Матричные системы
Приведение определителя к треугольному виду с помощью элементарных преобразований над строками или столбцами. Решение системы методом обратной матрицы и методом Гаусса. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа, переход к базису.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 26.01.2015 |
| Размер файла | 410,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Задача 1. Даны матрицы:
Найти ранг матрицы
.
Решение:
Найдем матрицу
Вычислим ранг матрицы :
Приведем определитель к треугольному виду с помощью элементарных преобразований над строками или столбцами, тогда ранг матрицы равен количеству ненулевых строк в треугольном виде.
Следовательно, ранг матрицы равен 3.
Ответ: 3.
Задача 2. Методом обратной матрицы решить систему:
Решение:
Матрица системы уравнений
Вычислим определитель матрицы A:
Т.к. то матрица A имеет обратную.
Найдем алгебраические дополнения матрицы:
Составим матрицу из алгебраических дополнений:
Транспонируем матрицу
Искомая обратная матрица:
Проверка:
Верно.
Ответ:
Задача 3. Определить, имеет ли однородная система:
ненулевое решение. Найти общее решение системы.
Решение:
Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований строк преобразуем ее к редуцированному виду:
Так как количество линейно независимых строк матрицы равно 2, то ранг матрицы равен 2, следовательно, размерность пространства решений равна:
И фундаментальная система решений состоит из двух линейно независимых решений.
Неизвестные , соответствующие базисным столбцам, являются базисными, неизвестные - свободными.
Используя метод Гаусса, получим:
Следовательно, общее решение:
Фундаментальная система решений: ; .
Ответ: общее решение:
Задача 4. Найти длину вектора , если , Угол между векторами и равен .
Решение:
Таким образом, длина вектора:
Ответ:.
Задача 5. Даны четыре вектора
в некотором базисе. Показать, что векторы , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.
Решение:
Составим матрицу, столбцами которой являются векторы , и приведем ее к ступенчатому виду:
Следовательно, ранг матрицы, составленной из векторов , равен трём (количество ненулевых строк); векторы , - линейно независимы и образуют базис в пространстве .
Тогда вектор должен разлагаться по этому базису:
Значит, координаты полученного разложения удовлетворяют линейной неоднородной системе алгебраических уравнений:
Решим систему методом Гаусса:
Обратный ход:
Следовательно,
Итак, вектор в базисе имеет координаты: ;;).
Откуда заключаем: .
Ответ: координаты вектора в базисе векторов :
;;).
Задача 6. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей
Решение:
Найдем собственные значения матрицы
матрица метод гаусс лагранж
Значит, - характеристическое уравнение и
- его корни.
Найдем линейно независимые собственные векторы, соответствующие собственному числу :
Отсюда следует, что координаты искомых собственных векторов связаны равенством:
Значит,
Откуда:
Найдем линейно независимые собственные векторы, соответствующие собственному числу :
Отсюда следует, что координаты искомых собственных векторов связаны равенством:
Значит,
Откуда:
Ответ: собственные числа:
собственные вектора:
Задача 7. а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму
к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования координат).
б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность квадратичную форму
Решение:
а) Методом Лагранжа приведем квадратичную форму
к каноническому виду.
Переход к базису, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, осуществляется преобразованием:
Получим:
Ответ: квадратичная форма имеет следующий канонический вид:
Методом Лагранжа приведем квадратичную форму
к каноническому виду.
Переход к базису, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, осуществляется преобразованием:
Получим:
Ответ: квадратичная форма имеет следующий канонический вид:
б) По критерию Сильвестра исследуем на знакоопределенность квадратичную форму
Запишем матрицу квадратичной формы
Вычислим ее главные диагональные миноры:
Следовательно, по критерию Сильвестра заключаем: квадратичная форма является положительно определенной.
Ответ: квадратичная форма является положительно определенной. Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Решение системы уравнений по формулам Крамера, методом обратной матрицы и методом Гаусса. Преобразование и поиск общего определителя. Преобразование системы уравнений в матрицу и приведение к ступенчатому виду. Алгебраическое дополнение элемента.
контрольная работа [84,5 K], добавлен 15.01.2014Линейные операции над матрицами. Умножение и вычисление произведения матриц. Приведение матрицы к ступенчатому виду и вычисление ранга матрицы. Вычисление обратной матрицы и определителя матрицы, а также решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
учебное пособие [658,4 K], добавлен 26.01.2009Решение системы методом Гаусса. Составление расширенной матрицу системы. Вычисление производной сложной функции, определенного и неопределенного интегралов. Область определения функции. Приведение системы линейных уравнений к треугольному виду.
