лобачевського

1.1 Історія виникнення геометрії Лобачевського

Серед аксіом Евкліда була аксіома про паралельність прямих, а точніше, п'ятий постулат про паралельні лінії: якщо дві прямі утворюють з третьою за одну її сторону внутрішні кути, сума яких менше розгорнутого кута, то такі прямі перетинаються при достатньому продовженні з одного боку.

У сучасній формулюванні вона говорить про існування не більше однієї прямої, що проходить через дану точку поза даною прямою і паралельної цій даної прямої.

Складність формулювання п'ятого постулату породила думку про можливу залежності його від інших постулатів, і тому виникали спроби вивести його з інших передумов геометрії. Всі спроби закінчувалися невдачею. Були спроби докази від протилежного: прийти до протиріччя, припускаючи вірним заперечення постулату. Однак і цей шлях був безуспішним.

Виявилося те, що п'ятий постулат не залежить від попередніх, а значить, його можна замінити на йому еквівалентний. І на початку X I X століття, майже одночасно відразу в декількох математиків: у К. Гаусса в Німеччині, у Я. Больяи в Угорщині та у Н. Лобачевського в Росії, виникла думка про існування геометрії, в якій вірна аксіома, що замінює п'ятий постулат: на площині через точку, не лежить на даній прямій, проходять, принаймні, дві прямі, не перетинають дану.

В силу пріоритету М. Лобачевського, який першим виступив з цією ідеєю в 1826, і його внеску у розвиток нової, відмінної від евклідової геометрії остання була названа на його честь «геометрією Лобачевського».

Аксіоматика планіметрії Лобачевского відрізняється від аксіоматики планіметрії Евкліда лише однією аксіомою: аксіома паралельності замінюється на її заперечення - аксіому паралельності Лобачевського: через точку, що не належить даній прямій, в площині, що визначається ними, можна провести не менше двох прямих, які не перетинають даної прямої.

1.2 Основні поняття, аксіоми і наслідки з них

Площина (або простір), в якій виконується аксіома Лобачевського, називається площиною (простором) Лобачевського.

Розглянемо основні наслідки, які випливають з аксіоми Лобачевського.

Лема 1. Якщо при перетині двох прямих січною кути (відповідні кути) рівні, то прямі не перетинаються.

Доведення. Нехай при перетині прямих а і b січною АВ кути, що лежать навхрест, рівні (наприклад 1 = 2 ). Якщо припустити, що прямі а і b перетинаються в деякій точці Р, то отримаємо трикутник АВР, у якого один з кутів при вершині А або В дорівнює зовнішньому куту при іншій вершині(див. мал.).

Але це суперечить теоремі про зовнішні кути трикутника. Друге твердження теореми безпосередньо сліує з доведеного.

Виникає питання: скільки ж через точку М, яка не лежить на прямій а, проходить прямих, паралельних прямій а? Відповідь на це запитання дає наступна теорема.

Теорема 1. Якщо має місце V постулат, то через кожну точку М, що не лежить на прямій а, проходить тільки одна пряма, паралельна прямій а.

Доведення. Проведемо пряму MN, перпендикулярну до прямої а, N а, і пряму b, що проходить через точку М перпендикулярно до прямої MN. Тоді прямі а і b паралельні.

Проведемо через точку М довільну пряму b' відмінну від прямої b. Один з суміжних кутів 1 або 2, відмічених на цьому ж малюнку, гострий; нехай 1 гострий. При перетині прямих а і b' з прямою MN отримуємо внутрішні односторонні кути: 1 і 3, сума яких менше двох прямих кутів, значить, по V постулату прямі а і b' перетинаються.¦

Існує і зворотна теорема:

Теорема 2. Якщо прийняти, що через точку, що не лежить на цій прямій, проходить тільки одна пряма, що паралельна даній, то є справедливим V постулат.

Отже, V постулат еквівалентний (рівносильний) так званій аксіомі паралельних прямих : через точку, що не лежить на цій прямій, проходить не більше ніж одна пряма, паралельна даній.

Теорема 6. Існує три типи взаємного розміщення двох прямих на площині Лобачевського: збіжні, розбіжні, паралельні.

Доведення. Розглянемо перпендикуляр MN, проведений з точки М до прямої АВ, і пряму MP, перпендикулярну до прямої MN (мал. 5). Ми припускаємо, що точки Р і В лежать по одну сторону від прямої MN. По лемі 1 прямі MP і NB не перетинаються.

