Действия с целыми и комплексными числами. Нахождение пределов, производных, матриц
Деление чисел с использованием теоремы о делении с остатком. Представление геометрической интерпретации комплексных чисел, определение их модулей. Применение диафантова анализа. Вычисление матриц и пределов. Нахождение производных заданных функций.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 21.01.2015 |
| Размер файла | 46,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Задание 1.
Выполните деление чисел 20 и 57 на число 8, используя теорему о делении с остатком. Запишите название всех чисел - участников выполненного действия
Решение:
Известно, что во множестве целых чисел ? имеет место:
Теорема (о делении с остатком). Для любых целых чисел a и b (b?0) существуют и притом единственные целые числа q и r (0?r<¦b¦), что имеет место равенство а = b q+ r. При этом a называется делимым, b - делителем, q - частным от деления a на b, а r -остатком от деления a на b.
Зам: возьмем в качестве t=8 (т.к. деление на 1 смысла не имеет).
20=8·2+4, где 20 называется делимым, 8 - делителем, 2 - частным от деления 20 на 8, а 4 -остатком от деления 20 на 8;
57=8·7+1, где 57 называется делимым, 8 - делителем, 7 - частным от деления 57 на 8, а 1 -остатком от деления 57 на 8.
Задание 2.
Даны комплексные числа: ?=4+i; ?=-1+2i; ?=2-7i; ?=1; ?=-3i. Представьте геометрическую интерпретацию данных чисел, найдите их модули и выполните действия: а) ?+?; б) ?-?; в) (? +?)·?; г) (? +2?):?
Решение:
На плоскости ХОУ сделаем геометрическую интерпретацию чисел, учитывая что любое комплексное число представляется в виде: х+iy.
Рис. 1
Задание 3.
Используя диафантов анализ, ответьте на вопрос: можно ли отвесить на чашечных весах 21 г. некоего вещества, имея только гири весом в 3г. и 5г.? Если можно, то сколькими способами?
теорема геометрический предел производная
Решение:
Диафантов анализ заключается в решении целочисленного уравнения 3x+5y=21, где x, y € ? (причем ? ?0).
, следовательно (7-x)5.
Это возможно, при только при х=2 или 7.
При х=2,у==3; при х=7,у==0.
Вывод: на чашечных весах можно отвесить 21г вещества, причем двумя способами:
-1-ый: 2-мя гирями по 3г. и 3-мя гирями по 5г.;
-2-ой: 7-ью гирями по 3г. и не используя гири по 5г.
Задание 4.
Даны матрицы: А= и В=.
Найти: а) А+2В; б)В-АТ; в) АВ; г) ВА
Решение:
а) А+2В= +2==;
б) АТ - транспонированная матрица для матрицы А (строки заменены столбцами, и наоборот).
АТ=
В-АТ=-==;
в)произведением матриц А и В является матрица С, элементы, которой определяются так: сij=ai1b1j+ai2b2j,j=1,2.
C=AB===;
г)произведением матриц В и А является матрица D, элементы, которой определяются так: dij=bi1a1j+bi2b2j,j=1,2.
C=BA== =.
Ответ: а); б) ; в) ; г)
Задание 5.
Вычислить пределы: а) б) в)
Решение:
а);
б) Имеется неопределенность вида «0/0», раскроем её, разложив числитель и знаменатель дроби на множители, один из которых будет (х+1).
Для разложения 2x2+3x+1 использовалась теорема Виета (о нахождении корней уравнения).
в) Имеется неопределенность вида «?/?», раскроем её.
===0,5.
Ответ: а) 0; б) 2; в) 0,5.
Задание 6.
Найдите производные следующих функций: a)y=8;
б)y=8x cos x; в) y=.
Решение:
Зам: в качестве t возьмем 8,а не 1.
а)y/=()/=;
б) Производная от произведения двух функций:
y/=(8x cos x)/= (8x)/ cos x+8x (cos x) /=8x ln8cos x +8x(-sin x)= 8x(ln8cos x -sinx);
в) Производная от сложной функции:
y/=()/=
Ответ: a) ; б) 8x(ln8cos x -sinx); в) .
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Изучение способов нахождения пределов функций и их производных. Правило дифференцирования сложных функций. Исследование поведения функции на концах заданных промежутков. Вычисление площади фигуры при помощи интегралов. Решение дифференциальных уравнений.
контрольная работа [75,6 K], добавлен 23.10.2010Нахождение производных функций, построение графика функции с помощью методов дифференциального исчисления, нахождение точки пересечения с осями координат. Исследование функции на возрастание и убывание, нахождение интегралов, установка их расходимости.
контрольная работа [130,5 K], добавлен 09.04.2010Понятие комплексных чисел, стандартная, матричная и геометрическая модели; действия над комплексными числами; модуль и аргумент. Алгебраическое, тригонометрическое и показательное представление комплексных чисел. Формула Муавра и извлечение корней.
