Применение производной в различных областях науки
Производная функции как одно из фундаментальных понятий математики. Применение производной при решении физических, химических и биологических задач. Особенности решения с помощью производной функции задач с географическим и экономическим содержанием.
| Рубрика | Математика |
| Вид | творческая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 25.01.2015 |
| Размер файла | 301,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Всероссийский конкурс исследовательских работ учащихся
"ЮНОСТЬ, НАУКА, КУЛЬТУРА”
Творческая работа
Тема: "Применение производной в различных областях науки"
Калужский Михаил МБОУ "СОШ № 60 им. В. Завьялова"
Научный руководитель:
Минина М.Н.
г. Барнаул 2013/2014
Оглавление
- Введение
- Глава I
- 1.1 Исторические сведения
- Глава II. Применение физического смысла производной при решении физических задач
- 1.1 Производная в механике
- 1.2 Производная в электротехнике
- Глава III. Решение химических и биологических задач с помощью производной
- 3.1 Производная в химии
- 3.2 Производная в биологии
- Глава IV. Решение задач с географическим, экономическим содержанием
- 4.1 Производная в географии
- 4.2 Производная в экономике
- Заключение
- Список используемых источников
- Приложение
Введение
Тема "Производная функции" считается самой сложной в курсе школьной математики. Однако, "сложность" этой темы заключается в непонимании учащимися её нужности. Область применения производной остается непознанной даже студентам вузов. В связи с этим я решил провести опрос.
|
№ |
Возраст |
Смысл производной |
Область применения дифференцированного исчисления |
Нужна ли в жизни |
Нужна ли в профессиональной деятельности |
|
|
1 |
27 |
Геометрический |
Строительство, экономика, высшая математика |
Да |
Нет |
|
|
2 |
28 |
Геометрический |
_____________ |
Нет |
Нет |
|
|
3 |
38 |
____________ |
Строительство |
Да |
Нет |
|
|
4 |
17 |
Физический, геометрический, алгебраический |
Математика |
Нет |
Да |
|
|
5 |
16 |
Физический, геометрический, алгебраический |
______________ |
Нет |
Да |
|
|
6 |
17 |
Геометрический, физический |
______________ |
Нет |
Нет |
|
|
7 |
17 |
Физический |
Физика |
Нет |
Да |
|
|
8 |
20 |
Геометрический |
Математика |
Нет |
Да |
Данный опрос показал, что большинство людей не имеют полного представления о производной и обширной области её применения. Моя работа раздвигает рамки обыденного, она дает возможность разобраться в теме "производная функции", понять что производная встречается повсюду и очень важно знать что это такое и как это устроено.
производная функция математика наука
Глава I
1.1 Исторические сведения
Производная - одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в 18 веке. Независимо друг от друга И. Ньютон и Г. Лейбниц разработали теорию дифференциального исчисления.
Исаак Ньютон (1643-1727) - один из создателей дифференциального исчисления. Главный его труд - "Математические начала натуральной философии". - оказал колоссальное влияние на развитие естествознания, стал поворотным пунктом в истории естествознания.
Ньютон ввёл понятие производной, изучая законы механики, тем самым раскрыл её механический смысл.
Г.В. Лейбниц. (1646-1716) - создатель Берлинской академии наук. Основоположник дифференциального исчисления, ввёл большую часть современной символики математического анализа.
Лейбниц пришёл к понятию производной, решая задачу проведения касательной к произвольной линии, объяснив этим ее геометрический смысл. В самом деле для любой функции y=f (x) в системе координат, на ее области определения можно построить график. Если взять точку на оси абсцисс то, соответственно этой точки можно найти точку на графике функции. В этой точке может быть построена касательная, которая образует с положительным направлением оси абсцисс угол б.
Но это не говорит о том, …
…что до них эти вопросы не изучались. Задолго до этого Архимед (287 до н.э. - 212 до н. э) не только решил задачу на построение касательной к такой сложной кривой, как спираль, применяя при этом предельные переходы, но и сумел найти максимум функции.
Эпизодически понятие касательной встречалось в работах итальянского математика И. Тартальи (1499-1557).
В 17в. на основе учения Г. Галилея (1564-1642) активно развилась кинематическая концепция производной. Понятие производной встречается уже у Р. Декарта (1596-1650), французского математика Ж. Роберваля (1602-1675), английского учёного Д. Грегори (1638-1675), в работах И. Барроу (1630-1677).
Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лопиталь (1661-1704), Бернулли (1744-1807), Лагранж (1736-1813), Гаусс (1777-1855), Коши (1789-1857). Необходимо сказать, что ни Ньютон ни Лагранж не дали четкого определения производной. Впервые определение производной было сформулировано Коши, и именно это определение стало общепринятым и в настоящее время используется почти во всех курсах анализа.
