Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

Введение

1. Теорема и формула Пика

2. Экспериментальная работа

2.1 Исследование площадей многоугольников

2.2 Построение острых углов на клетчатой бумаге

2.3 Нахождение градусной меры, sin, cos, tg, ctg углов на клетчатой бумаге

2.4 Нахождение некоторых элементов треугольников на клетчатой бумаге

3. Задачи на разрезание

Заключение

Список используемой литературы

Приложения



Введение

«Решение задач - практическое искусство, подобное

плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано;

научиться ему можно, только подражая хорошим

образцам и постоянно практикуясь» (Д. Пойя).

В заданиях блока «Геометрия» ГИА по математике встречаются задачи на вычисление площади фигуры, изображённой на клетчатой бумаге. Готовясь к сдаче ГИА по математике, я выделил именно эту группу задач, так как подход к их решению показался мне интересным и оригинальным. Не все задачи на клетчатой бумаге оказались просты и тривиальны. У меня возникли вопросы: в чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге. Чтобы вычислить площадь изображённой фигуры, необходимо сделать дополнительные построения: разбить данную фигуру на несколько треугольников и прямоугольник, провести высоту в треугольнике. Возникли вопросы: в чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на вычисление площади фигур, изображённых клетчатой бумаге. Я приступил к изучению литературы, Интернет-ресурсов по данной теме. На одном из сайтов я нашел формулу Пика. Эта формула заинтересовала меня, и я попробовал решать задания, используя данную формулу. Задачи решались очень быстро и легко.

Оказывается, задачи, связанные с бумагой в клеточку, достаточно разнообразны. Я научился вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке, находить градусную меру углов на клетчатой бумаге и строить углы без транспортира, также я познакомился с задачами на разрезание.

Однако чёткой классификации и структурирования задач на клетчатой бумаге по методам и способам решения я не встретил. Возможно, потому, что большинство таких задач считается «занимательными», и не так уж много авторов посвятило этой теме свои изыскания. Очень вероятно, потому, что для многих задач на бумаге в клетку нет общего правила решения, конкретных способов и приёмов. Вот это их свойство обуславливает их ценность для развития умения думать, размышлять, анализировать, искать аналогии, то есть, эти задачи развивают мыслительные навыки в самом широком их понимании.

В связи с этим возникла гипотеза о том, что задачи на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге, можно решить с помощью формулы Пика более рационально.

Объект исследования: задачи по планиметрии на клетчатой бумаге.

Предмет исследования: многообразие задач на клетчатой бумаге, методы и приёмы их решения; применение формулы Пика при решении задач, на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.

Цель работы: Рассмотреть и классифицировать задачи на клетчатой бумаге и методы решения таких задач. Обосновать рациональность использования формулы Пика при решении задач на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.

Методы исследования: моделирование, сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации.

Задачи:

1) Изучить литературу по данной теме.

2) Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию

3) Классифицировать исследуемые задачи

4) Найти различные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге

5) Прорешать задачи на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге геометрическим методом.

6) Прорешать задачи на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге, используя формулу Пика.

7) Сравнить и проанализировать результаты исследования.

8) Создать задачник «Задачи на клетчатой бумаге»

9) Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам

Мной был произведен опрос среди учащихся 9-11 классов:

1) Какие способы (методы) Вы знаете при решении задач на клетчатой бумаге:

Способы вычисления площади многоугольника

теорема многоугольник клетчатый бумага

2) Знаете ли Вы формулу Пика?

100% ответили, что с формулой не знакомы. Значит, есть необходимость познакомиться с формулой самому и познакомить с ней учеников моего класса.



1. Теорема и формула Пика

Нарисуем на клетчатой бумаге какой-нибудь многоугольник. Например, такой, как показан на рисунке 1.

Рис. 1

Попробуем теперь рассчитать его площадь. Как это сделать? Наверное, проще всего разбить его на прямоугольные треугольники и прямоугольники, площади которых уже нетрудно вычислить и сложить полученные результаты. Использованный мною способ несложен, но очень громоздок, кроме того он годится не для всяких многоугольников.

Рассмотрим невырожденный простой целочисленный многоугольник (т.е. он связный -- любые две его точки могут быть соединены непрерывной кривой, целиком в нем содержащейся, и все его вершины имеют целые координаты, его граница -- связная ломаная без самопересечений, и он имеет ненулевую площадь). Для вычисления площади такого многоугольника можно воспользоваться следующей теоремой:

Теорема Пика. Пусть -- число целочисленных точек внутри многоугольника, -- количество целочисленных точек на его границе, -- его площадь. Тогда справедлива формула Пика:

Пример. Для многоугольника на рисунке 1 (желтые точки), (синие точки, не забудьте о вершинах!), поэтому квадратных единиц.

