Дифференциальные уравнения первого порядка и уравнение Бернулли

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

Введение

Глава I. Линейные дифференциальные уравнения I порядка

1.1 Метод вариации постоянной

1.2 Использование интегрирующего множителя

Глава II. Уравнение Бернулли

2.1 Приведение уравнений Риккати к уравнению Бернулли

2.2 Использование замены вида y = uv

Заключение

Список литературы и источников



Введение

Большинство законов природы записываются в форме соотношений устанавливающих связь между искомой функцией, независимой переменной и производными этой функции.

В данной курсовой работе мы рассмотрим линейные дифференциальные уравнения I порядка и уравнение Бернулли. Простейшие дифференциальные уравнения встречались уже в работах И. Ньютона и Г. Лейбница; термин «дифференциальные уравнения» принадлежит Лейбницу.

Целью работы является закрепить полученные знания по курсу дифференциальных уравнений, как в теории, так и на практике.

Курсовая работа состоит из введения, двух глав, в каждой по два параграфа, заключения и списка использованной литературы и источников.



Глава I. Линейные дифференциальные уравнения I порядка

линейный дифференциальный бернулли множитель

Дифференциальным уравнением, называется уравнение связывающее независимую переменную х, некую искомую у(х) и ее производные y', y'', y''', …, yn, т.е. выражение вида:

F (x, y, y', y'', y''', yn) = 0

Порядком дифференциального уравнения, называется порядок наивысшей производной, входящей в это уравнение.

Уравнения вида:

y' + P(x)y = Q(x) (1)

где P(x) и Q(x) - непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Название уравнения объясняется тем, что y и ее производная y' входят в уравнение линейно, т.е. в первой степени.

Если Q(x) = 0, то уравнение (1) принимает вид линейного однородного уравнения. Если Q(x) ? 0, то уравнение (1) называется линейным неоднородным уравнением первого порядка.

С определением линейных дифференциальных уравнений I порядка связывают еще несколько важных определений, играющих важную роль при решении этих уравнений:

Дифференциальное уравнение, в котором искомая функция зависит только от одной независимой переменной, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Решением или интегралом дифференциального уравнения называется функция y = ц(x), которая при подстановке в уравнение превращает его в верное тождество.

Уравнение вида:

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0,

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции Ф.

M(x,y)dx + N(x,y)dy = dФ.

Функция

м = м(x,y) ?0

после умножения, на которую дифференциальное уравнение становится уравнением в полных дифференциалах, называется интегральным множителем.

Линейные дифференциальные уравнения I порядка можно решить несколькими методами. Мы рассмотрим два самых распространенных из них:

1.1 Метод вариации постоянной;

Использование интегрирующего множителя.

1. Приведем примеры решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом вариации постоянной:

Решение таким методом, в общем виде выглядит так:

Дано уравнение:

y' + P(x)y = Q(x)

y' + P(x)y = 0

y' = -P(x)y

= -P(x)y

Разделим переменные и проинтегрируем данное уравнение:

= -P(x)dx

= -

lny = - + lnC

y = Ce^ {-} - общее решение однородного уравнения.

Предположим, что

С = С(х), тогда:

y' = C'e^ {-} - CP(x)e^ {-}

C'e^ {-} = Q(x)

C' = Q(x)e^{-} => C = + C1

y = ( + C1)e^ {-}

y = y1 + y2

y1 = C1e^ {-}

общее решение однородного дифференциального уравнения;

y2 = e^ {-}}dx - частное решение ЛНДУ.

Пример №1:

xy' - 2y = 2x4

Для начала решим однородное линейное уравнение:

xy' - 2y = 0

xy' = 2y

x = 2y

Разделим переменные и проинтегрируем полученное уравнение:

= 2

= 2

lny = 2lnx + lnC

lny = lnx2 + lnC

lny = lnCx2

y = Cx2

Считая

С = С(x)

подставим найденное решение однородного уравнения в исходное уравнение:

y' = C'x2 + 2xC

x(C'x2 + 2xC) - 2x2C = 2x4

C'x3 + 2x2C - 2x2C = 2x4

C'x3 = 2x4



Разделим обе части полученного выражения на x2:

C' = 2x => C = x2 + C1

Подставляем найденное значение С в решение однородного уравнения:

y = Cx2 = x4 + C1x2

Ответ:

y = Cx2 = x4 + C1x2; С1є R.

