Статистические закономерности и совокупности

Размещено на http://allbest.ru

1. Предмет статистической науки. Статистические закономерности и совокупности

Предмет статистического изучения - статистические совокупности.

Познание закономерностей возможно при изучении не отдельных явлений, а их совокупности. В каждом явлении необходимое - то, что присуще всем явлениям данного вида, проявляется в единстве со случайным, индивидуальным, присущим лишь этому конкретному явлению. Статистика рассматривает общую картину, но не игнорирует отдельные объекты.

Закономерности, в которых необходимость неразрывно связана в каждом отдельном явлении со случайностью и лишь во множестве явлений проявляет себя как закон, называются статистическими.

Статистическая совокупность состоит из единиц совокупности. Каждая единица совокупности представляет собой частный случай проявления изучаемой закономерности. Единица совокупности - это предел дробления объекта исследования, при котором сохраняются все свойства изучаемого процесса.

2. Стадии экономико-статистического исследования

Для изучения своего предмета статистика разрабатывает и применяет разнообразные методы, в зависимости от поставленных задач и характера исходной информации. Все методы применяются на трех основных стадиях экономико-статистического исследования:

1. Сбор первичной статистической информации

2. Статистическая сводка и обработка первичной информации

3. Анализ статистической информации для принятия решений



3. Методы, используемые при выполнении основных стадий экономико-статистического исследования

Основные методы:

1. Методы массового наблюдения. Закон больших чисел.

Основное содержание этого закона: в сводных статистических характеристиках действие элементов случайности взаимопогашается, хотя они и могут проявляться в признаках отдельных единиц статистической совокупности.

2. Метод статистических группировок. Метод обобщающих статистических показателей.

3. Метод средних величин и показателей вариации.

Ряды динамики (временные ряды).

Индексный метод.

Корреляционно-регрессионный анализ.

Выборочный метод.

4. Понятие о статистической информации и статистическом наблюдении. Требования к статистическому наблюдению

Статистическая информация (статистические данные) - первичный статистический материал, формирующийся в процессе статистического наблюдения (СН), который затем подвергается систематизации, сводке, обработке, анализу и обобщению.

СН - это начальная стадия экономико-статистического исследования. Это научно организованная работа по сбору массовых первичных данных о явлениях и процессах во всех сферах бизнеса.

Требования к СН:

ь ценность,

ь полнота,

ь достоверность,

ь объективность,

ь сопоставимость

Зачем нужны данные: (сформулировать самостоятельно)

ь Для обзора

ь Для изучения

ь Для оценки качества предоставляемых услуг или производственного процесса

ь Для выработки альтернативных решений

ь Для удовлетворения любопытства

5. Основные способы получения данных

Основные способы получения данных:

ь Изучение промышленных, правительственных, финансовых и др. источников.

Источники данных разделяются на первичные (если данные непосредственно используются для анализа) и вторичные (если некто собирает данные для последующей передачи).

ь Эксперимент

В нем все испытания проводятся под строгим контролем. Планирование эксперимента. (эффективность моющих средств).

ь Опрос

Респонденты свободно отвечают на ряд вопросов. Затем ответы редактируются, шифруются, табулируются для дальнейшего анализа.

ь Наблюдение

Для явлений, обычно протекающих в естественных условиях- знания о животном мире. (социология и бизнес- наблюдение за фокус-группой).



6. Выявление и устранение ошибок статистических исследований

Оценка достоверности результатов исследования (цель опроса, зачем и для кого они проводятся; какие выборки положены в основу опроса)

Детерминированная выборка состоит из элементов, включенных в нее без учета вероятности их появления. Вероятностная выборка состоит из элементов, вероятность появления которых известна заранее.

Ошибки статистических исследований:

1. Ошибка, связанная с охватом исследования (систематическая ошибка выбора или планирования исследования)

2. Ошибка, связанная с отсутствием ответа

3. Ошибка выборочного исследования (целесообразность, относительная дешевизна, эффективность - преимущества выборочного наблюдения).

4. Ошибка измерения

7. Задачи статистических группировок

Статистические группировки (СГ) - это процесс образования однородных групп на основе разделения статистической совокупности на части или объединение изучаемых единиц в частные совокупности по существенным для них признакам.

СГ - метод статистического исследования, позволяющий уловить переход количественных изменений в качественные, выявить закономерности их развития. Результатом осуществления этого процесса является разделенный на группы объект наблюдения. Пример. Группировка коммерческих фирм по численности работников, величине ОФ.



8. Типологические, структурные и аналитические группировки

Виды группировок: Типологические Структурные Аналитические

Главное - правильный выбор группировочного признака.

Типологические группировки - для выделения из множества признаков, характеризующих изучаемые явления, основных типов в качественно однородные группы.

Таблица. Распределение промышленной продукции, произведенной в различных формах хозяйствования за отчетный период

Группы предприятий по формам хозяйствования	Объем продукции, млрд. руб.	В % к итогу
Государственные	405	89
Арендные	19	4
Кооперативные	30	7
всего	454	100

Структурные группировки - используются для изучения строения исследуемой совокупности (торговая сеть - по специализации; работники торговли - по возрасту, стажу работы, по образованию). По ним можно оценить качественные сдвиги или процесс концентрации.

Таблица. Группировка торговых предприятий района по объему товарооборота (в % к итогу)

Группы магазинов по объему товарооборота, тыс.руб.	Число магазинов	Розничный товарооборот	Торговая площадь
До 1700	23	11	18
1700-2000	30	19	21
2000-3000	20	20	19
3000-4200	15	22	20
Свыше 4200	12	28	22
всего	100	100	100



Крупные магазины имеют большую долю в обороте, чем в общей их численности !!!

