Ермаков, Евдокс, Эвклид

Размещено на http://www.allbest.ru

Ермаков Василии Петрович (1845-1922) русский математик

Василий Петрович Ермаков родился 27 февраля 1845 года на Гомельщине, в селе Терюха, в семье учителя. Отец, Петр Иванович Ермаков, дал хорошее образование своим сыновьям -- Михаилу, Василию и Петру. Михаил стал врачом, а Василий и Петр -- математиками. Их первым учебным заведением была церковно-приходская школа, где отец работал учителем. ермаков математика евдокс эвклид

Затем Василий Петрович учился в гомельской и черниговской гимназиях, а потом поступил на физико-математический факультет Киевского университета. Очень плохо было с деньгами, только на последнем курсе студент Ермаков стал получать университетское содержание в размере 200 рублей в год. Он учился лучше всех и получил звание действительного студента, а позже -- степень кандидата за студенческую работу, посвященную кватернионам.

Профессора Киевского университета, известные математики Михаил Георгиевич Ващенко-Захарченко и Павел Эмилиевич Ромер заметили талантливого студента и обратились к руководству физико-математического факультета с просьбой оставить Ермакова на два года при университете для подготовки к профессорскому званию. Они отмечают его любовь к науке и то, что при крайней бедности Ермаков достиг блистательных успехов в учебе и в науке. Материальное положение студента Ермакова улучшилось, когда он стал одним из трех стипендиатов физико-математического факультета.

Впервые российские математики узнали о Василии на III съезде русских естествоиспытателей и врачей в августе 1871 года. Сообщение 26-летнего Ермакова было тепло встречено знаменитыми математиками П.Л. Чебышёвым, В.Г. Имшенецким, Е.И. Золотаревым и было посвящено признаку сходимости рядов, открытому им.

Он увлекся прикладной математикой, его привлекли математические методы в теории упругости, и университет командировал его за границу, чтобы он прослушал лекции в Вене и Геттингене, Лондоне и Париже. Несомненно, большое влияние оказала на Василия Ермакова Петербургская математическая школа: ведь ее глава, Пафнутий Львович Чебышёв, много занимался решением прикладных и теоретических задач.

За границей Ермаков слушал лекции Леопольда Кронекера по теории чисел и Карла Вейерштрасса по абелевым функциям. Не была забыта и физика. Лекции Квинке, Кирхгофа, Гельмгольца и Варбурга познакомили его с новейшими достижениями в теоретической физике. В 1874 году он получил степень магистра математики и был избран доцентом на кафедре чистой математики Киевского университета. Ермаков начинает читать лекции по теории вероятностей, теории чисел, разностному исчислению. Научная работа становится менее интенсивной, так как чтение лекций и подготовка новых курсов занимает много времени, тем не менее он уже через два года публикует работу, посвященную интегрированию уравнений механики. Защита прошла успешно, оппоненты, профессора Киевского университета И.И. Разманинов и П.Э. Ромер, отметили высокий, европейский уровень работы ученого.

Он получает звание экстраординарного профессора, Петербургская Академия наук избирает его своим членом-корреспондентом, а в 1888 году он становится ординарным профессором. С 1884 года начинает выходить «Журнал элементарной математики», душой и сердцем которого был Василий Петрович. Был организован Киевский политехнический институт, знаменитый в наше время КПИ, и в числе первых педагогов был приглашен Ермаков. После тридцати лет работы в университете Ермаков с энтузиазмом берется за организацию математического образования в этом вузе. Наряду с традиционными курсами, такими, как аналитическая геометрия, введение в математический анализ, дифференциальное и интегральное исчисление, В.П. Ермаков вводит такие университетские курсы, как дифференциальная геометрия, теория обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными.

В 1876 году Василий Петрович женился на Елизавете Степановне Лукомской, которая преподавала в женской гимназии, у них был сын и две дочери.

Ермаков много и интенсивно работает, издает учебники, пишет научные работы. Он получил интересные результаты в теории рядов, в исследовании функций на максимум и минимум, в дифференциальных уравнениях и в вариационном исчислении, в теории чисел. В своих работах Ермаков получал новые, оригинальные результаты, а также более простые доказательства и толкования. Так сложились и педагогические принципы ученого. Его «Журнал элементарной математики» был адресован средней школе, и знаменитый математик вник во все тонкости школьной математики. Мысли о педагогике высшей и средней школы -- это одна из самых современных страниц творческого наследия Ермакова.