Пример №2.

Рассмотрим пример с тригонометрическими функциями:

y' + ytgx = secx

Преобразуем данное уравнение:

y' + ytgx = , так как secx =

Решим однородное уравнение:

y' + ytgx = 0

y' = - ytgx

= - ytgx



Разделяя переменные и интегрируя, найдем решение однородного уравнения:

= - tgxdx

Преобразуем полученное выражение опираясь на то что

tgx = :

= -

Внесем sinx под знак дифференциала:

=

=

lny = lncosx + lnC

y = Ccosx (1)

Предположим, что

С = С(х),

тогда :

y' = C'cosx - Csinx (2)

Подставляем полученное решение (1) и производную (2) в исходное уравнение:

C'cosx - Csinx + Ccosxtgx =

C'cosx =

Разделим обе части на cosx:

C' = 1/cos2x

Разделяем переменные и интегрируем полученное уравнение:

= 1/cos2x

dc = dx/cos2x

=

C = tgx + C1

Подставим полученную постоянную в (1) - решение однородного уравнения:

y = cosx(tgx + C1)

y = sinx + C1cosx

Ответ:

y = sinx + C1cosx; C R.

Пример №3:

2x(x2 + y)dx = dy



Преобразуем данное уравнение:

y' = 2x(x2 + y)

y' = 2x3 + 2xy

y' - 2xy = 2x3

Решим соответствующее однородное уравнение:

y' - 2xy = 0

y' = 2xy

Разделяя переменные и интегрируя полученное однородное уравнение, получим его решение:

= 2xy

= 2xdx = 2

lny = x2 + C y = Cex^2

Найдем производную и, предполагая, что

C = C(x),

подставим производную и полученное решение в исходное уравнение:

y' = C'ex^2 + 2xex^2C

C'ex^2 + 2xex^2C = 2x(x2 + Cex^2)

C'ex^2 + 2xex^2C = 2x3 + 2xex^2C

C'ex^2 = 2x3 C' = 2x3/ ex^2

Разделим переменные и проинтегрируем полученное выражение:

= 2x3/ ex^2

dc = 2x3dx/ ex^2

=

C = - e-x^2(x2 + 1) + C1

y = ex^2(- (x2 + 1)/ ex^2 + C1)

y = Cex^2 - (x2 + 1)

y = Cex^2 - x2 - 1

Ответ: y = Cex^2 - x2 - 1; C є R.

Пример №4:

y' = y/(3x - y2)

Уравнение не является линейным, но его можно привести к линейному относительно х:

= y/(3x - y2)

= (3x - y2)/y

Преобразуем правую часть:

= - y

x' - + y = 0



Решим однородное уравнение относительно x':

x' - = 0

=

Разделим переменные и проинтегрируем полученное однородное уравнение:

= 3

= 3

lnx = 3lny + lnC

lnx = lnCy3

x = Cy3

Предполагая, что

С = С(х),

найдем производную и подставим ее и полученное решение однородного уравнение в исходное линейное уравнение:

x' = C'y3 + 3y2C

y3C' + 3y2C - 3y2C = -y

y3C' = -y

Разделяя переменные и интегрируя, получим решение линейного уравнение относительно x:

C' = - 1/y2

= - 1/y2

dc = - dy/y2

= -

C = + C1

Подставляем полученную постоянную в исходное линейное уравнение относительно х:

x = y2 + y3C1

Ответ: x = y2 + y3C1; C є R.

