Основы теории множества
Понятие множества, его структура и главные элементы, существующие операции и порядок их реализации, способы задания. Сущность и методика пересечения, объединения, вычитания. Механизм и основные правила нахождения декартового произведения множества.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 24.02.2015 |
| Размер файла | 47,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Основы теории множества
1. Понятие множества и элемента множества. Операции над множествами. Способы задания множеств
Под множеством понимают любую совокупность отличных друг от друга объектов, объединенных общим свойством.
Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества.
Множества обозначаются прописными буквами латинского алфавита А, В, С,…; элементы множества - строчными буквами а, b, с,…. Если а являет-ся элементом множества А, то символически это записывают а ? А, читают «элемент а принадлежит множеству А»; если а не является элементом мно-жества А, то используют символ «П», записывают ? и читают «элемент а не принадлежит множеству А».
Множества бывают конечными и бесконечными. Если количество элементов данного множества можно выразить натуральным числом, то его называют конечным, в противном случае - бесконечным. Множество, состоящее из пяти пальцев, - конечное, множество точек отрезка АВ - бесконечное.
Множество, которое не имеет элементов, называется пустым и обозначается символом. Например, множество натуральных чисел, расположенных в натуральном ряду между числами 5 и 6, есть пустое множество.
Множество считается заданным, если о каждом объекте можно сказать, принадлежит он данному множеству или не принадлежит. Например, так как о каждом четырехугольнике можно сказать, является он параллелограммом или не является, то множество всех параллелограммов задано.
Существуют два основных способа задания множеств: перечислением всех его элементов и указанием характеристического свойства его элементов.
Перечислением можно задать конечное множество с небольшим числом элементов. Например, множество букв в слове «баобаб» - это множество, состоящее из букв а, б, о, символически его можно записать М = {а, б, о}.
Характеристическим свойством элементов множества называют свойство, которым обладают все элементы данного множества и только они.
Множество Х, каждый элемент х которого обладает свойством Р(х), в общем виде символически можно записать
Х = {х | P(x) и х ? Х}.
Примеры:
1. А = {n | n > 5 и n ? N},т.е. А - множество натуральных
чисел, больших 5.
2. B = {x | 0 < x ? 7} и x ? R, т.е. В-множество положительных действительных чисел, не превышающих 7.
Как правило, с помощью характеристического свойства задаются бесконечные множества. Однако в отдельных случаях бесконечное множество можно задать перечислением его нескольких первых элементов и поставить многоточие. Так, множество А в первом примере можно задать следующим образом:
А = {6, 7, 8,…}. Множество В во втором примере перечислением его элементов задать нельзя.
Числовым множеством называется множество, все элементы которого являются числами. Для обозначения числовых множеств употребляются буквы:
N - множество натуральных чисел;
N0 - множество целых неотрицательных чисел;
Z - множество целых чисел;
Q - множество рациональных чисел;
R - множество действительных чисел.
Таким образом, если речь идет о числовом множестве, то указание буквы задает соответствующее множество.
Операции над множествами:
Объединением двух множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из них.
Обозначение: A ? B.
Пересечением двух множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и множеству В.
Обозначение: A? B.
Разностью двух множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.
Обозначение: A \ В.
Символическая запись определения:
(x ? A/В) (x ? A x B).
Дополнением множества В до множества А называется множество, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В, при условии, что
B ? A.
Дополнение множества В до множества А обозначается симвлом B A', дополнение множества В до универсального - символом B'.
2. Записать с помощью знака равенства и фигурных скобок предложения: У-множество букв a, b, c; А-множество натуральных чисел, не больших 15.
У={a, b, c}; А={n | n ?15 и n ? N}
3. Перечислить элементы следующих множеств:
А-множество четных однозначных чисел;
В-множество натуральных чисел, меньших или равных 15;
С-множество двузначных чисел, кратных 20.
А={2,4,6,8};
В={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15};
С={20,40,60,80}
4. Укажите характеристическое свойство элементов множества:
а) {понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресение} - дни недели;
в) {48,46,44,42,40} четные числа пятого десятка;
с) {11,22,33,44,55,66,77,88,99} двузначные числа, состоящие из двух одинаковых цифр.
5. Образовать все возможные подмножества множества
Р={13,6,2,7}
Какое из множеств является подмножеством другого
А-множество треугольников;
В-множество прямоугольных треугольников;
С-множество остроугольных треугольников.
