Функции и их вычисление
Вычисление пределов функций без использования правила Лопиталя. Нахождение производных функций с использованием формул и правил дифференцирования. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. Нахождение интервалов монотонности.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 06.01.2015 |
| Размер файла | 161,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА (2 семестр)
Вариант 8
№1. Вычислить указанные пределы функций, не используя правило Лопиталя
№2. Найти производные функций , пользуясь формулами и правилами дифференцирования
a)
b)
c)
d)
e)
№3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [1; 3]
Решение:
Функция непрерывна на отрезке [1; 3].
Найдем значения функции на концах отрезка:
Найдем стационарные точки:
Из полученных значений выбираем: наименьшее 6, наибольшее 8,5.
№4. Найти интервалы монотонности, экстремумы, интервалы выпуклости и точки перегиба функции
Решение:
Область определения функции:
Интервалы монотонности:
+ - - +
у 0 0,25 0,5 х
max разрыв min
Экстремумы:
Интервалы выпуклости графика функции:
- +
у 0,25 х
разрыв
Точек перегиба нет.
№5. Найти частные производные функции не упрощая полученные выражения
Решение:
№6. Дана функция . Исследовать на экстремум функцию
Решение:
Необходимое условие экстремума:
Критическая точка: А (2; 0).
; ;
значит, в точке A есть экстремум.
A - точка минимума.
№7. Найти интегралы
а)
б)
в)
г)
д)
№8. Вычислить интегралы
а)
б)
№9. Найти площадь фигуры, ограниченной дугами парабол
Решение:
предел функция дифференцирование интервал
Кривые пересекаются в точках
(-2; 1), (2; 1);
при -2 < x < 2:
№10. Изменить порядок интегрирования. Область интегрирования изобразить на чертеже
Решение:
Область интегрирования представляет собой часть круга с центром (1; 0) и радиусом 1.
Внешние пределы интегрирования по y:
Для определения внутренних пределов интегрирования по x необходимо область интегрирования разбить на две части прямой y = a, как показано на рисунке, где a определится из системы уравнений:
Получим нижнюю часть в виде прямоугольника:
В верхней части точка входа внутреннего интегрирования по x определится из системы
А точка выхода x = 1.
Получаем сумму интегралов:
№11. а) Исследуйте на сходимость знакоположительные ряды
1)
Решение:
Применим признак Коши:
,
следовательно, ряд сходится.
2)
Решение:
Применим признак Даламбера:
,
следовательно, ряд сходится.
3) ,
Решение:
Проверим выполнение необходимого признака сходимости:
,
Необходимый признак сходимости не выполняется, следовательно, ряд расходится.
б) Исследуйте на абсолютную и условную сходимость знакопеременные ряды:
1)
Решение:
Рассмотрим ряд из модулей:
При ,
Применим признак сравнения с расходящимся гармоническим рядом:
,
значит, ряд из модулей расходится.
Исследуем исходный ряд по признаку Лейбница:
Таким образом, исходный ряд имеет условную сходимость.
2)
Решение:
Рассмотрим ряд из модулей:
Применим признак Даламбера:
,
следовательно, ряд из модулей сходится.
Таким образом, исходный ряд имеет абсолютную сходимость.
в) Найдите область сходимости степенного ряда
1)
Решение:
Найдем радиус сходимости:
,
Рассмотрим границы области:
- расходящийся гармонический ряд.
- знакопеременный ряд с расходящимся рядом из модулей, сходящийся по признаку Лейбница:
Окончательно, интервал сходимости степенного ряда [-2; 2).
2)
Решение:
Найдем радиус сходимости:
,
Рассмотрим границы области:
- ряд, сходящийся по признаку Даламбера:
- знакопеременный ряд, имеющий абсолютную сходимость в силу сходимости ряда из модулей.
Окончательно, интервал сходимости степенного ряда
№12. а) Разложите функцию в ряд Маклорена
Решение:
Воспользуемся стандартным разложением:
Пусть тогда
б) Запишите интеграл в виде ряда.
Решение:
Воспользуемся стандартным разложением:
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Полное исследование функции с помощью производных, построение графика функции, нахождение ее наибольшего и наименьшего значения на отрезке. Методика вычисления неопределенных и определенных интегралов. Нахождение общего решения дифференциального уравнения
контрольная работа [133,4 K], добавлен 26.02.2012Нахождение производных функций, построение графика функции с помощью методов дифференциального исчисления, нахождение точки пересечения с осями координат. Исследование функции на возрастание и убывание, нахождение интегралов, установка их расходимости.
контрольная работа [130,5 K], добавлен 09.04.2010Нахождение пределов, не используя правило Лопиталя. Исследование функции на непрерывность, построение ее графика. Определение типа точки разрыва. Поиск производной функции. Поиск наибольшего и наименьшего значения функции на указанном ее отрезке.
