Дополнительные главы математики
Построение полигона (гистограммы), кумулята и эмпирической функции распределения. Построение на плоскости области допустимых решений системы линейных неравенств. Задача линейного программирования симплекс-методом и способы решения двойственных задач.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 04.01.2015 |
| Размер файла | 988,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Чувашский государственный университет им И.Н. Ульянова"
Типовой расчет
«Дополнительные главы математики»
Выполнил: ст. гр. МЭЭ-03-13
Нестерин А.А.
Проверила: Картузова Т.В.
Чебоксары 2014 г.
Часть 1
1. Дано распределение признака X (случайной величины X), полученной по наблюдениям. Необходимо:
1) построить полигон (гистограмму), кумуляту и эмпирическую функцию распределения;
2) найти среднюю арифметическую ; медиану и моду ; дисперсию , среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации ; начальные и центральные моменты - го порядка (); коэффициент асимметрии и эксцесс .
1. X - число сделок на фондовой бирже за квартал; (инвесторов).
|
Частота |
Частотность щi= |
Наклон частот |
Накопленная частотность |
||
|
0 |
146 |
0.3650 |
146 |
0.3650 |
|
|
1 |
97 |
0.2425 |
243 |
0.6075 |
|
|
2 |
73 |
0.1825 |
316 |
0.7900 |
|
|
3 |
34 |
0.0850 |
350 |
0.8750 |
|
|
4 |
23 |
0.0575 |
373 |
0.9325 |
|
|
5 |
10 |
0.0250 |
383 |
0.9575 |
|
|
6 |
6 |
0.0150 |
389 |
0.9725 |
|
|
7 |
3 |
0.0075 |
392 |
0.9800 |
|
|
8 |
4 |
0.0100 |
396 |
0.9900 |
|
|
9 |
2 |
0.0050 |
398 |
0.9950 |
|
|
10 |
2 |
0.0050 |
400 |
1.0000 |
Средняя арифметическая вариационного ряда:
Медиана вариационного ряда (значение признака, которое приходится на середину ранжированного ряда):
;
Мода вариационного ряда (варианта, которой соответствует наибольшая частота):
;
Дисперсия вариационного ряда:
Среднее квадратическое отклонение:
.
Коэффициент вариации:
.
Начальные моменты - го порядка (
Центральные моменты - го порядка (
Коэффициент асимметрии:
Эксцесс
.
2. X - удой коров на молочной ферме за лактационный период (в ц.); (коров).
|
Интервалы |
Середины интервалов |
Частота |
Частотность щi= |
Наклон частот |
Накопленная частотность |
|
|
4-6 |
5 |
1 |
0.0100 |
1 |
0.0100 |
|
|
6-8 |
7 |
3 |
0.0300 |
4 |
0.0400 |
|
|
8-10 |
9 |
6 |
0.0600 |
10 |
0.1000 |
|
|
10-12 |
11 |
11 |
0.1100 |
21 |
0.2100 |
|
|
12-14 |
13 |
15 |
0.1500 |
36 |
0.3600 |
|
|
14-16 |
15 |
20 |
0.2000 |
56 |
0.5600 |
|
|
16-18 |
17 |
14 |
0.1400 |
70 |
0.7000 |
|
|
18-20 |
19 |
12 |
0.1200 |
82 |
0.8200 |
|
|
20-22 |
21 |
10 |
0.1000 |
92 |
0.9200 |
|
|
22-24 |
23 |
6 |
0.0600 |
98 |
0.9800 |
|
|
24-26 |
25 |
2 |
0.0200 |
100 |
1.0000 |
гистограмма плоскость линейный программирование
Среднее арифметическое вариационного ряда:
Медиана вариационного ряда (определим по кумуляте):
Моду определим по гистограмме:
Дисперсия:
Среднее квадратическое отклонение:
Коэффициент вариации:
Начальные моменты - го порядка (
Центральные моменты - го порядка ( :
Коэффициент асимметрии:
Эксцесс:
3. По выборкам объемом и найдены средние размеры деталей соответственно и мм. Установлено, что размер детали, изготовленный каждым автоматом, имеет нормальный закон распределения. Известны дисперсии и для первого и второго автоматов. На уровне значимости выявить влияние на средний размер детали автомата, на котором она изготовлена. Рассмотреть два случая: а) ; б) .
