Решение треугольника
Сравнение и особенности решения сферического треугольника по теореме Лежандра и способом аддитаментов. Вычисление сферического избытка, а также длины дуги меридиана. Методика и основные принципы проведения контрольных вычислений длины дуги меридиана.
| Рубрика | Математика |
| Вид | задача |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 17.01.2015 |
| Размер файла | 178,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Задание
Необходимо решить один сфероидический (сферический) треугольник двумя способами:
- по теореме Лежандра;
- способом аддитаментов.
Решение треугольника
1. По теореме Лежандра
Рис. 1 Схема сферического и прямоугольного треугольников
Исходные данные
|
? |
ґ |
Ѕ |
||
|
В |
41 |
31 |
30,75 |
|
|
А |
68 |
09 |
08,36 |
|
|
С |
70 |
19 |
21,49 |
|
|
Вm |
43 |
00 |
||
|
b, м |
29318,3 |
Величину f принимаем по таблице, исходя из заданной средней широте Вm. При вычислении сферического избытка е, длины сторон треугольника выражаются в километрах.
Таблица величины f
|
Широта Bm |
X, км |
||
|
40° |
4 430 |
0,0025 383 |
|
|
42 |
4 652 |
0,0025 369 |
|
|
44 |
4 874 |
0,0025 357 |
|
|
46 |
5 096 |
0,0025 345 |
|
|
48 |
5 319 |
0,0025 333 |
|
|
50 |
5 541 |
0,0025 322 |
|
|
52 |
5 763 |
0,0025 310 |
|
|
54 |
5 986 |
0,0025 299 |
|
|
56 |
6 209 |
0,0025 287 |
|
|
58 |
6 431 |
0,0025 277 |
|
|
60 |
6 654 |
0,0025 266 |
|
|
62 |
6 877 |
0,0025 256 |
|
|
64 |
7 100 |
0,0025 246 |
|
|
66° |
7 323 |
0,0025 237 |
Вычисление сферического избытка
|
f |
0,0025357 |
|
|
b^2, км |
900,9771251 |
|
|
sin A |
0,345953306 |
|
|
sin C |
0,368898331 |
|
|
sinA·sin C |
0,127621597 |
|
|
b^2·sin A·sin C |
779,8597851 |
|
|
sin B |
0,606266036 |
|
|
D1 |
1148,973953 |
|
|
е |
2,913453252 |
Решение треугольника
|
Вершина |
Измеренные углы сфер. Д |
Поправки в углы |
Уравненные углы сферического Д |
?/3 |
Углы плоского треугольника |
Синусы углов плос.Д |
|||||||
|
щ/3 |
|||||||||||||
|
B |
45 |
29 |
17,32 |
0,776666667 |
45 |
29 |
45,98666667 |
-0,9711511 |
45 |
29 |
44,01551558 |
0,678743837 |
|
|
A |
65 |
03 |
19,76 |
0,776666667 |
65 |
03 |
65,28666667 |
-0,9711511 |
65 |
03 |
20,31551558 |
0,915819035 |
|
|
C |
69 |
27 |
24,21 |
0,776666667 |
69 |
27 |
69,89666667 |
-0,9711511 |
69 |
27 |
55,92551558 |
0,945132667 |
|
|
? |
180 |
0 |
0,84 |
||||||||||
|
е, Ѕ |
2,913453 |
||||||||||||
|
щ, Ѕ |
-2,33 |
щ = У - (е + 180°) - угловая невязка треугольника.
Стороны сферического треугольника
|
D2, м |
44223,28 |
|
|
b, м |
30 617,28 |
|
|
a, м |
40500,52 |
|
|
c, м |
41796,87 |
2. Способ аддитаментов
Идея способа аддитаментов заключается в том, что стороны сферического треугольника a, b, c исправляют поправками, в результате чего получают стороны плоского треугольника a', b', c' и неизвестные стороны сферического треугольника.
При этом в логарифмическом варианте, аддитаментами называют поправки в логарифмы сторон Aa, Ab, Ac. В случае нелогарифмического решения, аддитаментами являются величины
; ; ,
где , - средний радиус кривизны эллипсоида для района расположения треугольника. Значение величины kможно считать постоянной для территории России и равной
,
при этой размерности k стороны треугольников должны быть выражены в километрах.
Последовательность решения сферического треугольника:
1. Из исходной стороны b вычитают её аддитаментAb и получают сторону плоского треугольника b'.