Доказательство теоремы Пика. Сначала заметим, что формула Пика верна для единичного квадрата. Действительно, в этом случае мы имеем и

Рассмотрим прямоугольник со сторонами, лежащими на линиях решетки. Пусть длины его сторон равны и . Имеем в этом случае и, по формуле Пика,

Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник с катетами, лежащими на осях координат. Такой треугольник получается из прямоугольника со сторонами и , рассмотренного в предыдущем случае, разрезанием его по диагонали. Пусть на диагонали лежат целочисленных точек. Тогда для этого случая и получаем, что

Теперь рассмотрим произвольный треугольник. Его можно получить, отрезав от прямоугольника несколько прямоугольных треугольников и, возможно, прямоугольник (см. рисунки 2 и 3). Поскольку и для прямоугольника, и для прямоугольного треугольника формула Пика верна, мы получаем, что она будет справедлива и для произвольного треугольника.

Остается сделать последний шаг: перейти от треугольников к многоугольникам. Любой многоугольник можно разбить на треугольники (например, диагоналями). Поэтому нужно просто доказать, что при добавлении любого треугольника к произвольному многоугольнику формула Пика остается верной.

Пусть многоугольник и треугольник имеют общую сторону. Предположим, что для формула Пика справедлива, докажем, что она будет верна и для многоугольника, полученного из добавлением . Так как и имеют общую сторону, то все целочисленные точки, лежащие на этой стороне, кроме двух вершин, становятся внутренними точками нового многоугольника. Вершины же будут граничными точками. Обозначим число общих точек через и получим

-- число внутренних целочисленных точек нового многоугольника,

-- число граничных точек нового многоугольника.

Из этих равенств получаем

Так как мы предположили, что теорема верна для и для по отдельности, то

Тем самым, формула Пика доказана.

Эту формулу открыл австрийский математик Пик Георг Александров (1859 - 1943 г.г.) в 1899 году. Кроме этой формулы Георг Пик открыл теоремы Пика, Пика - Жюлиа, Пика - Невалины, доказал неравенство Шварца - Пика. В Приложении 1 можно увидеть рассмотренные мною нестандартные задачи на применение формулы Пика.



2. Экспериментальная работа

2.1 Исследование площадей многоугольников

Чтобы искать площади фигур по формулам планиметрии, надо знать ФУНДАМЕНТ:

Итак, обобщим способы нахождения площадей фигур:

Способ 1 (самый часто используемый)

1) достроить фигуру до прямоугольника или прямоугольного треугольника

2) Найти S1 полученной фигуры (прямоугольника или треугольника)

3) Найти S2 добавленных частей

4) Вычесть S1 - S2 = получим S нужной фигуры.

Способ 2 (самый простой) используется тогда, когда чётко видно, что за фигура и легко найти величины для вычисления S.

ПО формуле: Например, для ромба найти длины диагоналей и использовать формулу из Жёлтого фундамента. Для круга найти радиус. Для трапеции основания и высоту. Для треугольника сторону и высоту к этой стороне и т.д.

Способ 3 (самый необычный) проводить вычисления по формуле Пика

1)На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен четырех угольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах
Рисунок	По формуле геометрии	По формуле Пика
	S1=b=1/273,5 S2=b=1/272=7 S3=b=1/241=2 S4=b=1/251=2,5 S5=aІ=1І=1 Sкв.= aІ=7І=49 S=49-3.5-7-2-2,5-1=32смІ	Г=5;В=31. S=31+-1=32смІ
2)На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен четырех угольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
	S=a S= =36 см2	Г=18, В=28 S=28+-1=36см2
3)На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен четырех угольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах
	S1=b=1/233=4,5 S2=b=1/266=18 S3=b=1/233=4,5 S=4,5+18+4,5=27 смІ	Г=18;В=28. S=28+-1=36смІ
4)На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен четырех угольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах
	S1=b=1/233=4,5 S2=b=1/266=18 S3=b=1/233=4,5 S4=b=1/266=18 Sкв.=9І=81смІ S=81-4,5-18-4,5-18=36смІ	Г=18;В=28. S=28+-1=36смІ

Другие решенные мной задачи на нахождение площадей фигур можно увидеть в Приложении 2.