1.2 Использование интегрирующего множителя

Приведем пример решения линейного дифференциального уравнения с использованием интегрирующего множителя:

Пусть дано уравнение вида:

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

Предположим, что левая часть уравнения не является полным дифференциалом. Чтобы привести это уравнение к уравнению в полных дифференциалах найдем функцию µ(х,у) такую, что при умножении не левую часть уравнения мы получим уравнение в полных дифференциалах:

µ(х,у)( M(x,y)dx + N(x,y)dy) = du



Функция µ(х,у) называется интегрирующим множителем. Умножим левую и правую часть на любую функцию:

ц(u)µ(х,у)( M(x,y)dx + N(x,y)dy) = ц(u)du = d

v = µц(u)(Mdx + Ndy)

µ1(x,y) = µ(x,y)ц(u)

Т.к. ц(u) - бесконечное множество, то подобную операцию можно повторять до бесконечности.

Пример №1:

Пусть - интегрирующий множитель, тогда подели обе части уравнения на :

ydy/ = xdy + ydx

Выделим полные дифференциалы в обеих частях:

=

Возьмем интеграл полученного выражения:

= xy + C

Ответ: = xy + C; C є R.

Пример №2:

(x2 + 3lny)ydx = xdy

Введем замену lny = z, получим:

(x2 + 3z)dx - xdz = 0

Интегрирующий множитель этого уравнения будем искать в виде µ = µ(х), получив выражение вида:

(µ(x2 + 3z)) + (µx) = 0 =>, что 4µ + xµ' = 0

Разделив переменные и проинтегрировав полученное уравнение, найдем интегральный множитель:

-xµ' = 4µ

-x = 4µ

- 4 =

- 4 =

-4lnx = lnµ

µ = x-4 = 1/x4

Разделив исходное уравнение с заменой на х4, получим уравнение в полных дифференциалах:

(1/x2 + 3z/x4)dx = dz/x3

Преобразуем полученное выражение:

x3(1/x2 + 3z/x4) =

x + = z'

z' - = x

Решим однородное уравнение:

z' - = 0

- = 0

=

Разделим переменные и проинтегрируем данное однородное уравнение:

= 3

= 3

lnz = 3lnx + lnC

z = x3C

Найдем производную и подставим ее и решение в изначальное уравнение с заменой:

z' = 3x2C + C'x3

C'x3 + 3x2C - 3x3C/x = x

Умножим обе части на x:



C'x4 + 3x3C - 3x3C = x2

C'x4 = x2

Разделим обе части на x2, разделим переменные и проинтегрируем полученное уравнение:

C'x2 = 1

C' = 1/x2

= 1/x2

dc = dx/x2

=

=

C = - + C1

Подставим найденную постоянную в исходное линейное уравнение:

z = x3(- + C1)

z = - x2 + x3C1

Произведем обратную замену:

lny = x3C1 - x2

Ответ: lny = x3C1 - x2; С1 є R.

Пример №3:

ydx - xdy = 2x3tgdx

Пусть

µ = 1/x2

интегрирующий множитель, тогда разделим обе части уравнения на x2:

(ydx - xdy)/x2 = 2xtgdx

Выделим полный дифференциал в левой части уравнения:

- d() = 2xtgdx

d() + 2xtgdx = 0

Произведем замену = z:

dz + 2xtgzdx = 0

dz + tgzdx2 = 0

Разделим переменные и проинтегрируем полученное выражение:

tgzdz = -dx2

Произведем замену t

gz = :

= - dx2

Внесем cosz под знак дифференциала:

= -dx2

= -

ln|sinz| = C - x2

sinz = Ce^{-x^2}

Произведем обратную замену:

sin = Ce^{-x^2}

Ответ: sin = Ce^{-x^2}; C є R,



Глава II. Уравнение Бернулли

Обыкновенное дифференциальное уравнение вида:

Y' + P(x)y = Q(x)yn, n ? 0,1, (1)

называется уравнением Бернулли (при n = 0 или n = 1 получаем неоднородное или однородное линейное уравнение). При n = 2 получаем честный случай уравнение Риккати. Это уравнение названо в честь Якоба Бернулли, опубликовавшего его в 1695 году. Метод решения с помощью замены, сводящей это уравнение к линейному, нашел его брат Иоганн Бернулли в 1697 году.

Характерным признаком, по которому можно определить уравнение Бернулли, является наличие функции yn.

Чтобы решить уравнение Бернулли, т.е. уравнение (1), надо разделить обе его части разделить на yn и сделать замену 1/yn - 1 = z. После замены получается линейное уравнение, которое можно решить как простое линейное уравнение.

