Интерполяционные формулы Ньютона

Размещено на http://www.allbest.ru/

Московский государственный университет приборостроения и информатики Сергиево-Посадский филиал

Реферат на тему:

Интерполяционные формулы Ньютона

Выполнила: Бревчик Таисия Юрьевна

Студентка 2 курса группы ЭФ-2

2014

Содержание

1.Введение

2. Первая интерполяционная формула Ньютона

3. Вторая интерполяционная формула Ньютона

Заключение

Список литературы

Введение

Интерполямция, интерполимрование -- в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами, часто приходится оперировать наборами значений, полученных опытным путём или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.

Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а по ним построить, то есть интерполировать, более простую функцию.

Разумеется, использование упрощенной функции не позволяет получить такие же точные результаты, какие давала бы первоначальная функция. Но в некоторых классах задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.

Следует также упомянуть и совершенно другую разновидность математической интерполяции, известную под названием «интерполяция операторов».

К классическим работам по интерполяции операторов относятся теорема Рисса -- Торина (Riesz-Thorin theorem) и теорема Марцинкевича (Marcinkiewicz theorem), являющиеся основой для множества других работ.

Рассмотрим систему несовпадающих точек () из некоторой области . Пусть значения функции известны только в этих точках:

Задача интерполяции состоит в поиске такой функции из заданного класса функций, что

Точки называют узлами интерполяции, а их совокупность -- интерполяционной сеткой.

Пары называют точками данных или базовыми точками.

Разность между «соседними» значениями -- шагом интерполяционной сетки. Он может быть как переменным, так и постоянным.

Функцию -- интерполирующей функцией или интерполянтом.

1. Первая интерполяционная формула Ньютона

1. Описание задачи. Пусть для функции заданы значения для равноотстоящих значений независимой переменной: , , где - шаг интерполяции. Требуется подобрать полином степени не выше , принимающий в точках значения

,. (1)

Условия (1) эквивалентны тому, что при .

Интерполяционный полином Ньютона имеет вид:

. (2)

Легко видеть, что полином (2) полностью удовлетворяет требованиям поставленной задачи. Действительно, во-первых, степень полинома не выше , во-вторых,

и , .

Заметим, что при формула (2) превращается в ряд Тейлора для функции :

.

Для практического использования интерполяционную формулу Ньютона (2) обычно записывают в несколько преобразованном виде. Для этого введём новую переменную по формуле ; тогда получим:

, (3)

где представляет собой число шагов, необходимых для достижения точки , исходя из точки . Это и есть окончательный вид интерполяционной формулы Ньютона.

Формулу (3) выгодно использовать для интерполирования функции в окрестности начального значения , где мало по абсолютной величине.

Если дана неограниченная таблица значений функции , то число в интерполяционной формуле (3) может быть любым. Практически в этом случае число выбирают так, чтобы разность была постоянной с заданной степенью точности. За начальное значение можно принимать любое табличное значение аргумента .

Если таблица значений функции конечна, то число ограничено, а именно: не может быть больше числа значений функции , уменьшенного на единицу.

Заметим, что при применении первой интерполяционной формулы Ньютона удобно пользоваться горизонтальной таблицей разностей, так как тогда нужные значения разностей функции находятся в соответствующей горизонтальной строке таблицы.

2. Пример. Приняв шаг , построить интерполяционный полином Ньютона для функции , заданной таблицей

Решение. Составляем таблицу разностей (таблица 1).

Так как разности третьего порядка практически постоянны, то в формуле (3) полагаем . Приняв , , будем иметь:

, или

,

где . Это и есть искомый интерполяционный полином Ньютона.

Таблица 1

Полученный полином дает возможность прогнозирования. Достаточную точность получаем при решении интерполяционной задачи, например, .Точность падает при решении экстраполяционной задачи, например, .

2. Вторая интерполяционная формула Ньютона

Первая интерполяционная формула Ньютона практически неудобна для интерполирования функции вблизи узлов таблицы. В этом случае обычно применяется вторая интерполяционная формула Ньютона.

Описание задачи. Пусть имеем последовательность значений функции

,

для равноотстоящих значений аргумента , где - шаг интерполяции. Построим полином следующего вида:

,

или, используя обобщённую степень, получаем:

. (1)

Тогда, при выполнении равенства , , получим

, .

Подставим эти значения в формулу (1). Тогда, окончательно, вторая интерполяционная формула Ньютона имеет вид:

. (2)

Введём более удобную запись формулы (2). Пусть , тогда

, и т. д.

Подставив эти значения в формулу (2), получим:

. (3)

Это и есть обычный вид второй интерполяционной формулы Ньютона. Для приближённого вычисления значений функции полагают:

.

Как первая, так и вторая интерполяционные формулы Ньютона могут быть использованы для экстраполирования функции, т. е. для нахождения значений функции для значений аргументов , лежащих вне пределов таблицы.

Если и близко к , то выгодно применять первую интерполяционную формулу Ньютона, причём тогда . Если же и близко к , то удобнее пользоваться второй интерполяционной формулой Ньютона, причём .

Таким образом, первая интерполяционная формула Ньютона обычно используется для интерполирования вперёд и экстраполирования назад, а вторая интерполяционная формула Ньютона, наоборот, - для интерполирования назад и экстраполирования вперёд.

Заметим, что операция экстраполирования, вообще говоря, менее точна, чем операция интерполирования в узком смысле слова.

Пример. Приняв шаг , построить интерполяционный полином Ньютона для функции , заданной таблицей

Решение. Составляем таблицу разностей (таблица 1). Так как разности третьего порядка практически постоянны, то в формуле (3) полагаем . Приняв , , будем иметь:

, или

,

где .

Это и есть искомый интерполяционный полином Ньютона.

Таблица 1

Заключение

интерполяция ньютон экстраполирование формула

В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, т.е. построение по заданной функции другой (как правило, более простой), значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек. Причем интерполяция имеет как практическое, так и теоретическое значение. На практике часто возникает задача о восстановлении непрерывной функции по ее табличным значениям, например полученным в ходе некоторого эксперимента. Для вычисления многих функций оказывается эффективно приблизить их полиномами или дробно-рациональными функциями. Теория интерполирования используется при построении и исследовании квадратурных формул для численного интегрирования, для получения методов решения дифференциальных и интегральных уравнений.

Список литературы

1. В.В. Иванов. Методы вычислений на ЭВМ. Справочное пособие. Изд-во "Наукова думка". Киев. 1986.

2. Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. Численные методы. Изд-во "Лаборатория базовых знаний". 2003.

3. И.С. Березин, Н.П. Жидков. Методы вычислений. Изд. ФизМатЛит. Москва. 1962.

4. К. Де Бор. Практическое руководство по сплайнам. Изд-во "Радио и связь". Москва. 1985.

5. Дж. Форсайт, М.Мальком, К. Моулер. Машинные методы математических вычислений. Изд-во "Мир". Москва. 1980.

Размещено на Allbest.ru