Аналитические группировки - для изучения явления и связи между отдельными признаками явления. Так в коммерческой деятельности встречается много взаимосвязей между признаками, выступающими в роли причины или следствия явления.

Виды взаимосвязей в аналитической группировке:

1) Фактор - количественный признак, а результат - качественный признак (стаж работы и квалификация сотрудника; время договорных связей поставщик-торговля и качество товара)

2) Фактор (основа группировки) - качественный признак, а результат - количественный признак (квалификация сотрудников и производительность их труда)

3) Фактор и результат - качественные признаки (категория работников и их образование)

4) Фактор и результат - количественные признаки (производительность труда и заработная плата)

Таблица. Качество продукции и продолжительность договорных связей поставщиков с магазином

Продолжительность связей магазина с поставщиками, лет	Число поставщиков	Доля стандартной продукции, %
	Абсолютная величина	В % к итогу
До 3	4	16	73
3-7	9	36	78
7-11	7	28	85
Свыше 11	5	20	98
Итого	25	100,0	88,5

Устойчивые хозяйственные связи оказывают положительное влияние и на качество поставляемых товаров !!!



9. Группировочный признак. Образование групп и интервалов группировки

Вопрос выбора группировочного признака адекватен цели исследования и характеру исходной информации.

Все многообразие признаков, на основе которых могут производиться статистические группировки, можно соответствующим образом классифицировать:

1) по форме выражения признаки бывают атрибутивными (категорийными), не имеющими количественного значения (профессия, образование и т.д.) и количественными (числовыми), принимающими различные цифровые характеристики (число работников, величина дохода). При этом количественные признаки бывают дискретными (прерывными), значения их - только целые числа (число комнат в квартире) и непрерывными, значения их могут быть как целыми так и дробными (сумма издержек обращения).

2) по характеру изменчивости признаки бывают альтернативными, которыми одни единицы обладают, а другие - нет (поставленный товар м.б. качественным и некачественным) и имеющими множество количественных значений (величина фонда оплаты труда, прибыль).

3) по роли, которую играют признаки во взаимосвязи изучаемых явлений, они бывают факторными, т.е. воздействующими на другие признаки и результативными, т.е. испытывающими на себе влияние других.

В зависимости от сложившихся объективных условий и цели исследования признаки могут меняться ролями.

(величина прибыли предприятия - зависит от качества работы коллектива; величина прибыли - это источник дальнейшего расширения всего торгового потенциала - основных фондов, числа работников)

Вопрос распределения единиц совокупности по группам. Вопросы количества групп и величины интервала взаимосвязаны между собой.

Чем больше число групп, тем меньше величина интервала и наоборот.

Количество групп зависит от того, какой признак служит основанием группировки.

Атрибутивные (категорийные) признаки предопределяют число групп (группы работников по образованию).

Аналогично разделяется совокупность по дискретному признаку, изменяющемуся в малом диапазоне (группы магазинов по числу товарных секций).

В зависимости от степени изменения признака, от характера распределения статистической совокупности бывают интервалы равные и неравные.

При равенстве интервалов используется формула американского ученого Стерджесса, с помощью которой определяется число групп n при известной численности совокупности N:

Зная размах изменений значений изучаемого признака во всей совокупности и намечаемое число групп, величина равного интервала, определяется по формуле:

, где n - число групп.

В экономической практике часто применяются неравные интервалы, прогрессивно возрастающие или убывающие (интервал по товарообороту для мелких, средних и крупных магазинов).

При построении интервалов группировки нередко (при непрерывно изменяющемся признаке) одно и то же число служит верхней и нижней границами 2-х смежных групп.

Группы работников по заработной плате:

До 90 тыс.руб.

90-120

120-150

150-180

Свыше 180 тыс.руб.

Вопрос об отнесении объекта наблюдения по группам может быть решен двояко:

По принципу «включительно» - 90 тыс.руб. включается в 1-ю группу;

По принципу «исключительно» - 90тыс.руб. включается во 2-ю группу!

Интервалы бывают: открытые и закрытые.

10. Основные элементы статистического графика. Гистограмма. Полигон. Полигон интегральных процентов

Графики в статистике - условные изображения числовых величин и их соотношений в виде различных геометрических образов - точек, линий, плоских фигур и т.п.

Основные элементы статистического графика:

1. Поле графика - место, на котором он выполняется. 1*1,3 - правило «золотого сечения»

2. Графический образ - символические знаки, с помощью которых изображаются данные

3. Пространственные и масштабные ориентиры - координатная сетка или контурные линии. Масштаб графика - это мере перевода численной величины в графическую.

4. Экспликация графика - это пояснение его содержания (название, подписи шкал).

Гистограмма - это диаграмма, на которой изображены столбики, границы которых совпадают с границами групп.

При ее построении исследуемая случайная величина откладывается по горизонтальной оси Х, а количество элементов в соответствующих группах (их относительная частота или процентная доля), по оси вертикальной У.

Лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать > использование графических изображений а не таблиц.

Серединные точки на гистограмме взяты из интервалов доходности.

Иногда сложно создавать диаграмму ствол и листья и гистограммы. Сложно правильно интерпретировать разницу между высотами соответствующих столбцов.

Полигон накопленных (интегральных) % или кривая распределения является графическим изображением распределения суммарных процентов.

Процентный полигон - график, построенный путем соединения средних точек, соответствующих процентной доле каждой группы.

Как и при построении гистограмм, величина исследуемой переменной откладывается вдоль по горизонтальной оси, по вертикальной оси - количество элементов в каждой группе, их относительная доля или процент.

