Построение статистического ряда и гистограммы
Особенности построения статистического (вариационного) ряда и гистограммы, поиск оценки для математического ожидания и дисперсии. Выравнивание статистических рядов с помощью нормального распределения. Нулевая гипотеза о равенстве математических ожиданий.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 25.02.2015 |
| Размер файла | 63,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«Воронежский государственный технический университет»
(ФГБОУ ВПО «ВГТУ», ВГТУ)
Факультет заочного обучения
Кафедра прикладной математики
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине«Теория вероятностей и математическая статистика»
Вариант 13
Выполнил: студент гр. ТМ-121
Скуфинская Е. А., шифр 312002
Проверил:
Воронеж 2014
Задание 1
Произведено n независимых наблюдений над нормально распределенной случайной величиной Х, характеризующей процент выхода бракованных изделий с технологической операции.
Результаты опыта сведены в таблицу 1.
Построить статистический ряд и гистограмму, найти оценки для математического ожидания и дисперсии, построить соответствующие доверительные интервалы с = 0,95.
|
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
xi |
16,9 |
16,51 |
15,29 |
16,86 |
14,84 |
17,88 |
16,43 |
16,21 |
16,24 |
17,22 |
|
|
i |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
||
|
xi |
15,47 |
16,67 |
15,89 |
17,51 |
15,89 |
17,71 |
15,58 |
15,57 |
16,65 |
Построить статистический (вариационный) ряд и гистограмму, найти оценки для математического ожидания и дисперсии, построить соответствующие доверительные интервалу для = 0.95.
Преобразуем выборку в форму статистического (вариационного ряда).
Здесь:
k = 1 +3.2* lg19 = 5,09 5;
= = = 0.608
Найдем mi. Для этого сформируем интервалы разбиения (mi - число попаданий в интервал). Результаты сведем в таблицу 2.
|
X |
14.84; 15.448 |
15.448; 16.056 |
16.056; 16.664 |
16.664; 17.272 |
17.272; 17.88 |
|
|
mi |
2 |
5 |
5 |
4 |
3 |
Вычислим и оформим таблицу 3.
|
X |
14.84; 15.448 |
15.448; 16.056 |
16.056; 16.664 |
16.664; 17.272 |
17.272; 17.88 |
|
|
mi |
2 |
5 |
5 |
4 |
3 |
|
|
0.105 |
0,263 |
0,263 |
0,21 |
0,158 |
Построим гистограмму
Размещено на http://www.allbest.ru/
Вычислим и
= 15.144 * 0.105 + 15.752*0.263 + 16.36*0.263 + 16.968*0.21+17.576*0.158 16.376
= [(-1.232)2*0.105 + (-0.624)2*0.263 + (-0.016)2*0.263 + (0.592)2*0.21+ (1.2)2*0.158]
[0.159 + 0.102 + 0.0 + 0.074 + 0.228] 0.594
Тогда вариационный гистограмма дисперсия математический
0.771
Построим доверительный интервал для
= n - 1 = 19 - 1 = 18; = 0.95;
q = 100*(1 - 0.95) % = 5 %
Используем таблицу распределения Стьюдента:
tкр 2.1, тогда
tкр = 2.1 0.371
тогда доверительный интервал для будет
I = (16.376 - 0.371; 16.376 + 0.371 ) = (16.005; 16.747)
Построим доверительный интервал для
Вычислим Р1 и Р2
Р1 = 1 - = 0.975,
Р2 = 0.025
По Таблице критических точек распределения Пирсона «хи-квадрат», зная Р1, Р2 и = 18, найдем
8.23; 31.53
Вычислим (n - 1) 180.594 10.692
Тогда
(0.48; 3.4)
Ответ: 16.376; 0.594; I = (16.005; 16.747); I (0.48; 3.4).
Задание 2
Использовав выборки наблюдений заданий работы № 1, выровнять статистические ряды с помощью нормального распределения. При построении гистограмм проверить разбивку интервала изменения случайной величины Х на 6 частей.