Нулевая гипотеза
При справедливости статистика рассчитывается следующим образом:
а) в данном случае средний размер детали зависит от выбора автомата - двусторонняя критическая область по таблице II (Значения функции Лапласа) находим значение
Получим: .
Нулевая гипотеза отвергается, значит средний размер детали зависит от выбора автомата.
б) в данном случае влияние второго автомата больше) - односторонняя критическая область по таблице II (Значения функции Лапласа) находим значение
Получим: .
Нулевая гипотеза отвергается, значит влияние второго автомата больше.
4. Имеются следующие данные о качестве детского питания, изготовленного различными фирмами (в баллах): 40, 39, 42 ,37, 38, 43, 45, 41, 48. Есть основание полагать, что показатель качества продукции последней фирмы зарегистрирован неверно. Является ли это значение аномальным (резко выделяющимся) на 5% уровне значимости?
;
Нулевая гипотеза (т.е значение принадлежит к остальным наблюдениям).
Значение исключаем, а для остальных найдем среднее арифметическое и среднее квадратическое отклонение ():
Рассчитаем значение статистики, имеющий распределение Стьюдента
По таблице IV (Значения - критерия Стьюдента) находим
Получили: .
Нулевая гипотеза отвергается, т.о. значение является аномальным.
5. Вступительный экзамен проводился на двух факультетах института. На экономическом факультет из абитуриентов выдержали экзамен человек, а на финансово-кредитном из абитуриентов - . На уровне значимости проверить гипотезу об отсутствии существенных различий в уровне подготовки абитуриентов двух факультетов. Рассмотреть два случая: а); б).
Нулевая гипотеза: (т.е. уровни подготовки абитуриентов одинаковы)
Найдем выборочные доли и
Рассчитаем выборочную долю признака:
Рассчитаем значение статистики:
а) (уровни подготовки абитуриентов отличаются) - одностороння критическая область:
По таблице II (значения функции Лапласа):
Получили: .
Нулевая гипотеза принимается, т.е. полученные данные не противоречат гипотезе об одинаковом уровне подготовки абитуриентов.
б) (уровень подготовки абитуриентов экономического факультета лучше уровня подготовки студентов финансово - кредитного) - одностороння критическая область:
По таблице II (значения функции Лапласа):
Получили:
Нулевая гипотеза отвергается, т.е. полученные данные противоречат гипотезе о лучшем уровне подготовки абитуриентов экономического факультета.
6. На уровне значимости 0.05 проверить гипотезу о нормальном законе распределения признака (случайной величины) , используя критерий согласия: а) - Пирсона; б) Колмогорова (по данным таблицы задания 2).
; из задания 2 имеем ; n=100;
|
Интервалы |
Частота |
Вероятность |
Теоретические частоты |
|||
|
4-6 |
1 |
0.01 |
1 |
0 |
0 |
|
|
6-8 |
3 |
0.027 |
2.7 |
0.0900 |
0.0333 |
|
|
8-10 |
6 |
0.058 |
5.8 |
0.0400 |
0.0069 |
|
|
10-12 |
11 |
0.105 |
10.5 |
0.2500 |
0.0238 |
|
|
12-14 |
15 |
0.153 |
15.3 |
0.0900 |
0.0059 |
|
|
14-16 |
20 |
0.18 |
18 |
4.0000 |
0.2222 |
|
|
16-18 |
14 |
0.173 |
17.3 |
10.8900 |
0.6295 |
|
|
18-20 |
12 |
0.135 |
13.5 |
2.2500 |
0.1667 |
|
|
20-22 |
10 |
0.086 |
8.6 |
1.9600 |
0.2279 |
|
|
22-24 |
6 |
0.044 |
4.4 |
2.5600 |
0.5818 |
|
|
24-26 |
2 |
0.019 |
1.9 |
0.0100 |
0.0053 |
Нулевая гипотеза - случайная величина распределена нормально
а) Критерий согласия Пирсона ():
Рассчитываем вероятности :
По данным примера 2 имеем .
