Линейные уравнения
Решение системы линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера и ее проверка. Графическое решение системы линейных алгебраических неравенств. Поиск производной и дифференциала функций, интервалов выпуклости и точек перегиба графика функции.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 24.02.2015 |
| Размер файла | 499,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Контрольная работа по математике №1 ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
Центр Дистанционного Образования
Факультет подготовки бакалавров
Направление «Менеджмент»
(профиль «Менеджмент организации»)
Контрольная работа
по дисциплине «Математика»
Выполнила:
студентка 1 курса заочной формы обучения
Михновец Наталья Владимировна
Курск - 2014
1) Решить систему линейных алгебраических уравнений, сделать проверку
x + y - 3z = 0
3x + 2y + 2z = -1
x - y + 5z = -2
РЕШЕНИЕ:
Решим систему по правилу Крамера, смысл которого состоит в том, что если определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:
алгебраический уравнение дифференциал интервал
В матричной форме система имеет вид: , где
Вычислим определитель матрицы А с помощью правила треугольников, которое гласит: определитель равен алгебраической сумме произведений элементов, расположенных на главной и побочной диагоналях и в вершинах треугольников с основаниями параллельными диагоналям. Произведения элементов, расположенных на побочной диагонали и в вершинах треугольников с основаниями параллельными ей, берутся со знаком минус.
Составляем дополнительные определители, полученные из определителя системы, заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов:
; ;
Находим данные определители:
?1 = 0 * 2 * 5 + (-3) * (-1) * (-1) + (-2) * 1 * 2 - (-2) * 2 * (-3) - 0 * (-1) * 2 - 5 * * (-1) * 1 = 0 - 3 - 4 - 12 - 0 + 5 = -14
?2 = 1 * (-1) * 5 + 1 * 0 * 2 + (-3) * 3 * (-2) - 1 * (-1) * (-3) - 1 * (-2) * 2 - 5 * 3 * * 0 = -5 + 0 + 18 - 3 + 4 - 0 = 14
?3 = 1 * 2 * (-2) + 0 * 3 * (-1) + 1 * 1 * (-1) - 0 * 2 * 1 - 1 * (-1) * (-1) - (-2) * 3 * * 1 = -4 + 0 - 1 - 0 - 1 + 6 = 0
Решаем систему линейных уравнений:
Решим систему линейных уравнений методом Гаусса.
Преобразуем расширенную матрицу системы:
Получим систему линейных уравнений:
Из третьего уравнения находим .
Из второго уравнения находим .
Из первого уравнения находим .
Выполним проверку:
Ответ: ; ; .
2) Даны координаты точек A, B, C: A(7; -4; 1), B(12; -3; 1), C(10; 1; 5) .
Найти: 1) координаты векторов AB и AC;
2) длины векторов AB и AC;
3) угол между векторами AB и AC.
РЕШЕНИЕ:
1) Координаты вектора и вычисляются следующим образом: из соответствующих координат конца вектора вычитаются соответствующие координаты начала вектора.
Вычислим координаты вектора :
(x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1) = (12-7; -3-(-4); 1-1) = (5; 1; 0).
Вычислим координаты вектора :
(10-7; 1-(-4); 5-1) = (3; 5; 4).
2) Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат:
3) Угол между векторами заданными своими координатами, вычисляется по формуле:
==
Угол между векторами и :
====
.
Ответ: 1) (5; 1; 0) и (3; 5; 4); 2) и ; 3) .
3) Даны координаты вершин треугольника ABC: A(-5; 0), B(7; 9), C(5; -5).
Найти: 1) длину стороны AB;
2) уравнение прямой, содержащей сторону AB, и ее угловой коэффициент;
3) уравнение прямой, содержащей высоту CD.
РЕШЕНИЕ:
1) Длина отрезка АВ находится по формуле:
2) Уравнение прямой, проходящей через две данные точки:
Подставим в формулу координаты точек А и В:
Уравнение прямой будет следующим:
Угловой коэффициент равен 0,75.
3) Высота CD перпендикулярна стороне треугольника AB, уравнение которой мы нашли выше. Тогда уравнение высоты CD, перпендикулярной АВ, будет иметь вид .