= = = 0.50|6|
Найдем mi. Для этого сформируем интервалы разбиения (mi - число попаданий в интервал). Вычислим . Результаты сведем в таблицу 4.
|
X |
14.84; 15.347 |
15.347; 15.853 |
15.853; 16.360 |
16.360; 16.867 |
16.867; 17.373 |
17.373; 17.88 |
|
|
mi |
2 |
3 |
5 |
4 |
2 |
3 |
|
|
0.105 |
0,158 |
0,263 |
0,21 |
0,105 |
0,158 |
Построим гистограмму (рис. 1)
Учитывая вид гистограммы, выберем в качестве теоретического закона нормальный закон распределения, тогда функция плотности вероятности запишется в виде
f(x) = (6)
Используем метод моментов, для этих целей вычислим
= = 15.0935*0.105 + 15.6*0.158 + 16.1065*0.263 + 16.6135*0.21 + 17.12*0.105 + 17.6265*0.158 16.36
=[1.26652*0.105 + 0.762*0.158 + 0.25352*0.263 + 0.25352*0.21 + 0.762*0.105 + 1.26652*0.158] 0.62
= 0.79.
Приравнивая = mx и = x получим теоретическую кривую в виде
f(x) =
Построим график этой кривой для этого вычислим значения f(x) в граничных точках разбиения на интервалы.
Результаты вычислений сведем в таблицу.
|
X |
14.84 |
15.347 |
15.853 |
16.360 |
16.867 |
17.373 |
17.88 |
|
|
f(x) |
0.078 |
0.221 |
0.41 |
0.505 |
0.41 |
0.221 |
0.078 |
Изобразим график на рис. I. Получим плавную кривую плотности вероятности нормального распределения.
Вычислим вероятности попадания случайной величину в i - й интервал. Для нормального закона
= (7)
Функцию (Лапласа) находим по таблице. Результаты сведем в таблицу вида
|
X |
14.84; 15.347 |
15.347; 15.853 |
15.853; 16.360 |
16.360; 16.867 |
16.867; 17.373 |
17.373; 17.88 |
|
|
mi |
2 |
3 |
5 |
4 |
2 |
3 |
|
|
0.105 |
0,158 |
0,263 |
0,21 |
0,105 |
0,158 |
||
|
0.927 |
0,839 |
0,761 |
0,239 |
0,161 |
0,073 |
Вычислим значение 2:
2 = 19 = -18.13.
Вычислим уровень значимости по заданной доверительной вероятности
q = 100(1 - ) = 5%
По Таблице критических точек распределения Пирсона «хи-квадрат» найдем = 9.39.
Проверим неравенство 2 <
2 = -18.13 < 9.39 =
Неравенство выполняется.
Можно считать, что случайная величина Х , определяемая первоначальной выборкой, не противоречит гипотезе о нормальности ее распределения с плотностью вероятности
f(x) =
Задание 3
Выпуск некоторым предприятием промышленной продукции Y (млн. руб.) по годам X характеризуется данными таблиц.
Найти зависимость Y и X в виде параболы и проверить ее адекватность с доверительной вероятностью =0,99.
|
xi |
3 |
3 |
3.5 |
4.5 |
5.5 |
6.5 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
12 |
|
|
yi |
0.3 |
1.5 |
2 |
3.2 |
4.2 |
4.5 |
4.5 |
8 |
5.2 |
5.8 |
5.7 |
6 |
Составим систему нормальных уравнений вида (5) при m = 2; n = 12.
