Операции над матрицами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Кыргызской Республики

Кыргызский экономический университет им. М. Рыскулбекова

Кафедра «Финансы и кредит»

Реферат

На тему: «Матрицы»

Выполнил:

Абдыразаков А.Н.

Проверила:

Супаева Г.Т.

Бишкек - 2015

Содержание

1. Матрицы

1.1 Виды матриц

2. Операции над матрицами

2.1 Умножение числа на матрицу

3. Определители квадратных матриц

3.1 Введение определителя

3.2 Свойства определителей

Литература

1. Матрицы

Матрица является важным элементом математических расчетов.

Определение. матрица математический множитель

Матрицей с размерами mn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Матрицы обычно обозначают заглавными буквами латинского алфавита, например A, B, C а для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойной индексацией: aij, где i - номер строки, j - номер столбца. Числа i и j определяют расположение элемента aijв матрице A и играют роль координат этого элемента в прямоугольной таблице чисел.

Например, матрица

имеет m строк и n столбцов.

Набор

Называется i-й строкой матрицы A, а набор

называется j-м столбцом матрицы A. Любые строки и столбцы матрицы A, в свою очередь, являются матрицами.

Две матрицы А и В одинакового размера называются равными, если они совпадают поэлементно. Равенство записывается как А=В.

1.1 Виды матриц

Матрица произвольного размера, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается 0.

Матрица, состоящая из одной строки , называется матрицей - строкой или вектором.

Матрица, состоящая из одного столбца , называется матрицей - столбцом или также вектором.

Матрица называется квадратной n-го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n.

Элементы квадратной матрицы aij, у которых номер строки совпадает с номером столбца, называются диагональными и образуют главную диагональ.

Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной. Например,

- диагональная матрица третьего порядка.

Квадратная матрица, на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной и обозначается E. Например, матрица 

является единичной матрицей четвертого порядка.

Квадратная матрица, у которой все элементы выше и ниже главной диагонали равны нулю, называется треугольной.

Произвольная матрица вила , составленная из двух матриц, разделенных вертикальной чертой, называется расширенной. Например, матрица

является расширенной. Она составлена из квадратной матрицы третьего порядка и единичной матрицы третьего порядка.

Матрица может содержать своими элементами другие матрицы. Например, матрица

может быть записана в виде , где - матрица - строки исходной матрицы.

Квадратная матрица A n-го порядка называется симметричной, если ее элементы подчиняются следующему равенству:

где

2. Операции над матрицами

2.1 Умножение числа на матрицу

Эта операция производится по следующему правилу: число умножается на каждый элемент матрицы.

Произведением числа на матрицу называется матрица такая, что

Элементы матрицы В вычисляются по формуле

где

Замечание. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

Пример.

Пусть даны матрица А и число б:

А = , б = 3

Произведением матрицы А на число б является матрица

C = б Ч A =

3. Определители квадратных матриц

3.1 Введение определителя

Свяжем с каждой квадратной матрицей A некоторое число, вводимое по определенному правилу. Назовем это число определителем матрицы и обозначим его |A|.

Определителем матрицы первого порядка A = (a11) назовем число

|A| = (a11)

Определителем матрицы второго порядка

Назовем число, равное

где Mij (индекс j равен 1 или 2) - определитель матрицы первого порядка, полученный вычеркиванием из матрицы A 1 - й строки и j - го столбца.

Например, определитель M11 получен из матрицы А вычеркиванием 1 - й строки и 1 - го столбца. Следовательно, величина определителя M11 равна a22.

тогда

Определителем матрицы третьего порядка

назовем число, равное

где Mij (индекс j равен 1, 2 или 3) - определитель матрицы второго порядка, полученный вычеркиванием матрицы А 1-й строки и j-го столбца. Например, определитель M11 получен из матрицы А вычеркиванием 1-й строки и 1-го столбца:

Подставим полученные соотношения в приведенную выше формулу:

Из структуры формулы видно, что в каждое слагаемое в правой части входит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы.

Воспользовавшись правилом треугольника, можно приведенную выше формулу легко запоминать. Для этого берутся произведения элементов,

соединенных линиями. На рисунке слева линиями указаны произведения элементов, которые следует взять со знаком «+», справа - со знаком «-».