Организаторская работа ученого проявилась в подготовке будущих математиков, в организации в 1889 году Киевского физико-математического общества.

Умер Василий Петрович 16 марта 1922 года. Он работал в КПИ и после революции, у него было много учеников, известных ученых, которые запомнили его как выдающегося математика и педагога, очень доброго и отзывчивого человека.

Евдокс Книдский (ок. 408 -- ок. 355 до н. э.)

О жизни Евдокса известно немного. Родился в Книде, на юго-западе Малой Азии.

Учился медицине, потом математике (у пифагорейца Архита в Италии), затем присоединился к школе Платона в Афинах. Около года провёл в Египте, изучал астрономию в Гелиополе. Позднее Евдокс переселился в город Кизик на Мраморном море, основал там собственную математико-астрономическую школу, читал лекции по философии, астрономии и метеорологии.

Евдокс Книдский известен прежде всего как математик и астроном, но кроме того он писал книги по философии, географии, музыке и медицине. О жизни Евдокса известно следующее. В молодости он изучал математику у Архита в Таренте и медицину у Филистиона в Сицилии. 23-х лет он прибыл в Афины и, будучи очень бедным, поселился в гавани Пирея, откуда ежедневно ходил пешком в платоновскую Академию и обратно. Позднее при содействии друзей, он совершил путешествие в Египет, где набирался астрономических знаний у жрецов Гелиопля. Вернувшись в Грецию, он основал собственную школу в Кизике (на берегу Мраморного моря).

Евдокс Книдский, являвшийся ключевой фигурой в греческой науке своего времени, был учеником выдающегося древнегреческого математика и астронома (а также государственного деятеля и полководца) Архита Тарентского (ок. 428--365 до н. э.). В молодости Евдокс набирался знаний, путешествуя по Греции и Египту, после чего основал школу математиков и астрономов, сыгравшую значительную роль в развитии науки. Евдокс писал книги также по философии, географии, музыке, медицине. Получил широкую известность. Умер на своей родине, в г. Книде (Малая Азия).

Евдокс был великим математиком. Развивая то, что было сделано другими учеными в области теории пропорций, он построил общую теорию отношений, основанную на новом определении величины. До Евдокса теоремы теории отношений приходилось доказывать отдельно для чисел, отрезков и площадей. Он же ввел понятие величины, включавшее в себя как числа, так и любые непрерывные величины. Данное понятие определялось с помощью общих аксиом равенства и неравенства, к которым Евдокс добавил еще одну, теперь обычно называемую аксиомой Архимеда: “Две величины находятся между собой в определенном отношении, если любая из них, взятая кратно, может превзойти другую”. Исходя из этих аксиом, Евдокс разработал строгую теорию отношений, изложенную Евклидом в его знаменитых “Началах” . Глубину этой теории смогли по-настоящему оценить лишь во второй половине XIX столетия. “Рихард Дедекинд (1831--1916)... проделал для современной математики то, что сделал Евдокс для греческой. Существует большое сходство между дедекиндовым сечением, с помощью которого современные математики... определяют иррациональные числа, и античной теорией Евдокса, как она изложена в пятой книге “Начал” Евклида”.

Другим важнейшим вкладом Евдокса в математику являлась разработка так называемого “метода исчерпывания”, заложившего основы теории пределов и подготовившего почву для позднейшего развития математического анализа. В основе “метода исчерпывания” лежит следующее положение: если от какой-либо величины отнять половину или более, затем ту же операцию проделать с остатком, и так поступать дальше и дальше, то через конечное число действий можно дойти до величины, которая будет меньше наперед заданного числа.

С помощью данного метода Евдокс впервые строго доказал, что: площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров (само это положение было известно ранее); объем пирамиды равен 1/3 объема призмы с теми же основанием и высотой; объем конуса равен 1/3 объема цилиндра с теми же основанием и высотой. В дальнейшем “метод исчерпывания” был развит Архимедом. Он также изложен в “Началах” Евклида.