Вывод: Проанализировав способы решения задач, можно сделать следующие выводы:

1) Формула Пика даёт быстрое и простое решение задач на нахождение площади фигуры, вершины которой лежат в узлах решётки, то есть нахождения площадей многоугольников.

2) Использование формулы Пика для нахождения площади кругового сектора или кольца нецелесообразно, так как она даёт приближённый результат.

3) Формула Пика не применяется для решения задач в пространстве.

2.2 Построение острых углов на клетчатой бумаге

Оказалось, что на клетчатой бумаге можно строить острые углы без транспортира. Для доказательства этого факта я построил с помощью транспортира углы от 10° до 80° со стороной, идущей по горизонтальной линии сетки. Отметил у каждого угла ближайший узел сетки, через который прошла другая сторона каждого угла. Для экономии места здесь я представляю только 2 рисунка, остальные можно увидеть в Приложении 3.

10° 80°

Я определил «путь» из вершины угла в отмеченную точку и занес данные в таблицу:

Величина угла	Клеток >	Клеток ^
10°	6	1
20°	8	3
30°	7	4
40°	6	5
50°	5	6
60°	4	7
70°	3	8
80°	1	6

Если сравнить данные таблицы для углов 10° и 80°, 20° и 70°, 30° и 60°, 40° и 50°, то можно заметить, что количество клеток вправо и количество клеток вверх меняются местами.

Вывод: Используя данные таблицы, можно приближенно построить любой острый угол без транспортира.

2.3 Нахождение градусной меры, sin, cos, tg, ctg углов на клетчатой бумаге

При решении задач на клетчатой бумаге на нахождение тригонометрических функций углов будем пользоваться геометрическими определениями:

Синус острого угла - отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус острого угла - отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс острого угла - отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Котангенс острого угла - отношение прилежащего катета к противолежащему.

Помимо этого нужно помнить формулы приведения:

sin (90-x)=sin x

cos (90-x) = cos x

sin(180-x)=sin x

cos (180-x)= - cos x

tg(90-x)=tg x

tg (180-x)= - tg x

Пример 1: Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на .

Решение: Проведем отрезок ВС. Полученный треугольник ВОС - прямоугольный, длина его катетов - по 3 клетки. Значит, треугольник ВОС также является и равнобедренным. Значит, углы при его основании равны 45^о. Синус угла в 45^о равен . Умножив значение на получим 2. Ответ: 2

Пример 2. Найдите косинус угла AOB. В ответе укажите значение косинуса, умноженное на . Решение: Проведем отрезок ВС на продолжение стороны АО. Полученный треугольник ВОС - прямоугольный, длина его катетов - 2 клетки и 4 клетки. По теореме Пифагора гипотенуза треугольника ВОС равна , т.е. или . Значит, косинус угла ВОС равняется 2/,т.е. 1/. Косинус искомого угла АОВ найдем по формуле приведения cos (180-x)= - cos x. Он равен -1/.. Умножив значение на получим - 2. Ответ: -2

Пример 3. На клетчатой бумаге изображен угол. Найдите его тангенс

Решение: Достроим угол до прямоугольного треугольника, длина его катетов - 2 клетки и 9 клеток. Так как тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему, то он равен 4,5 Ответ: 4,5



2.4 Нахождение некоторых элементов треугольников на клетчатой бумаге

Пример 1: На клетчатой бумаге с размером клетки 1см*1см изображен треугольник. Найдите его наименьшую высоту. Ответ дайте в сантиметрах.

Решение:

Сначала заметим, что наименьшая высота проводится к наибольшей стороне треугольника. Затем проведём эту высоту. Зрительно видно, что длина высоты - 1 клетка. Ответ: 1 см.

Пример 2:

На клетчатой бумаге с размером клетки 1см*1см изображен треугольник. Найдите радиус описанной около него окружности. Ответ дайте в сантиметрах.

Решение: Заметим, что треугольник, изображенный на рисунке - прямоугольный. Это легко обнаружить, приложив к углу треугольника угол линейки. Теперь необходимо вспомнить тот факт, что радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы. Подсчитаем длину гипотенузы (в клетках) - их 10. Значит, радиус описанной окружности равен 5.

Пример 3:

На клетчатой бумаге с размером клетки 1см*1см изображен треугольник. Найдите его наименьшую медиану. Ответ дайте в сантиметрах.