Например, величина определителя матрицы

равна

Предположим, что определители матриц, порядок которых меньше n, введены. Определителем квадратной матрицы n - го порядка

назовем число

где Mij - определитель матрицы (n - 1) - го порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием 1-й строки j-го столбца.

Введем понятия минора и алгебраического дополнения.

Минором Mij элемента бij матрицы A n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из матрицы A вычеркиванием i-й строки и j-го столбца. Например, минор M23 элемента б23 матрицы третьего порядка получается вычеркиванием из матрицы 2-й строки и 3-го столбца:

Алгебраическим дополнением Aij элемента бij матрицы А n-го порядка называется минор Mij взятый со знаком (-1)i+j:

Используя понятие алгебраического дополнения, приведенную выше формулу можно записать в виде

3.2 Свойства определителей

1) Определитель с нулевой строкой или нулевым столбцом равен нулю.

2) Умножение определителя на число равносильно умножению какой-либо строки или столбца определителя на это число.

Умножим любую строку или столбец исходного определителя на число, разложим определитель по этой строке или столбцу, вынесем это число за скобки и свернем оставшееся в скобках выражение в исходный определитель.

3) При транспонировании матрицы величина ее определителя не изменяется: |A|=|Aт|.

4) При перестановке двух строк или столбцов определитель меняет знак.

В определителе

Переставим, например, первую и вторую строки. Получим

Разложим определитель |A|1 по второй строке, а определитель |A|2 - по первой строке. Получим

Откуда следует |A|1 = -|A|2.

Теперь переставим i-ю строку с (i + k)-й. Для этого сместим i-ю строку на k строк вниз. Определитель изменит знак k раз. Строка с номером i + k окажется при этом на (i + k - 1)-м месте. Переставим эту строку на место i-й строки, для чего поднимем ее на k - 1 строк вверх. Определитель изменит знак k - 1 раз. В результате процедуры определитель изменит знак нечетное число раз: k + k - 1 = 2k - 1, т.е. знак определителя при любой перестановке строк не изменится

5) Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

При перестановке двух строк определитель изменит знак. Переставим местами одинаковые строки. Определитель останется таким же. Значит, -|A| = |A|. Отсюда следует0, что |A| = 0.

6) Определитель, содержащий две пропорциональные строки (столбца), равен нулю.

Вынесем коэффициент пропорциональности за знак определителя. В нем образуются две одинаковые строки. Поэтому такой определитель равен нулю.

7) Определитель можно разложить на сумму определителей. Представим элементы i-й строки определителя в виде суммы двух слагаемых. Получим

где, б, в - некоторые коэффициенты, равные в частном случае единице. Разложим определитель |A| по i-й строке, используя алгебраические дополнения, преобразуем полученную сумму. Тогда

где

8) Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной строки прибавить элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

9) Полученный определитель можно разложить на сумму двух определителей. Один из них является исходным. Другой содержит две пропорциональные строки и, следовательно, равен нулю.

10) Сумма произведений произвольных чисел b1, b2, …, bn на алгебраические дополнения элементов любой строки (столбца) равна определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки (столбца) на числа b1, b2, …, bn.

11) Сумма произведений элементов одной строки матрицы на алгебраические дополнения к элементам другой строки этой матрицы равна нулю.

12) Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц, т.е.

Литература

1. Артамонов Вячеслав Введение в высшую алгебру и аналитическую геометрию. Изд-во: Факториал, Факториал Пресс, 2007. - 128с.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3-х томах Том 1 Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии 8-е издание. Издательство: ДРОФА, 2006. - 284с.

3. Рябушко А.П., Бархатов В.В., Державец В.В., Юруть И.Е. Индивидуальные задания по высшей математике. В 4 частях. Часть 1. Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Минск: Высшая школа, 2007.

4. Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. В трех томах. ПОЛИТЕХНИКА, 2003.

5. Шипачев В.С. Высшая математика изд.7 Изд-во: ВЫСШАЯ ШКОЛА, 2005. - 479с

Размещено на Allbest.ru