контрольная работа [25,7 K], добавлен 29.05.2012Об истории возникновения комплексных чисел и их роли в процессе развития математики. Алгебраические действия над комплексными числами и их геометрический смысл. Применение комплексных чисел к решению алгебраических уравнений 3-ей и 4-ой степеней.
курсовая работа [104,1 K], добавлен 03.01.2008Условия существования предела в точке. Расчет производных функции, заданной параметрически. Нахождение точки экстремума, промежутков возрастания и убывания функций, выпуклости вверх и вниз. Уравнение наклонной асимптоты. Точка локального максимума.
курсовая работа [836,0 K], добавлен 09.12.2013Нахождение пределов функций. Определение значения производных данных функций в заданной точке. Проведение исследования функций с указанием области определения и точек разрыва, экстремумов и асимптот. Построение графиков функций по полученным данным.
контрольная работа [157,0 K], добавлен 11.03.2015Нахождение частных производных, градиента функции. Вычисление интеграла, переход от двойного интеграла к последовательному, пределов интегрирования. Общее и частное решение дифференциального уравнения второго порядка. Применение признака Даламбера.
контрольная работа [297,6 K], добавлен 11.05.2013Изучение формул Крамера и Гаусса для решения систем уравнений. Использование метода обратной матрицы. Составление уравнения медианы и высоты треугольника. Нахождение пределов выражений и производных заданных функций. Определение экстремумов функции.
контрольная работа [59,1 K], добавлен 15.01.2014Вычисление пределов функций. Нахождение производные заданных функций, решение неопределенных интегралов. Исследование функции и построение ее графика. Особенности вычисления площади фигуры, ограниченной линиями с использованием определенного интеграла.
контрольная работа [283,1 K], добавлен 01.03.2011Задания на установление заданных пределов без использования правила Лопиталя. Определение точек разрыва функции и построение ее графика. Правило вычисления производной, заданной неявно. Исследование функции методами дифференциального исчисления.
контрольная работа [570,8 K], добавлен 10.10.2011По заданному уравнению кривой второго порядка определен вид кривой, фокусы и эксцентриситет. Составление уравнения параболы с вершиной в начале координат. Нахождение производных с помощью формул дифференцирования. Действия над комплексными числами.
контрольная работа [113,6 K], добавлен 16.10.2013Доказательство замечательных пределов величайшими умами знаменитых математиков. Неактуальность расчетов тригонометрических функций, логарифмов и степеней. Нахождение первого и второго замечательных пределов. Проведение модификации и значение пределов.
презентация [351,2 K], добавлен 27.06.2014Вычисление пределов функций, производных функций с построением графика. Вычисление определенных интегралов, площади фигуры, ограниченной графиками функций. Общее решение дифференциального уравнения, его частные решения. Исследование сходимости ряда.
контрольная работа [356,6 K], добавлен 17.07.2008Вычисление комплексных чисел, модуля и аргумента, извлечение кубических корней. Нахождение синусов и косинусов в алгебраическом виде. Решение системы уравнений с помощью формул Крамера, вспомогательных определителей и средствами матричного исчисления.
контрольная работа [444,2 K], добавлен 11.05.2013Вычисление пределов и устранение неопределенности. Поиск производных функций. Вычисление приближенного значения 8.051/3. Определение полного дифференциала функции z=3sin(2x+3y). Формула интегрирования по частям. Решение линейного однородного уравнения.
контрольная работа [439,6 K], добавлен 25.03.2014Делимость в кольце чисел гаусса. Обратимые и союзные элементы. Деление с остатком. Алгоритм евклида. Основная теорема арифметики. Простые числа гаусса. Применение чисел гаусса.
дипломная работа [209,2 K], добавлен 08.08.2007Мнимые и действительные, равные и сопряжённые комплексные числа; модуль и аргумент. Арифметические действия над множеством комплексных чисел: сумма, разность, произведение, деление. Представление комплексных чисел на координатной комплексной плоскости.
презентация [60,3 K], добавлен 17.09.2013Система, свойства и модели комплексных чисел. Категоричность и непротиворечивость аксиоматической теории комплексных чисел. Корень четной степени из отрицательного числа. Матрицы второго порядка, действительные числа. Операции сложения и умножения матриц.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 15.06.2011Нахождение произведения для заданных множеств. Вычисление предела функции с использованием основных теорем. Раскрытие неопределенности с использованием правила Лопиталя. Нахождение производной и вычисление неопределенного интеграла методом подстановки.
контрольная работа [260,0 K], добавлен 02.02.2011Методика расчета скалярного произведения заданных векторов. Расчет определителей и рангов матриц, нахождение обратных матриц. Разрешение уравнений по методу Крамера, обратной матрицы, а также встроенной функции lsolve. Анализ полученных результатов.
лабораторная работа [86,8 K], добавлен 13.10.2014
