Размещено на http://www.allbest.ru/

XV межрегиональная конференция-фестиваль научного творчества учащейся молодежи «Юность Большой Волги»

Направление «Физико-математические науки»

Подсекция «Математика»

Математические неожиданности листа Мёбиуса

Симакова Екатерина Анатольевна,

1 курс

Руководитель:

Стрелкова Галина Александровна

Чебоксары - 2013 г.

Содержание

Введение

1. Лист Мёбиуса и его изготовление

2. Опыты с листом Мебиуса

3. Топологические свойства листа Мёбиуса

4. Лист Мёбиуса в науке и искусстве

Заключение

Список использованной литературы

Введение

В наше время актуально изучение различных свойств и нестандартных применений необычных фигур. Слышали ли вы когда-нибудь о листе Мёбиуса? Как его можно изготовить, как он связан с математикой и где применяется в жизни? В первый раз я узнала о нём на занятиях математического кружка.

Занимаясь этой работой, я пришла к выводу, что хотя лист Мёбиуса открыли ещё в XЙX веке, он был актуален и в XX веке, актуален и сейчас. Удивительные свойства листа Мёбиуса использовались и используются в кулинарии, в технике, в физике, в живописи, в архитектуре, в оформлении ювелирных изделий и бижутерии. Вдохновлял он на творчество многих писателей и художников. Интерес к листу Мёбиуса не угас и в наши дни. В Москве, в сентябре 2006 года состоялся Фестиваль художественной математики. С большим успехом было принято выступление профессора из города Токио о математических неожиданностях листа Мёбиуса.

Меня очень заинтересовала, заинтриговала эта тема. Я изучила литературу, затем сама изготовила лист Мёбиуса, а потом проводила исследования, ставя опыты, изучая его волшебные, необыкновенные свойства. Таинственный и знаменитый лист Мёбиуса придумал в 1858 году немецкий математик Август Фердинанд Мёбиус. Он рассказывал, что открыть свой «лист» Мёбиуса помогла служанка, сшившая неправильно концы длинной ленты. Этот лист еще называют лентой Мёбиуса, петля Мёбиуса, бутылка Клейна. Лента Мёбиуса - бумажная лента, повёрнутая одним концом на пол-оборота и склеенная с его другим концом. Миллионы людей во всех частях света даже не подозревают, что они каждый день используют ленту Мёбиуса.

Цель: рассказать и показать людям, что на вид простая лента, повёрнутая на пол-оборота со склеенными концами, может заключать в себе много неожиданностей.

Задачи:

1) выявить источники и литературу по данной теме и проанализировать их;

2) научиться и научить других изготавливать лист Мёбиуса;

3) изучить разнообразные свойства листа Мёбиуса;

4) найти, где используются его свойства.

Исходя из выше сказанного, мы определили объект нашего исследования - односторонние поверхности. При этом предметом исследования является лист Мёбиуса.

Работая над этой темой, мы использовали следующие методы: анализ, синтез, наблюдение, эксперимент, сравнение и социологический опрос.

Работа состоит из введения, четырех пунктов, заключения, списка используемых источников и литературы.

1. Лист Мёбиуса и его изготовление

Лист Мёбиуса относится к числу математических неожиданностей. Чтобы изготовить лист Мёбиуса, возьмём прямоугольную полоску АВВ*А*, перекрутим её на 180 градусов и склеим противоположные стороны АВ и А*В*, т.е. так что совместятся точки А и В* и точки А* и В.

А В

А* В*

Полоска должна быть узкой и длинной, с возможно большим отношением длины к ширине. Из квадратного листа ленты Мёбиуса не сделаешь. Это верно, но нельзя недооценивать тот факт, что ограничения на размер имеют значения в том случае, когда бумагу запрещается мять. Если же мять бумагу не запрещается, то лист Мёбиуса можно склеить не только из квадрата, но из прямоугольника любых размеров - склеиваемые стороны могут быть даже во сколько угодно раз длиннее не склеиваемых.

