Детермінований хаос у динамічних системах з обмеженим збудженням

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ

КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ МОН УКРАЇНИ

ШВЕЦЬ Олександр Юрійович

УДК 519.7:534.1

Детермінований хаос у динамічних системах з обмеженим збудженням

Спеціальність 01.01.02 - диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико--математичних наук

КИЇВ - 2007

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Національному технічному університеті України "Київський політехнічний інститут", МОН України.

Науковий консультант: академік НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор САМОЙЛЕНКО Анатолій Михайлович, Інститут математики НАН України, директор.

Офіційні опоненти: академік НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор ШАРКОВСЬКИЙ Олександр Миколайович, Інститут математики НАН України, Завідувач відділу теорії динамічних систем;

доктор фізико-математичних наук, професор МІХЛІН Юрій Володимирович, НТУ України "Харківський політехнічний інститут", професор кафедри прикладної математики;

доктор фізико-математичних, професор ТЕПЛІНСЬКИЙ Юрій Володимирович, Кам'янець-Подільський державний університет, завідувач кафедри диференціальних рівнянь та прикладної математики.

Захист відбудеться “15" січня 2008 р. о 15 год. на засіданні спе- ціалізованої вченої ради Д 26.206.02 Інституту математики НАН України за адресою: 01601 Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий "11” грудня 2007 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради доктор фізико-математичних наук ПЕЛЮХ Г.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

коливання хаотичний маятниковий спектральний

Актуальність теми. Одним із самих значних наукових відкриттів останніх десятиліть є відкриття детермінованого хаосу в динамічних системах. Суть цього відкриття полягає в тому, що повністю визначена (детермінована) динамічна система, при відсутності будь-яких випадкових впливів на неї, починає вести себе непередбаченим (хаотичним) чином. Проте у цієї непередбачуваності (хаотичності) при більш ретельному розгляді вдається виявити ряд закономірностей у поведінці системи, що відрізняє дане явище від класичних випадкових процесів. Більше того, на відміну від класичних випадкових процесів, явище детермінованого хаосу може бути багаторазово відтворене в натурних і лабораторних експериментах. Найбільш істотним є те, що детермінований хаос не є якимось винятковим режимом поведінки динамічних систем, навпаки, такі режими спостерігаються в дуже багатьох динамічних системах, які розглядаються в математиці, фізиці, хімії, біології, медицині та економіці. Такі детерміновані хаотичні режими інколи є більш типовими режимами, ніж повністю передбачувані (регулярні) режими. Можна сказати, що оточуючий нас матеріальний світ "повністю занурений у хаос". Як з'ясувалося, явище детермінованого хаосу властиве не тільки матеріальному світу. Останнім часом такі явища все частіше описуються в дослідженнях з соціології, філософії, історії. Тому дослідження з хаотичної динаміки є одним з магістральних шляхів розвитку сучасного природознавства. Такі дослідження широко проводяться в усіх промислово розвинених країнах світу.

Явища детермінованого хаосу можливі тільки в нелінійних системах. Тому, з відкриттям детермінованого хаосу, повністю розвіялися раніше існуючі ілюзії про можливість будь-якого адекватного опису реальних процесів за допомогою лінійних математичних моделей. Погляд на нелінійні системи як на деяке "косметичне" удосконалення лінійних моделей беззастережно іде в минуле.

Математичним образом детермінованого хаосу найчастіше виступають так звані дивні атрактори - складним чином утворені граничні множини у фазових просторах динамічних систем. На практиці перший дивний атрактор було побудовано американським дослідником Е.Н.Лоренцем в 1963 році при вивченні процесів теплообміну в рідині. Проте, передумови існування хаотичної динаміки в детермінованих нелінійних системах можна виявити ще в роботах великого А.Пуанкаре, який зіштовхнувся зі складною динамікою в знаменитій задачі трьох тіл у небесній механіці. Зокрема, він описав так звану гомоклінічну траєкторію такими словами: "Дивуєшся складності цієї фігури, що я навіть не намагаюся зобразити. Нічого немає більш придатного, щоб дати нам уявлення про складність задачі трьох тіл, у яких немає однозначного інтеграла й ряди розбігаються." Слід зазначити, що аналіз гомо клінічних траєкторій став доступний фахівцям лише через шістдесят років після Пуанкаре. Зараз встановлено, що такі гомоклінічні траєкторії є одним з основних механізмів при утворенні дивного атрактора.

