Теория вероятностей и математическая статистика

Размещено на http://allbest.ru

Министерство образования и науки Российской Федерации

Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Высшая школа предпринимательства»

Кафедра «Экономика и управление»

Контрольная работа

по дисциплине «Математика»

Теория вероятностей и математическая статистика

Выполнил: студентка второго курса заочного

отделения с применением ДОТ

направления подготовки «Экономика»

профиль подготовки «Финансы и кредит»

Рогожина Лилиана Геннадьевна

Москва 2011



Задача 1

В партии из 20 изделий 5 изделий имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что из взятых наугад 4 изделий 2 изделия являются дефектными?

Решение:

Воспользуемся классическим определением вероятности:

,

Где n - общее число исходов, m - число исходов, благоприятствующих событию. n - число вариантов взять наугад 4 изделия из 20 определяется по формуле:

Два дефектных изделия можно выбрать

способами. Два годных изделия можно выбрать

способами. По правилу произведения

m =

Находим искомую вероятность:

p = = 0,217

Ответ: искомая вероятность равна 0,217.



Задача 2

В магазине выставлены для продажи 18 изделий, среди которых 6 изделий некачественные. Какова вероятность того, что взятые случайным образом 3 изделий будут некачественными?

Решение:

Посчитаем n - всевозможое число исходов - число способов выбрать 3 изделия из 18 имеющихся определяется по формуле:

Посчитаем m - число исходов, благоприятных событию - количество способов выбрать 3 некачественых изделия из 6 имеющихся:

По классическому определению вероятности

= = 0,025

Ответ: искомая вероятность равна 0,025.

Задача 3

На сборочное предприятие поступили однотипные комплектующие с трех заводов в количестве: 40 с первого завода, 35 со второго, 25 c третьего. Вероятность качественного изготовления изделий на первом заводе 0,9 на втором 0,7, на третьем 0,9 . Какова вероятность того, что взятое случайным образом изделие будет качественным?

Решение:

Данная задача на применение формулы полной вероятности.

Пусть событие А - взятое случайным образом изделие будет качественным.

Н1 - взятое случайным образом изделие изготовлено на 1-м заводе,

Н2 - взятое случайным образом изделие изготовлено на 2-м заводе,

Н3 - взятое случайным образом изделие изготовлено на 3-м заводе.

Н₁, Н₂ и Н₃ - гипотезы; образуют полную группу событий.

Рассчитаем вероятности гипотез:

P(H₁)= 40/(40+35+25) = 0,4

P(H₂)= 35/(40+35+25) = 0,35

P(H₃)= 25/(40+35+25) = 0,25

По данным задачи условные вероятности равны:

P_H1(A) = 0,9, P_H2(A) = 0,7, P_H3(A) = 0,9.

Найдем вероятность события А по формуле полной вероятности:

Р(А) =

P(A) = P(H₁) · P_H1(A) + P(H₂) · P_H2(A) + P(H₃) · P_H3(A) = 0,4 ·0,9 + 0,35 · 0,7 + 0,25 · 0,9 = 0,36 + 0,245 + 0,225 = 0,83

Ответ: 0,83

Задача 4

Дано распределение дискретной случайной величины X.

Найти математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение.

Xi	-6	-2	1	4
Pi	0,1	0,3	0,4	0,2



Решение:

Найдем М(Х) по формуле

М(Х) =

М(Х) = -60,1 + (-2)0,3 + 10,4 + 40,2 = -0,6 - 0,6 + 0,4 + 0,8 = 0.

Ско находим по формуле:

Найдем D(Х) по формуле.

D(Х) = M(X²) - [M(X)]²

M(X²) = 360,1 + 40,3 + 160,4 + 40,2 = 8,4

D(Х) = M(X²) - [M(X)]² = 8,4 - 0² = 8,4

= 2,898

Ответ: М(Х) = 0; ско = 2,898.

Задача 5

В городе имеются 3 оптовых базы. Вероятность того, что требуемого сорта товар отсутствует на этих базах, одинакова и равна 0,1. Составить закон распределения числа баз, на которых искомый товар отсутствует в данный момент.

Решение:

Обозначим через случайную величину Х - число баз, на которых искомый товар отсутствует в данный момент.

Случайная величина Х может принимать след. значения: 0; 1; 2; 3.

Наличие товара на той или иной базе - независимы один от другого события, вероятности отсутствия товара на каждой базе равны между собой, поэтому применима формула Бернулли.

Поскольку вероятность того, что товар на базе отсутствует, равна p=0.1, то вероятность того, что товар на базе есть q=1-0.1=0.9.

Найдем соответствующие вероятности:

= 0,729

= 0,243

= 0,027

= 0,001

Тогда закон распределения случайной величины Х в виде ряда распределения имеет вид:

X	0	1	2	3
Pi	0,729	0,243	0,027	0,001

Ответ: закон распределения

Задача 6

Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение. Ее математическое ожидание равно М(х) = 14, среднее квадратичное отклонение (ско) равно ско = 3. Найти вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение в интервале (10, 15).

Решение:

Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (б, в), равна:

Р(б < X < в) = ,

Где а - математическое ожидание, у - среднее квадратическое отклонение.