2. По известным углам сферического треугольника и стороне b' решают треугольник как плоский, используя теорему синусов, и находят остальные стороны плоского треугольника a', c'.
3. Полученные значения сторон исправляют их аддитаментамиAa, иAc и вычисляют искомые стороны a, c сферического треугольника АВС.
Способ аддитаментов применяется как контрольныйпри решении треугольника по теореме Лежандра.
Рабочие формулы
,
; ;
; ;
; .
Решение треугольника
|
Вершины |
Измер. углы сферич.Д |
Поправки в |
Уравн углы сферич. Д |
Синусы ур. |
Стороны |
Аs |
Стороны |
|||||
|
углы щ/3 |
углов сф.Д |
плос.Д, м |
сфер.Д, м |
|||||||||
|
B |
45 |
29 |
17,32 |
0,77666667 |
45 |
29 |
17,98666667 |
0,678747295 |
33 617,28 |
0,11061 |
33 617,28 |
|
|
A |
65 |
03 |
19,76 |
0,77666667 |
65 |
03 |
19,28666667 |
0,915820925 |
40500,25 |
0,271704 |
40 500,52 |
|
|
C |
69 |
27 |
24,21 |
0,77666667 |
69 |
27 |
24,89666667 |
0,945134205 |
41796,57 |
0,298638 |
41 796,87 |
|
|
? |
180 |
0 |
1,06 |
|||||||||
|
? |
2,913453252 |
|||||||||||
|
щ |
-2,33 |
Вывод: В проделанной работе мы решили один сфероидический (сферический) треугольник двумя методами:
- по теореме Лежандра
- способом аддитаментов.
В обоих случаях длины сторон сошлись
Вычисление длины дуги меридиана
Пусть точкаА (рис. 20) на меридианном эллипсе имеет широту В. Возьмём на бесконечно малом расстоянии dX от точки А точку А1, имеющую широту B + dB; таким образом, разность широт точек А и А1, соответствующая длине дуги меридиана dX будет dB.
Меридиан представляет собой полуэллипс, концы которого совпадают с полюсами эллипсоида. Экватор делит меридиан на две симметричные части. Рассматривая элементарную дугу dXкак дугу окружности с радиусом М, получаем
Длина дуги меридиана
Следовательно, для вычисления длины дуги меридиана в пределах широт 0 доВ° необходимо найти интеграл:
Этот интеграл является эллиптическим и не выражается в элементарных функциях. Для того чтобы привести его к виду, пригодному для вычисления, необходимо найти его приближённое выражение. С этой целью подынтегральную функцию разложим в ряд, а затем проинтегрируем этот ряд почленно.
С коэффициентами, вычисленными по элементам эллипсоида Красовского, окончательно получим:
По этой формуле длина дуги меридиана вычисляется с ошибкой менее
0, 0001 м.
С ошибкой не более 0,2 м длину дуги меридиана вычисляют по формуле:
Вычислить длины дуги меридиана между двумя точками с широтами В2 = 6°40'17,364''и B1 = 3°20'08,619'', пользуясь формулой Симпсона:
В1 и В2 - широты концов дуги меридиана; М1, М2, Мср - значения радиусов кривизны меридиана в точках с данными широтами и с широтой
Для контроля вычислений длину дуги меридиана SМ следует вычислить как сумму длин дуг Х1 и Х2 меридиана от точки с широтой Вср до точек с широтами В1 и В2. На основании (93) будем иметь (рис. 21)
Вычисление длины дуги меридиана
где M'сриM''ср - значения радиусов кривизны меридиана в точках с широтами
и которые определяются по формуле (94).