В дослідженнях 70-х років минулого століття переконливо показано, що основною причиною утворення дивних атракторів є експонентна нестійкість приналежних їм траєкторій. Тому особливого значення набули введені О.М.Ляпуновым в 1892 році характеристичні показники, які тепер називаються ляпуновськими. Зараз встановлено, що наявність у динамічної системи хоча б одного додатного ляпуновського показника є практичним критерієм хаосу.

Дослідження складної динаміки детермінованих динамічних систем проводилося в роботах Д.Біркгофа, О.О.Андронова, Е.Хопфа, Л.Д.Ландау,

М.М.Боголюбова, Ю.О.Митропольського, Дж.Хейла, В.І.Арнольда, Ю.Мозера, А.М.Самойленка та багатьох інших авторів. Тут слід зазначити роботи А.М.Самойленка та його школи (В.Л.Кулик, Ю.В.Теплінський та ін.) з дослідження тороїдальних многовидів динамічних систем.

Після опублікування роботи Е.Н.Лоренца, що стала в наш час класичною, число публікацій з хаотичної динаміки починає наростати, як лавина. Цей напрямок стає одним з провідних у сучасній теорії динамічних систем. Тут варто виділити дослідження В.С.Аніщенка, В.І.Арнольда, Г.Бенеттіна, Г.М.Заславського, Д.Йорка, Д.Каплана, А.П.Кузнєцова, С.П.Кузнєцова, П.Манневілля, В.В.Мелешка, В.К.Мельнікова, Ю.В.Міхліна, Ю.І.Неймарка, И.Помо, Д.Рюеля, Я.Г.Сіная, С.Смейла, Ф.Такенса, М.Фейгенбаума, Л.Чуа, М.Ено, О.М.Шарковського, Л.П.Шильнікова та багатьох інших. Незважаючи на збільшення з кожним роком числа публікацій з детермінованого хаосу, багато аспектів цієї теорії залишаються нез'ясованими й вимагають подальшого інтенсивного вивчення.

Другим науковим напрямком, до якого належить дисертаційна робота, є теорія систем з обмеженим збудженням. Вона виникла з експериментів німецького механіка А.Зоммерфельда на початку двадцятого століття. Але як сталий науковий напрямок дана теорія сформувалася з виходом в 1964 році монографії українського вченого В.О.Кононенка, в якій була введена чітка аксіоматика й побудовані математичні моделі для широкого кола задач. Теорія систем з обмеженим збудженням досліджує взаємодію коливальних систем із джерелами збудження їхніх коливань. В рамках цієї теорії передбачається, що джерела збудження коливань мають потужність порівнянну з потужністю, яка споживається коливальним навантаженням. У такому випадку функціонування джерела енергії залежить від режиму коливань навантаження, його вплив не можна виразити у вигляді явної функції часу заздалегідь заданого вигляду. Тоді як при традиційному математичному моделюванні коливальної системи розглядаються ідеалізовані джерела збудження необмеженої потужності. В багатьох випадках "ідеальний" підхід є принципово невірним, що на практиці призводить до грубих помилок в описі динаміки як коливальної системи, так і джерела збудження. Ще більш актуальним застосування моделей обмеженого збудження стає в наш час, коли перед людством на весь зріст постають проблеми глобального енергозбереження, що змушує максимально мінімізувати потужності застосовуваних джерел збудження.

За час, який минув після виходу монографії В.О.Кононенка, в теорії систем з обмеженим збудженням отримано цілий ряд важливих результатів, серед яких слід зазначити роботи К.В.Фролова, Р.Ф.Ганієва, Т.С.Краснопольської, М.Ф.Діментберга, А.А.Аліфова, М.А.Павловського, Х.Балтазара, С. Де Соуза, Р.Бразіл, А.Фенілі. В даний момент теорія систем з обмеженим збудженням є науковим напрямком, який інтенсивно розвивається.