Рассчитаем значения вероятностей. Значения Ф(х) находим по таблице II (значения функции Лапласа):
Все остальные значения вероятностей рассчитываются подобным образом. Найдем последнее из них:
Определим меру расхождения эмпирических и теоретических частот:
Число степеней свободы:
где - число интервалов эмпирического распределения
- число параметров теории распределения
По таблице V (значения критерия Пирсона) находим:
Получили:
Т.о. гипотеза о выбранном теоретическом нормальном законе распределения согласуется с опытными данными.
б) Критерий согласия Колмогорова
|
Частота |
Накопленная частотность |
||||||
|
6 |
1 |
0.0100 |
-2.2024 |
-0.9566 |
0.0217 |
0.0039 |
|
|
8 |
3 |
0.0400 |
-1.7436 |
-0.9181 |
0.0409 |
0.0009 |
|
|
10 |
6 |
0.1000 |
-1.2847 |
-0.7984 |
0.1008 |
0.0014 |
|
|
12 |
11 |
0.2100 |
-0.8259 |
-0.5935 |
0.2032 |
0.0068 |
|
|
14 |
15 |
0.3600 |
-0.3671 |
-0.2886 |
0.3557 |
0.0043 |
|
|
16 |
20 |
0.5600 |
0.0918 |
0.0717 |
0.5359 |
0.0241 |
|
|
18 |
14 |
0.7000 |
0.5506 |
0.4245 |
0.7123 |
0.0088 |
|
|
20 |
12 |
0.8200 |
1.0094 |
0.6827 |
0.8414 |
0.0238 |
|
|
22 |
10 |
0.9200 |
1.4683 |
0.8584 |
0.9292 |
0.0092 |
|
|
24 |
6 |
0.9800 |
1.9271 |
0.9464 |
0.9732 |
0.0064 |
|
|
26 |
2 |
1.0000 |
2.3859 |
0.9832 |
0.9916 |
0.0084 |
Значения это накопленные частости (они соответствуют значениям полученным в задании 2).
Для построения в случае нормального закона воспользуемся формулой:
Получим:
При и :
Получили:
Т.о. гипотеза о выбранном теоретическом нормальном законе распределения согласуется с опытными данными.
7. Имеются две выборки объемов 125 и 80 показателя качества однотипной продукции, изготовленной двумя фирмами
|
14 |
17 |
20 |
23 |
26 |
29 |
32 |
35 |
38 |
41 |
||
|
2 |
4 |
10 |
15 |
20 |
27 |
18 |
16 |
8 |
5 |
|
16 |
20 |
24 |
28 |
32 |
36 |
40 |
44 |
||
|
3 |
9 |
12 |
17 |
16 |
13 |
7 |
3 |
Выяснить, можно ли на уровне значимости 0.05 считать, что рассматриваемый показатель качества продукции двух фирм описывается одной и той же функцией распределения (т.е. выборки извлечены из одной генеральной совокупности). Решить задачу, используя критерии: а) Колмогорова-Смирнова, б) однородности ; в) Вилкоксона-Манна-Уитни
;
Нулевая гипотеза : выборки извлечены из одной генеральной совокупности (однородны)
а) Критерий Колмогорова-Смирнова
Объединим данные выборки в одну с шагом 4 и . Значение, совпадающие с верхней границей интервала будут отнесены к этому интервалу.