Вычисление длины дуги меридиана
Схема решения
а = 6 378 245,0 м; e2 = 0,006 69 342
Таблица 1
|
Формулы |
Результаты вычислений |
Формулы |
Результаты вычислений |
|
|
a (1-e2) |
633 5552,717 м |
1,25e2 sin2B1 |
0,00 425 710 |
|
|
1/6с» |
8 080 228•10-13 |
1,25e2 sin2B2 |
0,00 483 777 |
|
|
B2 |
49°29'58,938'' |
1,25e2 sin2Bср. |
0,00 454 832 |
|
|
B1 |
45°30'17,221'' |
1+0,25e2 sin2B1 |
1,00 085 142 |
|
|
Bср. |
47°30'08,080'' |
1+0,25e2 sin2B2 |
1,00 096 756 |
|
|
0,25e2 |
0,00 167 336 |
1+0,25e2 sin2Bср. |
1,00 090 966 |
|
|
1,25e2 |
0,00 836 678 |
1-1,25e2 sin2B1 |
0,99 574 290 |
|
|
sin2B1 |
0,50 880 969 |
М2 |
6 372 511,409 |
|
|
sin2 B2 |
0,57 821 216 |
Мср. |
6 370 290,021 |
|
|
sin 2Bср. |
0,54 361 689 |
(В2-В1)» |
14 381,717» |
|
|
0,25e2 sin2B1 |
0,00 085 142 |
(В2-В1) "/6с» |
0,011 620 755 |
|
|
0,25e2 sin2B2 |
0,00 096 756 |
S, м |
444 165,343 м |
|
|
0,25e2 sin2Bср. |
0,00 090 966 |
аддитамент сферический треугольник меридиан
Контрольное вычисление длины дуги меридиана
Схема решения
а =6 378 245,0 м; e2 = 0,006 69 342
|
Формулы |
Результаты вычислений |
Формулы |
Результаты вычислений |
|
|
a (1-e2) |
633 5552,717 м |
0,25e2 sin2Bср. |
0,00 090 966 |
|
|
1/6с» |
8 080 228•10-13 |
1,25e2 sin2Bср. |
0,00 454 832 |
|
|
B2 |
49°29'58,938'' |
1+0,25e2 sin2Bср. |
1,00 090 966 |
|
|
B1 |
45°30'17,221'' |
1-1,25e2 sin2Bср. |
0,99 545 168 |
|
|
Bср. |
47°30'08,080'' |
0,25e2 sin2B'ср. |
0,00 093 867 |
|
|
B'ср. |
48°30'03,508'' |
1,25e2 sin2B'ср. |
0,00 469 336 |
|
|
B"ср. |
46°30'12,650'' |
1+0,25e2 sin2B'ср. |
1,00 093 867 |
|
|
e2 |
0,006 69 342 |
1-1,25e2 sin2B'ср. |
0,99 530 664 |
|
|
0,25e2 |
0,00 167 336 |
0,25e2 sin2B"ср. |
0,00 088 057 |
|
|
1,25e2 |
0,00 836 677 |
1,25e2 sin2B"ср. |
0,00 440 284 |
|
|
sinBср. |
0,73 730 380 |
1+0,25e2 sin2B"ср. |
1,00 088 057 |
|
|
sinB'ср. |
0,74 896 699 |
1-0,25e2 sin2B"ср. |
0,99 559 716 |
|
|
sinB"ср. |
0,72 541 658 |
Мср. |
6 370 290,021 |
|
|
sin 2Bср. |
0,54 361 689 |
М'ср. |
6 371 402,932 |
|
|
sin2 B'ср. |
0,56 095 155 |
М"ср. |
6 369 174,032 |
|
|
sin2 B''ср. |
0,52 622 921 |
(B2-Вср.)» |
7 190,859» |
|
|
(Bср.-В1)» |
7190,858 |
(B2-Вср.) "/6с» |
0,005 810 378 |
|
|
(Bср.-В1) "/6с» |
0,005 810 377 |
(Мср.+4М"ср.+М1) |
38 215 042,473 |
|
|
M1 |
6 368 056,324 м |
X2 |
222 121,530 |
|
|
M2 |
6 372511,409 м |
X1 |
222 043,811 |
|
|
(M2+4M'ср.+Mср.) |
3 822 8413,158 м |
X2+X1=S, м |
444 165,341 м |
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Сетка Вульфа (стереографическая сетка) - проекция меридианов и параллелей сферической поверхности на плоскость основного меридиана. Нахождение длины дуги окружности и радиуса. Построение линий параллелей. Чертеж линии меридиана с заданной долготой.
контрольная работа [591,2 K], добавлен 13.05.2009Моменты и центры масс плоских кривых. Теорема Гульдена. Площадь поверхности, образованной вращением дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости дуги и ее не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окружности.
лекция [20,9 K], добавлен 04.09.2003Определение уравнения линии, уравнения и длины высоты, площади треугольника. Расчёт длины ребра, уравнения плоскости и объема пирамиды. Уравнение линии в прямоугольной декартовой системе координат. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.
контрольная работа [489,4 K], добавлен 25.03.2014Методика нахождения уравнения прямой исследуемого треугольника и параллельной ей стороне с использованием углового коэффициента. Определение уравнения высоты этого треугольника. Порядок и составление алгоритма вычисления площади данного треугольника.
