Дослідження можливості використання другої інтерполяційної формули Гауса для чисельного диференціювання функції

Размещено на http://www.allbest.ru/

Зміст

Вступ

1. Аналіз теоретичної бази методів чисельного диференціювання функції

1.1 Формули наближеного диференціювання, основані на першій інтерполяційній формулі Ньютона

1.2 Формули наближеного диференціювання, основані на інтерполяційних формулах Гауса

1.3 Формули наближеного диференціювання, основані на інтерполяційній формулі Бесселя

1.4 Формули наближеного диференціювання, основані на інтерполяційній формулі Стірлінга

1.5 Приклад чисельного диференціювання за другою формулою Гауса

2. Розробка алгоритмів та вибір оптимального алгоритму

3. Програма обчислення першої похідної функції за другою інтерполяційною формулою Гауса

3.1 Інструкція користувача

3.2 Лістинг програми

3.3 Опис програми

3.4 Тестування програми

Перелік посилань



Вступ

Анотація. Об'єктом дослідження є друга інтерполяційна формула Гаусcа для обчислення першої похідної функції. Розроблено оптимальний алгоритм та програму в середовищі Borland C++ Builder, як за розміром пам'яті, необхідної для збереження даних, котрі обчислюються в ході виконаного алгоритму, та і за кількістю арифметичних операцій для обчислення за основною формулою.

Програма має зручний та наочний консольний інтерфейс, котрий максимально спрощує роботу з нею, та автоматичну перевірку коректності даних, що вводяться.

Актуальність теми. У зв'язку з розвитком обчислювальної техніки інженерна практика наших днів все частіше і частіше зустрічається з математичними задачами, точний розв'язок яких отримати достатньо важко [1]. В таких випадках зазвичай звертаються до тих чи інших наближених обчислень. Ось чому наближені і чисельні методи математичного аналізу отримали за останні роки широкий розвиток і набули виключно важливого значення [2].

При рішенні інженерно-технічних і інших прикладних завдань часто буває необхідно знайти похідну певного порядку від функції, заданої таблично [3]. Крім того, іноді через складність аналітичного вираження функції її безпосереднє диференціювання занадто складне. У цих випадках зазвичай використовують чисельне диференціювання. Тут існує безліч різних прийомів і способів. Однією з найпростіших формул для обчислення похідної функції є формула обчислення похідної через рівновіддалені вузли [4]. Найточнішими серед них є симетричні методи диференціювання, один серед них оснований на другої інтерполяційної формулі Гауса.

Мета дослідження. Метою роботи є дослідження можливості використання другої інтерполяційної формули Гауса для чисельного диференціювання функції.

Задачі дослідження. проаналізувати існуючі методи знаходження похідних для випадків рівновіддалених та нерівновіддалених значень аргументу, та обґрунтувати переваги використання інтерполяційних многочленів;

· розробити алгоритми обчислення значення першої функції похідної та здійснити вибір оптимального з них;

· розробити програму чисельного диференціювання функції з використанням другої інтерполяційної формули Гауса та провести її тестування.

Об'єкт дослідження. Об'єктом дослідження є друга інтерполяційна формула Гауса.

Структура курсової роботи. Курсова робота складається з трьох основних розділів. В першому розділі наведено аналіз теоретичної бази методів чисельного диференціювання функцій та приклад застосування за другою формулою Гауса. У другому розділі розроблено оптимальний алгоритм за критерієм комплексної ефективності, що враховує затрати часу та пам'яті для його виконання, за даним методом. Третій розділ містить інструкцію користувача, лістинг програми, опис програми та результати тестування.



1. Аналіз теоретичної бази методів чисельного диференціювання функції

При розв'язуванні практичних задач часто потрібно знайти похідну вказаних порядків від функції , заданої таблично. Також можливо, що в силу складності аналітичного виразу функції неопосередковане диференціювання її викликає труднощі. В цих випадках звичайно звертаються до наближеного диференціювання [5].

Для виведення формул наближеного диференціювання замінюють дану функцію на потрібному відрізку інтерполяційної функцією (частіше всього поліномом), а потім покладають:

(1.1)

.

Аналогічно роблять при знаходженні похідних вищих порядків функції .

Якщо для інтерполяційної функції відома похибка:

то похибка похідної виражається формулою [1,2]:

(1.2)

Тобто похибка похідної інтерполяційної функції рівна похідній від похибки цієї функції. Це також вірно і для похідних вищих порядків [1].