11. Организация числовых данных. Упорядоченный массив. Диаграмма «ствол и листья»

Сценарий. Сравнение эффективности взаимных фондов.

В последние годы вклады во взаимные фонды (ВФ) составили миллиарды долларов. Приобретая акции (долю) взаимного фонда, инвестор вступает во владение всеми акциями компании, принадлежащими фонду. В нашем сценарии мы играем роль финансового советника, выбирающего фонд, в который следует вкладывать средства.

Цели взаимных фондов различны:

ь Капитал обычно складывается их акций схожих компаний. Например, фонды могут специализироваться на акциях крупных, средних или мелких компаний.

ь ВФ различаются по степени риска, связанного с ценными бумагами, которыми они владеют. По этому критерию фонды делятся на ВФ с очень высоким, высоким, средним, низким и очень низким уровнями риска.

Вопросы:

v Эффективность ВФ? Являются ли фонды, ориентированные на быстрый рост капитала, более эффективными, чем фонды, ориентированные на медленный рост?

v Как использовать таблицы и диаграммы для анализа эффективности различных ВФ?

Р/Е превышает среднее значение у аналогичных компаний - ориентация ВФ на быстрый рост капитала.

Здесь Р - рыночная цена в расчете на одну акцию; Е - чистая прибыль в расчете на одну акцию. Р/Е - характеризует скорость роста капитала.

Проанализируем данные об эффективности 259 ВФ, в т.ч. группы -

158 ВФ, ориентированных на быстрый рост капитала

101 ВФ, ориентированных на медленный рост капитала

Сравним годовые показатели доходности этих групп.

Чем больше анализируемых данных, тем труднее сконцентрировать внимание на их основных характеристиках. Для лучшего восприятия информации из набора данных, надо их правильно организовать.

Упорядоченный массив состоит из последовательных данных, расположенных по возрастанию.

Решаемые задачи: определение мах и мин значений; типичных величин; диапазона, которому принадлежит основная масса значений.

Мин = -6,1% , мах = 26,3%. Среднегодовые показатели большинства фондов в пределах от 5 до 15%.

Диаграмма «ствол и листья» - это инструмент для организации набора данных и анализа их распределения. Данные в этой диаграмме распределены в соответствии с первыми цифрами, или стволами и замыкающими цифрами или листьями.

Например, число 10,9% состоит из ствола 10 и листа 9.

Первые два столбца - ствол, содержащий ведущие цифры чисел. Листья или замыкающие цифры, расположены справа.

Выводы по диаграмме:

1. Мин уровень пятилетней среднегодовой доходности = -6,1%

2. Ман уровень пятилетней среднегодовой доходности = 26,3%

3. Уровни доходности 158 ВФ колеблются между этими значениями, причем наибольшая концентрация доходности в интервале от 1,8 до 18,9%.

4. Количество ВФ у крайних значение невелико

5. Только 4 ВФ приносят убытки

6. Только у 4-х ВФ доходность превышает 20%

12. Представление категорийных данных в виде таблиц и диаграмм. Сводная таблица. Диаграмма Парет

При анализе категорийных или качественных данных используются способы их представления в виде таблиц и графиков.

Анализ доходности ВФ. Информация о риске, связанном с инвестированием в эти фонды.

ВФ могут иметь очень высокий, высокий, средний, низкий и очень низкий уровень риска. При работе с категорийными переменными данные вначале заносятся в сводную таблицу, а затем представляются в виде гистограмм, круговых диаграмм или диаграмм Парето.

По внешнему виду сводная таблица для категорийных данных напоминает распределение частот для числовых данных.

Вычислим процентную долю каждой группы риска в общем итоге и накопленную (интегральную) частоту.

Информацию полученных таблиц можно изобразить в виде линейной диаграммы

По горизонтальной оси здесь отложено количество фондов.

Представим распределение риска инвестиций на основе имеющихся данных в виде круговой диаграммы

Цель графического представления данных - точность и ясность!

Диаграмма Парето - это особая разновидность вертикальной линейчатой диаграммы, в которой категории приводятся в порядке убывания их частот одновременно с полигоном накопленных частот. Особенно полезна, если количество исследуемых категорий велико.

Позволяет выделить наиболее важные категории из большого числа малозначимых групп.

Широкое распространение при анализе производственных процессов и контроле качества.

Вывод: диаграмма упорядочивает доли риска в порядке убывания. Доля фондов со средним уровнем риска = 32%. Полигон накопленных частот - 62,55% фондов имеют средний или высокий уровень риска.

Вдоль левой вертикальной оси - частоты или процентные доли. Вдоль правой вертикальной оси - накопленные частоты. По горизонтальной оси - категории. Столбцы на одинаковом расстоянии друг от друга и имеют равную ширину.

При анализе двух или двумерных категорийных переменных используют таблицы сопряженности признаков.

Представим данные в виде сводных таблиц. Здесь комиссия - плата взимаемая фондами за осуществление продаж своих акций

Вывод: фонды с высоким и низким уровнями риска, как правило, взимают плату за продажу своих акций, а ВФ со средним уровнем риска как правило - нет.



13. Абсолютные величины, их основные виды

Мы рассмотрели как представлять данные в виде таблиц и диаграмм. Однако изучая числовую информацию (например, среднегодовые показатели доходности за последние пять лет) мы должны уметь не только представить данные и понять, что они означают, но и вычислить их основные характеристики, а затем проанализировать их. Представить понять вычислить проанализировать

Статистические данные могут быть представлены абсолютными, относительными и средними величинами.