контрольная работа [68,9 K], добавлен 27.04.2014Решение системы линейных уравнений методом Гауса. Преобразования расширенной матрицы, приведение ее к треугольному виду. Средства матричного исчисления. Вычисление алгебраических дополнений матрицы. Решение матричного уравнения по правилу Крамера.
задача [26,8 K], добавлен 29.05.2012Разложение определителя 4-го порядка. Проверка с помощью функции МОПРЕД() в программе Microsoft Excel. Нахождение обратной матрицы. Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы и методом Гаусса. Составление общего уравнения плоскости.
контрольная работа [138,7 K], добавлен 05.07.2015Расчет показателей матрицы, ее определителя по строке и столбцу. Решение системы уравнений методом Гаусса, по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы. Вычисление предела без использования правила Лопиталя. Частные производные второго порядка функции.
контрольная работа [95,0 K], добавлен 23.02.2012Исследование видов квадратичных форм и способов приведения квадратичных форм к каноническому виду. Сфера применения и особенности данного вида уравнений: определения и доказательство основных теорем, алгоритм решения ряда задач по данной тематике.
контрольная работа [286,0 K], добавлен 29.03.2012Правила произведения матрицы и вектора, нахождения обратной матрицы и ее определителя. Элементарные преобразования матрицы: умножение на число, прибавление, перестановка и удаление строк, транспонирование. Решение системы уравнений методом Гаусса.
контрольная работа [462,6 K], добавлен 12.11.2010Составление плана выпуска продукции с целью получения максимальной прибыли при ее реализации. Вид и запас сырья, прибыль от единицы продукции и общее количество. Приведение системы ограничений к каноническому виду. Составление симплексной таблицы.
практическая работа [12,8 K], добавлен 24.05.2009Вычисление и построение матрицы алгебраических дополнений. Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса. Определение главной и проверка обратной матрицы. Аналитическая геометрия на плоскости.
контрольная работа [126,9 K], добавлен 20.04.2016Основные правила решения системы заданных уравнений методом Гаусса с минимизацией невязки и методом простых итераций. Понятие исходной матрицы; нахождение определителя для матрицы коэффициентов. Пример составления блок-схемы метода минимизации невязок.
лабораторная работа [264,1 K], добавлен 24.09.2014Определение матрицы, решение систем уравнений методом Гаусса и по формулам Крамера. Определение параметров треугольника, его графическое построение. Задача приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду и ее построение.
контрольная работа [126,8 K], добавлен 08.05.2009Решение системы линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы. Нахождение ранга матрицы. Вычисление определителя с помощью теоремы Лапласа. Исследование на совместимость системы уравнений, нахождение общего решения методом Гауса.
контрольная работа [97,3 K], добавлен 24.05.2009Расчет произведения заданных матриц. Решение системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса. Координаты вектора в базисе. Определение ранга заданной матрицы. Система с базисом методом Жордана-Гаусса.
контрольная работа [88,2 K], добавлен 19.01.2014Вычисление определителя с использованием правила треугольника и метода разложения по элементам ряда. Решение системы уравнений тремя способами: методом Гаусса, методом Кремера и матричным методом. Составление уравнения прямой и плоскости по формуле.
контрольная работа [194,5 K], добавлен 16.02.2015Расчет денежных расходов предприятия на выпуск изделий, при выражении их стоимости при помощи матриц. Проверка совместимости системы уравнений и их решение по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы. Решение алгебраических уравнений методом Гаусса.
контрольная работа [576,6 K], добавлен 28.09.2014Решение системы уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса. Нахождение объема пирамиды, площади грани, величины проекции вектора с помощью средств векторной алгебры. Пример определения и решения уравнения стороны, высоты и медианы треугольника.
контрольная работа [989,1 K], добавлен 22.04.2014Исследование кривой второго порядка. Определение типа кривой с помощью инвариантов. Приведение к каноническому виду, построение графиков. Исследование поверхности второго порядка. Определение типа поверхности. Анализ формы поверхности методом сечений.
курсовая работа [231,0 K], добавлен 28.06.2009Решение системы уравнений методом Гаусса и с помощью встроенной функции; матричным методом и с помощью вычислительного блока Given/Find. Нахождение производных. Исследование функции и построение её графика. Критические точки и интервалы монотонности.
контрольная работа [325,8 K], добавлен 16.12.2013Фундаментальные понятия теории квадратичных форм. Линейные, квадратичные и билинейные функционалы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Классификация комплексных квадратичных функционалов. Определенные вещественные квадратичные функционалы.
контрольная работа [378,5 K], добавлен 24.08.2015