Для вычисления коэффициентов при составим вспомогательную таблицу
|
N |
xi |
yi |
X2i |
X3i |
X4i |
XiYi |
X2iYi |
|
|
1 |
3 |
0.3 |
9 |
27 |
81 |
0.9 |
2.7 |
|
|
2 |
3 |
1.5 |
9 |
27 |
81 |
4.5 |
13.5 |
|
|
3 |
3.5 |
2 |
12.25 |
42.875 |
150.0625 |
7 |
24.5 |
|
|
4 |
4.5 |
3.2 |
20.25 |
91.125 |
410.0625 |
14.4 |
64.8 |
|
|
5 |
5.5 |
4.2 |
30.25 |
166.375 |
915.0625 |
23.1 |
127.05 |
|
|
6 |
6.5 |
4.5 |
42.25 |
274.625 |
1785.0625 |
29.25 |
190.125 |
|
|
7 |
8 |
4.5 |
64 |
512 |
4096 |
36 |
288 |
|
|
8 |
9 |
8 |
81 |
729 |
6561 |
72 |
648 |
|
|
9 |
10 |
5.2 |
100 |
1000 |
10 000 |
52 |
520 |
|
|
10 |
11 |
5.8 |
121 |
1331 |
14 641 |
63.8 |
701.8 |
|
|
11 |
12 |
5.7 |
144 |
1728 |
20 736 |
68.4 |
820.8 |
|
|
12 |
12 |
6 |
144 |
1728 |
20 736 |
72 |
864 |
|
|
88 |
50.9 |
777 |
7657 |
80 192.25 |
443.35 |
4265.275 |
Тогда систему нормальных уравнений можно записать так
для решения этой системы сначала разделим числовые коэффициенты каждого уравнения на коэффициенты при ,получим
решаем систему по правилу Крамера
тогда
; ;
Уравнением регрессии будет
Y = 3.56 + 1.85X 0.09X2
Так как уравнение регрессии нелинейно, то будем вычислять корреляционное отношение по формуле (7)
Найдем
Для удобства опять воспользуемся таблицей
|
N |
Yi |
y |
yi-Yi |
yi- |
(yi-Yi) 2 |
(yi-)2 |
|
|
1 |
0.3 |
1.18 |
0.88 |
3.06 |
0.77 |
9.36 |
|
|
2 |
1.5 |
1.18 |
0.32 |
3.06 |
0.1 |
9.36 |
|
|
3 |
2 |
1.81 |
0.19 |
2.43 |
0.04 |
5.9 |
|
|
4 |
3.2 |
2.94 |
0.26 |
1.3 |
0.07 |
1.69 |
|
|
5 |
4.2 |
3.89 |
0.31 |
0.35 |
0.1 |
0.12 |
|
|
6 |
4.5 |
4.66 |
0.16 |
0.42 |
0.3 |
0.18 |
|
|
7 |
4.5 |
5.48 |
0.98 |
1.24 |
0.96 |
1.54 |
|
|
8 |
8 |
5.8 |
2.2 |
1.56 |
4.84 |
2.43 |
|
|
9 |
5.2 |
5.94 |
0.74 |
1.7 |
0.55 |
2.89 |
|
|
10 |
5.8 |
5.9 |
0.1 |
1.66 |
0.01 |
2.76 |
|
|
11 |
5.7 |
5.68 |
0.02 |
1.44 |
0 |
2.07 |
|
|
12 |
6 |
5.68 |
0.32 |
1.44 |
0.1 |
2.07 |
|
|
7.84 |
40.37 |
Величина корреляционного отношения близка к 1 (по критерию Стьюдента = 3.1693), предполагается, что теоретический коэффициент корреляции равен нулю, т.е. не значим.
Проверим значимость полученного корреляционного отношения при
m = 2; n = 12
Тогда
т.к. = 0.99 то q = 1%
По таблице критериев Фишера для 1 = 2; 2 = 9; q = 1% находим FКР = 6.93 и т.к. 221.63 > 6.93, то полученный критерий значим.
Для наглядности построим графики регрессионного уравнения и отложим точки исходной статистики.
Уравнение регрессии
Y = 3.56 + 1.85X 0.09X2
адекватно описывает исходную статистику и может быть используемо для дальнейших исследований.