Но иногда мы можем встретить уравнение Риккати, оно выглядит так:

y' + P(x)y + Q(x)y2 = C(x),

в общем случае оно не решается в квадратурах. Если же известно одно частное решение y1(x), то заменой y = y1(x) + z уравнение Риккати сводится к уравнению Бернулли и таким образом может быть решено в квадратурах.



2.1 Приведение уравнения Риккати к уравнению Бернулли

Для начала представим этот метод решения в общем виде:

Дано уравнение:

y' + P(x)y + Q(x)y2 = C(x)

Данное уравнение является уравнением Риккати. В общем случае это уравнение не интегрируется в квадратурах. Однако, зная частное решение уравнения Риккати, мы можем его свести к уравнению Бернулли, т.е. сделать его линейным.

Пусть частное решение исходного уравнения имеет вид ш(x), тогда:

ш'(x) + P(x) ш(x) + Q(x) ш2(x) = C(x)

Тогда y = z + ш(x):

z' + ш'(x) + P(x)z + P(x)ш(x) + Q(x)z2 + Q(x)ш2(x) + 2Q(x)zш(x) = y(x)

z' + P(x)z + Q(x)z2 + 2Q(x)zш(x) = 0

z' + P(x)z + 2Q(x)zш(x) = -Q(x)z2

Получили уравнение Бернулли, далее решаем его как линейное дифференциальное уравнение I порядка по предложенным выше методам.

Пример №1:

x2y' + xy + x2y4 = 4

Уравнение является уравнением Риккати, найдем его частное решение в виде



y = axm:

аx2mxm-1 + axxm + a2x2x2m = 4

Степени обоих частей должна совпадать, поэтому

m + 1 = 0 => m = -1.

Подставив m = -1 в полученное уравнение найдем a:

- a + a + a2 = 4

a2 = 4

a = 2

Таким образом, частное решение y = . Делаем замену:

y = z +

y' = z' - 2/x2

x2(z' - 2/x2) + x(x + ) + x2(x + )2 = 4

x2z' - 2 + xz + 2 + x2z2 + 4 + 4xz = 4

x2z' + 5xz + x2z2 = 0

Разделим уравнение на х:

xz' + 5z + xz2 = 0

Получили уравнение Бернулли. Поделим уравнение на z2:

xz'/z2 + 5/z + x = 0

Сделаем замену = t:

-xt' + 5t + x = 0

Решим однородное уравнение, разделяя переменные и интегрируя его:

-xt' + 5t = 0

Xt' = 5t

x = 5t

= 5

= 5

lnt = 5lnx + lnC

t = Cx5

Найдем производную и подставим ее и решение однородного уравнения в исходное уравнение:

t' = 5Cx4 + C'x5

-5C'x5 - C'x6 + 5Cx5 + x = 0

C'x6 = x

C' = 1/x5

Разделим переменные и проинтегрируем:

= 1/x5

dc = x-5dx

=

C = x-4/-4 + C

t = (-x + Cx5)

Делаем обратную замену:

z = = 4/(-x + 4Cx5) y = z + = 4/(-x + 4Cx5) + y = 4/(-x + 4Cx5) +

Ответ: y = 4/(-x + 4Cx5) + ; C є R.

Пример №2:

xy' - (2x + 1)y + y2 = -x2

Уравнение является уравнением Риккати, найдем его частное решение в виде

y = ax + b.

Подставим его в уравнение:

Ax - (2x + 1)(ax + b) + (ax + b)2 ? -x2 =>2ab - 2b = 0; a = 1; -b + b2 = 0

Возможны два решения системы уравнений: a = b = 1 или a = 1, b = 0. Тогда y = x - частное решение. Сделаем замену

y = x + : x(1 - ) - (2x + 1)( x + ) + (x + )2 = -x2

xz' + z - 1 = 0 xz' = 1 + z

x = 1+z =

= = +

lnx = z + lnz + lnC

z = 1 +

Делаем обратную замену:

y = x +

Ответ: y = x + ; C є R.