Точки відрізку NP розіб'ємо на два класи К1 і К2 за наступним законом. До першого класу віднесемо ті точки X цього відрізку, які задовольняють умові: промінь MX перетинає промінь NB, а до другого класу -- всі інші точки відрізку NP. Доведемо, що вказане розбиття задовольняє умовам а) і б) Дедекінда.

а) Очевидно, N К1 і Р К2. Клас К1 містить точки, відмінні від N, наприклад, точки X перетину променя МХ1 з відрізком NP, де Х1 -- довільна точка променя NB(мал. 5). Клас K2 містить точки, відмінні від Р. Дійсно, за аксіомою V* існує пряма MS1, відмінна від прямої MP і яка не перетинає пряму АВ. Пряма MS2, симетрична прямій MS1 відносно прямої MN також не перетинає пряму АВ(мал. 5). Одна з прямих MS1 або MS2 проходить всередині кута NMP, тому перетинає відрізок NP в деякій точці Y, що належить класу К2

б) Нехай X -- довільна точка класу К1, відмінна від N, а Y -- точка другого класу. Тоді N -- X -- У, оскільки в іншому випадку маємо N -- Y -- X, що означає, що промінь MY -- внутрішній промінь кута NMX. Звідси витікає, що промінь MY перетинає відрізок NХ1 тобто. У К1.

Отже, на множині точок відрізку NP маємо Дедекіндовий переріз. Нехай точка D утворює цей переріз. Доведемо, що D К2. Припустимо супротивне, тобото що D К1. Тоді промінь MD перетинає промінь NB в деякій точці D1(мал. 6). Візьмемо на промені NB точку D'1 так, щоб N -- D1 -- D'1. Промінь MD'1 перетинає відрізок DP в деякій точці D' (мал. 6), яка належить класу K1. Отримане протиріччя суперечить умовам Дедекінда. Таким чином, D К2.. На прямій MD візьмемо точку С так, щоб С -- М -- D. За теоремою 1 CD||AB.

Залишається довести, що CD -- єдина пряма, що проходить через точку М і паралельна прямій АВ. Нехай, навпаки, C'D' -- інша пряма, що проходить через точку М і паралельна прямій АВ. За означенням паралельних прямих внутрішні промені кутів NMD і NMD' перетинають промінь NB, тому промені MD, MD' лежать в тій самій напівплощині з межею MN, що і промінь NB. Звідси ми приходимо до висновку, що або MD -- внутрішній промінь кута NMD', або MD' -- внутрішній промінь кута NMD.

Але тоді одна з прямих CD або C'D' перетинає пряму АВ, що суперечить означенню паралельності прямих.

3. Нехай М -- точка, що не лежить на прямій a, a MN -- перпендикуляр, проведений з точки М на пряму а. Виберемо на прямій а дві точки А і В так, щоб А-- N -- В. З теореми 2 випливає, що через точку М проходить єдина пряма CD, паралельна напрямленій прямій АВ, і єдина пряма EF, паралельна напрямленій прямій ВА (мал. 7).

В ході доведення теореми 2 ми встановили, що кути DMN і FMN гострі, тому CD і EF -- різні прямі. Доведемо, що DMN = FMN. Нехай, навпаки, DMN = FMN. наприклад DMN > FMN. Розглянемо промінь MF', симетричний MF відносно прямої MN (промінь MF' не зображений на мал. 7). Цей промінь є внутрішнім променем кута DMN. Оскільки MF не перетинає пряму АВ, то і MF' не перетинає цю пряму. Але це суперечить визначенню паралельності прямих CD і АВ.

Таким чином, через кожну точку М, що не лежить на цій прямій а, проходять дві прямі, паралельні прямій а, в двох різних напрямах. Ці прямі утворюють рівні гострі утлі з перпендикуляром MN, проведеним з точки М до прямої а. Кожен з цих кутів називається кутом паралельності в точці М відносно прямої а.

Таким чином, через точку проходять дві прямі, паралельні прямій a: по одній паралелі в кожному з двох напрямів на прямій а.

Прямі а і b називаються розбіжними, якщо вони лежать в одній площині, не перетинаються і не паралельні. Розбіжних прямих безліч.