Абсолютные величины - всегда числа именованные, имеющие определенную размерность, единицы измерения.

В зависимости от различных причин и целей анализа применяются следующие абсолютные величины:

а) натуральные - кг, м, л

в) денежные (стоимостные) - цены

с) трудовые единицы измерения- человеко-часы; человеко-дни.

а) соответствуют природным или потребительским свойствам предмета, товара и выражаются в физических мерах веса, длины и т.д. - килограммы, тонны, литры

Условно-натуральные единицы измерения получаются при приведении различных натуральных единиц к одной, принятой за основу, эталон.

Банки в консервной промышленности (353,4 см³), процентное содержание активных веществ в химической промышленности.

14. Характеристика и общие принципы построения относительных величин

В анализе стат. информации важное место занимают производные статистические показатели - относительные и средние величины.

Относительные величины (ОВ) - это частное от деления двух статистических величин, характеризующее количественное соотношение между ними.

Относительные величины, получаемые при сопоставлении абсолютных показателей, называются ОВ первого порядка. При сопоставлении относительных стат. показателей получают ОВ высших (второго, третьего и т.д.) порядков.

Общие принципы построения ОВ:

ь Сравниваемые показатели должны быть связаны в реальной жизни объективно, независимо от нашего желания. Должно быть как можно большее соответствие по смыслу сравниваемых величин

(число грамотных / общее число населения = уровень грамотности. Но исключить из знаменателя детей, инвалидов, душевнобольных)

ь Сравниваемые показатели могут различаться только одним атрибутом (или видом признака, или временем, или объектом)

(нельзя сравнить добычу угля в США с выплавкой стали в России)

ь Необходимо знать возможные границы существования относительного показателя

(знаменатель не = 0 и т.д.)

ОВ = показатель, отражающий то явление, которое изучается, т.е. сравниваемый/

показатель, с которым производится сравнение, принимаемый за основание или базу сравнения.

По своему познавательному значению ОВ делятся на виды:

1. Выполнения договорных обязательств

2. Структуры

3. Динамики

4. Сравнения

5. Координации

6. Интенсивности

1. ОВ_вдо= фактический уровень/уровень, предусмотренный договором

2. ОВ_стр характеризуют состав изучаемой совокупности. Это отношение части к целому или удельный вес части в целом

Сравнивая структуру одной и той же совокупности за разные периоды времени, можно проследить структурные изменения, происшедшие во времени.

ОВ_стр = величина изучаемой части совокупности/величина всей совокупности

15. Виды средних величин и методы их расчета

Большое распространение в бизнес-статистике имеют средние величины (СВ).

Средние величины - это обобщающие показатели, в которых находят выражение действие общих условий, закономерность изучаемого явления.

Выбор инвестиционной стратегии должен начинаться с анализа среднегодовой доходности фондов за пять последних лет. Целесообразно сравнивать доходность фондов, имеющих разную степень риска.

В большинстве случаев данные концентрируются вокруг некоей центральной точки. Таким образом, для описания любого набора данных, достаточно указать некое типичное значение. Эту величину называют средним значением.

Введем следующие понятия и обозначения:

ь Признак, по которому находится средняя, называется осредняемым признаком -

ь Величина осредняемого признака у каждой единица совокупности, называется индивидуальным его значение (или вариантами) - Х₁, Х₂ , …, Х_n.

ь Частота - это повторяемость индивидуальных значений признака - f

ь Частоты, выраженные относительными величинами, это частости - w

Для решения различных задач требуются различные виды средних.

Средняя арифметическая исчисляется, когда объём осредняемого признака образуется как сумма его значений из отдельных единиц изучаемой статистической совокупности.

Средняя арифметическая невзвешенная получается делением количества сводного признака на число показаний:

.

Если значение признака встречается несколько раз используют среднюю арифметическую взвешенную:

гдеx_i - значения признака; f_i - их частота.

Взвешенная средняя учитывает различное значение отдельных вариантов в пределах совокупности. Для интервальных рядов распределения (варианты признака представлены в виде интервалов) в каждом интервале определяется серединное значение, после чего взвешивание производится обычным порядком.

Пример. Определим среднюю заработную плату работников

= 540/5=108у.е.

Смысл - если бы все единицы изучаемой совокупности развивались под действием одних общих условий и на них не действовали случайные факторы, то величина признака у каждой единицы совокупности - индивидуальное значение зарплаты была бы одинаковой и равной 108 у.е.

=(6+24+20+20)/20=3,5

=(5+45+35+147+45+22)/55=5,4года

! Величина итогового показателя не должна изменяться при замене индивидуальных значений признака средней величиной.

Способность средних величин сохранять свойства статистических совокупностей называют определяющим свойством.

Средняя геометрическая применяется если при замене индивидуальных величин признака на среднюю надо сохранить неизменным произведение индивидуальных величин. Этот вид средней позволяет оценить степень изменения переменной с течением времени.

.

Этой средней удобно пользоваться, если уделяется внимание отношениям двух чисел. Например, при расчётах среднегодовых темпов роста.

Средняя гармоническая - это величина, обратная средней арифметической. Она используется если по условиям задачи необходимо, чтобы неизменной оставалась при определении сумма величин, обратных индивидуальным значениям признака.

.

Средняя квадратическая применяется если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину надо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин. Основное применение при измерении вариации признака в совокупности.

.

4< 4.25 < 4.5 < 4.75 - это свойство мажорантности средних. Чем больше показатель степени у Х_i , тем больше и величина соответствующей средней

16. Структурные средние величины

Для характеристики структуры совокупности применяют структурные средние. К таким показателям относятся мода и медиана.