контрольная работа [1,1 M], добавлен 26.03.2014Нахождение произведения для заданных множеств. Вычисление предела функции с использованием основных теорем. Раскрытие неопределенности с использованием правила Лопиталя. Нахождение производной и вычисление неопределенного интеграла методом подстановки.
контрольная работа [260,0 K], добавлен 02.02.2011Нахождение производных функций. Определение наибольшего и наименьшего значения функции. Область определения функции. Определение интервалов возрастания, убывания и экстремума. Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба. Производные второго порядка.
контрольная работа [98,4 K], добавлен 07.02.2015Вычисление производной функции и ее критических точек. Определение знака производной на каждом из интервалов методом частных значений. Нахождение промежутков монотонности и экстремумов функции. Разложение подынтегральной функции на простейшие дроби.
контрольная работа [134,7 K], добавлен 09.04.2015Изучение способов нахождения пределов функций и их производных. Правило дифференцирования сложных функций. Исследование поведения функции на концах заданных промежутков. Вычисление площади фигуры при помощи интегралов. Решение дифференциальных уравнений.
контрольная работа [75,6 K], добавлен 23.10.2010Вычисление предела функции, не используя правило Лопиталя. Нахождение производной функции и построение ее графика. Исследование неопределенных интегралов и выполнение проверки дифференцированием. Вычисление площади фигуры, ограниченной графиками функций.
контрольная работа [317,3 K], добавлен 25.03.2014Условия существования предела в точке. Расчет производных функции, заданной параметрически. Нахождение точки экстремума, промежутков возрастания и убывания функций, выпуклости вверх и вниз. Уравнение наклонной асимптоты. Точка локального максимума.
курсовая работа [836,0 K], добавлен 09.12.2013Вычисление пределов функций. Нахождение производные заданных функций, решение неопределенных интегралов. Исследование функции и построение ее графика. Особенности вычисления площади фигуры, ограниченной линиями с использованием определенного интеграла.
контрольная работа [283,1 K], добавлен 01.03.2011Нахождение пределов функций. Определение значения производных данных функций в заданной точке. Проведение исследования функций с указанием области определения и точек разрыва, экстремумов и асимптот. Построение графиков функций по полученным данным.
контрольная работа [157,0 K], добавлен 11.03.2015Определение периметра треугольника, наименьшего и наибольшего значений функции. Вычисление средней температуры. Проведение вычислений логарифмов. Нахождение угла между прямой и плоскостью. Вычисление объема конуса. Коэффициент теплового расширения.
контрольная работа [15,5 K], добавлен 27.12.2013Исследование функции на четность и периодичность. Нахождение вертикальных, горизонтальных (или наклонных) асимптот, а также экстремумов и интервалов монотонности. Определение интервалов выпуклости и точки перегиба. Построение графика исследуемой функции.
презентация [134,7 K], добавлен 21.09.2013Вычисление производной функции. Угловой коэффициент прямой. Интервалы монотонности, точки экстремума и перегиба функции. Вычисление интегралов с помощью универсальной тригонометрической подстановки. Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями.
контрольная работа [696,1 K], добавлен 05.01.2013Правило нахождения точек абсолютного или глобального экстремума дифференцируемой в ограниченной области функции. Составление и решение системы уравнений, определение всех критических точек функции, сравнение наибольшего и наименьшего ее значения.
практическая работа [62,7 K], добавлен 26.04.2010Вычисление пределов и устранение неопределенности. Поиск производных функций. Вычисление приближенного значения 8.051/3. Определение полного дифференциала функции z=3sin(2x+3y). Формула интегрирования по частям. Решение линейного однородного уравнения.
контрольная работа [439,6 K], добавлен 25.03.2014Задача численного интегрирования функций. Вычисление приближенного значения определенного интеграла. Нахождение определенного интеграла методами прямоугольников, средних прямоугольников, трапеций. Погрешность формул и сравнение методов по точности.
методичка [327,4 K], добавлен 01.07.2009Изучение формул Крамера и Гаусса для решения систем уравнений. Использование метода обратной матрицы. Составление уравнения медианы и высоты треугольника. Нахождение пределов выражений и производных заданных функций. Определение экстремумов функции.
контрольная работа [59,1 K], добавлен 15.01.2014Вычисление пределов функций, производных функций с построением графика. Вычисление определенных интегралов, площади фигуры, ограниченной графиками функций. Общее решение дифференциального уравнения, его частные решения. Исследование сходимости ряда.
контрольная работа [356,6 K], добавлен 17.07.2008Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Вычисление площади ромба. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители. Нахождение производной функции и асимптот графика. Правила дифференцирования частного произведения и сложной функции.
контрольная работа [158,8 K], добавлен 24.04.2009