Пример №3:

3y' + y2 + 2/x2 = 0

Это уравнение является уравнением Риккати, найдем его частное решение в виде

y = - => y' = a/x2.

Подставим y и y' в исходное уравнение:

3a/x2 + a2/x2 + 2/x2 = 0 =>

a2 + 2a + 2 = 2

a1,2 = [a1 = -2; a2 = -1

Возьмем а = -1, тогда:

y =

Сделаем замену



y = z + , тогда y' = z' - 1/x2

3(z' - 1/x2) + (z + )2 + 2/x2 = 0

3z' - 3/x2 + 1/x2 + + z2 + 2/x2 = 0

3z' + + z2 = 0

Разделим обе части на z2:

3(z'/z2) + + 1 = 0

Сделаем замену t = :

-3t' + t + 1 = 0

Решим однородное уравнение:

-3t' + t = 0

3t' = t

3 = t

Разделим переменные и проинтегрируем уравнение:

3 = 2

3 = 2

3lnt = 2lnx + lnC

t3 = x2C

t = Cx2/3

Предположим, что

С = С(х),

тогда:

t' = C'x2/3 + x-1/3C

-3(C'x2/3 + x-1/3C) + Cx2/3 + 1 = 0

-3 C'x2/3 - 2 x-1/3C + 2 x-1/3C + 1 = 0

3 C'x2/3 = 1

Разделим переменные и продифференцируем полученное выражение:

3 x2/3 = 1

3dc = dx/ x2/3

3 =

3C = 3x1/3 + 3C1

C = x1/3 + C1

Подставляем и делаем обратную замену:

t = x + C x2/3 =>

z = 1/( x + C x2/3)

y = + 1/( x + C x2/3)



Ответ: y = + 1/( x + C x2/3); y = ; C є R.

Пример №4:

y' - 2xy + y2 = 5 - x2

Уравнение является уравнением Риккати, поэтому найдем его частное решение в виде

y = ax + b:

a - 2x (ax + b) + a2x2 + 2abx + b2 = 5 - x2

a - 2ax2 - 2bx + a2x2 + 2abx + b2 - 5 + x2 = 0

Пусть, а = 1 и b = 2 , тогда y = x + 2 - частное решение. Сделаем замену

y = x + ( + 2)

1 - z'/z2 - 2x(x + 2 + ) + (x2 + (1/z2 + 4/z + 4)) + 2x(2 + ) = 5 - x2

1 - z'/z2 - 2x2 - 4x - + x2 + 1/z2 + 4/z + 4 + 4x + - 5 + x2 = 0

Приводим подобные слагаемые и получаем:

- z'/z2 + 4/z + 1/z2 = 0

Умножаем полученное уравнение на z2:

-z' + 4z + 1 = 0

z' - 4z - 1 = 0

Решим однородное уравнение:

z' - 4z = 0

z' = 4z

Разделим переменные и проинтегрируем полученное выражение:

= 4z

= 4dx

= 4

lnz = 4x + C

z = Ce4x - ј

Делаем обратную замену:

y = x + 2 + 1/ (Ce4x - ј) = x + 2 + 4/ (Ce4x - 1)

Ответ: y = x + 2; y = x + 2 + 4/ (Ce4x - 1); C є R.

Пример №5:

y' + 2yex - y2 = e2x + ex

y' + 2yex - y2 = ex(ex + 1)

Данное уравнение является уравнением Риккати, приведем его к уравнению Бернулли, подобрав частное решение вида

y = ex + b:

ex + 2ex + 2bex - e2x - 2bex - b2 = 0

ex + e2x - b2 = 0 => -b2 = 0; b = 0

y = ex - частное решение.

Сделаем замену

у = ex + z:

(ex + z)' + 2(ex + z)ex - (ex + z)2 = e2x + ex

ex + z' + 2e2x + 2zex - e2x - 2zex - z2 = e2x + ex

z' = z2 => z = -

Делаем обратную замену:

y = ex -

Ответ: y = ex - ; y = ex; C є R.

2.2 Использование замены вида y = uv

Пусть дано уравнение:

y' + P(x)y = Q(x)yn; n ? 0,1.