Глава II. Применение физического смысла производной при решении физических задач
Применение производной в физике очень обширно. Рассмотрим несколько примеров применения производной в физических задачах.
1.1 Производная в механике
Механическое движение - это изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени.
Основной характеристикой механического движения служит скорость.
Алгоритм нахождения скорости тела с помощью производной.
Если закон движения тела задан уравнением s = s (t), то для нахождения мгновенной скорости тела в какой-нибудь определенный момент времени надо:
1. Найти производную s' = f ' (t).
2. Подставить в полученную формулу заданное значение времени.
Задание. Автомобиль приближается к мосту со скоростью 72 км/ч. У моста висит дорожный знак "36 км/ч". За 7 сек до въезда на мост, водитель нажал на тормозную педаль. С разрешаемой ли скоростью автомобиль въехал на мост, если тормозной путь определяется формулой s=20t-tІ
Да, т.к. скорость через 7 сек. будет равна 6м/с (21,6 км/ч).
1.2 Производная в электротехнике
В наших домах, на транспорте, на заводах: всюду работает электрический ток.
Под электрическим током понимают направленное движение свободных электрически заряженных частиц.
Количественной характеристикой электрического тока является сила тока.
В цепи электрического тока электрический заряд меняется с течением времени по закону q=q (t). Сила тока I есть производная заряда q по времени.
В электротехнике в основном используется работа переменного тока.
Электрический ток, изменяющийся со временем, называют переменным. Цепь переменного тока может содержать различные элементы: нагревательные приборы, катушки, конденсаторы.
Получение переменного электрического тока основано на законе электромагнитной индукции, формулировка которого содержит производную магнитного потока.
Задание.
Заряд, протекающий через проводник, меняется по закону
Найти силу тока в момент времени t=5 cек.
Сила тока равна 2 А
Сила есть производная работы по перемещению,
т.е. F=A / (x)
Теплоемкость - есть производная теплоты по температуре, т.е. C (t) = Q/ (t)
d (l) =m/ (l) - линейная плотность
K (t) = l/ (t) - коэффициент линейного расширения
щ (t) = ц/ (t) - угловая скорость
а (t) = щ/ (t) - угловое ускорение
N (t) = A/ (t) - мощность
Задание: теплота.
1. Пусть Q (t) количество теплоты, которое необходимо для нагревания тела массой 1 кг от 00С до температуры t0 (по Цельсию), известно, что в диапазоне 00 до 950, формула Q (t) = 0,396t+2,08110-3t2-5,02410-7t3 дает хорошее приближение к истинному значению. Найдите, как зависит теплоёмкость воды от t.
Решение. C (t) = Q / (t) = 0,396 + 4,162*10 - 3 t - 15,072*10 - 7 t2
Глава III. Решение химических и биологических задач с помощью производной
3.1 Производная в химии
И в химии нашло широкое применение дифференциальное исчисление для построения математических моделей химических реакций и последующего описания их свойств.
Химия - это наука о веществах, о химических превращениях веществ.
Химия изучает закономерности протекания различных реакций.
Скоростью химической реакции называется изменение концентрации реагирующих веществ в единицу времени.
Так как скорость реакции v непрерывно изменяется в ходе процесса, ее обычно выражают производной концентрации реагирующих веществ по времени.
Если C (t) - закон изменения количества вещества, вступившего в химическую реакцию, то скорость v (t) химической реакции в момент времени t равна производной:
|
Понятие на языке химии |
Обозначение |
Понятие на языке математики |
|
|
Количество в-ва в момент времени t0 |
c = c (t) |
Функция |
|
|
Интервал времени |
?t = t2 - t1 |
Приращение аргумента |
|
|
Изменение количества в-ва |
?c = c (t+ t) - c (t) |
Приращение функции |
|
|
Средняя скорость химической реакции |
?c/?t |
Отношение приращён. функции к приращён. аргументу |
Предел этого отношения при стремлении Дt к нулю - есть скорость химической реакции в данный момент времени V (t) = c ` (t)
Найти скорость реакции в момент времени t = 10 сек, если концентрация исходного продукта меняется по закону
3.2 Производная в биологии
Популяция - это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от других популяций, а также является элементарной единицей эволюции.
Задача по биологии.