Р={13,6,2,7}?{13,6,2}; {13,2,7}; {6,2,7}; {13,2}; {13,7}; {136}; {267}; {713,6};
{6,2,13}; {2,7,13}; {2,13}; {6,13}; {7,13}; {7,2}; {7,6}
6. Понятие пересечения, объединения, вычитания множеств. Найти пересечение, объединение и разность множеств:
а). А={16, 39, 5, 57, 17,81}, B={16, 57, 17}
в).A={19, 39, 5, 57, 17,81} B={17,16, 57,5, 39, 81}
Пересечением множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В. Если множества А и В не имеют общих элементов, их пересечение равно пустому множеству; в этом случае множества А и В называются непересекающимися. Пересечение множеств обозначается символами «?» и «·» (знак умножения): С = А?В или С = АВ.
Пусть даны множества А и В. Их объединением называется множество С, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А, В. Объединение множеств обозначается символами «+» и «?»: C=A?B.
Разность двух множеств - это теоретико-множественная операция, результатом которой является множество, в которое входят все элементы первого множества, не входящие во второе множество. Обычно разность множеств A и B обозначается как , но иногда можно встретить обозначение A ? B и A?B
Пусть A и B - два указанных в определении множества, тогда их разность определяется (на теоретико-множественном языке):
Это множество часто называют дополнением множества B до множества A. (только когда множество В полностью принадлежит множеству А)
а) А?В={16, 57, 17}; А?В={16, 39, 5, 57, 17,81}, А\В={39, 5, 81};
б) А?В={39, 57, 81}; А?В={19, 39, 5, 57, 17,81,16}; А\В={19};
7. Из каких элементов состоит объединение множеств:
а). состоящих их букв в словах «методика» и «математика»;
в). М - множество однозначных чисел З - множество четных натуральных чисел. Ответ обоснуйте.
а) множество будет состоять из всех букв, входящих в оба слова, т.к. объединением двух множеств называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из них;
в). Из элементов множества З, т.к. в множество четных натуральных чисел входят однозначные числа.
8. Понятие декартова произведения множеств.
Найти декартово произведение множеств:
А={13,6,5}
B={2,7},
верно ли, что А х В и В х А содержат одинаковое число элементов;
что А х В=В х А? Ответ обоснуйте.
множество декартов пересечение
Декартовым произведением множеств А и В называется множество всех пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая компонента принадлежит множеству В. Декартово произведение обозначают А X В. Если множества А и В конечны и содержат небольшое число элементов, можно изобразить декартово произведение этих множеств при помощи графа или таблицы. Декартово произведение двух числовых множеств (конечных и бесконечных) можно изображать на координатной плоскости. Операцию нахождения декартова произведения множеств называют декартовым умножением.
Прямым произведением, или декартовым произведением множеств и называется множество всех упорядоченных пар таких, что и . При этом используют следующее обозначение:
А х В ={13,6,5} х {2,7}=(13,2), (13,7), (6,2), (6,7), (5,2), (5,7)
В х А={2,7} х {13,6,5}=(2,13), (2,6), (2,5), (7,13), (7,6), (7,5)
Верно.
Т.К существует свойство коммутативности, то А х В ?В х А
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Понятие множества, его обозначения. Операции объединения, пересечения и дополнения множеств. Свойства счетных множеств. История развития представлений о числе, появление множества натуральных, рациональных и действительных чисел, операции с ними.
курсовая работа [358,3 K], добавлен 07.12.2012Алгоритм упорядочивания множества. Определение декартового произведения, его графическая интерпретация. Обратное декартово произведение множеств. Проецирование на оси координат и на координатные плоскости. Область определения и область значений.
лекция [126,5 K], добавлен 18.12.2013Понятие множества, его трактование Георгом Кантором. Условные обозначения множеств. Виды множеств, способы их задания. Операции над множествами (пересечение, объединение, разность и дополнение), условия их равенства и основные свойства, отношения.
презентация [1,2 M], добавлен 12.12.2012Теория частичных действий как естественное продолжение теории полных действий. История создания и перспективы развития теории упорядоченных множеств. Частично упорядоченные множества. Вполне упорядоченные множества. Частичные группоиды и их свойства.
