Характеристика и области применения различных магических квадратов

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Введение

Великие ученые древности считали количественные отношения основой сущности мира. Поэтому числа и их соотношения занимали величайшие умы человечества. «В дни моей юности я в свободное время развлекался тем, что составлял… магические квадраты» - писал Бенджамин Франклин. Магический квадрат - это квадрат, сумма чисел которого в каждом горизонтальном ряду, в каждом вертикальном ряду и по каждой из диагоналей одна и та же.

Некоторые выдающиеся математики посвятили свои работы магическим квадратам и полученные ими результаты оказали влияние на развитие групп, структур, латинских квадратов, определителей, разбиений, матриц, сравнений и других нетривиальных разделов математики.

Цель: Знакомство с различными магическими квадратами, латинскими квадратами и изучение областей их применения.

Задачи:

1. Изучить литератур по данному вопросу.

2. Составить психологическую характеристику класса, на основе магического квадрата Пифагора.

Практическая значимость внедрения моей работы заключается в том, что обучающиеся овладеют способом составления характеристики человека с помощью магического квадрата Пифагора.

Новизна работы заключается в том, что с помощью магических квадратов можно познать характер человека, степень отпущенного здоровья и его потенциальные возможности, раскрыть достоинства и недостатки и тем самым выявить, что следует предпринять для его совершенствования.

Ценность работы в том, что составлена общая характеристика класса, и совместимость учеников с классным руководителем.

Результат работы - это пособие, к которому читатель не просто обратиться, а попробует использовать в практике. Словом, хотелось бы, чтобы данная работа послужила неким практическим фундаментом, необходимым для успешного изучения и применения рассматриваемой темы.

Предлагаемая работа может быть полезна учащимся, интересующимся психологией.

Разберитесь в приведенных примерах и прекрасный мир «магических квадратов» начнёт открывать перед вами свои тайны.

1. Магические квадраты

Полного описания всех возможных магических квадратов не получено и до сего времени. Магических квадратов 2х2 не существует. Существует единственный магический квадрат 3х3, так как остальные магические квадраты 3х3 получаются из него либо поворотом вокруг центра, либо отражением относительно одной из его осей симметрии.

Расположить натуральные числа от 1 до 9 в магический квадрат 3х3 можно 8 различными способами:

Табл. 1

9+5+1

9+4+2

8+6+1

8+5+2

8+4+3

7+6+2

7+5+3

6+5+4

В магическом квадрате 3х3 магической постоянной 15 должны быть равны сумме трех чисел по 8 направлениям: по 3 строкам, 3 столбцам и 2 диагоналям. Так как число, стоящее в центре, принадлежит 1 строке, 1 столбцу и 2 диагоналям, оно входит в 4 из 8 троек, дающих в сумме магическую постоянную. Такое число только одно: это 5. Следовательно, число, стоящее в центре магического квадрата 3х3, уже известно: оно равно 5.

Рассмотрим число 9. Оно входит только в 2 тройки чисел. Мы не можем поместить его в угол, так как каждая угловая клетка принадлежит 3 тройкам: строке, столбцу и диагонали. Следовательно, число 9 должно стоять в какой-то клетке, примыкающей к стороне квадрата в ее середине. Из-за симметрии квадрата безразлично, какую из сторон мы выберем, поэтому пишем 9 над числом 5, стоящим в центральной клетке. По обе стороны от девятки в верхней строке мы можем вписать только числа 2 и 4. Какое из этих двух чисел окажется в правом верхнем углу, и какое в левом, опять-таки не имеет значения, так как одно расположение чисел переходит в другое при зеркальном отражении. Остальные клетки заполняются автоматически. Проведенное нами простое построение магического квадрата 3х3 доказывает его единственность.

Такой магический квадрат был у древних китайцев символом огромного значения. Цифра 5 в середине означала землю, а вокруг нее в строгом равновесии располагались огонь (2 и 7), вода (1 и 6), дерево (3 и 8), металл (4 и 9).

С увеличением размеров квадрата (числа клеток) быстро растет количество возможных магических квадратов такого размера. Существует 880 магических квадратов порядка 4 и 275 305 224 магических квадрата порядка 5 («порядком» магического квадрата называется число клеток, примыкающих к его стороне). Причем, квадраты 5х5 были известны еще в средние века. Мусульмане, например, очень благоговейно относились к таким квадратом с цифрой 1 в середине, считая его символом единства Аллаха.

2. Магический квадрат Пифагора

Пифагор Самосский.

Что мы знаем об этом человеке? Что жил он много лет назад, написал несколько сочинений «О воспитании», «О государстве», «О природе», «О душе» и теорему Пифагора о соотношении сторон прямоугольного треугольника («Пифагоровы штаны -- на все стороны равны»). Маловато для такой выдающейся личности. Давайте углубимся в его биографию и узнаем о нем больше.

Краткая биография.