Подставим в это уравнение координаты вершины С:
b = 5/3
Тогда уравнение прямой, содержащей высоту CD будет иметь вид:
Ответ: 1) АВ = 15; 2) Уравнение прямой АВ: , угловой коэффициент k = 0,75; 3) Уравнение прямой, содержащей высоту CD: .
4) Решить графически систему линейных алгебраических неравенств
РЕШЕНИЕ:
Рассмотрим сначала простейшие неравенства x1 ? 1 и x1 ? 4. Нанесем прямые x1 = 1 и x1 = 4 на координатную ось. Знаки неравенства указывают, что решением для неравенства x1 ? 1 является правая полуплоскость и сама прямая, а решением для неравенства x1 ? 1 - левая полуплоскость и сама прямая.
Третье неравенство решаем универсальным методом решения с подстановкой точки. Построим прямую x1 + x2 =6. Выбираем подопытную точку, например, (0; 0) и подставим ее координаты в наше неравенство: 0 + 0 ? 6. Получено верное неравенство, значит, точка (0; 0) и все точки данной полуплоскости удовлетворяют неравенству.
Общим решением системы неравенств станет заштрихованная фигура.
5) Найти пределы , .
РЕШЕНИЕ:
1)Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители:
2) Для раскрытия неопределенности разложим знаменатель на множители, используя формулу:
=
6) Найти производную и дифференциал функций
, .
РЕШЕНИЕ:
1)
2)
7) Исследовать функцию , построить график. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-2; 2].
РЕШЕНИЕ:
1. Область определения функции:
2. Функции нечетная, так как :
График функции симметричен относительно начала координат.
3. Точки пересечения с осями координат:
Если y = 0, то => x = 0
Если x = 0, то => y = 0
График функции пересекает оси координат в точке (0;0).
4. Исследуем на экстремумы и монотонность. Вычисляем первую производную:
Находим критические точки:
x1 = 3, x2 = -3.
Исследуем знак производной на интервалах, на которых критические точки делят область определения функции:
Функция убывает на интервалах (-?; -3), (3; +?), возрастает на интервале (-3; 3). При прохождении через точку -3 производная меняет знак с минуса на плюс, то есть это точка минимума, а при прохождении через точку 3 - с плюса на минус, соответственно это точка максимума.
5. Асимптоты.
Найдем наклонные асимптоты. y = kx + b.
Вертикальных асимптот нет, горизонтальная асимптота y = 0
5. Найдем интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.
Вычисляем вторую производную:
Находим точки, в которых вторая производная равна нулю:
x = 0, x = -3v3, x = 3v3
Исследуем знак производной на интервалах, на которых эти точки делят область определения функции:
Функция выпукла вверх на интервалах (-?; ), (0; ), выпукла вниз на интервалах (; 0), (; +?). Так как при переходе через точки
x1 = 0, x2 = -3v3, x3 = 3v3 вторая производная сменила знак, то точки
( ), (), (0;) являются точками перегиба графика функции.
Строим график функции:
Для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-2; 2], необходимо вычислить значения функции на концах отрезка.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Решение системы линейных уравнений методом Гауса. Преобразования расширенной матрицы, приведение ее к треугольному виду. Средства матричного исчисления. Вычисление алгебраических дополнений матрицы. Решение матричного уравнения по правилу Крамера.
задача [26,8 K], добавлен 29.05.2012Сущность и содержание метода Крамера как способа решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы. Содержание основных правил Крамера, сферы и особенности их практического применения в математике.
презентация [987,7 K], добавлен 22.11.2014Решение задач систем линейных алгебраических уравнений, матричных уравнений, методы Гаусса и Кремера. Нахождение длины и координат вектора и исчисление его скалярного произведения. Уравнение прямой и определение координат точек неравенства; пределы.
контрольная работа [220,9 K], добавлен 06.01.2011Рассмотрение систем линейных алгебраических уравнений общего вида. Сущность теорем и их доказательство. Особенность трапецеидальной матрицы. Решение однородных и неоднородных линейных алгебраических уравнений, их отличия и применение метода Гаусса.
