Исследование функций
Полное исследование функции и построение ее графика с использованием дифференциального исчисления. Расчет неопределенных интегралов с использованием методов интегрирования. Определение области сходимости степенного ряда. Функции нескольких переменных.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 16.01.2015 |
| Размер файла | 509,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВПО «Уральский государственный экономический университет»
Центр дистанционного образования
Контрольная работа
по дисциплине: Математический анализ
Вариант 7
Исполнитель: студент Сычёва А.Н.
Группа: ЭПБ 14 СР
Преподаватель: Коржавина Н.В.
Серов 2014
Задание 1. Пределы функций
Вычислить пределы:
а) =*=
=== = =1
b)= = = 0
c)= = = х ==
Задание 2. Исследование функций
Используя дифференциальное исчисление, провести полное исследование функции и построить ее график: у=
1 Найдем область определения функции.
х2-4=0 х2=4 х=
2 Исследуем функцию на четность.
f(-х)== =f(х)
Функция четная значит ее график симметричен относительно оси ординат.
3 Находим вертикальные асимптоты к графику функции.
При х>2 слева =-
При х>2 справа =+
х=2 Вертикальная асимптота, т.к. график функции симметричен относительно оси ординат, то прямая х=-2 тоже будет вертикальной асимптотой.
4 Исследуем поведение функции на бесконечность.
Прямая у=0 является горизонтальной асимптотой.
5 Найдем экстремум и интервалы монотонности.
у'='==
у'=0 х=0
Производная не существует в точках х=2 и х=-2, но эти токи не входят в область определения.
На (- у'>0 следовательно функция на промежутке не возрастает.
На (0;+?) у следовательно функция на промежутке убывает.
у'
+ - х=0 точка максимума
у 0
6 Находим интервалы выпуклости и точки перегиба функции.
у''== =-==
Точек в которых вторая производная обращается в 0, нет, следовательно нет точек перегиба.
3х2+4>0 следовательно знак у'' зависит от знака (х2-4)3 следовательно на (-2;2)
у'', на (-?;-2) у''>0
у'' -2 2
+ - +
7 Находим точки пересечения графика функции с осями координат.
Пусть х=0 у=
Точка пересечения графика функции с осью ординат (0;-0,5)
Пусть у=0 то таких значений х нет.
Рисунок 1 График функции у=
Задание 3 Неопределенный интеграл
Вычислить неопределенные интегралы, используя методы интегрирования:
а) - непосредственное интегрирование;
б) - замены переменной;
в) - интегрирования по частям.
а) = =+2 = + 2* + +C
б)dx== = =+C=+С
в) = ln x* -
Задание 4 Определенный интеграл
4.1 Вычислить определенный интеграл:
==
ln x*=ln 2 *(6+4)-ln 1
4.2 Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми. Сделать чертеж.
y=x2+3 x=0 y=x-1 x=2
Рисунок 2 чертех фигуры ограниченной кривыми
Задание 5 Несобственный интеграл
Вычислить интеграл или установить его расходимость:
а)
= = ln x
Интеграл сходящийся.
б)
Особая точка х=0
Этот интеграл расходящийся.
Задание 6 Ряды
6.1 Числовые ряды. Исследовать ряд на сходимость
un= un+1=
6.2 Степенные ряды. Определить область сходимости степенного ряда
Сn=3n(x-2)n Сn+1=3n+1(x-2)n+1
- 1
Область сходимости:(
Задание 7 Функции нескольких переменных
Исследовать функцию двух переменных на экстремум.
z=
z'x=-4x z'y=y3
x=0 y=0 A=-4 B=0 C=0
функция ряд интеграл дифференциальный
x=0 y=0 не является точкой экстремума.
Задание 8 Решение дифференциальных уравнений
8.1 Найти общее и частное решения дифференциального уравнения:
y2y'=3-2x y(0)=1
y2
Общее решение
y(0)=1 13/3 = 0 - 0 + С С = 1/3
y3/3 = 3x - x2 + 1/3
y3 = 9x - 3x2 + 1 Частное решение
8.2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
y''- 6y' + 9y = 0 y(0) = 1 y'(0) = -1
k2 - 6k+9=0 Характеристическое уравнение
k1 = k2 = 3
yобщ = е 3x ( C1+C2 x ) Общее решение
y/ общ = 3e 3x ( C1 + C2 x ) + C2 e 3x
y(0) = 1 e 3*0 ( C1+C2*0 ) = 1 C1 = 1
y/ (0) = -1 3*e 3*0 ( C1+C2*0 ) + C2* e 3*0 = -1 3*C1+C2 = -1 3+C2 = -1
C2 = -4 yчаст = е3x ( 1-4x )
Список использованных источников
1. Аксёнов. Математический анализ.
2. Натанзон С.М. Краткий курс математического анализа. 2004 год.
3. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике.
4. Фомин В.И. Учебное пособие по математике. 2007 год.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Пределы функции, ее полное исследование с использованием дифференциального исчисления. Вычисление неопределенных интегралов с использованием методов интегрирования. Определенный и несобственный интегралы. Числовые ряды, их исследование на сходимость.