Мода - величина признака, которая встречается в изучаемом ряду, или в совокупности, чаще всего. Мода широко используется в коммерческой практике при изучении покупательского спроса, при регистрации цен и т.д. В дискретном ряду мода - это варианта с наибольшей частотой. В интервальном вариационном ряду модой считают центральный вариант так называемого модального интервала, т.е. того интервала, который имеет наибольшую частоту:

где x_нmo - нижняя граница модального интервала;

i_mo - величина модального интервала;

f_mo - частота, соответствующая модальному интервалу;

f_mo-1, f_mo+1 - частоты интервалов, предшествующих и следующих за модальным интервалом.

Медиана - это величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на две равные части. Для интервального ряда медиана находится по формуле:

где x_нme - нижняя граница медианного интервала;

i_me - величина медианного интервала;

f/2 - полусумма частот ряда;

S_me-1 - сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

f_me - частота медианного интервала.

Сумма абсолютных отклонений членов ряда от медианы есть величина наименьшая:

.

Это особое свойство медианы находит широкое применение в маркетинговой деятельности.

Если среднее арифметическое значение, мода и медиана совпадают, то такая группа данных симметрична.

Величины, находящиеся на одной, двух и трёх четвертях расстояния от начала ряда называются квартилями, на одной десятой - децилями, на одной сотой - процентилями.

Пример. Вычислить значение медианы и трёх квартилей Q₁, Q₂, Q₃, для упорядоченных данных: 3, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 11

Решение:

,,

,.

Децилем называется структурная величина, которая делит распределение на 10 равных частей по 10% единиц или объемов в каждой части. Децилей девять, децильных групп - десять.

Пример. Распределение населения по уровню располагаемых ресурсов на 1 человека в семье (по материалам выборочного обследования)

Располагаемые ресурсы, тыс.руб.	Доля населения, % к итогу	Накопленные (интегральные) частоты
До 40	2,5	2,5
40-120	61.3	63,8
120-200	28,2	92
200-280	6,5	98,5
Свыше 280	1,5	100
всего	100

Определить децильный коэффициент дифференциации располагаемых доходов.

где к - номер дециля (для 1-го к=0,1; для 9-го к=0,9)

Определяем интервалы децилей (для 1-го 40-120; для 9-го 120-200)

Тогда , т.е. минимальный доход 10% богатых превышает максимальный доход бедных в 3,9 раза.

17. Понятие вариации. Абсолютные и средние показатели вариации

Различие (степень колебания) отдельных значений характеризуют показатели вариации.

Вариация - количественное изменение величины исследуемого признака в пределах однородной совокупности, которое обусловлено перекрещивающимся влиянием действия различных факторов.

Степень близости данных отдельных единиц х_i к средней измеряется рядом абсолютных, средних и относительных показателей.

Абсолютные показатели вариации: Размах вариации R - это разность между наибольшим и наименьшим значением вариантов.

Размах позволяет измерить общий разброс данных. Его слабость в том, что он никак не учитывает, как именно распределены данные между минимальным и максимальным элементами.

Межквартильный размах (средний размах) - это разность между третьим и первым квартилями выборки.

, где Q₁ = (n+1)/4 Q₃ = 3(n+1)/4

Эта величина позволяет оценить разброс 50% элементов и не учитывать влияние экстремальных элементов.

Применение понятий. Межквартильный размах выборки, содержащей данные о среднегодовой доходности 15 взаимных фондов с очень высоким уровнем риска, вычислим, используя следующий упорядоченный массив

-6,1 -2,8 -1,2 -0,7 4,3 5,5 5,9 6,5 7,6 8,3 9,6 9,8 12,9 13,1 18,5

Эта величина характеризует размах половины выборки, содержащей данные о среднегодовой доходности 15 взаимных фондов с высоким уровнем риска. Интервал, ограниченный числами 9,8 и -0,7 часто называют средней половиной. Суммарные количественные характеристики, такие как медиана, первый и третий квартили, межквартильный размах, на которые не влияют выбросы, называются устойчивыми показателями.

Размах и межквартильный размах позволяют оценить общий и средний разброс значений, но они не учитывают как именно распределены данные. Дисперсия и стандартное (среднеквадратическое) отклонение лишены этого недостатка.

Средние показатели вариации: Среднее линейное отклонение определяется как средняя арифметическая из отклонений индивидуальных значений от средней, без учёта знака этих отклонений

.

Дисперсия ² (средний квадрат отклонений) определяется по формуле:

,



Чем меньше дисперсия, тем лучше средняя арифметическая отражает собой всю представленную совокупность.

Дисперсия и среднее квадратическое (стандартное) отклонение позволяют оценить степень колебания данных вокруг среднего значения.

Интерпретация понятий: Дисперсия и среднее квадратическое (стандартное) отклонение позволяют оценить разброс данных вокруг среднего значения, т.е. сколько элементов выборки меньше среднего, а сколько - больше.

Дисперсия обладает ценными математическими свойствами. Однако ее величина представляет собой квадрат единицы измерения (квадратный %, квадратный доллар и т.д.).

Поэтому естественной оценкой дисперсии является стандартное отклонение, которое выражается в обычных единицах измерения - %, доллары …

Стандартное отклонение позволяет оценить величину колебания значений вокруг среднего значения. Практически во всех ситуациях наблюдаемые величины лежат в интервале плюс-минус одно стандартное отклонение от среднего значения. Поэтому, зная среднее арифметическое и среднее квадратическое (стандартное) отклонение можно определить интервал, которому принадлежит основная масса данных.