Задание 4
Произведено по пять замеров на четырех автоматах, обрабатывающих ролики. Ролики были измерены по диаметру. В таблицах приводятся отклонения в мм от номинального размера диаметра ролика для каждого из автоматов. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями. Методом дисперсионного анализа проверить нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий замеров для каждого автомата. = 0.95
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
||
|
1 |
0.96 |
0.41 |
0.35 |
-0.62 |
2.19 |
|
|
2 |
-0.77 |
0.12 |
0.14 |
-1.66 |
0.84 |
|
|
3 |
0.89 |
0.44 |
-0.11 |
0.65 |
0.83 |
|
|
4 |
0.52 |
0.22 |
1.52 |
-1.14 |
0.08 |
= = 0.658;
= = - 0.266;
= = 0.54
= = 0.24
= = 0.293
QA = 5 [(0.658 - 0.293)2 + (- 0.266 - 0.293)2 + (0.54 - 0.293)2 + (0.24 - 0.293)2 ] 2.548
QR = (0,96 - 0.658)2 + (0,41 - 0.658)2 + (0,35 - 0.658)2 + (- 0.62 - 0.658)2 + (2.19 - 0.658)2 +
+ (- 0.77 + 0.266)2 + (0.12 + 0.266)2 + (0.14 + 0.266)2 + (- 1.66 + 0.266)2 + (0.84 + 0.266)2 +
+ (0.89 - 0.54)2 + (0.44 - 0.54)2 + (- 0.11- 0.54)2 + (0.65 - 0.54)2 + (0.83 - 0.54)2 +
+ (0.52 - 0.24)2 + (0.22 - 0.24)2 + (1.52 - 0.24)2 + (- 1.14 - 0.24)2 + (0.08 - 0.24)2 = 12.26
R = mn - m = 45 - 4 = 16;a = m - 1 = 4 - 1 = 3.
= = = 0.766; = = = 0.849.
FP = = 1.108
q = 100(1 - 0.95)% = 5%
По таблице критериев Фишера при A = 3; R = 16 и q = 5%, Fкр = 3.24
Fp < Fкр - H0 принимается.
Средние значения замеров по приборам различаются незначительно.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Порядок и принципы построения вариационного ряда. Расчет числовых характеристик статистического ряда. Построение полигона и гистограммы относительных частот, функции распределения. Вычисление асимметрии и эксцесса. Построение доверительных интервалов.
контрольная работа [108,5 K], добавлен 03.10.2010Закон и свойства нормального распределения случайной величины. На основе критерия согласия Пирсона построение гистограммы, статистической функции и теоретической кривой и определение согласованности теоретического и статистического распределения.
курсовая работа [894,5 K], добавлен 30.10.2013Определение вероятность срабатывания устройств при аварии. Расчет математического ожидания, дисперсии и функции распределения по заданному ряду распределения. Построение интервального статистического ряда распределения значений статистических данных.
контрольная работа [148,8 K], добавлен 12.02.2012Понятие вариационного ряда, статистического распределения. Эмпирическая функция и основные характеристики математического ожидания выборочной дисперсии. Точечные и интервальные оценки распределений. Теория гипотез - аналог теории доверительных интервалов.
контрольная работа [172,9 K], добавлен 22.11.2013Формулировка теоремы Бернулли, проверка ее с помощью программы. Моделирование случайной величины методом кусочной аппроксимации. График распределения Коши, построение гистограммы и нахождения числовых характеристик, составление статистического ряда.
курсовая работа [226,8 K], добавлен 31.05.2010Нахождение вероятности того, что наудачу взятое натуральное число не делится. Построение гистограммы для изображения интервальных рядов, расчет средней арифметической дискретного вариационного ряда, среднего квадратического отклонения и дисперсии.