|
14-18 |
6 |
3 |
6 |
3 |
0.048 |
0.0375 |
0.0105 |
|
|
18-22 |
10 |
9 |
16 |
12 |
0.128 |
0.1504 |
0.0220 |
|
|
22-26 |
35 |
12 |
51 |
24 |
0.408 |
0.3021 |
0.1080 |
|
|
26-30 |
27 |
17 |
78 |
41 |
0.624 |
0.5125 |
0.1115 |
|
|
30-34 |
18 |
16 |
96 |
57 |
0.768 |
0.7125 |
0.0555 |
|
|
34-38 |
24 |
13 |
120 |
70 |
0.960 |
0.8752 |
0.0850 |
|
|
38-42 |
5 |
7 |
125 |
77 |
1.000 |
0.9625 |
0.0375 |
|
|
42-46 |
0 |
3 |
125 |
80 |
1.000 |
1.0000 |
0.0000 |
|
|
125 |
80 |
Статистика имеет вид:
При и :
Получили:
б) Критерий однородности
|
14-18 |
18-22 |
22-26 |
26-30 |
30-34 |
34-38 |
38-42 |
42-46 |
|||
|
6 |
10 |
35 |
27 |
18 |
24 |
5 |
0 |
125 |
||
|
3 |
9 |
12 |
17 |
16 |
13 |
7 |
3 |
80 |
||
|
9 |
19 |
47 |
44 |
34 |
37 |
12 |
3 |
Статистика имеет вид
Степени свободы:
По таблице приложения значения критерия :
Получили:
Т.е. гипотеза об однородности выборок принимается
в) Критерий Вилкоксона-Манна-Уитни
Создадим объединенную выборку объемом
|
Оценка |
14 |
16 |
17 |
20 |
20 |
23 |
24 |
26 |
28 |
29 |
32 |
32 |
35 |
36 |
38 |
40 |
41 |
44 |
|
|
1 |
2 |
1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
||
|
2 |
3 |
4 |
10 |
9 |
15 |
12 |
20 |
17 |
27 |
18 |
16 |
16 |
13 |
8 |
7 |
5 |
3 |
||
|
2 |
5 |
9 |
28 |
43 |
55 |
75 |
92 |
119 |
153 |
169 |
182 |
190 |
197 |
202 |
205 |
Находим суммы рангов оценок для первой и второй выборок:
Проверка:
Рассчитаем статистику:
Получили:
Т.е. нулевая гипотеза об однородности выборок принимается.
Часть 2
1. Построить на плоскости область допустимых решений системы линейных неравенств:
Точки граничных прямых
|
(2) |
(3) |
||||||
|
0 |
-6 |
0 |
2 |
0 |
6 |
||
|
4 |
0 |
1 |
0 |
12 |
0 |
2. Решить задачу линейного программирования симплекс-методом. Ответ проверить графически .
.
1) Задача минимизации
Перейдем от системы неравенств к системе уравнений путем добавления базисных неизвестных:
Составим симплекс матрицу
|
-3 |
2 |
1 |
0 |
0 |
12 |
|
|
-4 |
1 |
0 |
1 |
0 |
4 |
|
|
7 |
-3 |
0 |
0 |
1 |
21 |
|
|
1 |
-2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
В данной матрице не выполняются ни критерий оптимальности, ни критерий отсутствия оптимальности, поэтому необходимо выбрать разрешающий элемент и перейти к следующей матрице.
Разрешающий столбец - 1-ый, разрешающий элемент - 3-ий
|
0 |
1 |
0 |
147/7 |
( |
|||
|
0 |
0 |
1 |
112/7 |
( |
|||
|
1 |
-3/7 |
0 |
1/7 |
3 |
( |
||
|
0 |
-11/7 |
0 |
0 |
-1/7 |
-3 |
Т.к. в целевой строке все элементы неположительные, то выполняется критерий оптимальности, т.е. задача имеет оптимальное решение, равное:
;
(3,0, 147/7, 112/7,0);
Контроль: .