Пифагор Самосский -- философ, математик, религиозный и политический деятель, родился в VI веке до н.э. в г. Регия на острове Самос (остров в Эгейском море -- территория Греции)

С юного возраста Пифагор тянулся к знаниям и путешествиям. В 18 лет он покинул родной остров и отправился в чужие края. Он побывал на Востоке в Египте, Вавилоне и Финикии. В самом Египте, он прожил около 22 лет, где по некоторым данным постигал тайные эзотерические учения жрецов -- «посвященных», а так же изучал астрономию, математику и другие науки. Специально для этого Пифагор выучил египетский язык.
В Вавилон Пифагор попал в качестве пленника персидского царя Камбиза, который завоевал Египет в 525 г. до н.э., там он прожил 12 лет.

На 50-м году жизни он наконец-то вернулся на остров Самос. К его сожалению, там его ждали плохие новости: на острове власть захватил тиран Поликрат. Тогда ему пришлось покинуть родной город и удалится в Южную Италию. Именно здесь Пифагор стал таким знаменитым, сделал свои открытия, основал Пифагорейскую школу, или еще ее называют философское братство, в котором было около 1900 учеников и последователей его учения.

Достижения и учения Пифагора.

Все мы знаем основное учение Пифагора о душе (хоть и не все об этом знаем). Оно заключается в том, что душа бессмертна, душа совершает так называемый «круг неизбежности» тем самым, каждый раз перерождаясь в новую жизнь. Поэтому как душа, так и тело нуждаются в очищении. Очищение для тела -- это воздержание от животной пищи (вегетарианство), а для души -- познание музыкально-числовой структуры космоса.

Пифагоровы штаны.

В научных достижениях Пифагор прославился своей теоремой (известной нам по школе): «квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равняется сумме квадратов его катетов», а также учениями о числах. Он развил теорию о четности и нечетности числа, изучил свойства целых чисел, создал теорию пропорций, внес большой вклад в развитие планиметрии. Кстати, из его теории о четности числа он вывел, что каждая вещь подобно числам имеет в себе две противоположности: «предел» и «беспредельное», а примирение или уравновешивание этих двух противоположностей он назвал «гармонией».

Пифагор считал, что секрет всего сущего на земле состоит в числах, одним из его высказываний было: «Бог -- это число чисел, числу же все подобно». Ему первому принадлежит идея о том, что Вселенная и Земля имеют шарообразную форму (подобны сфере), а планеты (включая Землю) осуществляют движение вокруг центрального огня, так называемого «источника света».

Смерть.

В заключение хочу рассказать о смерти Пифагора, она, как вся его жизнь, тоже окутана тайной, потому что достоверно сказать, как именно умер Пифагор, невозможно. Описание смерти Пифагора его ученики и философы тех времен приводят противоречивые. Одни говорят, что он погиб в Метапонте, когда кто-то из знакомых ему людей поджег дом, в котором он находился со своими учениками. Когда Пифагор выбежал из горящего дома, у него была возможность скрыться вместе с остальными, но он остановился и сказал: «Лучше смерть, чем прослыть пустословом». Его настигли и убили, с ним же погибло около сорока его учеников. По другим данным, Пифагор умер от истощения в метапонтском святилище Муз «Сорок дней ничего не евши» (Дикеарх). Есть и еще одна версия, в которой говорится о том, что Пифагор был убит в уличной схватке, во время народного восстания. Где здесь правда, а где ложь, уже не разобраться, вся его жизнь поросла легендами и былинами.

«Не гоняйся за счастьем: оно всегда находится в тебе самом».

Пифагор.

Несколько интересных фактов его жизни:

· Пифагор -- это не имя, а прозвище, данное ему за то, что он высказывал истину так же постоянно, как дельфийский оракул («Пифагор» значит «убеждающий речью»).

· В результате первой же прочитанной лекции Пифагор приобрел 2000 учеников, которые не вернулись домой, а вместе со своими женами и детьми образовали громадную школу и создали государство, названное «Великая Греция», в основу которого были положены законы и правила Пифагора.

· Пифагор уделял большое значение физическим упражнениям, был олимпийским чемпионом по кулачному бою.

Великий ученый Пифагор, основавший религиозно-философское учение, провозгласившее количественные отношения основой сущности вещей, считал, что сущность человека заключается тоже в числе - дате рождения. Поэтому с помощью магического квадрата Пифагора можно познать характер человека, степень отпущенного здоровья и его потенциальные возможности, раскрыть достоинства и недостатки и тем самым выявить, что следует предпринять для его совершенствования.

Для того, чтобы понять, что такое магический квадрат Пифагора и как подсчитываются его показатели, сделаю его расчет на своем примере. А чтобы убедиться, что результаты подсчета действительно соответствуют реальному характеру той или иной личности, вначале я проверю его на себе. Для этого я буду делать расчет по своей дате рождения. Итак, моя дата рождения 18.09.1999. Сложим цифры дня, месяца и года рождения (без учета нулей): 1+8+9+1+9+9+9=46. Далее складываем цифры результата: 6+4=10. Затем из первой суммы вычитаем удвоенную первую цифру дня рождения: 46-2=44. И вновь складываем цифры последнего числа:

4+4=8. Осталось сделать последние сложения - 1-й и 3-й и 2-й и 4-й сумм: 34+30=64, 7+3=10. Получили числа 18.09.1999,46,10,44, 90,18.

