Основы эконометрики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

Выборка случайной величины Х задана интервальным вариационным рядом. Найти характеристики вариационного ряда (указанные в задании).

Решение:

Вычисляем объем выборки:

Относительные частоты вычисляются по формуле:

Получим: W1=0,06; W2=0,18; W3=0,21; W4=0,24; W5=0,20; W6=0,06; W7=0,05.

Дальнейшие расчеты удобно оформить в виде сгруппированного ряда (т.е. таблицы следующего вида):

Для вычисления выборочной средней смещенной оценки дисперсии, несмещенной оценки дисперсии и среднеквадратичного отклонения перейдем от интервального ряда к точечному. Для этого найдем середину интервала которое вычисляется как среднее арифметическое границ интервала.

Смещенная оценка дисперсии Д вычисляется по формуле:

где хi-середина интервала Ii ().

Вычислим

Выборочная средняя вычисляется по формуле:

где хi - середина интервала Ii

Таким образом, находим:

Теперь получаем:

Д=257,92-14,882=257,92-221,41=36,51.

Несмещенная оценка дисперсии S2 вычисляется по формуле:

Для оценки среднего квадратического отклонения используется несмещенная дисперсия S2. Согласно определению для имеем:

Для построения гистограммы на оси абсцисс откладываются отрезки частичных интервалов I1 варьирования и на этих отрезках как на основаниях строятся прямоугольники с высотами, равными частотам или относительным частотам соответствующих интервалов.

С помощью гистограммы находится мода - т.е. вариант, которому соответствует наибольшая частота: М0=16.

Согласно определению эмпирическая функция распределения

для данного значения х представляет накопленную частость. Для построения графика этой функции будем отмечать по оси ординат значения накопленных частностей.

Задача 2

Ежемесячный объем выпуска продукции завода является случайной величиной, распределенной по показательному закону. Имеются данные об объеме выпуска в течение шести месяцев.

Методом моментов найти точечную оценку параметра распределения.

Решение.

Показательный закон распределения при х<0,

при х?0

содержит только один параметр л.

В случае одного параметра в теоретическом распределении для его определения достаточно составить одно уравнение. Следуя методу моментов, приравняем начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка: н1=М1. Учитывая, что н1=М(х) и М1=, получаем М(х)=. Известно, что математическое ожидание показательного распределения равно обратной величине параметра л; следовательно

Это равенство является приближенным, т.к. его правая часть является случайной величиной. Таким образом, из указанного равенства получаем не точное значение л, а его оценку:

Оценка параметра л показательного распределения равна величине, обратной выборочной средней.

Вычислим выборочное среднее:

Следовательно,

л*=.

Задача 3

Для проверки эффективности новой технологии отобраны две группы рабочих численностью n1 и n2 человек. В первой группе, где применялась новая технология, выборочная средняя выработки составила изделий, во второй - изделий. Установлено, что дисперсии выработки в группах равны соответственно и .

Требуется на уровне значимости =0,05 выяснить влияние новой технологии на среднюю производительность.

Решение.

Проверим гипотезу Н0: т.е. средние выработки рабочих одинаковы по новой и старой технологиям. В качестве альтернативной (конкурирующей) гипотезы можно взять

> или 

В рассматриваемой задаче более естественна гипотеза Н1, так как ее справедливость означает эффективность применения новой технологии.

Так как проверяется гипотеза о равенстве средних, то в качестве критерия проверки нулевой гипотезы следует принять случайную величину

и вычислить ее наблюдаемое значение:

При конкурирующей гипотезе > критическое значение статистики t находится из условия:

где Ф(х) - функция Лапласа.

По таблице значений функции Лапласа находим:

tкр=1,65.

При конкурирующей гипотезе критическое значение статистики t находится из условия:

По таблице значений функции Лапласа находим: tкр=1,96.

Так как фактически наблюдаемое значение tнабл=6,58 больше критического значения при любой из взятых конкурирующих гипотез, то гипотеза Н0 о том, что средние выработки рабочих по новой и старой технологиям одинаковы, отвергается. На 5 %-ом уровне значимости можно сделать вывод о том, что новая технология позволяет повысить среднюю выработку рабочих.

Задача 4

Имеются данные (условные) о сменной добыче угля У (т) и уровне механизации работ Х (%), характеризующие процесс добычи угля в семи шахтах. Установлено, что между переменными Х и У существует степенная зависимость: y=в0·хв1. Требуется найти параметры этой зависимости.

Решение.

Нелинейное уравнение регрессии приведем к линейному, прологарифмировав обе его части:

Для определения значений неизвестных параметров уравнения в0 и в1 используем метод наименьших квадратов, согласно которому должна быть составлена система нормальных уравнений и найдено ее решение:

Для расчета необходимых сумм составим расчетную таблицу следующего вида:

Теперь, используя данные расчетной таблицы, составим систему нормальных уравнений:

7·lnв0+10,7·в1=14,66 ,

10,7·lnв0+14,75·в1=21,05

и найдем ее решение по формулам Крамера.

Имеем:

7 10,7

?= = 103,25 - 101,4=1,85 ,

10,7 14,75

14,66 10,7

?0= = 216,24 - 211,97= 4,27 ,

21,05 14,75

7 14,66

?1= = 147,35 - 147,63=-0,28.

10,7 21,05

Следовательно:

,

Найдем в0 =е2,31 = 10,07.

Таким образом, окончательно получаем:

Задача 5

В таблице приведены данные, отражающие спрос на некоторый товар за семилетний период (усл. ед.). Найти уравнение тренда для временного ряда, полагая тренд линейным.

вариационный дисперсия точечный временный

Решение.

Запишем уравнение временного ряда в виде:

где f(t) - тренд временного ряда, еt - случайная компонента (возмущение) и в условиях данной задачи рассчитана не может. Полагая тренд линейным, будем иметь:

Для составления этой зависимости найдем в0 и в1 уравнения тренда в соответствии с методом наименьших квадратов, находятся из системы нормальных уравнений:

где п - объем выборки. п=7

Вычислим коэффициенты и свободные члены этой системы.

Так как

и

то при п=7 получаем:

Далее вычисляем:

Следовательно, система нормальных уравнений имеет вид:

84· в1 + 28· в0 =2177,

28· в1 + 7· в0 =491,

Имеем:

84 28

?= = 84*7 - 28*28= -196 ,

28 7

2177 28

?0= = 2177*7 - 491*28= 1491 ,

491 7

84 2177

?1= = 84*491 - 2177*28= -19712.

28 491

оттуда находим:

и

Таким образом, уравнение тренда рассматриваемого временного ряда имеет вид:

По данному уравнению можно спрогнозировать спрос товара в условных единицах на следующий год:

y=100,571+(-7,607)*8=39,715 (у.е.)

Список литературы

1. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика. - М.: ЮНИТИ, 2008.- 311 с.

2. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: ЮНИТИ, 2008. - 543 с.

3. Эконометрика: Учебник/Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2003. - 344 с.

4. Магнус Я.Р., Катышев Л.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. - М.: Депо, 2004.

5. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие/Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2003. - 192 с.

Размещено на Allbest.ru