Применение понятий: Стандартное отклонение доходности 15 ВФ с очень высоким уровнем риска равно 6,62. Это значит, что доходность основной массы фондов отличается от среднего значения не более чем на 6,62%.

От 6,08-6,62=-0,54 до 6,08+6,62=12,7 в этом интервале есть 8 из 15 ВФ (53%)

Суммируем вышесказанное

ь Чем больший разброс имеют данные, тем больше их размах, межквартильный размах, дисперсия и стандартное отклонение

ь Чем более сконцентрированы данные, или однородны, тем меньше их размах, межквартильный размах, дисперсия и стандартное отклонение

ь Если все элементы выборки равны между собой (т.е. разброс отсутствует), межквартильный размах, дисперсия и стандартное отклонение равны нулю.

ь Ни одна из оценок изменчивости данных (размах, межквартильный размах, дисперсия и стандартное отклонение) не может быть отрицательной.

Применение понятий: Сравним разброс доходности ВФ с разными уровнями риска, вычислив отклонение для каждой из этих категорий.

Степень риска	Стандартные отклонения
Очень низкий	2,7
Низкий риск	3,58
Средний риск	4,18
Высокий риск	4,54
Очень высокий	6,62

18. Показатели относительного рассеивания

Коэффициент осцилляции К₀ отражает относительные колебания крайних значений признака вокруг средней:

Относительное линейное отклонение K_d характеризует долю усреднённого значения абсолютных отклонений от средней величины.

Коэффициент вариации определяют по формуле:

Коэффициент вариации измеряет рассеивание данных относительно среднего значения. Измеряется в %, а не в единицах измерения исходных данных.

Применение понятий: Коэффициент вариации доходности фондов с разными уровнями риска имеет следующие значения:

Степень риска	Среднее	Стандартное отклонение	Коэффициент вариации, %
Очень низкий	13,45	2,7	20,07
Низкий риск	12,23	3,58	29,29
Средний риск	11,21	4,18	37,28
Высокий риск	9,55	4,54	47,58
Очень высокий	6,08	6,62	108,88

Чем выше риск, тем больше относительный разброс доходности вокруг среднего значения. Фонды с низким и средним уровнями риска имеют более высокую среднюю доходность и меньший коэффициент вариации, чем фонды с высоким уровнем риска. Это означает, что эффективность фондов со средним уровнем риска выше, чем эффективность фондов с высоким уровнем риска.

Коэффициент вариации позволяет сравнить две выборки, элементы которых выражаются в разных единицах измерения.

Когда относительные показатели вариации не превышают 35%, то принято считать, что полученные средние (серединные) характеристики достаточно надежно характеризуют совокупность по варьирующему признаку, когда относительные показатели вариации больше 35% - то ненадежно. В этом случае варианты ряда распределения существенно отличаются от средних характеристик.

19. Виды дисперсии

Виды дисперсии - это показатель изменения признака в совокупности.

Определим три вида дисперсии:

общую дисперсию ,

межгрупповую дисперсию ,

среднюю внутригрупповых дисперсий .

Общая дисперсия характеризует вариацию признака, которая зависит от всех условий в данной совокупности.

Межгрупповая дисперсия отражает вариацию изучаемого признака, которая возникает под влиянием признака фактора, положенного в основу группировки.

Средняя внутригрупповых дисперсий характеризует случайную вариацию в каждой отдельной группе. Это вариация результативного признака, которая возникает под влиянием всех остальных факторов, кроме группировочного.

Большую практическую значимость имеет правило сложения дисперсий: Коэффициент детерминации ² находят по формуле:.

Он характеризует долю вариации группировочного признака в общем объеме вариации или на сколько процентов уровень результативного признака определяется группировочным признаком.

Корень квадратный из коэффициента детерминации называется эмпирическим корреляционным отношением.

Это отношение характеризует тесноту связи между признаками, т.е. близость корреляционной (неполной) зависимости к функциональной (полной). Этот показатель изменяется от нуля до единицы. Точность его зависит от размеров совокупности: чем больше совокупность, тем он надежнее. Недостатки эмпирического корреляционного отношения: невозможность определить направление связи (прямая зависимость или обратная); невозможность определения формы связи.



20. Анализ данных с помощью блочных диаграмм. Базовые показатели

Вычисление показателей с помощью Пакета Анализа

Стандартная ошибка - стандартное отклонение деленное на квадратный корень объема выборки.

Ассиметричность характеризует отклонение от симметричности распределения и является функцией, зависящей от куба разностей между элементами выборки и средним значением.

Эксцесс - это мера относительной концентрации данных вокруг среднего значения по сравнению с хвостами распределения; зависит от разностей между элементами выборки и средним значением, возведенными в четвертую степень.

Основные характеристики позволяют описать свойства данных и перейти к более глубоким исследованиям. Довольно часто для анализа данных применяется подход, основанный на пятерке базовых показателей и построении блочной диаграммы.

Блочная диаграмма представляет собой удобное средство для изображения пяти базовых показателей:

Здесь изображена блочная диаграмма, иллюстрирующая показатели среднегодовой доходности 15 фондов с очень высоким уровнем риска

Вертикальная линия, проведенная внутри прямоугольника, отмечает медиану. Левая сторона прямоугольника соответствует первому квартилю , а правая - третьему квартилю . Таким образом, прямоугольник содержит средние 50% элементов выборки. Младшие 25%данных изображаются в виде линии (так называемый ус), соединяющей левую сторону прямоугольника с наименьшим выборочным значением . Следовательно, старшим 25% данных соответствует линия, соединяющая правую сторону прямоугольника с наибольшим выборочным значением .