По условию задачи а = 14, у = 3, б = 10, в = 15. Следовательно,

Р(10 < X < 15) = = =

Находим значения по таблицам значений функции Лапласа.

Тогда

Р(10 < X < 15) = = 0,1293 + 0,4082 = 0,5375.

Ответ: Р(10 < X < 15) = 0,5375.

Задача 7

Рассчитать и построить гистограмму относительных частот по сгруппированным данным, где m - частота попадания в промежуток (x_i, x_i-1).

i	xi < X < xi-1	mi
1	7-9	5
2	9-11	4
3	11-13	8
4	13-15	12
5	15-17	11

Решение:

Рассчитаем относительные частоты, как отношение частоты интервала к общему количеству вариантов.

Результаты занесем в таблицу:

i	xi < X < xi-1	mi	wi
1	7-9	5	5/40= 0,125
2	9-11	4	4/40 = 0,1
3	11-13	8	8/40 = 0,2
4	13-15	12	12/40 = 0,3
5	15-17	11	11/40 = 0,275
Итого		40	1

Строим гистограмму.

Откладываем на горизонтальной оси (оси X) полученные интервалы. На них, как на основаниях, строим прямоугольники, высоты которых равны соответствующим относительным частотам интервалов. Полученная ступенчатая фигура и является искомой гистограммой.



Рис. 1. Гистограмма интервалов

Задача 8

Найти несмещенную выборочную дисперсию на основании данного распределения выборки.

X	0,2	0,3	0,5	0,6
ni	16	11	10	13

Решение:

Несмещенную выборочную дисперсию находим по формуле:

,

Где - выборочная дисперсия.

Найдем выборочную дисперсию по формуле:

D(Х) = M(X²) - [M(X)]² ,

М(Х) =



М(Х) = = 19,3/50 = 0,386.

M(X²) = = 8,81 / 50 = 0,176.

Теперь можно найти выборочную дисперсию:

D(Х) = M(X²) - [M(X)]² = 0,176 - 0,386² = 0,027.

Находим несмещенную выборочную дисперсию:

= 0,028.

Ответ: 0,028.

Задача 9

Решить задачу о замене оборудования, используя метод статистической игры без проведения эксперимента по критерию Байеса.

Оборудование после k лет может оказаться в одном из трех состояний: Q1 - оборудование вполне работоспособно и требует лишь небольшого текущего ремонта; Q2 - требуется серьезный капитальный ремонт; Q3 - дальнейшая эксплуатация оборудования невозможна. Вероятности этих состояний 0,2; 0,6; 0,2.

	Q1	Q2	Q3
А1	1	5	7
А2	3	2	6
А3	5	4	3

Для предприятия возможны три стратегии: A1 - остановить оборудование в работе еще на год, проводя незначительный ремонт; A2 - провести капитальный ремонт; A3 - заменить оборудование. Потери, которые несет предприятие при различных стратегиях, даны в таблице.

Решение:

По критерию Байеса, оптимальной будет та стратегия А_i при которой минимизируется величина среднего риска (средних потерь).

Рассчитаем средний риск для каждой стратегии:

1?0,2 + 5?0,6 + 7?0,2 = 0,2 + 3 + 1,4 = 4,6

3?0,2 + 2?0,6 + 6?0,2 = 0,6 + 1,2 + 1,2 = 3

5?0,2 + 4?0,6 + 3?0,2 = 1 + 2,4 + 0,6 = 4

Среди найденных значений выбираем минимальное 3.

Следовательно, выбираем вторую стратегию А2.

Ответ: выбираем вторую стратегию А2 - провести капитальный ремонт.

Задача 10

Решить задачу выбора оптимального режима работы технологической линии по критерию Байеса.

На технологическую линию может поступать сырье с малым (Q1) и с большим (Q2) количеством примесей.

Априорные вероятности состоящий природы равны q1 = 0,4; q2 = 0,6. Для случаев использования различных видов сырья предусмотрены три режима работы технологической линии: А1, А2, А3. Потери, отражающие качество выпускаемой продукции и расходы сырья в зависимости от качества сырья и режима работы линии, приведены в таблице:

	Q1	Q2
А1	0	5
А2	1	3
А3	3	2

вероятность математический квадратический выборка

Решение:

По критерию Байеса, оптимальной будет та стратегия А_i при которой минимизируется величина среднего риска (средних потерь).

Рассчитаем средний риск для каждого режима технологической линии:

0?0,4 + 5?0,6 = 0 + 3 = 3

1?0,4 + 3?0,6 = 0,4 + 1,8 = 2,2

3?0,4 + 2?0,6 = 1,2 +1,2 = 2,4

Среди найденных значений выбираем минимальное - 2,2.

Следовательно, выбираем второй режим работы технологической линии А2.

Ответ: выбираем второй режим работы технологической линии А2.

Список литературы

1. Баврин И.И. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2005.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшая школа, 2004.

3. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для вузов.- М.: Высшая школа,2009.

4. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов.-- М.: ЮНИТИ, 2006..

Размещено на Allbest.ru

...