Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

Филиал в г. Барнауле

Факультет: «Финансово-кредитный»

Кафедра: «Математики и информатики»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Барнаул- 2010

Задача

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (, млн. руб.) от объема капиталовложений (, млн. руб.)

Требуется: экономический регрессия детерминация уравнение

Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

Проверить выполнение предпосылок МНК.

Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t_критерия Стьюдента

Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Осуществить прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости , если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.

Представить графически: фактические и модельные значения точки прогноза.

Составить уравнения нелинейной регрессии:

· гиперболической;

· степенной;

· показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

Решение

Таблица 1

Х	36	28	43	52	51	54	25	37	51	29
У	104	77	117	137	143	144	82	101	132	77

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии

Построим линейную модель У_т=a+b*x.

Для удобства выполнения расчетов предварительно упорядочим всю таблицу.

Используя программу РЕГРЕССИЯ найдем коэффициенты модели.

Результаты вычислений представлены в таблицах 2-5.

Таблица 2

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,984054389
R-квадрат	0,968363041
Нормированный R-квадрат	0,964408421
Стандартная ошибка	5,095843023
Наблюдения	10

Таблица 3

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	6358,659	6358,659	244,868803	2,77465E-07
Остаток	8	207,7409	25,96762
Итого	9	6566,4

Таблица 4

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	13,892235	6,436206554	2,1584508	0,06294114	-0,949684	28,734154	-0,949684	28,73415404
Х	2,4016691	0,153478109	15,648284	2,7747E-07	2,0477479	2,7555902	2,047748	2,755590239

Таблица 5

ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное У	Остатки
1	73,93396226	8,066037736
2	81,13896952	-4,13896952
3	83,54063861	-6,54063861
4	100,3523222	3,647677794
5	102,7539913	-1,75399129
6	117,1640058	-0,16400581
7	136,3773585	6,622641509
8	136,3773585	-4,37735849
9	138,7790276	-1,77902758
10	143,5823657	0,417634253

Коэффициенты модели содержатся в таблице 4 (столбец Коэффициенты).

Таким образом, модель построена, и ее уравнение имеет вид

У_т = 13,89+2,4*Х ,

Где Коэффициент регрессии b = 2,4, следовательно, при увеличении объема капиталовложений (Х) на 1 млн.руб. объема выпуска продукции (У) увеличится в среднем на 2,4 млн.руб.

Свободный член а=13,89 в данном уравнении не имеет реального смысла.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков

Остатки модели Ет = у_i - у_тi содержится в столбце Остатки итогов программы РЕГРЕССИЯ (таблица 5).

Программой РЕГРЕССИЯ найдены также остаточная сумма квадратов SS_ост=207,7409 и дисперсия остатков MS_ост=25,96762 (таблица 3).

Построим график остатков:



В результате получаем график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК

Предпосылками построения классической линейной регрессионной модели являются четыре условия, известные как условия Гаусса-Маркова.

1) В уравнение линейной модели Y =a+b*X+е слагаемое е -случайная величина, которая выражает случайный характер результирующей переменной Y.

2) Математическое ожидание случайного члена в любом наблюдении равно нулю, а дисперсия постоянна.

3) Случайные члены для любых двух разных наблюдений независимы (некоррелированы).

4) Распределение случайного члена является нормальным.

1)Проведем проверку случайности остаточной компоненты по критерию поворотных точек.

Количество поворотных точек по графику остатков получилось: р=6.

Вычисляем критическое значение по формуле (1):

При n=10 найдем р_кр = [2,97]= 3.

р= 6 > р_кр=3, следовательно, свойство случайности для ряда остатков выполняется.

2) Равенство нулю математического ожидания остаточной компоненты для линейной модели, коэффициенты которой определены по методу наименьших квадратов, выполняются автоматически.

, получается Еср =0.

Свойство постоянства дисперсии остаточной компоненты проверим по критерию Голдфельда-Квандта.