Решение. Сначала заметим, что наименьшая медиана проводится к наибольшей стороне треугольника. Также по рисунку можно заметить, что две стороны треугольника являются диагоналями прямоугольников размером 4 на 2 клетки каждый. Из чего делаем вывод, что треугольник равнобедренный. Значит можно найти любую из двух медиан, проведенных к боковым сторонам. Одна из медиан удачно проходит по клеткам - её длина 3 см. Ответ: 3 см.

Выводы: Элементы треугольника на клетчатой бумаге ищутся либо по теореме Пифагора, либо методом рассуждений и вычислений с опорой на известные факты и теоремы.



3. Задачи на разрезание

С этими задачами, очевидно, столкнулся ещё первобытный человек, когда пытался раскроить шкуру убитого зверя, чтобы сшить себе одежду. Известно, что решения многих простых задач на разрезание были найдены ещё древними греками. Первый письменный источник с подобными задачами относится к Х веку - это фрагменты трактата персидского астронома Абул-Вефа, жившего в Багдаде. Профессиональные математики всерьёз занялись задачами на разрезание ближе к середине XIX века.

Я попробовал провести классификацию таких задач. Все их сюжеты можно условно поделить на следующие виды и подвиды:

* Дробление - требуется разрезать данную фигуру:

· на заданное число равных между собой, или, как говорят математики, - конгруэнтных частей (фигур);

· на заданное число конгруэнтных и подобных ей фигур (такие фигуры получили название «делящихся»);

· определённым количеством прямых на максимально возможное число частей, не обязательно равных.

Возможны и другие вариации условий разрезания, так как фантазия человека не имеет ограничений.

* Квадрирование - разрезание фигуры на возможно меньшее число частей, из которых затем можно сложить квадрат.

* Трансформирование - требуется разрезать одну фигуру так, чтобы их её частей можно было сложить вторую заданную фигуру (не квадрат).

В отдельный подвид можно выделить очень популярные задачи на разрезание шахматной доски, которые отличаются от остальных задач на разрезание тем, что на доске есть раскраска квадратов, и это накладывает дополнительные требования при поиске решения.

Учитывая большое общее количество задач на разрезание, я в этой работе рассмотрел только задачи на клетчатой бумаге на дробление, поскольку они ближе к теме моей работы.

Следует учесть, что термин «разрезание» не всегда надо понимать буквально: при решении приведённых далее задач достаточно на чертеже данной фигуры обозначить линии разреза карандашом. Но смысл разрезания предполагает ещё и выход из плоскости и переворачивание фигуры любой её стороной из двух существующих.

В качестве примеров рассмотрим несколько типичных задач на разрезание, которые встречаются во многих сборниках занимательных задач и одну менее известную задачу на делящиеся фигуры, которая представляет собой небольшое исследование.

Пример 1. Можно ли разрезать квадрат 66 на полоски 14 ?

Рис 1 Рис 2

Решение. Используем раскраску, показанную на рис. 1. Любая полоска 14, положенная на такую доску, покроет ровно одну чёрную клетку. Следовательно, если бы мы разрезали квадрат на полоски, то чёрных клеток оказалось бы столько же, сколько полосок. Но число полосок должно быть равно (6 · 6) : 4 = 9, а чёрных клеток на этом рисунке 8! Значит разрезание невозможно.

Вместо раскраски в два цвета можно было использовать раскраску в четыре цвета, изображённую на рисунке 2 (каждый цвет помечен своим номером: цвет 1, цвет 2, цвет 3 и цвет 4).

Тогда каждая полоска 14 будет содержать ровно по одной клетке каждого цвета. Значит, если бы удалось разрезать квадрат на полоски, то клеток всех цветов было бы поровну. Но клеток цветов 1 и 3 - по 9, цвета 2 - 10, а цвета 4 - 8 штук.

Пример 2. Найти все целые положительные числа n таким образом, чтобы каждый треугольник можно было разрезать на n треугольников, подобных между собой.

Решение. Начертим разносторонний треугольник. Прежде всего покажем, как любой треугольник можно разрезать на n = kІ равных (следовательно, подобных) треугольников, т.е. на число n, равное квадрату целого числа. Разделим каждую сторону треугольника на k равных частей и через точки деления проведём прямые, параллельные его сторонам. Тогда число малых треугольников равно 1+ 3 + 5 + … + (2k - 1) = kІ

Рис. 6. k = 5, n = 25 Рис. 7 Рис. 8

Теперь покажем, что каждый треугольник разрезается на любое число n ? 4 подобных между собой треугольников.