контрольная работа [140,8 K], добавлен 18.05.2009Алгоритм определения вероятности события и выполнения статистических ожиданий. Оценка возможных значений случайной величины и их вероятности. Расчет математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения. Анализ характеристик признака.
контрольная работа [263,8 K], добавлен 13.01.2014Определение вероятности того, что из урны взят белый шар. Нахождение математического ожидания, среднего квадратического отклонения и дисперсии случайной величины Х, построение гистограммы распределения. Определение параметров распределения Релея.
контрольная работа [91,7 K], добавлен 15.11.2011Вычисление математического ожидания, дисперсии и коэффициента корреляции. Определение функции распределения и его плотности. Нахождение вероятности попадания в определенный интервал. Особенности построения гистограммы частот. Применение критерия Пирсона.
задача [140,0 K], добавлен 17.11.2011Построение полигона относительных частот, эмпирической функции распределения, кумулянты и гистограммы. Расчет точечных оценок неизвестных числовых характеристик. Проверка гипотезы о виде распределения для простого и сгруппированного ряда распределения.
курсовая работа [216,2 K], добавлен 28.09.2011Числовые характеристики для статистических распределений. Построение интервального вариационного ряда, многоугольника частостей, графика выборочной функции распределения и определения среднего значения выборки и выборочной дисперсии двумя способами.
презентация [140,3 K], добавлен 01.11.2013Уравнения с разделяющими переменными. Частное решение линейного дифференциального уравнения. Оценка вероятностей с помощью неравенства Чебышева. Нахождение плотности нормального распределения. Построение гистограммы и выборочной функции распределения.
контрольная работа [387,4 K], добавлен 09.12.2011Формы, виды и способы статистического наблюдения. Виды группировок, их интервал и частота. Структура ряда динамики. Абсолютные и относительные статистические величины. Представление выборки в виде статистического ряда. Точечное и интервальное оценивание.
курс лекций [1,1 M], добавлен 29.11.2013Статистическая обработка данных контроля времени (в часах) работы компьютерного класса в день. Полигон абсолютных частот. Построение графика эмпирической функции распределения и огибающей гистограммы. Теоретическое распределение генеральной совокупности.
контрольная работа [379,3 K], добавлен 23.08.2015Поиск вариационного ряда по выборке. Функция распределения, полигон частот. Ранжированный и дискретный вариационный ряды. Вычисление числа групп в вариационном ряду по формуле Стерджесса. Гипотеза о нормальном характере эмпирического распределения.
контрольная работа [57,6 K], добавлен 12.04.2010Нахождение плотности, среднеквадратического отклонения, дисперсии, ковариации и коэффициента корреляции системы случайных величин. Определение доверительного интервала для оценки математического ожидания нормального распределения с заданной надежностью.
контрольная работа [200,3 K], добавлен 16.08.2010Цель и задачи статистического анализа. Методы получения оценок: максимального правдоподобия, моментов. Доверительный интервал. Точечная оценка параметров распределения. Генеральная и выборочная дисперсии. Интервальное оценивание математического ожидания.
презентация [395,9 K], добавлен 19.07.2015Первые два момента состоятельной оценки спектральной плотности, исследование асимптотического поведения математического ожидания и дисперсии построенной оценки. Сравнительный анализ оценки спектральной плотности в зависимости от окон просмотра данных.
курсовая работа [558,0 K], добавлен 12.04.2012Среднее арифметическое наблюдаемых значений, служащее оценкой для математического ожидания. Состоятельность оценки, следующая из теоремы Чебышева. Условия возникновения систематической ошибки, ликвидация смещения. Точечные параметры оценки величин.
презентация [62,3 K], добавлен 01.11.2013Вариация признаков в совокупности. Типы рядов распределения: атрибутивные и вариационные. Классификация по характеру вариации. Основные характеристики и графическое изображение вариационного ряда. Показатели центра распределения и колеблемости признака.
курсовая работа [110,0 K], добавлен 23.07.2009