Слід відмітити, що взагалі наближене диференціювання являє собою операцію менш точну, ніж інтерполювання [11]. Дійсно близькість одна до одної ординат двох кривих і на відрізку ще не гарантує знаходження близько друг до другу їх похідних і , тобто малого розходження кутових коефіцієнтів дотичних до даних кривих при однакових значеннях аргументу (рис. 1.1).

y

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 1.1 - Процес чисельного диференціювання

1.1 Формули наближеного диференціювання, основані на першій інтерполяційній формулі Ньютона

Нехай маємо функцію , задану в рівностоячих точках відрізка за допомогою значень . Для знаходження на похідних і так далі функцію наближено замінимо інтерполяційним поліномом Ньютона, побудованим для системи вузлів .

Маємо:

(1.3)

і

Перемноживши біноми, отримаємо:

(1.3)

,

(1.4)

Аналогічно, так як

то

. (1.5)

Таким же способом, якщо потрібно, можна визначити і похідні функції будь-якого порядку [2].

Помітимо, що при знаходженні похідних у фіксованій точці в якості слідує вибирати близьке табличне значення аргументу.

Іноді вимагається знаходити похідні функції в основних табличних точках . В цьому випадку формули чисельного диференціювання спрощуються. Так як кожне табличне значення можна вважати за початкове, то покладемо , ; тоді матимемо:

, (1.6)

; (1.7)

Якщо - інтерполяційний поліном Ньютона, який має різниці і

- відповідна похибка, то похибка в означенні похідної є

Як відомо,

(1.8)

де - деяке проміжне число між значеннями

Тому, припустивши, що , отримаємо:

(1.9)

Звідси при і, отже, при і враховуючи, що

будемо мати:

(1.10)

Оскільки в багатьох випадках важко оцінити, то при малим наближено покладають:

,

(1.11)

Аналогічно може бути знайдена похибка для другої похідної

При побудові інтерполяційних формул Ньютона використовуються лише значення функції, що лежать з однієї сторони початкового наближення, тобто, ці формули носять односторонній характер [3].

В багатьох випадках виявляються корисними інтерполяційні формули, що містять як наступні, так і попередні значення функції по відношенню до її початкового наближеного значення. Найбільш вживаними серед них являються ті, що містять різниці, розміщені у горизонтальному рядку діагональної таблиці різниць даної функції, що відповідає початковим значенням і , або в рядках, що безпосередньо примикають до неї. Ці різниці називаються центральними різницями, причому

і так далі.

Відповідні їм формули називають інтерполяційними формулами із центральними різницями. До їх числа відносяться формули Гауса, Стірлінга і Бесселя.

1.2 Формули наближеного диференціювання, основані на інтерполяційних формулах Гауса

Формули Гауса застосовуються для інтерполювання в середині таблиці поблизу . При цьому перша формула Гауса застосовується при , а друга - при .

(1.12)

Перша інтерполяційна формула Гауса містить центральні різниці .

Формули наближеного диференціювання, основані на першій інтерполяційній формулі Гауса:

(1.13)

Друга інтерполяційна формула Гауса має вигляд:

(1.14)

Перша інтерполяційна формула Гауса містить центральні різниці

Формули наближеного диференціювання, основана на другій інтерполяційній формулі Гауса:

(1.15)

1.3 Формули наближеного диференціювання, основані на інтерполяційній формулі Бесселя

Формула Бесселя використовується для інтерполювання всередині таблиці при значеннях q, близьких до 0,5 [8]. Практично вона використовується при .

(1.16)

.

Формули наближеного диференціювання, основані на інтерполяційній формулі Бесселя: чисельне диференціювання гаус похідна

(1.17)

(1.18)

1.4 Формули наближеного диференціювання, основані на інтерполяційній формулі Стірлінга

Формули чисельного диференціювання основані на першій та другій інтерполяційних функціях Ньютона, володіють тим дефектом, що вони використовують лише односторонні значення функції при [6]. Відносно велику точність мають симетричні формули диференціювання, враховуючи значення даної функції як при , так і при . Ці формули звичайно називаються центральними формулами диференціювання [12]. Виведемо одну з них, взяв за основу інтерполяційну формулу Стірлінга.

Нехай - система рівностоячих точок з кроком і - відповідні значення даної функції Покладаючи

і замінюючи наближено функцію інтерполяційним поліномом Стірлінга, будемо мати:

(1.19)

де для стислості введені позначення:

(1.20)

і так далі.

Із формули (1), враховуючи, що

отримуємо:

(1.21)

(1.21)

Зокрема, покладаючи , будемо мати:

(1.22)

і (1.22).

1.5 Приклад чисельного диференціювання за другою формулою Гауса

Прийнявши крок h = 0,05, побудувати інтерполяційний поліном Гауса для функції y = - x³ - x² + 3x + 1, заданої таблицею 1.2.

Таблиця 1.2

	0,2	0,25	0,3	0,35	0,4	0,45	0,5
	1,552	1,6719	1,7831	1,8847	1,9759	2,0563	2,125

Рішення. Складаємо таблицю різниць (див. табл. 1.3).