“Школа Евдокса заложила основу, на которой за период от 350-го до 200 г. До н. э. трудами великих Евклида, Архимеда, Аполлония была создана греческая дедуктивная (дедукция [от лат. deductio -- выведение] -- логическое умозаключение, ведущее от общего к частному, от общих суждений к частным (или другим общим выводам)) математика, служившая человечеству многие века”.

Для истории астрономии значение работ Евдокса было еще более значительным. Его можно считать создателем античной теоретической астрономии как самостоятельной науки. “Самым древним из известных нам греческих достижений в теоретической астрономии является планетарная теория Евдокса... Это была попытка объяснить движение планет (вокруг Земли) с помощью вращающихся концентрических сфер, каждая из которых имела особую ось вращения с концами, закрепленными в охватывающей сфере”.

Подлинное величие Евдокса-астронома историки науки оценили лишь в XIX веке. Это объяснялось в первую очередь тем, что все сочинения Евдокса оказались утерянными, а свидетельства древних авторов, в которых сообщалось о его достижениях, были отрывочными и нечеткими.

При этом, согласно свидетельствам античных авторов, Евдокс являлся не только теоретиком, но и первоклассным астрономом-наблюдателем. Он организовал при своей школе первую греческую обсерваторию, где его ученики вели систематические наблюдения за небесными светилами. Евдокс дал детальное описание созвездий, видимых на широте Греции, составил каталог звездного неба. До нас дошли названия двух его сочинений в области астрономии -- “Явления” и “Зеркало”, которые были посвящены одним и тем же вопросам и различались лишь в деталях. На основе этих сочинений древнегреческий поэт Арат написал в III в. до н. э. дидактическую (т.е. “поучительную”) поэму, первая часть которой содержала красочное описание созвездий и связанных с ними легенд (вторая часть поэмы касалась в основном вопросов метеорологии). Поэма Арата, называвшаяся, как и книга Евдокса, “Явления”, пользовалась в древности большой популярностью и в течение долгого времени была важнейшим источником астрономических сведений.

"Единица есть то, через что каждое из существующих считается единым. Число же - множество, составленное из единиц".

Эвклид

Эвклид - древнегреческий математик, автор первых дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения о жизни и деятельности Эвклида крайне ограничены. Известно, что он родом из Афин, был учеником Платона. Научная деятельность его протекала в Александрии, где он создал математическую школу.

Главные труды Эвклида "Начала" (латинизированное назв.- "Элементы") содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел, алгебры, общей теории отношений и метода определения площадей и объемов, включающего элементы пределов (Метод исчерпывания). В "Началах" Эвклид подытожил все предшествующие достижения греческой математики и создал фундамент для ее дальнейшего развития. Историческое значение "Начал" Эвклида заключается в том, что в них впервые сделана попытка логического построения геометрии на основе аксиоматики. Основным недостатком аксиоматики Эвклида следует считать ее неполноту; нет аксиом непрерывности, движения и порядка, поэтому Эвклиду часто приходилось апеллировать к интуиции, доверять глазу. Книги XIV и XV являются более поздними добавлениями, но являются ли первые тринадцать книг созданием одного человека или школы, руководимой Эвклидом, не известно. С 1482г. "Начала" Эвклида выдержали более 500 изд. на всех языках мира.

"Начала"

Первые четыре книги "Начал" посвящены геометрии на плоскости, и в них изучаются основные свойства прямолинейных фигур и окружностей.

Книге I предпосланы определения понятий, используемых в дальнейшем. Они носят интуитивный характер, поскольку определены в терминах физической реальности: "Точка есть то, что не имеет частей". "Линия же - длина без ширины". "Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению точкам на ней". "Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину" и т.д.

За этими определениями следуют пять постулатов: "Допустим:

1) что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию;

2) и что ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой;

3) и что из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг;

4) и что все прямые углы равны между собой;

5) и если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньше двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых."