Предположим теперь, что бумажную полоску можно изгибать, но не мять. Примем ширину полоски за единицу. Ясно, что чем длиннее полоска, тем легче склеить из неё лист Мёбиуса. Таким образом, существует число л, что из полоски длины больше л, лист Мёбиуса склеить можно, а из полоски длины меньше л - нельзя (что будет для полоски, длина которой в точности равна л, нас не интересует). Очень хотелось бы найти это л.

Удивительно, но решение этой задачи до сих пор не известно, но ученые нашли ограничения на число л

лист мебиус математический неожиданность

1,57(п./2 = 90°) < л < 1,73()

2. Опыты с листом Мебиуса

У каждого из нас есть интуитивное представление о том, что такое «поверхность». Поверхность листа бумаги, поверхность стен класса, поверхность земного шара известны всем. Может ли быть что-нибудь таинственное в таком обычном понятии? Да, может, примером является лист Мёбиуса. Чтобы изучить его свойства, я провела несколько опытов самостоятельно, а затем предложила провести их учащимся 1, 2 и 5 группы.

Опыт № 1. Мы привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которой имеем дело (лист бумаги, велосипедная или волейбольная камера) - две стороны. Начала красить лист Мёбиуса, не переворачивая его. Результат. Лист Мёбиуса закрасился полностью. «Если кто - нибудь вздумает раскрасить только одну сторону поверхности мёбиусовой ленты, пусть сразу погрузит её всю в ведро с краской», - пишет Рихард Курант и Герберт Робинс в превосходной книге «Что такое математика?»

Опыт №2 связан с разрезанием листа Мёбиуса, результаты занесены в таблицу:

Результаты проведённых опытов и социологического опроса с 1, 2, 5 группами.

Обучающиеся, пока были не знакомы с листом Мёбиуса, отвечали на первые три вопроса неверно (1- 77%, 2-53%, 3-36%). Причём, с каждым вопросом и проведённым опытом, количество правильных ответов увеличивалось. Мне удалось заинтересовать данной темой опрошенных настолько, что в итоге большинство из них отвечало верно (4-77%). А некоторые ребята изъявили желание в следующем году участвовать на фестивале «Юность Большой Волги» по математике.

3. Топологические свойства листа Мёбиуса

По результатам опытов можно сформулировать следующие топологические свойства листа Мёбиуса, относящиеся к математическим неожиданностям.

1. Односторонность - топологическое свойство листа Мебиуса, характерное только для него.

2. Непрерывность - на листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой. Разрывов нет - непрерывность полная.

3. С топологической точки зрения круг неотличим от квадрата, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывность.

4. Связность - чтобы располовинить кольцо, потребуется два разреза. Что касается листа Мёбиуса, то количество связей заменяется в зависимости от смены количества оборотов ленты: если один оборот - двусвязен, если два оборота - односвязен, если три - двусвязен и т. д. А вот чтобы разделить квадрат на две части, нам потребуется только один разрез. Связность принято оценивать числом Бетти, или иногда пользуются эйлеровой характеристикой.

5.Ориентированность - свойство, отсутствующее у листа Мёбиуса. Так, если бы человек смог пропутешествовать по всем изгибам листа Мёбиуса, то тогда он вернулся бы в исходную точку, но превратился бы в своё зеркальное отражение.

6.«Хроматический номер» - это максимальное число областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Хроматический номер листа Мёбиуса равен шести.

4. Лист Мёбиуса в науке и искусстве

У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка. В 1967 году, когда в Бразилии состоялся международный математический конгресс, его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво. На ней была изображена лента Мёбиуса. И монумент высотой более чем в два метра, и крохотная марка - своеобразные памятники немецкому математику и астроному Августу Фердинанду Мёбиусу.

Патентная служба зарегистрировала немало изобретений, в основе, которых лежит всё та же односторонняя поверхность.

Лист Мёбиуса используется во многих изобретениях, навеянных тщательным изучением свойств односторонней поверхности. Полоса ленточного конвейера, выполненная в виде листа Мёбиуса, позволяет ему работать дольше в два раза, потому что вся поверхность листа равномерно изнашивается. В 1923 году выдан патент изобретателю Ли де Форсу, который предложил записывать звук на киноленте без смены катушек сразу с двух сторон. Придуманы кассеты для магнитофона, где лента перекручивается и склеивается в кольцо, при этом появляется возможность записывать или считывать информацию сразу с двух сторон, что увеличивает ёмкость кассеты в два раза и соответственно время звучания. В матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности. Это даёт ощутимую экономию. Лист Мёбиуса применяют в велосипедной и волейбольной камере.