контрольная работа [713,2 K], добавлен 07.04.2013Исследование функции, построение ее графика, используя дифференциальное исчисление. Вычисление неопределенных интегралов, используя методы интегрирования. Пределы функции. Определение области сходимости степенного ряда. Решение дифференциальных уравнений.
контрольная работа [592,7 K], добавлен 06.09.2015Интервал сходимости степенного ряда, исследование его сходимости на концах этого интервала. Решение дифференциальных уравнений и частных решений, удовлетворяющих начальному условию. Нахождение неопределенных интегралов методом замены переменных.
контрольная работа [72,2 K], добавлен 08.04.2013Полное исследование функции с помощью производных, построение графика функции, нахождение ее наибольшего и наименьшего значения на отрезке. Методика вычисления неопределенных и определенных интегралов. Нахождение общего решения дифференциального уравнения
контрольная работа [133,4 K], добавлен 26.02.2012Методика и основные этапы нахождения производной функции. Исследование методами дифференциального исчисления и построение графика функции. Порядок определения экстремумов функции. Вычисление неопределенных и определенных интегралов заменой переменной.
контрольная работа [84,3 K], добавлен 01.05.2010Нахождение производных функций, построение графика функции с помощью методов дифференциального исчисления, нахождение точки пересечения с осями координат. Исследование функции на возрастание и убывание, нахождение интегралов, установка их расходимости.
контрольная работа [130,5 K], добавлен 09.04.2010Понятия зависимой, независимой переменных, области определения функции. Примеры нахождения области функции. Примеры функций нескольких переменных: линейная, квадратическая, функция Кобба-Дугласа. Построение графика и линии уровня функции двух переменных.
презентация [104,8 K], добавлен 17.09.2013Вычисление пределов функций. Нахождение производные заданных функций, решение неопределенных интегралов. Исследование функции и построение ее графика. Особенности вычисления площади фигуры, ограниченной линиями с использованием определенного интеграла.
контрольная работа [283,1 K], добавлен 01.03.2011Исследование сходимости числового ряда. Использование признака Даламбера. Исследование на сходимость знакочередующегося ряда. Сходимость рядов по признаку Лейбница. Определение области сходимости степенного ряда. Сходимость ряда на концах интервала.
контрольная работа [131,9 K], добавлен 14.12.2012Вычисление пределов функций, производных функций с построением графика. Вычисление определенных интегралов, площади фигуры, ограниченной графиками функций. Общее решение дифференциального уравнения, его частные решения. Исследование сходимости ряда.
контрольная работа [356,6 K], добавлен 17.07.2008Локальные экстремумы функции. Теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа. Достаточные условия экстремума функции. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба. Асимптоты графика функции. Схема построения графика.
курс лекций [445,7 K], добавлен 27.05.2010Вычисление предела функции, не используя правило Лопиталя. Нахождение производной функции и построение ее графика. Исследование неопределенных интегралов и выполнение проверки дифференцированием. Вычисление площади фигуры, ограниченной графиками функций.
контрольная работа [317,3 K], добавлен 25.03.2014Вычисление и исследование предела и производной функции, построение графиков. Вычисление неопределенных интегралов, площади фигуры, ограниченной графиками функций. Нахождение решения дифференциального уравнения и построение графиков частных решений.
контрольная работа [153,6 K], добавлен 19.01.2010Определение наименьшего и наибольшего значения функции в ограниченной области и ее градиента; общего интеграла и общего и частного решения дифференциального уравнения. Исследование ряда на абсолютную сходимость с применением признаков Коши и Даламбера.
контрольная работа [107,2 K], добавлен 25.11.2013Понятие функции нескольких переменных. Аргументы, частное значение и область применения функции. Рассмотрение функции двух и трех переменных. Предел функции нескольких переменных, теорема. Главная сущность непрерывности функции нескольких переменных.
реферат [86,3 K], добавлен 30.10.2010Определение предела последовательности. Понятие производной и правила дифференцирования. Теоремы Роля, Лангража, правило Лапиталя. Исследования графиков функций. Таблица неопределенных и вычисление определенных интегралов. Функции нескольких переменных.
презентация [917,8 K], добавлен 17.03.2010Определение степенного ряда. Теорема Абеля как определение структуры области сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов. Ряды Тейлора, Маклорена для функций. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена. Приложения степенных рядов.
реферат [89,3 K], добавлен 08.06.2010Расчет частных производных первого порядка. Поиск и построение области определения функции. Расчет полного дифференциала. Исследование функции на экстремум. Поиск наибольшего и наименьшего значения функции в замкнутой области. Производные второго порядка.
контрольная работа [204,5 K], добавлен 06.05.2012Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и их доказательство. Локальные экстремумы функции, исследование ее на выпуклость и вогнутость, понятие точки перегиба. Асимптоты и общая схема построения графика функции.
реферат [430,7 K], добавлен 12.06.2010Методы интегрирования в древности. Понятие первообразной функции. Основная теорема интегрального исчисления. Свойства неопределенных и определенных интегралов и методы их вычисления, произвольные постоянные. Таблица интегралов элементарных функций.
презентация [525,7 K], добавлен 11.09.2011
