Размещено на http://allbest.ru

1. Студент может получить «отлично» на экзамене по экономической теории с вероятностью 0.7, а по математике с вероятностью 0.5. Найти вероятность того, что: 1) оба экзамена сданы на «отлично»; 2) хотя бы один экзамен сдан на «отлично».

Решение

Так как события A1 и A2 - независимы в совокупности (т.е. появление одного события не зависит от появления или непоявления другого), то вероятность того, что два экзамена сданы на «отлично»:

Р(АВ) = Р(А)•Р(В) = 0,7•0,5 = 0,35.

Вероятность того, что хотя бы один из экзаменов сдан на «отлично»:

Р (А+В) = 0,7 + 0,5 - 0,7•0,5 = 0,85.

Ответ: Вероятность того, что оба экзамена сданы на «отлично» равна 0,35; вероятность того, что хотя бы один экзамен сдан на «отлично» равна 0,85.

2. Три специалиста одинаковой квалификации могут разработать проект в определенный срок с вероятностями 0.9, 0.8 и 0.7 соответственно. Проект был выполнен в срок одним из наудачу выбранным специалистов. Какова вероятность того, что проект был выполнен первым специалистом, если для разработки проекта любой специалист может быть выбран с одинаковой вероятностью?

Решение

По формуле полной вероятности найдем:

Ответ: Вероятность того, что проект был выполнен первым специалистом, равна 0,8.

3. Вероятность использования кредита не по назначению для каждого из 400 взявших кредит равна 0.015. Найти вероятность того, что кредит используют не по назначению 2 человека.

Решение

Расчет выполняется по локальной формуле Лапласа:

где: , а функция есть малая функция Лапласа, значения которой имеются в соответствующих таблицах.

По условию задачи n = 400, k = 2, p = 0,015, q = 0,985, поэтому, вычислим:

.

По таблице Лапласа] найдем и окончательно по локальной формуле Лапласа найдем:

Ответ: Вероятность того, кредит используют не по назначению 2 человека равна 0,185.

4. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь имеет брак, равна 0.1. Составить закон распределения числа бракованных деталей из отобранных четырех и найти среднее число бракованных из числа отобранных.

Решение

Случайная величина Х (число бракованных деталей) имеет возможные значения: 0 (ни одной бракованной), 1, 2, 3, 4 (все 4 бракованные).

Вероятности этих значений равны соответственно:

Р(х=1) = 0,1а0,9b0,9•0,9 = 0,0729

Р(х=2) = 0,1c0,1•0,9•0,9 = 0,0081

Р(х=3) = 0,1•0,1•0,1•0,9 = 0,0009

Р(х=4) = 0,1•0,1•0,1•0,1 = 0,0001

Р(х=0) = 0,9c0,9d0,9•0,9 = 0,6561

Составляем закон распределения:

Х	0	1	2	3	4
Р	0,6561	0,0729	0,0081	0,0009	0,0001

Средним квадратическим отклонением (Х) случайной величины Х называется число, определяемое формулой:

где D (Х) - дисперсия.

где М(Х) - математическое ожидание.

М(Х) = 1•0,0729 +2•0,0081 + 3•0,0009 + 4•0,0001= 0,0922.

М(Х²) = 1•0,0729 +4 •0,0081 + 9•0,0009 + 16•0,0001= 0,115.

D (Х) = 0,115 - 0,09222 = 0,106.

Среднее число бракованных деталей из числа отобранных:

Ответ: Среднее число бракованных деталей из числа отобранных - 1 деталь.

5. Случайная величина Х задана функцией распределения F(х). Найти неизвестный коэффициент а, плотность распределения f(х) и числовые характеристики М(Х), D(Х), у(Х). Построить графики функций F(х) и f(х).

Решение

а) Найдем значение параметра a, используя непрерывность функции F(x) в точке x = 1: а *(х+1)² = 1

Получаем значение а = 1/(1+1)² = 1/4.

б) Дифференциальную функцию f(x), получаем дифференцируя функцию F(x) и подставляя значение а = 1/2.

0приx -1.

p(x) =1/2при-1 x 1

1приx ?1

в) математическое ожидание случайной величины x:

Дисперсия случайной величины x:

Среднее квадратичное отклонение:

г) графики функций F(x) и f (x):



Рис. 2. График функции F (х)

Ответ: М(Х) = 0,571; D(Х) = 0,1418, у = 0,3766.

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х имеет вид

f(х) = г•

Найти:

1) параметр г; 2) математическое ожидание М(Х); 3) дисперсию D(Х); 4) функцию распределения F(х); 5) вероятность попадания С.В. в интервал (х₁; х₂).

а= -4, b = -6, c = -2, х₁ = -3/4, х₂ =1/4.

Решение

Найдем значение параметра г. Перепишем выражение для плотности, приводя её к нормальному закону распределения

р(х) = г•= г•

Теперь выберем значение параметра так, чтобы

,

т.е.

= 0,032.

При таком выборе г приходим к нормальному закону с математическим ожиданием М(Х) = 1 и D(Х) = 0,5.