Доведемо, що величина кута паралельності цілком визначається відстанню від точки М до прямої а. Для цього звернемося до малюнка 219. На цьому малюнку NMD -- кут паралельності в точці М відносно прямої a, a N'M'D' -- кут паралельності' в точці М' відносно прямої а',

= NMD, x = MN,

'= N'M'D', x' =M'N'

Доведемо, що якщо х = х', то = '. Нехай, навпаки ? ' наприклад > '.Тоді існує внутрішній промінь h' кута N'M'D', такий, що кут між променями M'N' і h рівний . Промінь h' перетинає пряму а' в деякій точці F'. На прямій а від точки N відкладемо відрізок

NF = N'F'

так, щоб точки F і D лежали в одній напівплощині з межею MN. Отримаємо трикутник MNF, рівний трикутнику M'N'F' (трикутник MNF на мал. 8 не зображений). Оскільки

NMF =, то проміні MD і MF співпадають. Приходимо до висновку, що прямі MD і перетинаються. Це суперечить означенню паралельних прямих. Таким чином = '.

Отже, -- функція від х: = П(х). Вона називається функцією Лобачевского і грає істотну роль в гіперболічній геометрії. З попереднього викладу ясно, що функція П(х) визначена для кожного додатного х і що 0 < П(x) < П/2.

М. І. Лобачевський отримав аналітичний вираз цієї функції :

,

де k -- деяке додатне число.

З цієї формули випливає, що П(х) -- монотонно спадна неперервна функція. З цієї формули також слідує, що П(х) набуває усіх значень з (0 , П/2). Іншими словами, будь-який гострий кут є кутом паралельності в деякій точці відносно цієї прямої.

4. В геометрії Лобачевского існує залежність між кутовими і лінійними величинами; у цьому істотна відмінність геометрії Лобачевского від геометрії Евкліда. Так, в геометрії Лобачевского немає подібності фігур; зокрема, трикутники з відповідно рівними кутами рівні. Ще одна особливість геометрії Лобачевского пов'язана з одиницею виміру довжин. У геометрії Евкліда існують абсолютні константи кутових величин, наприклад прямий кут або радіан, тоді як лінійних абсолютних констант не існує. Для того, щоб довжини відрізків виразити числами, необхідно вибрати одиницю виміру довжин. В якості такої одиниці може бути вибраний довільний відрізок. В протилежність цьому в геометрії Лобачевского немає в цьому необхідності, оскільки, маючи природну одиницю виміру кутів, можна умовитися про вибір природної одиниці довжин. Наприклад, за одиницю довжини можна вибрати відрізок, якому відповідає кут паралельності, рівний П/4.

Розглянемо тепер найпростіші криві в геометрії Лобачевського.

За допомогою трьох типів пучків отримують аналоги кіл площини Евкліда. Для цього досить розглянути ортогональні траєкторії пучків, тобто такі лінії, які перетинають усі прямі пучка під прямим кутом.

1. Коло - ортогональна траєкторія прямих пучка першого роду (рис.12). Можливі будь-які розміри радіусу.

2. Еквідистанта, або лінія рівних відстаней - ортогональна траєкторія прямих пучка другого роду, база сюди не включається(рис.13). Доводиться, що усі точки еквідистанти знаходяться на постійній відстані від бази. Ця лінія увігнута у бік бази і незамкнута. У інтерпретації Клейна геометрії Лобачевского еквідистанту розглядають як коло з ідеальним центром, тобто з центром, що лежить за нескінченно віддаленими точками.

Размещено на http://www.allbest.ru/

3. Гранична лінія, або орицикл - ортогональна траєкторія прямих пучка третього роду(мал. 14.). Вона має чудові властивості. Передусім, орицикли конгруентні. Взагалі, дві криві називаються конгруентними, якщо між точками цих кривих можна встановити таку взаємно однозначну відповідність, при якій кожна хорда однієї кривої конгруентна відповідній (тобто що сполучає відповідні точки) хорді інший.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Крім того, орицикли не замкнені і увігнуті у бік паралельності. Граничну лінію можна розглядати як коло з нескінченно видаленим центром. При цьому, дві граничні лінії, побудовані для одного і того ж пучка, висікають на прямих цього пучка конгруентні відрізки: AA((BB(. Таким чином, орицикли концентричні. І ще однією властивістю їх є те, що відношення довжин дуг орициклів, що містяться між двома прямими пучка, є показниковою функцією відстані a між дугами, тобто : S/S=eak

Розділ 2. Властивості трикутників на площині Лобачевского

Як показав Лежандр, твердження, що сума кутів трикутника дорівнює еквівалентне постулату. Тому, на площині Лобачевского, сума кутів трикутника не повинна дорівнювати . Вона не може бути і більшою ніж , що суперечить абсолютній геометрії. Тому на площині Лобачевского сума кутів трикутника менша

Виникає запитання: якому конкретно числу дорівнює сума кутів трикутника на площині Лобачевского? Виявляється, що такого конкретного числа для трикутників в геометрії Лобачевского просто не існує. Тут справедлива наступна теорема.