Совсем недавно ей нашли другое применение - она стала играть роль пружины, вот только пружины особенной. Как известно взведённая пружина срабатывает в противоположном направлении. Лист Мёбиуса же, вопреки всем законам, направление срабатывания не меняет, подобно механизмам с двумя устойчивыми положениями. Такая пружина могла бы стать бесценной в заводных игрушках - её нельзя перекрутить, как обычную - своего рода вечный двигатель.

В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. применил фильтр в виде листа Мёбиуса.

Лист Мёбиуса используется в кулинарии для того, чтобы создать интересный и аппетитный вид для булочек, сушек, хвороста. А также при изготовлении инструментов для приготовления и украшения различных блюд, силовых конструкций (мешалка).

При помощи ленты Мёбиуса создают целые шедевры.

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства.

Лист Мёбиуса также постоянно встречается в научной фантастике, например, в рассказе Артура Кларка «Стена Темноты».

Физики утверждают, что все оптические законы основаны на свойствах листа Мебиуса, в частности, отражение в зеркале - это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой… правильно, зеркального своего двойника.

Заключение

Лист Мёбиуса - первая односторонняя поверхность, которую открыл учёный. Позже математики открыли ещё целый ряд односторонних поверхностей. Но эта - самая первая, положившая начало целому направлению в геометрии, по-прежнему привлекает к себе внимание учёных, изобретателей, художников и нас учащихся. Мне были очень интересны открытые свойства листа Мёбиуса:

· Лист Мебиуса имеет один край, одну сторону

· Лист Мёбиуса - топологический объект. Как и любая топологическая фигура, он не меняет своих свойств, пока его не разрезают, не разрывают или не склеивают его отдельные куски.

· Один край и одна сторона листа Мебиуса не связаны с его положением в пространстве, не связаны с понятиями расстояния.

· Лист Мёбиуса находит многочисленные применения в кулинарии, в технике, в физике, в живописи, в архитектуре, в оформлении ювелирных изделий и бижутерии и изучении свойств Вселенной. Вдохновлял он на творчество многих писателей и художников.

· Лента Мебиуса вдохновляет многих художников на создание известных скульптур и картин.

· Чудесные свойства ленты порождают множество научных трудов, изобретений (весьма полезных и совершенно нереальных), а также множество фантастических рассказов.

Работая над данной темой, я получила удовольствие от полезной и интересной информации о листе Мёбиуса от того, что смастерила своими руками и поделилась этим с учащимися нашего училища.

Лист Мёбиуса - жёлтая страница,

Односторонний сказочный маршрут,

Летит метелью, песенкой, синицей,

Бульварной лентой склеенный маршрут.

Эх, Мёбиус, спасибо за науку!

Поверхность одинокой стороны

Подобна заколдованному звуку

Вибрирующей неоновой струны.

Список использованной литературы

1. Величко М.В. Математика 9-10 классы. Проектная деятельность учащихся. -Волгоград: «Учитель», 2006. - 122 с.

2. Кордемский Б.А. Математическая смекалка. - М.: «В - 71», 1957. - 576 с.

3. Математика. Большой справочник для школьников и поступающих в вузы/ Г.Хромова, И. Комарова. - М.: «Дрофа», 2002. - 864 с.

4. Трошин В.В. Магия чисел и фигур. Занимательные материалы по математике. - М.: «Глобус», 2007. - 127 с.

5. Энциклопедия для детей. Математика. Том 11, М.: Аванта +, 2002. - 687 с.

6. Я познаю мир. Математика. - Минск: «АСТ - ЛТД», 1998. - 475 с.

Материалы сайтов:

http://arbuz.uz/t_lenta.html

http://www.frei.ru/golos/books/

http://umiranie.chat.ru/sphere.htm

http://www.websib.ru/noos/math/listmebiusa/

Размещено на Allbest.ru