В упорядоченных по возрастанию переменной Х исходных данных (n=10) выделяем первые m=4,где (m?n/3).

Остаточная сумма квадратов SS₁ = СУММКВ(C37:C40) = 138,28

Остаточная сумма квадратов SS₂ = СУММКВ(C43:C46) = 66,36

Расcчитаем статистику критерия : F =

Критическое значение при уровне значимости б=5% и числах степеней свободы к₁=к₂=4-1-1=2 , F kp =FРАСПОБР(0,05;2;2) = 19.

Сравним F= < F kp =19. Следовательно ,свойство постоянства дисперсии остатков выполняется, модель гомоскедастичная.

3) Для проверки независимости уровней ряда остатков используем критерий Дарбина-Уотсона

Предварительно по столбцу остатков с помощью функции =СУММКВРАЗН(C38:C46;C37:C45) определим =468,87; используем найденную программой РЕГРИССИЯ сумму кводратов остаточной компоненты SS_ост =

Таким образом, d = 468,87/

Полученное значение d=>2, что свидетельствует об отрицательной корреляции. Перейдем к d'=4-d=1,74 и сравним ее с двумя критическими уровнями d₁=0,88 и d₂=1,32, которые определяются по таблице d -статистик Дарбина-Уотсона.

d' =1,74 > d₂=1,32, значит ряд остатков не коррелирован,остатки независимы.

4)Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения проверим с помощью R/S - критерия

R/S = (E_max-E_min)/S_e

С помощью функций МАКС и МИН для ряда остатков определим E_max =8,07 и E_min= -6,54. Стандартная ошибка модели найдена программой РЕГРЕССИЯ и составляет S_e = 5,10 (таблица 2).

R/S = (8,07- (-6,54))/ 5,10=2,86

Критический интервал определяется по таблице критических границ отношения R/S и при n=10 составляет (2,67 ; 3,69).

2,86 € (2,67 ; 3,69), значит, для построенной модели свойство нормального распределения остаточной компоненты выполняется.

Проведенная проверка предпосылок регрессионного анализа показала, что для модели выполняются все условия Гаусса-Маркова.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t -критерия Стьюдента (б=0,05)

t -статистики для коэффициентов уравнения регрессии приведены в таблице 4.

Для свободного коэффициента а=13,89 определена статистика t(а)=2,16.

Для коэффициента b= 2,4 определена статистика t(b)= 15,65.

Критическое значение t_кр=2,31 найдено для уровня значимости б=5% и числа степеней свободы к = n-p-1=10-1-1=8 (функция СТЬЮДРАСПОБР).

=СТЬЮДРАСПОБР(0,05;8)

Сравнение показывает:

/t(а)/=2,16 > t_кр=2,31,следовательно,свободный коэффициент а не является значимым, его можно исключить из модели.

/t(b)/= 15,65 > t_кр=2,31,значит коэффициент регрессии b является значимым, его и фактор объема капиталовложений (X млн.руб) нужно сохранить в модели.

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F - критерия Фишера (б=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели

Коэффициент детерминации R-квадрат определен программой РЕГРЕССИЯ (таблица 2) и составляет R²=0,968=96,8%

Таким образом, вариация (изменение) объема выпуска продукции Y на 96,8% объясняется по полученному уравнению вариацией объема капиталовложений X.

Проверим значимость полученного уравнения с помощью F - критерия Фишера.

F - статистика определена программой РЕГРЕССИЯ (таблица 3) и составляет F=244,87.

Критическое значение F_кр=5,32 найдено для уровня значимости б =5% и числа степеней свободы к₁=1=р и к₂=n-p-1=10-1-1=8 (функция FРАСПОБР).

=FРАСПОБР(0,05;1;8)

Сравнение показывает F=244,87 > F_кр=5,32; следовательно, уравнение модели является значимым, его использование целесообразно, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенной в модель факторной переменной Х.

Вычислим среднюю относительную ошибку аппроксимации:

Е_отн = = 0,0386*100%=3,86%

Сравним: 3,86% < 5%, следовательно точность модели высокая и ее можно использовать для анализа и прогнозирования.