По известной зависимости численности популяции x (t) определить относительный прирост в момент времени t.
|
Понятие на языке биологии |
Обозначение |
Понятие на языке математики |
|
|
Численность в момент времени t1 |
x = x (t) |
Функция |
|
|
Интервал времени |
?t = t2 - t1 |
Приращение аргумента |
|
|
Изменение численности популяции |
?x = x (t2) - x (t1) |
Приращение функции |
|
|
Скорость изменения численности популяции |
?x/?t |
Отношение приращения функции к приращению аргумента |
|
|
Относительный прирост в данный момент |
Lim ?x/?t t 0 |
Производная |
Глава IV. Решение задач с географическим, экономическим содержанием
4.1 Производная в географии
Идея социологической модели Томаса Мальтуса состоит в том, что прирост населения пропорционально числу населения в данный момент времени t через N (t), . Модель Мальтуса неплохо действовала для описания численности населения США с 1790 по 1860 годы. Ныне эта модель в большинстве стран не действует.
Выведем формулу для вычисления численности населения на ограниченной территории в момент времени t.
Пусть у = у (t) - численность населения.
Рассмотрим прирост населения за t = t-t0
y = k y t,
где к = кр - кс - коэффициент прироста (кр - коэффициент рождаемости,
кс - коэффициент смертности)
y: t=k y
При t0 получим lim y/ t=у'
у'= к у
4.2 Производная в экономике
Современный экономист должен хорошо владеть количественными методами анализа. К такому выводу нетрудно прийти практически с самого начала изучения экономической теории. При этом важны как знания традиционных математических курсов (математический анализ, линейная алгебра, теория вероятностей), так и знания, необходимые непосредственно в практической экономике и экономических исследованиях (математическая и экономическая статистика, теория игр, эконометрика и др.).
Математика является не только орудием количественного расчета, но также методом точного исследования. Она служит средством предельно четкой и ясной формулировки экономических понятий и проблем.
Ф. Энгельс в своё время заметил, что "лишь дифференциальное исчисление даёт естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение". Поэтому целью моей работы является выяснить, каков экономический смысл производной, какие новые возможности для экономических исследований открывает дифференциальное исчисление, а также исследовать применение производной при решении различных видов задач по экономической теории.
П (t) = х / (t) - производительность труда, где х (t) - объем продукции J (x) = y / (x) - предельные издержки производства, где y - издержки производства в зависимости от объема выпускаемой продукции x.
Задание.
Оборот предприятия за истекший год описывается через функцию U (t) =0,15tі - 2tІ + 200, где t - месяцы, U-миллионы.
Исследуйте оборот предприятия за 9 и 10 месяцы.
Решение. Исследуем оборот предприятия с помощью производной: U' (t) =0,45tІ - 4t
Меньший оборот был на девятом месяце - 0,45. На 10 месяце - 5.
Заключение
Производная функции используется всюду, где есть неравномерное протекание процесса: это и неравномерное механическое движение, и переменный ток, и химические реакции и радиоактивный распад вещества и т.д. Мы убедились в важности изучения темы "Производная", ее роли в исследовании процессов науки и техники, в возможности конструирования по реальным событиям математические модели, и решать важные задачи.
Список используемых источников
1. http://ru. wikipedia.org/
2. http://www.calameo.com/
3. http://rudocs. exdat.com/
4. http://www.rae.ru/
5. А. Фуше "Педагогики математики"
Приложение
Гомтфрид Вимльгельм Лемйбниц (нем. Gottfried Wilhelm Leibniz); 21 июня (1 июля) 1646 - 14 ноября 1716) - немецкий философ, логик,математик, механик, физик, юрист, историк, дипломат, изобретатель и языковед. Основатель и первый президент Берлинской Академии наук, иностранный член Французской Академии наук
Сэр Исаамк Ньюмтон (англ. Sir Isaac Newton, 4 января 1643 года - 31 марта 1727 года) - английский физик, математик, механик и астроном, один из создателей классической физики. Автор фундаментального труда "Математические начала натуральной философии", в котором он изложил закон всемирного тяготения и три закона механики, ставшие основой классической механики. Разработал дифференциальное и интегральное исчисления, теорию цвета и многие другие математические и физические теории.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Понятие производной, правила её применения, геометрический и физический смысл производной. Применение производной в науке и технике и о решении задач в этой области. Актуальность дифференциального исчисления в связи с научно-техническим прогрессом.
реферат [458,8 K], добавлен 17.05.2009Определение производной, понятие интеграла и определение предела функции. Дифференцирование и применение производной к решению задач. Исследование функции, вычисление интегралов и доказательство неравенств. Порядок вычисления пределов, Правило Лопиталя.
курсовая работа [612,2 K], добавлен 01.06.2014Производная функция. Касательная к кривой. Геометрический смысл производной. Производные от элементарных функций. Изучение функций с помощью производной. Максимум и минимум функции. Точки перегиба. Дифференциал.