2) Задача максимизации
Составим симплекс матрицу
|
-3 |
2 |
1 |
0 |
0 |
12 |
|
|
-4 |
1 |
0 |
1 |
0 |
4 |
|
|
7 |
-3 |
0 |
0 |
1 |
21 |
|
|
-1 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Разрешающий столбец - 2-ой, разрешающий элемент - 2-ой.
|
5 |
0 |
1 |
-2 |
0 |
4 |
|
|
-4 |
1 |
0 |
1 |
0 |
4 |
|
|
-5 |
0 |
0 |
3 |
1 |
33 |
|
|
7 |
0 |
0 |
-2 |
0 |
-8 |
Разрешающий столбец - 4-ый, разрешающий элемент - 3-ий.
|
1 |
0 |
1/5 |
-2/5 |
0 |
4/5 |
|
|
0 |
1 |
4/5 |
-3/5 |
0 |
36/5 |
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
185/5 |
|
|
0 |
0 |
-7/5 |
4/5 |
0 |
-68/5 |
Разрешающий столбец - 1-ый, разрешающий элемент - 1-ый.
|
1 |
0 |
0 |
78/5 |
( |
|||
|
0 |
1 |
0 |
147/5 |
( |
|||
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
185/5 |
( |
|
|
0 |
0 |
-11/5 |
0 |
-4/5 |
-216/5 |
Контроль:
3) Проверка ответа графически:
|
(2) |
(3) |
||||||
|
0 |
-4 |
0 |
-1 |
0 |
3 |
||
|
6 |
0 |
4 |
0 |
-7 |
0 |
ABOCD - область допустимых решений.
Вектор .
т. A - точка максимума с координатами:
т. C - точка минимума с координатами:D(3, 0)
3. Составить двойственную задачу к данной, решить одну их них симплекс - методом и найти решение другой :
.
Составим задачу, двойственную к исходной:
Решим симплекс-методом двойственную задачу:
где, - базисные неизвестные.
|
-7 |
3 |
1 |
0 |
0 |
8 |
|
|
1 |
-2 |
0 |
1 |
0 |
12 |
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
5 |
|
|
3 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Разрешающий столбец - 1-ый, разрешающий элемент - 3-ий.
|
0 |
1 |
0 |
43 (=8+35) |
() |
|||
|
0 |
0 |
1 |
7 (=12-5) |
() |
|||
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
5 |
() |
|
|
0 |
-4 |
0 |
0 |
-3 |
-15 (=-5?3) |
||
Контроль:
Решение основной задачи:
т.к., то
Контроль:
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Однородные системы линейных неравенств и выпуклые конусы. Применение симплекс-метода для отыскания опорного решения системы линейных неравенств, ее геометрический смысл. Основная задача линейного программирования. Теорема Минковского, ее доказательство.
курсовая работа [807,2 K], добавлен 03.04.2015Обыкновенные и модифицированные жордановы исключения. Последовательность решения задач линейного программирования симплекс-методом применительно к задаче максимизации: составлении опорного плана решения, различные преобразования в симплекс-таблице.
курсовая работа [37,2 K], добавлен 01.05.2011Сущность понятия "симплекс-метод". Математические модели пары двойственных задач линейного программирования. Решение задачи симплексным методом: определение минимального значения целевой функции, построение первого опорного плана, матрица коэффициентов.
курсовая работа [219,4 K], добавлен 17.04.2013Линейное программирование как наиболее разработанный и широко применяемый раздел математического программирования. Понятие и содержание симплекс-метода, особенности и сферы его применения, порядок и анализ решения линейных уравнений данным методом.
курсовая работа [197,1 K], добавлен 09.04.2013Определение вероятности наступления события по формуле Бернулли. Построение эмпирической функции распределения и гистограммы для случайной величины. Вычисление коэффициента корреляции, получение уравнения регрессии. Пример решения задачи симплекс-методом.
контрольная работа [547,6 K], добавлен 02.02.2012Построение полигона относительных частот, эмпирической функции распределения, кумулянты и гистограммы. Расчет точечных оценок неизвестных числовых характеристик. Проверка гипотезы о виде распределения для простого и сгруппированного ряда распределения.