Определим вероятность того, что случайная величина x попадет в интервал (0; 3/4).

Составляем закон распределения:

Х	-3/4	1/4
Р	0,49994	0,46080

Ответ: М(Х) = 1; D(Х) = 0,5, вероятность того, что случайная величина x попадет в интервал (-3/4; 1/4) составляет 0,039.

6. Предел прочности выпущенной партии стальной проволоки диаметром 1,4 мм является нормально распределенной величиной Х с математическим ожиданием, равным а и средним квадратическим отклонением у.

Найти вероятности того, что при испытаниях предел прочности проволоки:

1) примет значение из интервала (б ; в);

2) отклоняется от среднего значения на величину не более д.

Найти интервал, в который попадет случайная величина с вероятностью 0,9973.

а = 120 кг/мм2, у = 6 кг/мм2, б = 117 кг/мм2, в = 132 кг/мм2, д = 3 кг/мм2.

Решение

1) Напишем плотность вероятности нормально распределенной случайной величины Х:

2) Вероятность того, что Х примет значения, принадлежащее интервалу (1460;1520) составляет:

3) Вероятность того, что абсолютная величина отклонения Ix-аI окажется меньше =3.

4) Найдем интервал, в который попадает случайная величина с вероятностью 0,9973.



(по таблице)

д = 3•6 = 18 (кг/мм2).

Искомый интервал:

(120 - 18; 120 + 18) = (102; 138) кг/мм2.

Ответ: Вероятность того, что предел прочности Х примет значения, принадлежащее интервалу (117; 132) составляет 0,62. Вероятность того, что абсолютная величина отклонения окажется меньше 3 кг/мм2 составляет 0,383. Случайная величина с вероятностью 0,9973 попадает в интервал (102; 138) кг/мм2.

7. Дана выборка из нормального распределения N(0,1)

-0,785 -0,430 -0,298 0,248 -0,088 -1,379 0,295 -0,115 -0,621 -0,618 0,209

0,979 0,906 -0,096 -1,376 1,047 -0,872 -2,200 -1,384 1,425 -0,815 0,748

-1,095 0,414 0,011 0,666 -1,132 -0,410 -1,077 1,484 -0,340 0,789 -0,494

0,364 -1,237-0,044 -0,111 -0,210 0,931 0,616 -0,377 -0,433 1,048 -0,037

0,759 0,609 -2,043 -2,290 0,404 -0,543 0,486 0,869 0,347 2,816 -0,464 -0,632

-1,614 0,372 -0,074 -0,916 1,314 -0,038 0,673 0,563 -0,107 0,131 -1,808

0,284 0,458 1,307 -1,625 -0,629-0,504 -0,0056 -0,131 0,048 1,879 -1,016

0,360 -0,119 2,331 1,672 -1,053 0,8400,246 -0,237 -1,312 1,603 -0,952

-0,566 1,600 0,465 1,9510,110 0,2510,116 -0,957 -0,190 1,479 -0,986

Постройте сгруппированный статистический ряд, выбрав в качестве интервалов группировки интервалы (-3, -2), (-2, -1), ...,(2, 3).

Постройте гистограмму, полигон и эмпирическую функцию распределения, вычислите выборочную среднюю, исправленную выборочную дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Сравните полученные значения числовых характеристик выборки с теоретическими значениями этих величин.

Решение

Вариационный ряд является сгруппированным, он представлен в следующей таблице:

Х	-3; -2	-2;-1	-1;0	0; 1	1; 2	2; 3
ni	2	13	37	34	12	2
ni /n	0,02	0,13	0,37	0,34	0,12	0,02

Гистограмма распределения показана на рис. 3.

Рис. 3. Гистограмма распределения

Статистический ряд для построения полигона:

Х	-3; -1	-1;0	0; 1	2;3
ni	15	37	34	14
ni /n	0,15	0,37	0,34	0,14



Рис. 4. Полигон распределения

Эмпирический график распределения показан на рис.5.

Рис.5. График эмпирического распределения

Эмпирический график распределения очень близок к нормальному.

Выборочная средняя рассчитывается по формуле:

При вычислении выборочных параметров в качестве вариант будем брать середины интервалов:

Исправленная выборочная дисперсия вычисляется по формуле:

где Dв - выборочная дисперсия.

Выборочная дисперсия вычисляется по формуле:

D_в =

D_в =1,6575.

Тогда

Среднее квадратическое отклонение.

Полученные значения числовых характеристик выборки не совпадают с теоретическими значениями этих величин (М(Х) = 1, D(Х) = 0,5,у = 0,71.

Ответ: Выборочная средняя =-0,485, исправленная выборочная дисперсия

Список литературы

вероятность статистический распределение

1. Налимов В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика для экономистов: Учебное пособие по курсу «Математика». - М.: «Весть», 2007.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для вузов - М.: Высшая школа, 2000.

3. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учебник. - М.: Дело, 2000.

4. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под редакцией В.И. Ермакова. - М.: ИНФРА-М, 1999.

5. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учебник. - М.: Физматгиз, 1962.

Размещено на Allbest.ru

...