статья [122,0 K], добавлен 11.01.2004Осуществление интерполяции с помощью полинома Ньютона. Уточнение значения корня на заданном интервале тремя итерациями и нахождение погрешности вычисления. Применение методов Ньютона, Сампсона и Эйлера при решении задач. Вычисление производной функции.
контрольная работа [155,2 K], добавлен 02.06.2011Предел отношения приращения функции к приращению независимого аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Обозначения производной. Понятие дифференцирования функции производной и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к кривой.
презентация [246,0 K], добавлен 21.09.2013Геометрический смысл производной. Анализ связи между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Производные основных элементарных функций. Правила дифференцирования. Нахождение производной неявно заданной функции. Логарифмическое дифференцирование.
презентация [282,0 K], добавлен 14.11.2014Поиск производной сложной функции как равной производной функции по промежуточному аргументу, умноженной на его производную по независимой переменной. Теорема о связи бесконечно малых величин с пределами функций. Правило дифференцирования сложной функции.
презентация [62,1 K], добавлен 21.09.2013Определение производной функции, геометрический смысл ее приращения. Геометрический смысл заданного отношения. Физический смысл производной функции в данной точке. Число, к которому стремится заданное отношение. Анализ примеров вычисления производной.
презентация [696,5 K], добавлен 18.12.2014Некоторые применения производной. Использование основных теорем дифференциального исчисления к доказательству неравенств. Первообразная и интеграл в задачах элементарной математики. Монотонность интеграла. Некоторые классические неравенства.
курсовая работа [166,4 K], добавлен 11.01.2004Понятие производной, ее геометрический и физический смысл, дифференциал. Исследование функций и построение графиков. Разложение на множители, упрощение выражений. Решение неравенств, систем уравнений и доказательство тождеств. Вычисление пределов функции.
контрольная работа [565,5 K], добавлен 16.11.2010Основные теоремы и понятия дифференциального исчисления, связи между свойствами функции и её производных (или дифференциалов); применение математических методов в естествознании и технике. Решение уравнений и неравенств с помощью теорем Ролля и Лагранжа.
курсовая работа [609,9 K], добавлен 09.12.2011Нахождение частной производной первого порядка. Определение области определения функции. Расчет производной от функции, заданной неявно. Полный дифференциал функции двух переменных. Исследование функции на экстремум, ее наименьшее и наибольшее значения.
контрольная работа [1,1 M], добавлен 12.11.2014Введение в математический анализ. Индивидуальные домашние задания по теме "Предел функции и непрерывность» и по теме "Производная". Комбинаторика, бином Ньютона, математическая индукция и комплексные числа. Применение производной при исследовании функции.
учебное пособие [950,8 K], добавлен 25.08.2009Задачи, приводящие к понятию производной. Особенности определения с помощью этого основного понятия дифференциального исчисления уравнения касательной к непрерывной кривой в заданной точке, скорости, производительности труда в определенный момент времени.
презентация [263,8 K], добавлен 21.09.2013Правило нахождения производной произведения функций. Формулы нахождения производных для функций, заданных параметрически. Геометрический смысл производной. Приращение и дифференциал функции. Наибольшее и наименьшее значения на замкнутом множестве.
контрольная работа [75,5 K], добавлен 07.09.2010Вычисление производной функции и ее критических точек. Определение знака производной на каждом из интервалов методом частных значений. Нахождение промежутков монотонности и экстремумов функции. Разложение подынтегральной функции на простейшие дроби.
контрольная работа [134,7 K], добавлен 09.04.2015Основные определения и теоремы производной, дифференциала функции; техника дифференцирования. Применение производных к вычислению пределов. Исследование функции на монотонность и точки локального экстремума. Полное исследование функции, асимптоты графика.
контрольная работа [539,8 K], добавлен 20.03.2016Сущность предела функции, ее производной и дифференциала. Основные теоремы о пределах и методы их математического вычисления. Производная, ее физический и геометрический смысл. Связь непрерывности и дифференцируемости, основные правила дифференцирования.
презентация [128,4 K], добавлен 24.06.2012Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Вычисление площади ромба. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители. Нахождение производной функции и асимптот графика. Правила дифференцирования частного произведения и сложной функции.
контрольная работа [158,8 K], добавлен 24.04.2009Вычисление производной функции. Угловой коэффициент прямой. Интервалы монотонности, точки экстремума и перегиба функции. Вычисление интегралов с помощью универсальной тригонометрической подстановки. Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями.
контрольная работа [696,1 K], добавлен 05.01.2013