задача [21,9 K], добавлен 08.11.2010Биссектриса треугольника, центр вписанной окружности треугольника, точка Жергонна. Центр тяжести окружности треугольника. Решение задач на применение свойств биссектрисы. Окружность и прямая Эйлера, свойства окружности. Ортоцентр окружности треугольника.
курсовая работа [330,3 K], добавлен 13.05.2015Определение длины стороны треугольника, нахождение координаты вектора в заданном трехмерном базисе, решение системы уравнений с помощью обратной матрицы, вычисление предельных значений, исследование функции методами дифференциального исчисления.
контрольная работа [1,1 M], добавлен 04.05.2010Методика и основные этапы нахождения параметров: площади криволинейной трапеции и сектора, длины дуги кривой, объема тел, площади поверхности тел вращения, работы переменной силы. Порядок и механизм вычисления интегралов с помощью пакета MathCAD.
контрольная работа [752,3 K], добавлен 21.11.2010Методика и основные этапы построения треугольника по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них. Математическое и графическое изображение решения данного задания. Исследование условий для решения задачи и определение условия ее нерешаемости.
презентация [90,8 K], добавлен 11.01.2011Решение системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамер. Возведение комплексного числа в натуральную степень. Исследование функции на возрастание и убывание. Нахождение ординаты в экстремальной точке. Задача на вычисление длины дуги кривой.
контрольная работа [303,7 K], добавлен 13.12.2012Расчет площади равнобедренного и равностороннего треугольника. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы. Расчет размеров медианы, биссектрисы.
презентация [68,7 K], добавлен 16.04.2011Понятие треугольника и его роль в геометрии. Сумма углов треугольника, вычисление площади, свойства различных видов фигур. Признаки равенства и подобия треугольников, теорема Пифагора. Медианы, биссектрисы и высоты, соотношение между сторонами и углами.
курс лекций [3,7 M], добавлен 23.04.2011История возникновения неевклидовой геометрии. Сравнение постулатов параллельности Евклида и Лобачевского. Основные понятия и модели геометрии Лобачевского. Дефект треугольника и многоугольника, абсолютная единица длины. Определение параллельной прямой.
курсовая работа [4,1 M], добавлен 15.03.2011Определение периметра треугольника, наименьшего и наибольшего значений функции. Вычисление средней температуры. Проведение вычислений логарифмов. Нахождение угла между прямой и плоскостью. Вычисление объема конуса. Коэффициент теплового расширения.
контрольная работа [15,5 K], добавлен 27.12.2013Общие свойства эллиптических интегралов и эллиптических функций. Параллелограммы периодов, основные теоремы. Эллиптические функции второго порядка. Вычисление длины дуги эллипса, эллиптические координаты, сумма вычетов эллиптической функции.
курсовая работа [289,0 K], добавлен 26.04.2011Понятие определённого интеграла, расчет площади, объёма тела и длины дуги, статического момента и центра тяжести кривой. Вычисление площади в случае прямоугольной криволинейной области. Применение криволинейного, поверхностного и тройного интегралов.
курсовая работа [2,1 M], добавлен 19.05.2011Характеристика семейства поверхностей. Касательная прямая и плоскость. Криволинейные координаты. Вычисление длины дуги кривой на поверхности и ее площади. Угол между двумя линиями на поверхности. Нормальная кривизна линий, расположенных на поверхности.
дипломная работа [2,0 M], добавлен 18.05.2013Геометрическая фигура, образованная тремя фигурами, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Основные формулы площади треугольника. Решение задач на нахождение площади треугольника через две его стороны и высоту, проведенную к основанию.
презентация [240,0 K], добавлен 21.04.2015Свойства изящной математической системы - треугольника Паскаля, в котором каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Расстановка шаров в бильярде как классический пример треугольника Паскаля. Изображение треугольника Паскаля в виде точек.
презентация [382,4 K], добавлен 16.12.2010Медианы треугольника и их свойства. Открытие немецкого математика Г. Лейбница. Применение медиан в математической статистике. Основная сущность понятия "медиана тетраедра". Шесть доказательств теоремы о медианах. Теорема о медианах треугольника.
реферат [44,3 K], добавлен 05.01.2010Основные этапы и принципы решения системы линейных уравнений с помощью метода Крамара, обратной матрицы. Разрешение матричного уравнения. Вычисление определителя. Расчет параметров пирамиды: длины ребра, площади грани, объема, а также уравнения грани.
контрольная работа [128,1 K], добавлен 06.09.2015