В самом деле, оставим на рис. 6 малые треугольники только в нижней полосе (трапеции), а все остальные объединим в один (рис. 7).

Столь же легко показать, что число таких частей может быть сделано любым нечётным n ? 7 : верхний из четырёх треугольников разбит на 2k (k ? 2) частей, и ещё имеется три нижних, так что общее число частей равно n = 2k + 3, где k ? 2 (рис. 8).

Итак, любой треугольник можно разрезать на любое число n подобных между собой треугольников, за исключением n = 2, 3, 5. Можно доказать, что для этих значений n требуемое разрезание невозможно.



Заключение

В процессе исследования я изучил много справочной, научно-популярной литературы, побывал на сайтах малого Мехмата МГУ, ФИПИ, прочитал некоторые книги в электронном виде. Я рассмотрел различные задачи на построение и вычисления, заданные на клетчатой бумаге, научился применять решение таких задач в различных областях математики. Я научился вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке не только известными мне ранее способами (с помощью формул, подсчетом клеток, разрезание фигуры на более простые части, достраивание до прямоугольника), но и с помощью формулы Пика.

Рассмотренные мною задания имеют различный уровень трудности - от простых до олимпиадных. Каждый может найти среди них задачи посильного уровня сложности, отталкиваясь от которых, можно будет переходить к решению более трудных.

Вывод: тема, которая меня заинтересовала, достаточно многогранна, задачи на клетчатой бумаге многообразны, методы и приёмы их решения также разнообразны.

Задачи на клетчатой плоскости не являются несерьёзными или бесполезными, они не так уж и далеки от серьёзных математических задач. Из задач на разрезание родилась теорема Бойаи-Гервина о том, что любые два равновеликих многоугольника равносоставлены (обратное очевидно). Задача на нахождение площади многоугольника с вершинами в узлах сетки сподвигла австрийского математика Пика в 1899 году доказать замечательную формулу Пика.

Работа по данной теме позволила мне преодолеть психологический барьер и поверить в свои силы, что является важнейшим фактором успешного решения экзаменационных задач, выступления перед аудиторией с теоретическим материалом по математике.

Мной составлен сборник задач на вычисление площади фигуры на клетчатой бумаге, которые не только увлекательны и интересны, но и развивают комбинаторно-геометрические навыки, интуицию, воображение. Со сборником я планирую познакомить одноклассников.



Список используемой литературы

1. Болотин И. Б., Добрышина Л. Ф. Смоленские математические олимпиады школьников (готовимся к ЕГЭ). Смол. гос. ун-т; Смоленск: СмолГУ, 2008.

2. Геометрия на клетчатой бумаге. Малый МЕХмат МГУ. Режим доступа: http://mmmf.msu.ru/archive/20082009/KanunnikovKuznetsov/2.html.

3. Григорьева Г. И. Подготовка школьников к олимпиадам по математике: 5- 6 классы. Метод. пособие. М.: Глобус, 2009.

4. Дынкин Е. Б., Молчанов С. А., Розенталь А. Л. Математические соревнования. Арифметика и алгебра. М.: Наука, 1970.

5. Екимова М. А.,Кукин Г. П. Задачи на разрезание. М.: МЦНМО, 2002. Режим доступа: http://www.math.ru/lib/files/pdf/kukin.pdf.

6. Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17, с. 24-25.

7. Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2010 - 2011. Режим доступа: http://mathege.ru/or/ege/ShowProblems.html?posMask=32.

8. Игнатьев Е. И. В царстве смекалки. М.: Наука, 1982.

9. Кенгуру - 2010. Задачи, решения, итоги. Режим доступа: http://russian-kenguru.ru/load.

10. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. М.: МЦНМО, 2000.

11. Рисс Е. А. Математический клуб «Кенгуру» Выпуск № 8 (изд. второе). Санкт-Петербург, 2009.

12. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрия на клетчатой бумаге. М.: Чистые пруды, 2009.

13. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрические задачи с практическим содержанием. М.: Чистые пруды, 2010.

14. Смирнов В. А. ЕГЭ. Математика. Задача В6. Планиметрия. Р/т. М.: МЦНМО, 2011.

15. Трошин В. В. Занимательные дидактические материалы по математике. Сборник заданий. Выпуск 2. М.: Глобус, 2008.

16. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. М.: Наука, 1986.

Размещено на Allbest.ru

...