1

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 1

КРИТЕРИИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

Содержание

1. Цель работы

2. Теоретическая часть

2.1 Постановка задачи

2.2 Классические критерии принятия решений

2.2.1 Минимаксный критерий принятия решений

2.2.1.1 Аналитический метод расчета

2.2.1.2 Геометрический метод расчета

2.2.2 Критерий Байеса-Лапласа

2.2.2.1 Аналитический метод расчета

2.2.2.2 Геометрический метод расчета

2.2.3 Критерий Сэвиджа

2.2.3.1 Аналитический метод расчета

2.2.3.2 Геометрический метод расчета

2.3 Производные критерии принятия решений

2.3.1 Критерий принятия решений Гурвица

2.3.1.1 Аналитический метод расчета

2.3.1.2 Геометрический метод расчета

2.3.2 Критерий принятия решений Гермейера

2.3.2.1 Аналитический метод расчета

2.3.2.2 Геометрический метод расчета

2.3.3 Критерий произведений

2.3.3.1 Аналитический метод расчета

2.3.3.2 Геометрический метод расчета

критерий принятие решение модель

1. Цель работы

Изучение особенностей применения критериев принятия решений.

2. Теоретическая часть

2.1 Постановка задачи

Критерий принятия решений - это функция, выражающая предпочтения лица принимающего решения (ЛПР) и определяющая правило, по которому выбирается приемлемый или оптимальный вариант решения.

Задача принятия решений возникает тогда, когда возникает несколько конкурирующих вариантов решения. В противном случае ситуация предопределена. Варианты решений возникают в результате анализа проблемной ситуации, представленной в виде описательной модели. В классическом случае описание ситуации дается в виде матрицы, строки которой соответствуют вариантам решений, а столбцы - факторам, которые могут повлиять на результат, получаемый ЛПР. На пересечении столбцов и строк расположены либо проигрыши, соответствующие реализациям решений E_i в соответствующих условиях F_j, либо, наоборот, выигрыши.

Рассмотрим простейший случай одностолбцовой матрицы.

Предположим, что у нас имеются варианты решений E₁, E₂,..., E_n, которые характеризуются некоторым результатом e_i.

Такой результат можно интерпретировать как выигрыш, полезность, надежность. Нам необходимо найти .

Таким образом, выбор оптимального варианта производится с помощью критерия

(1)

Это правило выбора читается следующим образом: множество E_o оптимальных вариантов состоит из тех вариантов E_i, которые принадлежат множеству E всех вариантов и оценка e_i которых максимальна среди всех оценок {e_i}. (Логический знак & читается как "и" и требует, чтобы оба связываемых им утверждения были истинны.)

Такая постановка задачи, как было сказано выше, соответствует простому случаю.

В более сложных структурах каждому допустимому варианту решения E_i по многим причинам могут соответствовать различные внешние условия (состояния) F_j и, как следствие, различные результаты e_ij реализации решений.

Под результатом решения e_ij здесь будем понимать численную оценку, соответствующую варианту E_i и условиям F_j и характеризующую экономический эффект (прибыль), полезность или потребительную стоимость. Будем называть такой результат эффективностью решения.

Таким образом, ситуация ПР описывается некоторой матрицей (Таблица 1). Размерность этой матрицы зависит от множества вариантов решений и множества рассматриваемых факторов или условий, влияющих на принятие решений.

Таблица 1

Матрица решений e_ij

В данном случае, так же как и в простейшем, описанном выше, ЛПР старается выбрать решение с наилучшим результатом. Однако, поскольку ему неизвестно, с какими условиями он столкнется, он вынужден принимать во внимание все численные оценки e_ij, соответствующие варианту E_i. Первоначальная задача максимизации согласно критерию (1) должна быть теперь заменена другой, подходящим образом учитывающей все последствия любого из вариантов решения E_i.

Для того, чтобы получить более ясную и наглядную интерпретацию перейдем к графическому представлению оценочных функций. Случай с двумя внешними условиями (m=2) при n вариантах решений будет простейшим. Результат такого рассмотрения можно распространить на случай большего количества внешних факторов (условий).

Введем прямоугольную систему координат, откладывая по оси абсцисс значения результата e_i1 решения E_i, соответствующего внешнему состоянию F₁, а по оси ординат - значения e_i2, соответствующего состоянию F₂, i=1,...,n. При таких обозначениях каждый вариант решения E_i соответствует точке на плоскости с координатами (e_i1,e_i2), i=1,..,n соответственно. Все точки образуют множество, которое можно вписать в прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат, расположение которых соответствует максимальным и минимальным значениям среди всех элементов матрицы. Точку с координатами (max(e_i1,i), max(e_i2,i)), соответствующей верхнему правому углу, мы назовем утопической точкой (УТ). Смысл этого названия в том, что координаты всех точек (e_i1,e_i2), i=1,..,n, соответствующих вариантам решений E₁,..., E_n, не могут быть больше, чем у точки УТ.