Три первых постулата обеспечивают существование прямой и окружности. Пятый, так называемый постулат о параллельных - самый знаменитый. Он всегда интриговал математиков, которые пытались вывести его из четырех предыдущих или вообще отбросить, до тех пор, когда в XIX в. обнаружилось, что можно построить другие, неевклидовы геометрии и что пятый постулат имеет право на существование. Затем Эвклид сформулировал аксиомы, которые в противоположность постулатам, справедливым только для геометрии, применимы вообще ко всем наукам. Далее Эвклид доказывает в книге I элементарные свойства треугольников, среди которых - условия равенства. Затем описываются некоторые геометрические построения, такие, как построение биссектрисы угла, середины отрезка и перпендикуляра к прямой. В книгу I включены также теория параллельных и вычисление площадей некоторых плоских фигур (треугольников, параллелограммов и квадратов). В книге II заложены основы так называемой геометрической алгебры, восходящей к школе Пифагора. Все величины в ней представлены геометрически, и операции над числами выполняются геометрически. Числа заменены отрезками прямой. Книга III целиком посвящена геометрии окружности, а в книге IV изучаются правильные многоугольники, вписанные в окружность, а также описанные вокруг нее.

Теория пропорций, разработанная в книге V, одинаково хорошо прилагалась и к соизмеримым величинам и к несоизмеримым величинам. Эвклид включал в понятие "величины" длины, площади, объемы, веса, углы, временные интервалы и т. д. Отказавшись использовать геометрическую очевидность, но избегая также обращения к арифметике, он не приписывал величинам численных значений. Первые определения книги V "Начал" Эвклида: 1. Часть есть величина (от) величины, меньшая (от) большей, если она измеряет большую. 2. Кратное же - большая (от) меньшей, если она измеряется меньшей. 3. Отношение есть некоторая зависимость двух однородных величин по количеству. 4. Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга. 5. Говорят, что величины находятся в том же отношении: первая ко второй и третья к четвертой, если равнократные первой и третьей одновременно больше, или одновременно равны, или одновременно меньше равнократных второй и четвертой каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответственном порядке. 6. Величины же, имеющие то же отношение, пусть называются пропорциональными. Из восемнадцати определений, помещенных в начале всей книги, и общих понятий, сформулированных в книге I, с восхитительным изяществом и почти без логических недочетов Эвклид вывел (не прибегая к постулатам, содержание которых было геометрическим) двадцать теорем, в которых устанавливались свойства величин и их отношений.

В книге VI теория пропорций книги V применяется к прямолинейным фигурам, к геометрии на плоскости и, в частности, к подобным фигурам, причем "подобные прямолинейные фигуры суть те, которые имеют углы, равные по порядку, и стороны при равных углах пропорциональные". Книги VII ,VIII и IX составляют трактат по теории чисел; теория пропорций в них прилагается к числам. В книге VII определяется равенство отношений целых чисел, или, с современной точки зрения, строится теория рациональных чисел. Из многих свойств чисел, исследованных Эвклидом (четность, делимость и т.д.), приведем, например, предложение 20 книги IX, устанавливающее существование бесконечного множества "первых", т.е. простых чисел: "Первых чисел существует больше всякого предложенного количества первых чисел". Его доказательство от противного до сих пор можно найти в учебниках по алгебре.

Книга X читается с трудом; она содержит классификацию квадратичных иррациональных величин, которые там представлены геометрически прямыми и прямоугольниками. Вот как сформулировано предложение 1 в книге X "Начал" Эвклида: "Если заданы две неравные величины и из большей вычитается часть, большая половины, а из остатка - снова часть, большая половины, и это повторяется постоянно, то когда-нибудь остается величина, которая меньше, чем меньшая из данных величин". На современном языке: Если a и b - положительные вещественные числа и a >b, то всегда существует такое натуральное число m, что mb > a. Эвклид доказал справедливость геометрических преобразований.

Книга XI посвящена стереометрии. В книге XII, которая также восходит, вероятно, к Евдоксу, с помощью Метода исчерпывания площади криволинейных фигур сравниваются с площадями многоугольников. Предметом книги XIII является построение правильных многогранников. Построение Платоновых тел, которым, по-видимому завершаются "Начала", дало основание причислить Эвклида к последователям философии Платона.

Кроме "Начал" до нас дошли такие произведения Эвклида: книга под латинским названием "Data" ("Данные") (с описанием условий, при которых какой-нибудь математический образ можно считать "данным"); книга по оптике (содержащая учение о перспективе), по катоптрике (излагающую теорию искажений в зеркалах), книга "Деление фигур". Не сохранилась педагогическая работа Эвклида "О ложных заключениях" (в математике). Эвклид написал также сочинения по астрономии ("Явления") и музыке.

Размещено на Allbest.ru