Так як різниці третього порядку практично постійні, то у формулі (1.23) приймаємо n = 3. Прийнявши x₀ = 0,35, y0 = 1,8847, будемо мати:

- за першою інтерполяційною формулою Гауса (1.13)

або

- за другою інтерполяційною формулою Гауса (1.14)

або

.

Це і є шукані інтерполяційні поліноми Гаусcа.

Побудуємо таблицю центральних різниць наступного виду (табл. 1.3).

Таблиця 1.3

x-3	y-3
x-2	y-2
x-1	y-1
x0	y0
x1	y1
x2	y2
x3	y3

Прийняв x₀ = 0,35, y₀ = 1,8847, застосувавши другу формулу Гауса для визначення у*(x), будемо мати таку розраховану таблицю (див. табл. 1.4).

Таблиця 1.4

0,2	1,552
		0,1199
0,25	1,6719		-0,0087
		0,1112		-0,0009
0,3	1,7831		-0,0096
		0,1016		-0,0008
0,35	1,8847		-0,0104
		0,0912		-0,0004
0,4	1,9759		-0,0108
		0,0804		-0,0009
0,45	2,0563		-0,0117
		0,0687
0,5	2,125



2. Розробка алгоритмів та вибір оптимального алгоритму

При розробці алгоритму обчислення значення аргументу, яке відповідає заданому значенню функції, якого в табл. 2 немає будемо використовувати формулу (14), що наведена в розділі 1.

Аналіз формули (1.14) та прикладу наведеного в першому розділі дозволив розробити алгоритм, особливість якого полягає в тому, що для знаходження значення похідної використовується попереднє обчислення скінчених різниць (рис. 2.1). При цьому перед основним обчисленням складається повна таблиця скінченних різниць. Перевагою такого підходу є те, що при обчислення проміжних значень таблиці скінченних різниць виконується лише один раз. До недоліків слід віднести необхідність обчислення всіх різниць на всьому проміжку, займає багато комірок пам'яті.

Розрахунки показують, що для обчислення значення аргументу необхідно 16 операцій додавання, 204 операцій віднімання, 236 операцій множення та 10 операцій ділення.

З врахуванням того, що час виконання операцій множення та ділення відповідно в 1,14 та 2,33 рази більший за час виконання операцій додавання (віднімання) при використанні арифметичного співпроцесора, загальна кількість операцій обчислення значення похідної складає:

Алгоритм можна побудувати таким чином, щоб спочатку перевірити умову, чи не збігається значення функції з будь-яким із вузлів . Якщо ця умова не підтвердилась, то проводяться відповідні обчислення що передбачені у блоках 7-12. В цьому випадку для збереження значень аргументу та функції необхідно 2 комірки пам'яті. Блок-схема першого алгоритму подана на рис. 2.1.

Інший спосіб побудови алгоритму полягає в тому, що для знаходження значення похідної використовується одночасне обчислення скінчених різниць (рис. 2.2). Даний метод полягає в тому, що обчислюються лише ті значення, які потрібні. Основним недоліком такого методу є те, що проміжні значення таблиці скінченних різниць обчислюються багаторазово, що в свою чергу вимагає більшу кількість арифметичних операцій.

Аналіз формули показує, що для обчислення необхідно 264 операцій віднімання, 198 операцій множення та 66 операцій ділення:

В даному випадку для збереження результатів обчислення необхідно також 2 комірки пам'яті.

Комплексний коефіцієнт ефективності одного алгоритму в порівнянні з іншим можна обчислити за формулою:

,

де - коефіцієнт ефективності за часом виконання алгоритму;

- коефіцієнт ефективності за затратами пам'яті алгоритму.

Оскільки коефіцієнт ефективності за часом виконання алгоритму можна приблизно оцінити за кількістю арифметичних операцій алгоритму, то комплексний коефіцієнт ефективності описаних вище алгоритмів складає:



Рисунок 2.1 - Блок-схема першого алгоритму чисельного диференціювання з використанням другої інтерполяційної формули Гауса з попереднім обчисленням скінченних різниць



Рисунок 2.1 - Продовження



Рисунок 2.2 - Блок-схема першого алгоритму чисельного диференціювання з використанням другої інтерполяційної формули Гауса з попереднім обчисленням скінченних різниць



3. Програма обчислення першої похідної функції за другою інтерполяційною формулою Гауса

3.1 Інструкція користувача

Для роботи програми має бути встановлений на комп'ютері користувача будь-яке середовище виконання програм на С++. Це стосується безпосередньо програмного модулю "File1.cpp", який можна запустити як в TurboC, так і в Borland С++ Builder 6, Microsoft Visual Studio 2010 (можливо, з мінімальним правленням), але проект створений у Embarcadero RAD Studio XE5.