курсовая работа [216,2 K], добавлен 28.09.2011Предназначена библиотеки "simplex" для оптимизации линейных систем с использованием симплексного алгоритма. Построение экономико-математической модели формирования плана производства. Основные виды транспортных задач, пример и способы ее решения.
курсовая работа [477,9 K], добавлен 12.01.2011Статистическая обработка данных контроля времени (в часах) работы компьютерного класса в день. Полигон абсолютных частот. Построение графика эмпирической функции распределения и огибающей гистограммы. Теоретическое распределение генеральной совокупности.
контрольная работа [379,3 K], добавлен 23.08.2015Системы линейных уравнений и интерпретация их решений как пересечение гиперплоскостей в n-мерном координатном пространстве. Размерность и подпространства линейного пространства. Оптимизационные задачи линейного программирования. Суть симплекс-метода.
курсовая работа [132,2 K], добавлен 10.01.2014Графическое решение задачи линейного программирования. Общая постановка и решение двойственной задачи (как вспомогательной) М-методом, правила ее формирования из условий прямой задачи. Прямая задача в стандартной форме. Построение симплекс таблицы.
задача [165,3 K], добавлен 21.08.2010Понятие линейного программирования и его основные методы. Формулировка задачи линейного программирования в матричной форме и ее решение различными методами: графическим, табличным, искусственного базиса. Особенности решения данной задачи симплекс-методом.
курсовая работа [65,3 K], добавлен 30.11.2010Закон распределения случайной величины Х, функция распределения и формулы основных числовых характеристик: математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратичное отклонение. Построение полигона частот и составление эмпирической функции распределения.
контрольная работа [36,5 K], добавлен 14.11.2010Расчет наступления определенного события с использованием положений теории вероятности. Определение функции распределения дискретной случайной величины, среднеквадратичного отклонения. Нахождение эмпирической функции и построение полигона по выборке.
контрольная работа [35,1 K], добавлен 14.11.2010Порядок и принципы построения вариационного ряда. Расчет числовых характеристик статистического ряда. Построение полигона и гистограммы относительных частот, функции распределения. Вычисление асимметрии и эксцесса. Построение доверительных интервалов.
контрольная работа [108,5 K], добавлен 03.10.2010Существование и способ построения фундаментального набора решений для систем, состоящих из одного или нескольких неравенств. Метод последовательного уменьшения числа неизвестных. Системы однородных и неоднородных произвольных линейных неравенств.
курсовая работа [69,8 K], добавлен 09.12.2011Статистический подход к измерению правовой информации. Графический метод решения задач линейного программирования. Методика решения задач линейного программирования графическим методом. Количество информации как мера неопределенности состояния системы.
контрольная работа [79,4 K], добавлен 04.06.2010Задачи на элементы теории вероятности и математической статистики. Решение систем линейных уравнений методом Крамера; методом Гаусса. Закон распределения дискретной случайной величены. Построение выпуклого многоугольника, заданного системой неравенств.
контрольная работа [96,1 K], добавлен 12.09.2008Вероятность совместного появления двух белых шаров. Расчет числа исходов, благоприятствующих интересующему событию. Функция распределения случайной величины. Построение полигона частот, расчет относительных частот и эмпирической функции распределения.
задача [38,9 K], добавлен 14.11.2010Развитие численных линейных методов решения задач линейного программирования. Знакомство с методами поиска целевой функции: равномерный симплекс, методы Коши, Ньютона, сопряжённого градиенты, квазиньютоновский метод. Алгоритмы нахождения экстремума.
курсовая работа [716,1 K], добавлен 12.07.2012Уравнения с разделяющими переменными. Частное решение линейного дифференциального уравнения. Оценка вероятностей с помощью неравенства Чебышева. Нахождение плотности нормального распределения. Построение гистограммы и выборочной функции распределения.
контрольная работа [387,4 K], добавлен 09.12.2011