Данное нелинейное уравнение является уравнением Бернулли. Решим его с использованием замены

y = uv,

тогда:

u'v + u(v' + P(x)v) = Q(x)(uv)n



Подберем v(x) ? 0 так, чтобы получить:

v' + P(x)v = 0

Далее решаем и интегрируем как в методе замены переменной.

Пример №1:

y' + y = -e2xy2; y(0) = 1

Данное уравнение является уравнением Бернулли. Для его решения сделаем замену y = uv:

u'v + v'u + uv = -e2xu2v2

u'v + u(v' + v) = -e2xu2v2

Решим однородное уравнение:

v' + v = 0

Разделим переменные и проинтегрируем данное уравнение:

= -v

= -dx

= -

lnv = -x

v = e-x



Подставляем полученное решение в исходное уравнение:

u'e-x = -e2xu2e-x = -u2

u'e-x = -u2

Разделим переменные и проинтегрируем данное уравнение:

-du/ u2 = exdx

- =

= ex + C

u = 1/ (ex + C)

Делаем обратную замену:

y = e-x/ ( ex + C)

Учитывая y(0) = 1, получим:

1 = e0/( e0 + C) = 1/(C + 1) => C = 0 =>

y = e-2x

Ответ: y = e-2x

Пример №2:

3y' + y = 1/y2

Умножим обе части уравнения на y2:

3y2y' + y3 = 1

Сделаем замену y3 = z

3y2y' =

Подставим в уравнение:

+ z = 1

Сделаем замену z = uv:

= u + v

u( + v) + v = 1

+ v = 0

Разделим переменные и проинтегрируем данное выражение:

= -v

= -dx

= -

lnv = -x

v = e-x

Подставляем:

e-x = 1

du = exdx

= exu = ex + C

Делаем обратную замену:

z = e-x(ex + C) = 1 + Ce-x

y3 = 1 + Ce-x

Ответ: y3 = 1 + Ce-x; C є R.

Пример №3:

(x2 + y2)dx - 2xydy = 0

Данное уравнение может быть классифицировано и как однородное, и как Уравнение Бернулли. Запишем это уравнение в виде уравнения Бернулли:

y' = xy-1 +

y' - y = xy-1

Сделаем подстановку y = uv:

u'v + v'u + uv = x(uv)-1

u'v + u(v' - v ) = x(uv)-1

Запишем систему:



Решим каждое уравнение этой системы:

v' =

=

Разделяем переменные и интегрируем полученное выражение:

=

=

lnv = lnx + lnC

v = C - общее решение уравнения.

v = - частное решение уравнения.

u' = xu-1()-1

u' =

Разделяем переменные и интегрируем:

2udu = dx

=

u2 = x + C

u = ±



Делаем обратную замену:

y = uv = ± * =

Ответ: y = ; C є R.



Заключение

В результате написания курсовой работы мною было определено понятие дифференциального уравнения, уравнения Бернулли, и рассмотрены на практике линейные дифференциальные уравнения.

Для достижения поставленной цели я решила следующие задачи:

1. Дала понятие дифференциального уравнения и исследовала общие сведения о нем.

2. Рассмотрела дифференциальные уравнения первого порядка.

3. Изучила методы решений дифференциальных уравнений первого порядка.

4. Выявила проблемы в применении дифференциальных уравнений первого порядка.

К дифференциальным уравнениям первого порядка приводят различные задачи не только из физики, но и из экономики, статистики и других наук. Основную трудность при решении таких задач представляет составление самих дифференциальных уравнений. Здесь нет универсального метода. Каждая задача требует индивидуального подхода, основанного на глубоком понимании соответствующих законов и умении переводить эти задачи на математический язык.

Для решения таких проблем необходимо всестороннее и глубокое изучение теории дифференциальных уравнений, причем начинать следует с наиболее простого уравнения - с уравнения первого порядка.



Список источников и литературы:

1. В.И. Смирнов «Курс высшей математики», том 2.

2. А.Ф. Филипов «Сборник задач по дифференциальным уравнениям».

3. М.В. Федорюк «Обыкновенные дифференциальные уравнения».

4. Так же некоторые примеры были взяты из источников без названия.

Размещено на Allbest.ru

...