Аналогичное значение имеет и так называемая антиутопическая точка (АУТ), имеющая координаты (minx(e_i1,i), min(e_i2,i)), соответствующая нижнему левому углу. Координаты всех точек (e_i1,e_i2), i=1,..,n, соответствующих вариантам решений E₁,..., E_n, не могут быть меньше, чем у точки АУТ. Построенный прямоугольник называется полем полезности решений (рисунок 1).

Рис. 1 Поле полезности решений

Рассмотрим это поле подробнее. Выберем произвольную точку на плоскости и назовем ее рабочей точкой (РТ) - E_рт. Обозначим ее координаты (e_рт1,e_рт2). С помощью прямых, параллельных координатным осям, разобьем плоскость на четыре части и обозначим их I, II, III и IV. В рассматриваемом нами двумерном случае каждая из этих частей имеет вид квадранта; в случае произвольной размерности они превращаются в так называемые конусы.

Все точки E_i из матрицы вариантов решений, лежащие в конусе I заведомо или гарантировано лучше, чем рассматриваемая точка РТ. Это преимущество решений из конуса I по отношению к решению, находящемуся в РТ не зависит от того, какой фактор - F₁ или F₂ реализуется, то есть не важно по какой координате это преимущество реализуется. Поэтому мы называем конус I конусом предпочтения.

Соответственно все точки конуса III хуже точки РТ (e_рт1>=e_i1 и e_рт2>=e_i2), и мы будем называть область III антиконусом. Таким образом, оценка качества точек из этих двух конусов в сравнении с точкой РТ проста и однозначна.

Оценка же точек в отмеченных штриховкой конусах II и IV является неопределенной, так как соотношения их координат с РТ является противоречивым. Вследствие этого их называют областями неопределенности и варианты решений в этих конусах связаны с допущением некоторого риска принятия решений.

Таким образом, критериальные функции, лежащие внутри конуса I обеспечивают гарантированный результат и могут считаться безрисковыми (пессимистическими) критериями ПР. Линии, проходящие через II и IV квадранты, соответствуют критериям с риском.

И, наконец, линии, лежащие внутри III конуса соответствуют критерию азартного игрока или оптимистичной позиции. Рассмотрим линии, соответствующие трем группам критериев (рисунок 2).

Все точки из областей неопределенности, лежащие справа и выше каждой линии функций предпочтения лучше точек, лежащих слева и ниже. Всякая функция (линия) предпочтения объединяет все точки, соответствующие одному и тому же значению критерия (точки равной эффективности); справа и выше ее располагаются все лучшие точки, то есть точки более эффективных решений, а слева и ниже - худшие, то есть точки менее эффективных решений.

Рис. 2 Функции предпочтения при принятии решений Y₁ - азартного игрока (оптимистические); Y₂ - критериев с риском (нейтральные); Y₃ - безрисковые (пессимистические).

Таким образом, критериальная функция делит плоскость на две части. В соответствии с рассмотренным полем полезности, критериальные функции, проходящие ближе к границам I квадранта соответствуют безрисковой политике принятия решения или тенденции избегания риска, как например, вогнутая штриховая линия на рисунке 2. Линии, проходящие через квадрант III, соответствуют азартной стратегии с максимальным риском. Соответственно, прямая линия, проходящая через рабочую точку и квадранты II и IV, соответствует нейтральной или объективной стратегии в ПР.

Если выбор оценочной функции отдается на усмотрение ЛПР, то приходится считаться с возможностью различных результатов для одного и того же решения. Таким образом, принятие решения не есть чисто рациональный процесс. Опасность возникает в тех случаях, когда критериальные оценочные функции выбираются интуитивно, иногда даже без выяснения исходной позиции лица принимающего решения.

Всякое техническое или экономическое решение в условиях неполной информации - сознательно или неосознанно - принимается в соответствии с какой-либо оценочной функцией описанного выше типа. Как только это бывает признано явно, следствия соответствующих решений становятся лучше обозримыми, что позволяет улучшить их качество. При этом выбор оценочных функций всегда должен осуществляться с учетом количественных характеристик ситуации, в которой принимаются решения.

Следующие критерии относят к классическим:

- минимаксный ;

- Байеса-Лапласа ;

- Сэвиджа ;

- расширенный минимаксный ;

- азартного игрока .

К производным критериям относят следующие:

- критерий Гурвица ;

- критерий Ходжа-Лемана ;

- критерий Гермейера ;

- BL(MM)-критерий

,

,

;

- критерий произведений .

2.2 Классические критерии принятия решений

2.2.1 Минимаксный критерий принятия решений

2.2.1.1 Аналитический метод расчета

Математическая интерпретация критерия выглядит следующим образом:

2.2.1.2 Геометрический метод расчета

Геометрический образ этого критерия представлен на рисунке 3.