Теорема 3. Сума кутів трикутника в геометрії Лобачевського є величина стала і залежить від форми і розмірів трикутника.

Доведення. Міркування проведемо методом від супротивного. Припустимо, що сума кутів трикутника на площині Лобачевского є величина стала і дорівнює . Розглянемо з кутами .

Тому

.

Візьмемо на стороні довільну точку та з'єднаємо її з точкою С. розіб'ється на два треугольника: з кутами та з кутами .

Тоді, за припущенням

.

Складемо ці рівності і отримаємо

Звідси, . Що суперечить припущенню. Отже, сума кутів трикутника на площині Лобачевского не може бути сталою величиною.

Різниця між числом і сумою кутів трикутника називається кутовим дефектом трикутника, її позначають . Отже,

,

где - сума кутів трикутника.

У геометрії Евкліда кутовий дефект трикутника дорівнює нулю, а в геометрії Лобачевского кутовий дефект - змінна величина, змінюється від нуля до .

При цьому, в геометрії Лобачевского площа трикутника пропорційна кутовому дефекту.

Лема 2. Для довільного трикутника ABC можна побудувати трикутник А1В1С1 такий, що

і А1 .

Теорема 4. Сума кутів довільного трикутника не більша ніж 2d.

Доведення. Теорему доведемо методом від супротивного. Нехай існує трикутник ABC, такий, що трикутник геометрія лобачевский планіметрія

АВС = 2d + де > 0.

Застосовуючи попередню лему до трикутника ABC n разів, побудуємо трикутник АпВпСп, що задовольняє умовам

АпВпСп = АВС і Аn А

Вибе ремо п так щоб чтобы 1/2n А< . Тоді Ап <. Оскільки Аn + Вn + Сп = 2d + , то Вп + Сп> 2d. З іншого боку, легко довести, що Вп + Сп < 2d. Дійсно, якщо - міра зовнішнього кута трикутника АпВпСп,, суміжного з кутом Вп, то > Сп, а за теоремою про суміжні кути

+ Вп = 2d, тому Вп + Cn <С 2d

Ми прийшли до протиріччя, отже, не існує такого трикутника ABC, сума кутів якого більше ніж 2d.

Отже, сума кутів будь-якого трикутника не більше 2d. Але чи не може вийти так, що у одних трикутників ця сума менше 2d, а у інших рівна 2d? Негативну відповідь на це питання дає друга теорема Саккері -- Лежандра.

Теорема 5. Якщо в одному трикутнику сума кутів дорівнює 2d, то сума кутів будь-якого трикутника дорівнює 2d.

Отже, отримаємо ще одно припущення, еквівалентне V постулату: існує хоча б один трикутник, сума кутів якого дорівнює 2d.

Теорема 6. На площині Лобачевського не існує подібних трикутників.

Доведення. Будемо доводити методом від супротивного. Припустимо, що існують два подібних трикутники з коефіцієнтом подібності, відмінним від одиниці. Нехай, наприклад, більший за .

З подібності цих трикутників випливає рівність їх відповідних кутів. Відкладемо на стороні відрізок і через точку проведемо пряму так, що вона утворює із стороною кут . За теоремою Паша (Якщо пряма, яка не проходить через вершини трикутника, перетинає одну з його сторін, то вона перетинає рівно дві його сторони) пряма перетинаючи сторону перетинає ще одну сторону цього трикутника. Перетнути сторону вона не може, оскільки вона розбігається з нею. Отже, пряма перетинає сторону у точці .

по стороні з двома прилеглими кутами, звідси витікає, що

.

Тоді в чотирикутнику сума внутрішніх кутів



що в площині Лобачевского не можливо. Отримали протиріччя.

З цієї теореми, як наслідок випливаєтвердження:

Якщо на площині Лобачевского три кути одного трикутника дорівнюють трьом кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Ця теорема дає нову, четверту ознаку рівності трикутників, якої немає в абсолютній геометрії.

Теорема 7. На площині Лобачевського не навколо будь-якого трикутника можна описати коло.

Доведення. У геометрії Евкліда біля будь-якого трикутника можна описати коло, центр якого є точка перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника. Існування такої точки перетину доводиться на основі постулату Отже, це твердження еквівалентне постулату.