Изображение нескольких диаграмм на одном рисунке намного облегчает анализ и сравнение данных

Вывод: чем меньше риск, тем выше эффективность фондов

21. Дисперсия альтернативного (качественного признака)

Альтернативные - это признаки, которыми обладают одни единицы совокупности и не обладают другие.

Наличие изучаемого признака обозначается 1, а его отсутствие 0.

Доля показателей, обладающих изучаемым признаком, обозначается - р, а доля значений, не обладающих признаком, обозначается q. P + q = 1

Найдем их средние значения и дисперсию.

=

Применение понятий

10 000 населения. Из них 4000 мужчин 6000 женщин

Р = 4000/10000 = 0,4q = 6000/10000 = 0,6

р*q = 0.4*0.6 = 0.24

P + q не может быть больше 1, а р*q не может быть больше 0,25

Тогда = = 0,49.



22. Основная задача выборочного обследования

Статистика не всегда имеет дело с данными сплошного наблюдения. Из всех видов несплошного наблюдения главным является выборочное наблюдение, т.к. только выборка позволяет распространить данные, полученные по части совокупности, на всю совокупность.

Под выборочным понимается метод статистического исследования, при котором обобщающие показатели изучаемой совокупности (генеральной совокупности) устанавливаются по некоторой её части (выборочной совокупности или просто выборке) на основе положений случайного отбора.

В проведении ряда исследований выборочный метод является единственно возможным, например, при контроле качества продукции (товара), если проверка производится с уничтожением или разложением на составные части обследуемых образцов.

Причины использования выборочного метода:

1) повышение точности данных

2) экономия материальных, трудовых, финансовых ресурсов и времени (аудиторские проверки крупных фирм; составление баланса денежных доходов и расходов населения)

3) без выборки не обойтись, когда наблюдение связано с порчей наблюдаемых объектов)

Далее будем использовать следующие понятия:

Генеральная совокупность - это подлежащая изучению статистическая совокупность, из которой производится отбор части единиц

Выборочная совокупность (выборка) - отобранная из генеральной совокупности некоторая часть единиц, подвергающаяся обследованию.

Суть выборочного метода: получение характеристик изучаемой совокупности (генеральной) по обследованию некоторой ее части (выборке).

Выборочный метод использует два основных вида обобщающих показателей:

- относительную величину альтернативного (качественного) признака;

Она характеризует долю (удельный вес) единиц в статистической совокупности, которые отличаются от других единиц только наличием изучаемого признака (доля нестандартных изделий во всей партии товара)

Это обобщающая характеристика варьирующего признака, который имеет различные значения у отдельных единиц статистической совокупности (средняя цена акции; средняя выработка; средняя оплата труда)

Определим следующие величины для генеральной совокупности:

- доля единиц с изучаемым признаком (генеральная доля) Р;

- средняя величина варьирующего признака (генеральная средняя)

для выборки:

- доля изучаемого признака (выборочная доля или частота) ;

- средняя величина в выборке (выборочная средняя).

Тогда основная задача выборочного обследования состоит в том, чтобы на основе характеристик и из выборки получить достоверные суждения о Р и в генеральной совокупности.

Их расхождения измеряются средней ошибкой выборки .

23. Ошибка выборки

Ошибка выборки - это объективно возникающие расхождения между характеристиками выборки и генеральной совокупности

В математической статистике доказывается, что среднее значение ошибки выборки определяется по формуле:

где - генеральная дисперсия; n - объем выборки.

Однако обычно неизвестно, наоборот, его как правило надо определить.

Поэтому используют соотношение

,

где - дисперсия в выборочной совокупности. Если n - велико, то стремится к 1.

Тогда где ² - дисперсия в выборочной совокупности; n - объём выборки. (1) Формула (1) используется при повторном отборе.

При этом для показателя доли альтернативного признака w дисперсия в выборочной совокупности определяется по формуле:

,

где w=m/n

m - доля единиц с изучаемым признаком; n - объем выборки.

Повторный отбор - каждая попавшая в выборку единица после фиксации значения изучаемого признака, должна быть возвращена в генеральную совокупность, где ей опять предоставляется равная возможность попасть в выборку. (Используется редко)

В математической статистике доказывается, что пределы значений характеристик генеральной совокупности (Р и ) отличаются от характеристик выборочной совокупности ( и ) на величину лишь с определенной вероятностью = 0,683. Т.е. в 317 случаях из 1000 значения могут выйти из этих пределов.

Эту вероятность можно увеличить, увеличив в t раз среднюю ошибку .

Ошибки репрезентативности выборочного наблюдения это разновидность случайных ошибок. Они появляются как результат неполноты наблюдения. Если провести несколько выборочных наблюдений по одной совокупности, то полученные расхождения между показателями выборочной и генеральной совокупностей (т.е. ошибки выборки) будут различны как по знаку, так и по величине. Вот почему с помощью теорем математической статистики определяется средняя из возможных ошибок.

Смысл средней ошибки выборки: средняя ошибка выборки, по существу, это средняя квадратическая величина из отдельных ошибок, взвешенная по вероятности их возникновения.

Предельная ошибка выборки находится следующим образом:

= t .

t- зависит от вероятности, с которой гарантируется величина предельной ошибки выборки.

24. Определение оптимальной численности выборки

Размер ошибки выборки прежде всего зависит от численности выборочной совокупности n. При доведении N до n ошибка выборки =0. Однако это требует увеличения объемов исследований, дополнительных затрат труда и материальных средств.

