Элементы теории погрешностей. Интерполяция и аппроксимация функций
Определение абсолютной и относительной погрешности численного результата. Решение уравнений с одной неизвестной. Понятие кратного корня. Методы уточнения корней простой итерации. Решение систем линейных уравнений. Особенности интерполяции функций.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курс лекций |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 08.02.2015 |
| Размер файла | 449,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Наиболее простым способом сужения интервала неопределенности является деление его на некоторое число равных частей с последующим вычислением значений целевой функции в точках разбиения. Пусть n - число элементарных отрезков, h = (b-a)/n - шаг разбиения. Вычисляют значения целевой функции yk = fk(x) в узлах xk = a + k h (k=0,1, … , n). Сравнивая полученные значения f(xk), среди них находят минимальное. В данном методе, который можно назвать методом перебора, основная трудность состоит в выборе n и оценке погрешности.
Более экономичным способом уточнения оптимального параметра является использование свойства унимодальности целевой функции, которое позволяет построить процесс сужения интервала неопределенности. Если оптимальное значение функции находится в точке xi, то из рисунка видно, что оптимальное значение функции может находиться в интервале [xi-1, xi+1], т.е. интервал неопределенности сужается до длины двух шагов. Если этот интервал слишком велик, то его можно снова уменьшить путем нового разбиения. Получится интервал, равный двум длинам нового шага разбиения, и т.д.
В описанном методе можно с помощью разумного выбора шага разбиения добиться эффективного поиска.
9.2 Метод золотого сечения
На каждом шаге, за исключением первого, вычисление значения функции f(x) производится лишь один раз. Эта точка называется золотым сечением и выбирается специальным образом.
Геометрическая идея метода:
На первом шаге процесса оптимизации внутри отрезка [a0, b0] выбирают две внутренние точки x1 и x2 и вычисляют значения целевой функции f(x1) и f(x2). Так как в данном случае f(x1) < f(x2), то очевидно, что минимум расположен на одном из прилегающих к x1 отрезков [a0, x1] или [x1, x2]. Поэтому отрезок [x2,b0] можно отбросить, сузив тем самым первоначальный интервал неопределенности.
Второй шаг проводится на отрезке [a1, b1], где a1 = a0 и b1 = x2. Нужно снова выбрать две внутренние точки, но одна из них (x1) осталась из предыдущего шага, поэтому достаточно вычислить лишь одну точку x3, вычислить значение f(x3) и провести сравнение. Так как здесь f(x3) > f(x1), то ясно, что минимум находится на отрезке [x3, b1]. Этот отрезок можно обозначить [a2, b2], снова выбрать одну внутреннюю точку и повторить процедуру сужения интервала неопределенности. Процесс оптимизации повторяется до тех пор, пока длина очередного отрезка [an, bn] не станет меньше заданной величины .
Вывод соотношения золотого сечения:
Пусть длина интервала неопределенности равна l, а точка деления делит его на части l1, l2 : l1 > l2, l = l1 + l2 .Золотое сечение интервала неопределенности выбирается так, чтобы длины большего отрезка к длине всего интервала равнялось отношению длины меньшего отрезка к длине большего отрезка:
Из этого соотношения можно найти точку деления, определив отношение l2/l1 .Для этого
l12 = l2 * l l12 = l2 * (l1 + l2)
l22 + l1 * l2 - l12 = 0
Так как интерес представляет только положительное решение, то
Отсюда l1 0.618*l, l2 0.382*l.
На первом шаге исходный интервал неопределенности равен d0 = b0 - a0 .При этом x1 - a0 = b0 - x2 = 0.382*d0 и b0 - x1 = x2 - a0 = 0.618*d0.
После первого шага оптимизации получается новый интервал неопределенности d1 = b1 - a1 = x2 - a0 = 0.618*d0.
После второго шага оптимизации имеем d2 = b2 - a2 = b1 - x3 = 0.618*d1 = 0.6182 * d0.
Используя полученные соотношения, можно записать координаты точек деления y и z отрезка [ak,bk] на k+1 шаге оптимизации (y < z):
y = 0.618*ak + 0.382*bk : z = 0.382*ak + 0.618*bk.
При этом длина интервала неопределенности равна
dk = bk - ak = 0.618k * d0.
Процесс оптимизации заканчивается при выполнении условия dk < .При этом искомая величина лежит в интервале ak < xopt < bk. В качестве оптимального значения можно принять xopt = ak (или xopt = bk или xopt = (ak + bk)/2).
9.3 Метод наискорейшего спуска
1. Выбор вектора начальных приближений и вычисление значения целевой функции в этой точке (). Выбор величины шага.
2. Вычисление нормированного вектора-градиента в этой точке.
3. Определение направления поиска по формуле
4. Поиск любым методом одномерного поиска точки , в которой функция имеет минимальное значение ().
5. Если выполняется условие:
,
то поиск прекращается и выводят полученные результаты. В противном случае выполняют этап 6.
6. За новое начальное приближение принимают найденную на этапе 4 точку ( = , = ) и расчеты повторяют с пункта 2.
Выделить особенность метода: если первый же шаг из очередной начальной точки неудачен (функция возрастает), то, как правило, уменьшают шаг, т.е.
h(k+1) = h(k) /z,
где z > 1. Условие окончания поиска при этом может быть записано в виде h(k) < .