Справді, нехай маємо трикутник у якому - середини сторін відповідно

Проведемо через точки перпендикуляри . Тоді кут - гострий (з ), а кут - прямий, тому сума і по постулату прямі перетинаються в точці О, яка є центр описаного кола. На площині Лобачевського існування точки О перетину серединних перпендикулярів залежить від сторін та залежить від величини кута , який є функцією відрізку а сама функція Лобачевського : прямі паралельні, а при розбігаються.

Теорема 8. Якщо два серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються, то і третій серединний перпендикуляр проходить через цю точку перетину

Доведення. В геометрії Евкліда кожна точка серединного перпендикуляра відрізку рівновіддалена від його кінців. Це твердження доводиться на основі рівності трикутників, тому справедливо і на площині Лобачевського. Якщо точка де те Звідси тоді точка О лежить і на третьому серединному перпендикулярі трикутника .

Наслідок. Якщо два серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються в точці О, то навколо такого трикутника можна описати коло з центром в точці О.

Теорема 9. Якщо два серединні перпендикуляри до сторін трикутника розбігаються, то і серединний перпендикуляр до третьої сторони теж розбігається з двома першими і усі мають єдиний загальний перпендикуляр, причому усі вершини трикутника рівновіддалені від нього.

Доведення. Нехай в трикутнику точки - середини сторін відповідно. і прямі - розбігаються.

Тоді прямі мають єдиний загальний перпендикуляр а, такий що Опустимо з вершин трикутника перпендикуляри на пряму а: Раніше було доведено, що в чотирикутнику Саккері перпендикуляр, проведений через середину однієї основи, перпендикулярний і до іншої основи. Справедливо і зворотне твердження: якщо в чотирикутнику перпендикуляр, проведений через середину однієї сторони, перпендикулярний і до протилежної сторони, то такий чотирикутник є чотирикутником Саккері. На основі цієї теореми чотирикутники - чотирикутники Саккері, тому Тоді - теж чотирикутник Саккері, в ньому серединний перпендикуляр основи буде серединним перпендикуляром і основи . А це означає, що розбігається з .

Наслідок. Якщо се6рединні перпендикуляри до двох сторін трикутника розбігаються, то навколо трикутника можна описати еквідістанту.

Теорема 10. Якщо два серединних орієнтованих в одну сторону до сторін трикутника перпендикуляра паралельні, то і серединний перпендикуляр до третьої сторони трикутника паралельний двом першим.

Доведення. Справедливість цієї теореми випливає з двох попередніх. Дійсно, якщо допустити, що серединний перпендикуляр с до сторони АС перетинається з серединним перпендикуляром а до сторони АВ, то по теоремі 6 через точку їх перетину повинен пройти і третій перпендикуляр b і по теоремі 7 повинен розбігатися, що суперечить умові теореми. Отже, серединний перпендикуляр с паралельний до а і b.

Наслідок. Якщо серединні перпендикуляри до двох сторін трикутника паралельні в даному напрямі, то навколо такого трикутника можна описати орицикл.

З цих теорем випливає, що на площині Лобачевського біля кожного трикутника можна описати одну з трьох ліній - або коло, або еквідистанту, або орицикл.

Висновки

Відкриття неевклідової геометрії, початок якому поклав Лобачевський, не лише зіграло величезну роль в розвитку нових ідей і методів в математиці природознавстві, але має і філософське значення. Думка, що панувала до Лобачевського, про непорушність геометрії Евкліда значною мірою грунтувалася на вченні відомого німецького філософа И. Канта(1724-1804),. Кант стверджував, що людина упорядковує явища реального світу згідно з апріорними уявленнями, а геометричні представлення і ідеї нібито апріорні ( латинське слово aprior означає - спочатку, заздалегідь), тобто, не відбивають явищ дійсного світу, не залежать від практики, від досвіду, а є природженими людському світу, раз і назавжди зафіксованими, властивими людському розуму, його духу. Тому, Кант вважав, що геометрія Евкліда непохитна, незмінна, і є вічною істиною. Ще до Канта геометрія Евкліда вважалася непорушною, як єдине можливе вчення про реальний простір.

Відкриття неевклідової геометрії довело, що не можна абсолютизувати уявлення про простір, що евклідова геометрія не є єдино можливою, проте це не підірвало непорушність геометрії Евкліда. Такким чином, в основі геометрії Евкліда лежать не апріорні, природжені розуму поняття і аксіоми, а такі поняття, які пов'язані з діяльністю людини, з людською практикою. Тільки практика може вирішити питання про те, яка геометрія достовірніше відображає властивості фізичного простору. Відкриття неевклідової геометрії дало вирішальний поштовх грандіозному розвитку науки, сприяло і понині сприяє глибшому розумінню матеріального світу, що оточує нас.