25. Малая выборка

Под малой выборкой (МВ) понимается несплошное статистическое обследование, при котором выборочная совокупность образуется из сравнительно небольшого числа единиц генеральной совокупности.

К минимальному объему выборки прибегают, когда большая выборка невозможна, или экономически невыгодна (если проведение исследования связано с порчей или уничтожением обследуемых образцов).

Объем малой выборки обычно не превышает 30 единиц, но м.б. до 4-5 единиц.

Первые работы в области теории малой выборки были выполнены английским статистиком В. Госсетом в 1908г. (псевдоним Стьюдент) и продолжены в исследованиях Р. Фишера.

Величина ошибки МВ определяется по формулам, отличным от формул выборочного наблюдения со сравнительно большим объемом выборки (n > 100). Средняя ошибка малой выборки исчисляется по формуле:

где - дисперсия малой выборки.(16)

При МВ величина имеет существенной значение, поэтому вычисление дисперсии малой выборки проводится с учетом числа степеней свободы.

Число степеней свободы - это количество вариантов, которые могут принимать произвольные значения, не меняя величины средней.

При определении дисперсии число степеней свободы = n - 1,

Тогда дисперсия МВ находится по формуле:

(17)

дисперсия регрессия выборка

Предельная ошибка малой выборки: _мв = t _мв.

При этом для МВ t зависит не только от заданной доверительной вероятности, но и от численности единиц выборки n.

Для отдельных значений t и n доверительная вероятность МВ определяется по таблицам Стьюдента, в которых даны распределения стандартизованных отклонений:

(18)

При увеличении n распределение Стьюдента приближается к нормальному и при n = 20 оно уже мало отличается от нормального распределения.

26. Распространение характеристик выборки на генеральную совокупность

В зависимости от цели исследования применяются следующих два метода:

1) способ прямого пересчета показателей выборки для генеральной совокупности

2) посредством расчета поправочных коэффициентов.

1) При использовании способа прямого пересчета показатели выборочной доли или средней распространяются на генеральную совокупность с учетом ошибки выборки.

Практическое использование.

Определение в поступившей партии товара нестандартных изделий. Для этого (с учетом принятой степени вероятности) показатели доли нестандартных изделий в выборке умножаются на численность изделий во всей партии товара.

Проводится выборочное обследование поступившей партии хлебобулочных изделий в 2000ед. Количество нестандартных изделий в выборке 100 единиц равно 10.

Вычислена доля нестандартных изделий в выборке w = 10/100=0,1.

Для установленной вероятности = 0,954 подсчитана предельная ошибка выборки . Тогда доля нестандартных изделий во всей партии составит

или от 0,04 до 0,16.

На основе этих данных численность нестандартных изделий во всей партии:

Минимальная = 2000*0,04=80шт. Максимальная = 2000*0,16=320шт.

2) способ поправочных коэффициентов применяется, если целью выборочного метода является уточнение результатов сплошного учета:

Практическое использование.

Например, в отечественной практике этот метод используется при уточнении ежегодных переписей скота, находящегося у населения. Для этого после получения данных сплошного учета, практикуется 10%-ное выборочное обследование с определение т.н. «процента недоучета».

Если в хозяйствах поселка по данным 10% - й выборки зарегистрировано 52 головы скота, а по данным сплошного учета в этом массиве значится 50 голов, то коэффициент недоучета составляет 4% (2/50*100=4%)

С учетом полученного коэффициента вносится поправка в общую численность скота, находящегося у населения данного поселка.

Распространение выборочных данных на генеральную совокупность производится с учетом доверительных интервалов. Для этого соответствующие обобщающие показатели выборочной совокупности и корректируются величиной предельной ошибки выборки ?_w и :

Для доли альтернативного признака:

Для средней величины количественного признака:

27. Способы отбора единиц из генеральной совокупности

Практика применения выборочного метода использует следующие методы отбора единиц из генеральной совокупности:

1. Индивидуальный отбор - в выборку отбираются отдельные единицы.

2. Групповой отбор - в выборку попадают качественно однородные группы или серии изучаемых единиц.

3. Комбинированный отбор - сочетание индивидуального и группового отбора.

Методы отбора определяются способами формирования выборочной совокупности:

а) собственно-случайная выборка

б) механическая выборка

в) типическая выборка

г) серийная выборка

д) моментная выборка

е) комбинированная выборка

Собственно-случайная выборка - случайный (непреднамеренный) отбор отдельных единиц из генеральной совокупности. Количество отобранных единиц определяется исходя из принятой доли выборки К_в.

К_в= n/N.

Например, 20% - я выборка из 2000 единиц: К_в= 2000/100ф20=400 ед.

Принцип случайности попадания в выборку устраняет возникновение систематических (тенденциозных) ошибок выборки и обеспечивает ее репрезентативность (представительность).

Например, тиражи выигрышей денежно-вещевой лотереи.

Формирование этой выборки производится с помощью специальных фишек; таблицы случайных чисел. Эта выборка м.б. осуществлена по схемам повторного и бесповторного отбора.

Механическая выборка - генеральная совокупность разбивается на равные интервалы (группы). Размер интервала в генеральной совокупности равен обратной величине доли выборки.

Например, при 20%-й выборке размер интервала = 1/0,2=5

Из каждой группы в интервал выбирается одна единица. Для обеспечения репрезентативности выборки все единицы генеральной совокупности должны располагаться в определенном порядке. Если это упорядочение сделано по существенному признаку (который всецело определяет поведение изучаемого показателя), то в выборку идет единица из середины каждой группы. Если упорядочение сделано по нейтральному признаку, то из каждой группы м.б. отобрана любая единица, но одинаковая.

...