Векторное произведение

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра математики и бизнес-информатики

РЕФЕРАТ

Дисциплина: Линейная алгебра

На тему: «Векторное произведение»

Выполнила

студентка 1 курса, группы 23101.50

Богачева Е.С.

Преподаватель:

Сахабиева Г.А.

Самара

2014

План

Введение

1. Определение

2. Правые и левые тройки векторов в трёхмерном пространстве

3. Свойства

3.1 Основные геометрические свойства векторного произведения

3.2 Основные алгебраические свойства векторного произведения

4. Выражение для векторного произведения в декартовых координатах

5. Алгебра Ли векторов

Источники, литература

Введение

Векторное произведение -- это псевдовектор, перпендикулярный плоскости, построенной по двум сомножителям, являющийся результатом бинарной операции «векторное умножение» над векторами в трёхмерном Евклидовом пространстве. Произведение не является ни коммутативным, ни ассоциативным (оно является антикоммутативным) и отличается от скалярного произведения векторов. Во многих задачах инженерии и физики нужно иметь возможность строить вектор, перпендикулярный двум имеющимся -- векторное произведение предоставляет эту возможность. Векторное произведение полезно для «измерения» перпендикулярности векторов -- длина векторного произведения двух векторов равна произведению их длин, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы параллельны.

Определить векторное произведение можно по-разному, и теоретически, в пространстве любой размерности n можно вычислить произведение n-1 векторов, получив при этом единственный вектор, перпендикулярный к ним всем. Но если произведение ограничить нетривиальными бинарными произведениями с векторным результатами, то традиционное векторное произведение определено только в трёхмерном и семимерном пространствах. Результат векторного произведения, как и скалярного, зависит от метрики Евклидова пространства.

В отличие от формулы для вычисления по координатам векторов скалярного произведения в трёхмерной прямоугольной системе координат, формула для векторного произведения зависит от ориентации прямоугольной системы координат или, иначе, её «хиральности».

1. Определение

Векторным произведением вектора a на вектор b назовем вектор c, удовлетворяющий условию

1) , где - угол между a и b и, если , то еще двум условиям:

· вектор c ортогонален векторам a и b;

· из конца вектора c кратчайший поворот от вектора a (первого сомножителя) к вектору b (второму сомножителю) виден против часовой стрелки. (Начала векторов предполагаются совмещенными).

Обозначение:

2. Правые и левые тройки векторов в трехмерном пространстве

Нахождение направления векторного произведения с помощью правила правой руки

Рассмотрим упорядоченную тройку некомпланарных векторов в трёхмерном пространстве. Совместим начала этих векторов в точке (то есть выберем произвольно в пространстве точку и параллельно перенесём каждый вектор так, чтобы его начало совпало с точкой ). Концы векторов, совмещённых началами в точке , не лежат на одной прямой, так как векторы некомпланарны. Рассмотрим плоскость - единственную плоскость, проходящую через концы векторов, совмещённых началами в точке . Тогда можно в плоскости провести через концы векторов , совмещённых началами в точке , единственную окружность и выяснить направление обхода трёх точек на окружности, смотря на неё с одной из сторон от плоскости.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов в трёхмерном пространстве называется правой, если наблюдателю, находящемуся по одну сторону с точкой от плоскости , обход концов приведённых в общее начало векторов в указанном порядке кажется совершающимся в плоскости по часовой стрелке. В этом случае наблюдателю, находящийся с другой стороны от плоскости , обход концов таких векторов будет казаться совершающимся против часовой стрелки.

B противном случае -- левая тройка.

Другое определение связано с правой рукой человека (см. рисунок), откуда и берётся название.

Все правые между собой (и левые между собой) тройки векторов называются одинаково ориентированными.

Заметим, что для двух данных векторов рассматриваемого пространства определения «правой» и «левой» тройки векторов не зависят от хиральности рассматриваемой системы координат; более того, они вообще не требуют задания в рассматриваемом пространстве какой-либо системы координат, как и не требует этого само векторное произведение.

3. Свойства

3.1 Основные геометрические свойства векторного произведения

3.1.1 Векторное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы a и b - коллинеарные.