М.І. Лобачевский, як відомо, зробив спробу дослідження реального простору, використовуючи для цієї мети астрономічні дані. Він сподівався, що за допомогою астрономічних вимірів можна буде виявити відхилення геометрії реального простору від Евкліда. Хоча його обчислення не дозволили досвідченим шляхом довести гіпотезу про неевклідовість реального простору, сама гіпотеза виявилася геніальним передбаченням.

В геометрії Лобачевського мають місце наступні твердження:

1) У геометрії Лобачевського не існує подібних і при цьому нерівних трикутників; трикутники рівні, якщо їх кути рівні. Тому існує абсолютна одиниця довжини, тобто відрізок, виділений за своїми властивостями, подібно до того як прямий кут виділений своїми властивостями. Таким відрізком може бути, наприклад, сторона правильного трикутника з заданою сумою кутів.

2) Сума кутів будь-якого трикутника менше p і може бути скільки завгодно близькою до нуля. Це безпосередньо видно на моделі Пумнкаре. Різниця p -(a + b + с), де a, b, с -- кути трикутника, пропорційна його площі.

3) Якщо прямі мають загальний перпендикуляр, то вони нескінченно розходяться в обидві сторони від нього. До будь-якої з них можна відновити перпендикуляри, які не досягають іншої прямої.

4) Лінія рівних відстаней від прямої не є пряма, а особлива крива, що називається еквідистантою, або гіперциклом.

5) Межа кіл радіусу, що нескінченно збільшується, не є пряма, а особлива крива, що називається граничним колом, або орициклом.

6) Межа сфер радіусу, що нескінченно збільшується, не є площина, а особлива поверхня -- гранична сфера, або орисфера; при цьому на ній має місце геометрія Евкліда. Для Лобачевськго основою для виведення формул тригонометрії.

7) Довжина кола не пропорційна радіусу, а росте швидше.

8) Чим менше області в просторі або на площині Лобачевського, тим менше геометричні співвідношення в цій області відрізняються від співвідношень геометрії Евкліда. Можна сказати, що в нескінченно малій області має місце геометрія Евкліда. Наприклад, чим менше трикутника, тим менше суми його кутів відрізняється від p; чим менше кола, тим менше відношення її довжини до радіусу відрізняється від 2p, і т. п. Зменшення області формальне рівносильно збільшенню одиниці довжини, тому при великому збільшенні одиниці довжини формули геометрії Лобачевського переходять у формули геометрії Евкліда. Геометрія Евкліда є в цьому змісті «граничний» випадок геометрії Лобачевського.

Геометрія Лобачевського продовжує розроблятися багатьма геометрами; зокрема, в ній вивчаються: розвязання задач на побудову, многогранники, правильні системи фігур, загальна теорія кривих і поверхонь і т. д. Ряд геометрів розробляли також механіку в просторі Лобачевского. Ці дослідження не знайшли безпосередніх застосувань в механіці, але дали початок плідним геометричним ідеям. В цілому Лобачевского геометрія є великою областю дослідження, подібно до геометрії Евкліда.

Список використаних джерел

1. Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия, -- Наука, Москва, 1990.

2. Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия, -- УРСС, Москва, 2007.

3. Делоне Б. Н. Элементарное доказательство непротиворечивости планиметрии Лобачевского, -- Гостехиздат, Москва, 1956.

4. Иовлев Н. Н. «Введение в элементарную геометрию и тригонометрию Лобачевского». -- М.-Л.: Гиз., 1930. -- С. 67.

5. Клейн Ф. «Неевклидова геометрия». -- М.-Л.: ОНТИ, 1936. -- С. 356.

6. Попов А. Г. Псевдосферические поверхности // Соросовский образовательный журнал. -- ISSEP, 2004. -- Т. 8. -- № 2. -- С. 119-127.

7. Розенфельд Б. А. Интерпретации геометрии Лобачевского // Историко-математические исследования. -- М.: ГИТТЛ, 1956. -- № 9. -- С. 169-208.

8. Смогоржевский А. С. «О геометрии Лобачевского» // Популярные лекции по математике. -- Гостехиздат, 1958. -- Т. 23. -- С. 68.

9. Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, -- Физматлит, Москва, 2009.

Размещено на Allbest.ru

...