И составляем магический квадрат так, чтобы все единицы этих чисел вошли в ячейку 1, все двойки - в ячейку 2 и т. д. Нули при этом во внимание не принимаются. В результате мой квадрат будет выглядеть следующим образом:

Табл. 2

3. Латинские квадраты

Несмотря на то, что математиков интересовали в основном магические квадраты наибольшее применение в науке и технике нашли латинские квадраты.

Латинским квадратом называется квадрат nхn клеток, в которых написаны числа 1, 2,…, n, притом так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу. Они обладают интересной особенностью: если один квадрат наложить на другой, то все пары получившихся чисел оказываются различными. Такие пары латинских квадратов называются ортогональными.

Задачу отыскания ортогональных латинских квадратов впервые поставил Л. Эйлер, причём в такой занимательной формулировке: “Среди 36 офицеров поровну уланов, драгунов, гусаров, кирасиров, кавалергардов и гренадеров и кроме того поровну генералов, полковников, майоров, капитанов, поручиков и подпоручиков, причем каждый род войск представлен офицерами всех шести рангов. Можно ли выстроить всех офицеров в каре 6х6 так, чтобы в любой колонне и любой шеренге встречались офицеры всех рангов?”

Эйлер не смог найти решения этой задачи. В 1901 г. было доказано, что такого решения не существует. В то же время Эйлер доказал, что ортогональные пары латинских квадратов существуют для всех нечетных значений n и для таких четных значений n, которые делятся на 4. Эйлер выдвинул гипотезу, что для остальных значений n, то есть если число n при делении на 4 даст в остатке 2, ортогональных квадратов не существует. В 1901г. было доказано, что ортогональных квадратов 6x6 не существует, и это усиливало уверенность в справедливости гипотезы Эйлера. Однако в 1959 г. помощью ЭВМ были найдены сначала ортогональные квадраты 10х10, потом 14х14, 18х18, 22х22. А затем было показано, что для любого n, кроме 6, существуют ортогональные квадраты nхn.

Магические и латинские квадраты - близкие родственники. Пусть мы имеем два ортогональных квадрата. Заполним клетки нового квадрата тех же размеров следующим образом. Поставим туда число n(a - 1)+b, где а - число в такой клетке первого квадрата, а b - число в такой же клетке второго квадрата. Нетрудно понять, что в полученном квадрате суммы чисел в строках и столбцах (но не обязательно на диагоналях) будут одинаковы.

Теория латинских квадратов нашла многочисленные применения как в самой математике, так и в ее приложениях. Приведем такой пример. Пусть мы хотим испытать 4 сорта пшеницы на урожайность в данной местности, причем хотим учесть влияние степени разреженности посевов и влияние двух видов удобрений. Для того разобьем квадратный участок земли на 16 делянок (рис.4). Первый сорт пшеницы посадим на делянках, соответствующих нижней горизонтальной полосе, следующий сорт - на четырех делянках, соответствующих следующей полосе, и т. д. (на рисунке сорт обозначен цветом). При этом максимальная густота посевов пусть будет на тех делянках, которые соответствуют левому вертикальному столбцу рисунка, и уменьшается при переходе вправо (на рисунке этому соответствует уменьшение интенсивности цвета). Цифры же, стоящие в клетках рисунка, пусть означают: первая - количество килограммов удобрения первого вида, вносимого на этот участок, а вторая - количество вносимого удобрения второго вида. Нетрудно понять, что при этом реализованы все возможные пары сочетаний как сорта и густоты посева, так и других компонентов: сорта и удобрений первого вида, удобрений первого и второго видов, густоты и удобрений второго вида.

Использование ортогональных латинских квадратов помогает учесть все возможные варианты в экспериментах в сельском хозяйстве, физике, химии, технике.

Заключение

магический квадрат ортогональный

В работе рассмотрены вопросы, связанные с историей развития одной из интереснейших тем математики, занимавшей умы очень многих великих людей - магических квадратов. Несмотря на то, что собственно магические квадраты не нашли широкого применения в науке и технике, они подвигли на занятия математикой множество незаурядных людей и способствовали развитию других разделов математики (теории групп, определителей, матриц и т.д.).

Ближайшие родственники магических квадратов - латинские квадраты нашли многочисленные применения, как в математике, так и в ее приложениях при постановке и обработке результатов экспериментов. В реферате приведен пример постановки такого эксперимента.

В работе также рассмотрен вопрос о квадрате Пифагора, представляющем исторический интерес и, возможно, полезном для составления психологического портрета личности.

Список литературы

1. Гарднер М. «Путешествие во времени», М., «Мир», 1990 г.

2. Энциклопедический словарь юного математика. «Педагогика», 1989 г.

3. Егерев В. К., Мордкович А. Г. 100*4 задач. - М.: Linka - press, 1992.

4. Никольский С.М., Потапов М.К. Алгебра. - М.: Наука, 1984.

Размещено на Allbest.ru