реферат [66,4 K], добавлен 14.08.2009Задачи вычислительной линейной алгебры. Математическое моделирование разнообразных процессов. Решение систем линейных алгебраических уравнений большой размерности. Метод обратной матрицы и метод Гаусса. Критерии совместности и определенности системы.
курсовая работа [220,0 K], добавлен 21.10.2011Способы решения системы линейных алгебраических уравнений: по правилу Крамера, методом матричным и Жордана-Гаусса. Анализ решения задачи методом искусственного базиса. Характеристика основной матрицы, составленной из коэффициентов системы при переменных.
контрольная работа [951,8 K], добавлен 16.02.2012Приближенные числа и действия над ними. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Интерполирование и экстраполирование функций. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Отделение корня уравнения. Поиск погрешности результата.
контрольная работа [604,7 K], добавлен 18.10.2012Метод Зейделя как модификация метода простой итерации. Особенности решения систем линейных алгебраических уравнений. Анализ способов построения графика функций. Основное назначение формул Симпсона. Характеристика модифицированного метода Эйлера.
контрольная работа [191,3 K], добавлен 30.01.2014Методика проверки совместности системы уравнений и ее решение. Вычисление параметров однородной системы линейных алгебраических уравнений. Нахождение по координатам модуля, проекции вектора, скалярного произведения векторов. Составление уравнения прямой.
контрольная работа [104,2 K], добавлен 23.01.2012Теория определителей в трудах П. Лапласа, О. Коши и К. Якоби. Определители второго порядка и системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Определители третьего порядка и свойства определителей. Решение системы уравнений по правилу Крамера.
презентация [642,7 K], добавлен 31.10.2016Определение алгебраического дополнения элемента определителя, матрицы, ее размера и видов. Неоднородная система линейных алгебраических уравнений. Решение системы уравнений методом Крамера. Скалярные и векторные величины, их примеры, разложение вектора.
контрольная работа [239,4 K], добавлен 19.06.2009Решение системы линейных алгебраических уравнений большой размерности с разреженными матрицами методом простого итерационного процесса. Понятие нормы матрицы и вектора. Критерии прекращения итерационного процесса. Выбор эффективного итерационного метода.
лабораторная работа [21,8 K], добавлен 06.07.2009Проверка совместности системы уравнений, ее решение матричным методом. Координаты вектора в четырехмерном пространстве. Решение линейных неравенств, определяющих внутреннюю область треугольника. Определение пределов, производных; исследование функции.
контрольная работа [567,1 K], добавлен 21.05.2013Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.
контрольная работа [63,2 K], добавлен 24.10.2010Математика и информатика. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера. Работа в текстовом редакторе MS WORD. Рисование с помощью графического редактора. Определение вероятности. Построение графика функции с помощью MS Excel.
контрольная работа [443,3 K], добавлен 10.01.2009Решение системы линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы. Нахождение ранга матрицы. Вычисление определителя с помощью теоремы Лапласа. Исследование на совместимость системы уравнений, нахождение общего решения методом Гауса.
контрольная работа [97,3 K], добавлен 24.05.2009Алгоритм решения задач по теме "Матрицы". Исследование на совместность системы линейных алгебраических уравнений, пример их решения по правилу Крамера. Определение величины угла при вершине в треугольнике, длины вектора. Исследование сходимости рядов.
контрольная работа [241,6 K], добавлен 19.03.2011Расчет денежных расходов предприятия на выпуск изделий, при выражении их стоимости при помощи матриц. Проверка совместимости системы уравнений и их решение по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы. Решение алгебраических уравнений методом Гаусса.
контрольная работа [576,6 K], добавлен 28.09.2014Назначение и определение алгебраического дополнения элемента определителя. Особенности неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Определение размера матрицы. Решение системы уравнений методом Крамера. Скалярные и векторные величины.
контрольная работа [320,1 K], добавлен 13.07.2009Структура и элементы, принципы формирования и правила разрешения систем линейных алгебраических уравнений. История развития различных методов решения: матричного, Крамера, с помощью функции Find. Особенности применения возможностей программы Mathcad.
контрольная работа [96,0 K], добавлен 09.03.2016