Вывод: На основании проверки предпосылок МНК, Критериев Стьюдента и Фишера и величины коэффициента детерминации модель можно считать адекватной и точной. Использовать такую модель для прогнозирования в реальных условиях целесообразно.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения Y при уровне значимости б=0,1, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения

Максимальное значение факторной переменной Х составит 54.

Прогнозное значение факторной переменной Х составит Х^* = 54*0,8 = 43,2;

Рассчитаем по уравнению модели прогнозное значение показателя Y:

Y^*т=13,89+2,4*43,2=117,57

Таким образом, если объем капиталовложений составит 43,2 млн,руб, то ожидаемый объем выпуска продукции будет около 117,57 млн,руб.

Зададим доверительную вероятность г=1 - б и построим доверительный прогнозный интервал для среднего значения Y.

Рассчитаем стандартную ошибку прогнозирования:

S(y^*_т)=S_e*

стандартная ошибка модели S_e= 5,096 (таблица 2);

По столбцу исходных данных Х найдем среднее значение х = 40,6 (функция СРЗНАЧ)



И определим =1102,4 (функция КВАДРОТКЛ).

Следовательно, стандартная ошибка прогнозирования для среднего значения составляет:

S(y^*_т)= 5,096*=1,66

При t_кр(10%;8) =1,86 размах доверительного интервала для максимального значения. Нашли по формуле СТЬЮДРАСПОБР(0,1;8)

U(y^*_т)= t_кр * S(y^*_т)= 1,86*1,66=3,088

Границами прогнозного интервала будут

U_нижн= y^*_т - U(y^*_т) =117,57 - 3,088=114,482;

U_верх= y^*_т + U(y^*_т) =117,57 + 3,088=120,658.

Таким образом, с надежностью 90% можно утверждать, что если объем капиталовложений составит 43,2 млн,руб, то ожидаемый средний объем выпуска продукции будет от 114,482 млн.руб. до 120,658 млн.руб.

7. Представить графически: фактические и модельные значения Y точки прогноза

8. Составить уравнения не линейной регрессии: гиперболической, степенной, показательной. Привести графики построенных уравнений регрессии

Гиперболическая модель Y_т = а+b/x не является стандартной.

Для ее построения выполним линеаризацию: обозначим х =1/х и получим вспомогательную модель Y_т = а+bx .Вспомогательная модель является линейной. Ее можно построить с помощью программы РЕГРЕССИЯ, предварительно подготовив исходные данные: столбец yi (остается без изменений) и столбец преобразованных значений x_i =1/x_i (таблица 7).

Таблица 7

Х	У	1/х
36	104	0,028
28	77	0,036
43	117	0,023
52	137	0,019
51	143	0,020
54	144	0,019
25	82	0,040
37	101	0,027
51	132	0,020
29	77	0,034

С помощью программы РЕГРЕССИЯ получим

	Коэффициенты
Y-пересечение	198,91
1/х	-3285,66

Таким образом, а =198,91 ; b = -3285,66, следовательно, уравнение гиперболической модели Y_т=198,91 - 3285,66/х.

Покажем линию гиперболической модели на графике. Для этого добавим к ряду исходных данных (x_i ; y_i) ряд теоретических значений (x_i ; y_Тi).

Степенная модель Y_т=а+х^b является стандартной. Для ее построения используем МАСТЕР ДИАГРАММ

Таким образом, уравнение степенной модели Ут = 4,661x^0,857 .

Показательная модель Y_т=а*b^x тоже стандартная (экспоненциальная).

Построим ее с помощью МАСТЕР ДИАГРАММ.

Таким образом, уравнение экспоненциальной модели Ут = 43,67e^0,022x

Можно вычислить b= e^0,022= 1,0222 (функция EXP(0,022)), тогда уравнение показательной модели Ут =43,67 *(1,0222)^x

Размещено на Allbest.ru

...