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Приближенные числа и действия над ними. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Интерполирование и экстраполирование функций. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Отделение корня уравнения. Поиск погрешности результата.
контрольная работа [604,7 K], добавлен 18.10.2012Решение задач вычислительными методами. Решение нелинейных уравнений, систем линейных алгебраических уравнений (метод исключения Гаусса, простой итерации Якоби, метод Зейделя). Приближение функций. Численное интегрирование функций одной переменной.
учебное пособие [581,1 K], добавлен 08.02.2010Численные методы решения систем линейных уравнений: Гаусса, простой итерации, Зейделя. Методы аппроксимации и интерполяции функций: неопределенных коэффициентов, наименьших квадратов. Решения нелинейных уравнений и вычисление определенных интегралов.
курсовая работа [322,7 K], добавлен 27.04.2011Основные понятия теории погрешностей. Приближенное решение некоторых алгебраических трансцендентных уравнений. Приближенное решение систем линейных уравнений. Интерполирование функций и вычисление определенных интегралов, дифференциальных уравнений.
методичка [899,4 K], добавлен 01.12.2009Метод Зейделя как модификация метода простой итерации. Особенности решения систем линейных алгебраических уравнений. Анализ способов построения графика функций. Основное назначение формул Симпсона. Характеристика модифицированного метода Эйлера.
контрольная работа [191,3 K], добавлен 30.01.2014Решение систем линейных алгебраических уравнений методом исключения Гаусса. Табулирование и аппроксимация функций. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Приближенное вычисление определенных интегралов. Решение оптимизационных задач.
курсовая работа [1,6 M], добавлен 21.11.2013Решение систем линейных алгебраических уравнений методом простой итерации. Полиномиальная интерполяция функции методом Ньютона с разделенными разностями. Среднеквадратическое приближение функции. Численное интегрирование функций методом Гаусса.
курсовая работа [2,4 M], добавлен 14.04.2009Решение системы линейных уравнений с неизвестными методами Гаусса, Зейделя и простой итерации. Вычисление корня уравнения методами дихотомии, хорды и простой итерации. Нахождение приближённого значения интеграла с точностью до 0,001 методом Симпсона.
контрольная работа [1,7 M], добавлен 05.07.2014Вычисление приближенных величин и погрешностей. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений, интерполяция функций и методы численного интегрирования. Применение метода наименьших квадратов к построению эмпирических функциональных зависимостей.
курсовая работа [378,5 K], добавлен 08.01.2013Изучение методов уточнения корней нелинейных уравнений (половинного деления, хорд, касательных, простой итерации). Метод хорд и касательных дает высокую скорость сходимости при решении уравнений, и небольшую - метод половинного деления и простой итерации.
контрольная работа [58,6 K], добавлен 20.11.2010Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, однородных, линейных уравнений первого порядка и уравнений допускающего понижение порядка. Введение функций в решение уравнений. Интегрирование заданных линейных неоднородных уравнений.
контрольная работа [92,7 K], добавлен 09.02.2012Введение в численные методы, план построения вычислительного эксперимента. Точность вычислений, классификация погрешностей. Обзор методов численного интегрирования и дифференцирования, оценка апостериорной погрешности. Решение систем линейных уравнений.
методичка [7,0 M], добавлен 23.09.2010Анализ метода простой итерации для решения систем линейных алгебраических уравнений и реализация его в виде двух программ, каждая из которых использует свой собственный способ перехода от системы одного вида к другому. Программные и технические средства.
курсовая работа [497,8 K], добавлен 27.03.2011Сущность и графическое представление методов решения нелинейных уравнений вида F(x)=0. Особенности метода хорд, бисекции, простой итерации, касательных и секущих. Проверка результатов с помощью встроенных функций и оценка точности полученных значений.
контрольная работа [316,1 K], добавлен 09.11.2010Основные понятия теории систем уравнений. Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Теорема Кронекер–Капелли. Совместность систем однородных уравнений.
лекция [24,2 K], добавлен 14.12.2010Рассмотрение систем линейных алгебраических уравнений общего вида. Сущность теорем и их доказательство. Особенность трапецеидальной матрицы. Решение однородных и неоднородных линейных алгебраических уравнений, их отличия и применение метода Гаусса.
реферат [66,4 K], добавлен 14.08.2009Геометрическая интерпретация методов Ньютона, итерации и спуска. Определение корня уравнения с заданной степенью точности. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений. Нахождение эквивалентного преобразования для выполнения условия сходимости.
курсовая работа [371,6 K], добавлен 14.01.2015Система линейных уравнений. Матричное решение системы уравнений. Геометрический смысл операций с комплексными числами. Элементы аналитической геометрии в пространстве. Классификация функций. Основные элементарные функции. Раскрытие неопределенностей.
шпаргалка [1,1 M], добавлен 12.01.2009Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.
контрольная работа [63,2 K], добавлен 24.10.2010Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гауса. Граф состояний марковской системы. Составление уравнений Колмогорова. Предельные вероятности состояний системы. Матричный метод, матрица треугольная, матрица квадратная и решение системы.
контрольная работа [84,5 K], добавлен 20.07.2010