Доказательство: Из определения векторного произведения получим, что тогда и только тогда, когда , или , или . Из последнего равенства получим, что или , в этом случае векторы a и b коллинеарны. Вспомнив, что нулевой вектор считается коллинеарным любому другому вектору, получим, что предложение верно и при a или b, равных нулю. векторный произведение геометрический алгебраический

3.1.2 Площадь параллелограмма, сторонами которого служат векторы a и b, равна модулю их векторного произведения,

Доказательство естественным образом вытекает из условия 1 в определении векторного произведения.

3.1.3 Если -- единичный вектор, ортогональный векторам и и выбранный так, что тройка -- правая, а -- площадь параллелограмма, построенного на них (приведённых к общему началу), то для векторного произведения справедлива формула:

3.1.4 Если -- какой-нибудь вектор, -- любая плоскость, содержащая этот вектор, -- единичный вектор, лежащий в плоскости и ортогональный к , -- единичный вектор, ортогональный к плоскости и направленный так, что тройка векторов является правой, то для любого лежащего в плоскости вектора справедлива формула:

3.1.5 При использовании векторного и скалярного произведений можно высчитать объём параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a, b и c. Такое произведение трех векторов называется смешанным.

3.2. Основные алгебраические свойства векторного произведения

3.2.1 Векторное произведение антикоммутативно, то есть (в другой формулировке: если изменить порядок сомножителей, то векторное произведение меняет направление на противоположное; антикоммутативность).

Доказательство: Пусть , . Нужно показать, что . Из условия 1 следует, что . Если , то очевидно, что . Если , то векторы c и d -- коллинеарны, так как оба лежат на прямой, ортогональной плоскости векторов a и b. Таким образом, остаются только две возможности: или . Пусть вектор совпадает с вектором . Тогда в силу условия 3 из конца одного и того же вектора и поворот от a к b, и поворот от b к a по кратчайшему направлению виден против часовой стрелки, что невозможно. Следовательно, .

3.2.2 Для любых векторов a и b и любого числа выполняется равенство (свойство ассоциативности относительно умножения на скаляр).

Доказательство: Если , то утверждение очевидно. Если векторы a и b -- коллинеарные, то векторы и b -- тоже коллинеарные, и поэтому обе части доказываемого равенства равны нулю.

Пусть , a, b - неколлинеарные, , . Тогда углы, образованные векторами a и b и векторами и b, равны. Следовательно,

то есть . Оба вектора c и d перпендикулярны плоскости векторов a и b и направлены одинаково, так как равны углы между сомножителями. Следовательно, .

Пусть . Тогда векторы образуют угол (см. рисунок).

Вычисляем модули:

то есть . Векторы и d перпендикулярны плоскости векторов a и b. Векторы и c имеют противоположные направления, так как поворот от a и

от к вектору b происходят в противоположных направлениях. Но вектор d имеет направление, противоположное вектору (см. рисунок) и, следовательно, одинаковое с вектором c. Получили, что .

3.2.3 Векторное произведение обладает свойством дистрибутивности по сложению, то есть выполняется равенство .

4. Выражение для векторного произведения в декартовых координатах

Если два вектора и определены своими прямоугольными декартовыми координатами, а говоря точнее -- представлены в ортонормированном базисе

а система координат правая, то их векторное произведение имеет вид

Теорема. Пусть , . Тогда

Доказательство: По условию , . По свойству ассоциативности векторного произведения получим

По тем же правилам

По таблице умножения . Аналогично находим , . Подставив полученные результаты в формулу, получим

Запомнить полученную формулу тяжело. Чтобы облегчить этот процесс, вводят еще два дополнительных объекта - матрицу и определитель.

Матрицей второго порядка называют таблицу из четырех чисел, которая обозначается , матрицей третьего порядка называется таблица из 9 чисел -

Определителем матрицы второго порядка будем называть число . Определитель второго порядка обозначается .

Определителем матрицы третьего порядка будем называть число

5. Алгебра Ли векторов

Векторное произведение вводит на структуру алгебры Ли (поскольку оно удовлетворяет обеим аксиомам -- антисимметричности и тождеству Якоби). Эта структура соответствует отождествлению с касательной алгеброй Ли so(3) к группе Ли SO(3) ортогональных линейных преобразований трёхмерного пространства.

Источники, литература

1. https://ru.wikipedia.org

2. http://webmath.exponenta.ru

3. Ильин В. А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра: Учеб.: Для вузов. - 5-е изд. - М.: ФИЗМАЛИТ, 2001.

Размещено на Allbest.ru