реферат [185,5 K], добавлен 24.12.2007Понятие множества и его элементов. Обозначение принадлежности элемента множеству. Конечные и бесконечные множества. Строгое и нестрогое включение. Способы задания множеств. Равенство множеств и двухсторонее включение. Диаграммы Венна для трех множеств.
презентация [564,8 K], добавлен 23.12.2013Мера ограниченного открытого множества. Мера ограниченного замкнутого множества. Внешняя и внутренняя меры ограниченного множества. Измеримые множества. Измеримость и мера как инварианты движения. Класс измеримых множеств.
курсовая работа [122,6 K], добавлен 28.05.2007Определение понятия множеств Г. Кантора, их примеры и обозначения. Способы задания, включение и равенство множеств, операции над ними: объединение, пересечения, разность, дополнение, их определение и наглядное представление на диаграмме Эйлера-Венна.
реферат [70,9 K], добавлен 11.03.2009Основные понятия размерности упорядоченных множеств. Определение размерности упорядоченного множества. Свойства размерности конечных упорядоченных множеств. Порядковая структура и элементы алгебраической теории решёток.
дипломная работа [191,8 K], добавлен 08.08.2007Определения понятия множество. Предельная точка множества, предел функции в точке. Эквивалентные, счетные и несчетные множества. Замкнутые и открытые множества. Функции на множестве. Свойства непрерывных функций на замкнутом ограниченном множестве.
курсовая работа [222,3 K], добавлен 11.01.2011Множество как ключевой объект математики, теории множеств и логики. Операции над множествами, числовые последовательности. Множества действительных чисел. Бесконечно малые и большие функции. Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывных функций.
лекция [540,0 K], добавлен 25.03.2012Свойства множества Кантора. Исследование заданной функции на непрерывность. Выражение множества B (кладбище Серпинского) и D (гребёнка Кантора) через множество Кантора. Свойства и построение всюду непрерывной, но нигде не дифференцируемой функции.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 24.06.2015Нумерация как отображение некоторого подмножества множества натуральных чисел N на исследуемый класс конструктивных объектов. Приведение к общему знаменателю на основе понятия нумерованного множества. Каноническое представление морфизма функции.
реферат [2,1 M], добавлен 16.05.2009Градусная и радианная мера угла. Функция как соотношение между двумя числовыми множествами, размерность числового множества. Понятие множества значений некоторого угла. Элементарные тригонометрические функции произвольного угла: синус, косинус, тангенс.
реферат [239,9 K], добавлен 19.08.2009Методика решения задач высшей математики с помощью теории графов, ее сущность и порядок разрешения. Основная идея метода ветвей и границ, ее практическое применение к задаче. Разбиение множества маршрутов на подмножества и его графическое представление.
задача [53,0 K], добавлен 24.07.2009М- и (М-1)-последовательности на основе произведения многочленов. Результаты по синтезу модели: структурная схема, методика построения по алгоритму Хемминга и по корреляционному моменту, аффинному преобразованию для заданного множества векторов.
контрольная работа [960,4 K], добавлен 24.07.2013Бинарные отношения на множестве. Рефлективность, примеры рефлективности. Симметричность, транзитивность, отношение порядка. Примеры дестрибутивных и недестребутивных решеток. Основные определения и свойства теории структур. Операции над множествами.
курсовая работа [64,0 K], добавлен 04.06.2015Выпуклые множества. Выпуклый функционал или функционал, определенный на векторном линейном пространстве и обладающий тем свойством, что его надграфик является выпуклым множеством. Функционал Минковского. Доказательство теорем Хана-Банаха и отделимости.
курсовая работа [501,1 K], добавлен 18.05.2016Определение понятий множества и факториала. Условия равности двух кортежей. Содержание основных разделов комбинаторики - перечислительного, экстремального и вероятностного. Сущность теории Рамсея. Сведения о размещении, перестановке и сочетании элементов.
реферат [509,5 K], добавлен 21.02.2012Понятие, истоки, систематизация и развитие теории групп. Множество как совокупность объектов, рассматриваемых как единое целое. Нильпотентные группы - непустые множества, замкнутые относительно бинарной алгебраической операции, их свойства и признаки.
курсовая работа [541,3 K], добавлен 27.03.2011Множеством именуется некоторая совокупность элементов, объединенных по какому-либо признаку. Над множествами определяют операции, во многом сходные с арифметическими. Операции над множествами интерпретируют геометрически с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
реферат [15,8 K], добавлен 03.02.2009