Після запуску програми необхідно ввести вхідні числові дані з клавіатури у вікні консолі, за зафіксувати результат обчислень.

3.2 Лістинг програми

1.#pragma hdrstop

2.#pragma argsused

3.#include <iostream.h>

4.#include <math.h>

5.#include <iomanip.h>

6.#include <stdio.h>

7.#include <conio.h>

//

8.int main()

{

9.int krok,it,t,vud,nq,i,j;

10.double r,x,xo,xn,y, yform,h,m,s,n,s1,tr,xWykane,t1,mas [20];

11.cout"" Vvedit A = ";

12.cin"xo;

13.cout""\n Vvedit B = ";

14.cin"xn;

15.cout""\n Vvedit krok h = ";

16.cin"h;

17.krok=int((xn-xo)/h)+1;

18.printf("\n Vvedit znachennya X =");

19.cin"x;

20.scanf("a",x);

21.t=1;

22.for (i=0;i<krok;i++)

{

23.r=(2*sqrt(x))+(17*x);

24.yform=sqrt(r);

25.mas [t]=yform;

26.t=t+1;

27.yform=0;

28.r=0;

29.x=x+h;

}

30.xWykane=0;

31.r=0;

32.krok=krok-1;

33.for (it=0;it<krok;it++)

{

34.n=1;

35.m=1;

36.s=0;

37.s1=0;

38.t=1;

39.vud=r+1;

40.for (j=1;j<krok;j++)

{

41. if (t==vud) t=t+1;

42.s=y-mas [t];

43.n=n*s;

44.s1=mas [vud]-mas [t];

45.m=m*s1;

46.t=t+1;

};

47.tr=(n-m)*r;

48.xWykane=xWykane+tr;

49.r=r+1;

50.tr=0;

}

51.cout""\n Pohidna = "" xWykane;

52.getch();

53.return 0;

}

3.3 Опис програми

В даному файлі описані всі змінні та присвоєні їм певні значення, необхідні для обчислення чисельного диференціювання з використанням другої інтерполяційної формули Гауса з попереднім обчисленням скінченних різниць, а також власний процес обчислення методу. З метою ефективного використання пам'яті для збереження початкових значень системи, вони зберігаються в динамічній пам'яті, що дозволяє відводити під них місце динамічного розміру в залежності від кількості заданих даних.

Файл File1.cpp містить описи структури методу та функцій, що використовуються основною програмою, та описи внутрішніх операторів. Нижче наведено список загальних операторів, їх призначення та основні властивості.

Команда #include підключає бібліотеки функцій.

Команди cout виводить текст, значення змінних на екран.

Команда cin зчитує змінні, що введені з клавіатури в файл.

Команда double описує дійсний тип змінних.

Команда int описує цілий тип змінних.

Операторні дужки {} означають початок та кінець складного оператору, функції, програми.

Функція sqrt (з математичного модулю math.h) обчислює квадратний корінь числа.

Main - назва головної функції програми, з якої розпочинається виконання алгоритму.

Оператор getch примушує консоль затриматися, на зникаючи з екрану.

3.4 Тестування програми

На рис. 3.1 подано екранне зображення результатів обчислення програми, розробленої в серидовищі С++.

Рисунок 3.1 - Результати обчислень

Перелік посилань

1. В.А. Ильин: Основы математического анализа: учебник/ Э.Г. Позняк. - Техніка 2000. - 243 с.

2. Б.П. Демидович: Основы вычислительной математики: учебник/ И.А. Марон. - Наука 2003. - 101 с.

3. http://miest.narod.ru.

4. Н.В. Копченова: Вычислительная математика в примерах и задачах: учебник/ И.А. Марон. - "Наука" Москва 1999. - 36 с.

5. Турчак Л.И.: Основы численных методов: учебное пособие/ В.С. Марков. - Техніка 2004. - 289 с.

6. Вержбицкий В.М.: Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения/ Наука 1989. - 36 с.

7. Г.Н. Воробьева Практикум по вычислительной математике, изд. -II: довідник/ А.Н. Данилова - Москва, 2000. - 300 с.

8. Калиткин Н.П. Численные методы. К.: Либідь, 1996. - 256 с.

9. Г. Полия: Теория функций: специальная часть/ Г. Сеге. - Техніка 2001. - 147 с.

10. В.А. Буслов: Численные методы ІІ. Решение уравнений: курс лекций/ С.Л. Яковлев. - Москва, 1997. - 77 с.

11. Н.С. Бахвалов: Численные методы. К./ Жидков Н.П., Кобельников Г.М. - Либідь, 1996. - 244 с.

12. Хаусхолдер А.С.: Основы численного анализа: справочник/ Техніка 2007. - 230 с.

Размещено на Allbest.ru

...