Відкриття детермінованого хаосу стимулювало появу нового розділу в теорії систем з обмеженим збудженням, пов'язаного з пошуком хаотичних режимів взаємодії коливальних систем з джерелами збудження коливань. Причому, особливий інтерес викликають хаотичні режими, виникнення яких пов'язане з нелінійною взаємодією між коливальною системою й джерелом збудження, а не з їхніми автономними властивостями.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалася відповідно до загального плану наукової роботи кафедри математичної фізики фізико-математичного факультету НТУУ "Київський політехнічний інститут" і держбюджетної теми фізико-математичного факультету НТУУ "Київський політехнічний інститут" (номер державної реєстрації 0104400417, код КВНГДІ.1.0.04.01). Тема дисертації затверджена Вченою Радою НТУУ "Київський політехнічний інститут" (протокол № 7 від 29 червня 2005 р.).

Мета й завдання дослідження. Метою дослідження є одержання істотно нових результатів з хаотичної динаміки ряду детермінованих динамічних систем з обмеженим збудженням.

Об'єктом дослідження є системи диференціальних рівнянь, які описують нелінійну взаємодію маятникових, електропружних і гідродинамічних систем із джерелами збудження рухів.

Предметом дослідження є регулярні та хаотичні атрактори перерахованих вище динамічних систем, їх перерізи й відображення Пуанкаре, фазопараметричні характеристики, спектри ляпуновський характеристичних показників, розподіли спектральної густини й природної інваріантної міри, дослідження сценаріїв переходу від регулярних рухів до хаотичних, а також вивчення впливу факторів запізнювання на коливання деяких систем.

Методи дослідження. В роботі використовуються різні аналітичні та чисельні методи. Для спрощення математичних моделей, розглянутих в роботі динамічних систем, і для дослідження впливу запізнення на стабілізацію маятникових систем застосовується метод усереднення. При проведенні досліджень з хаотичної динаміки, розглянутих в роботі систем диференціальних рівнянь, застосовуються такі чисельні методи та алгоритми: метод Рунге--Кутти зі змінним кроком, алгоритм Бенеттіна, метод Ено, метод Файлона, комп'ютерний метод кодування відтінками.

Наукова новизна отриманих результатів. У дисертаційній роботі отримано наступні нові наукові результати.

Розроблена методика та створено пакет прикладних програм для комп'ютерних досліджень з хаотичної динаміки розглянутих систем диференціальних рівнянь, завдяки якому отримано результати роботи, які стосуються динамічного хаосу.

Для маятникових систем. Застосовано новий підхід, завдяки якому побудовано енергетично коректні математичні моделі деяких маятникових систем як в вигляді систем диференціальних рівнянь без відхилення аргумента, так і в вигляді систем диференціальних рівнянь з запізненням, а також в вигляді систем диференціальних рівнянь нейтрального типу. Виявлено існування хаотичних атракторів у розглянутих маятникових системах, незважаючи на те, що їх існування в деяких випадках раніше вважалося неможливим. Докладно проаналізовано вплив параметрів маятника й джерела збудження його коливань (електродвигуна) на виникнення, розвиток і зникнення детермінованого хаосу. Описано сценарії переходу від регулярних коливань до хаотичних і навпаки. Отримано фазопараметричні характеристики й спектри ляпуновських характеристичних показників систем. Побудовано та детально проаналізовано фазові портрети, перерізи й відображення Пуанкаре, розподіли природної інваріантної міри й розподіли спектральної густини хаотичних атракторів. Досліджено вплив різних факторів запізнювання на стійкість положень рівноваги маятників в ідеальному та неідеальному випадках. Показано, що наявність запізнювання приводить до істотного збільшення кількості усталених режимів взаємодії між маятником і електродвигуном. Встановлено, що запізнювання може відігравати роль своєрідного енергетичного регулятора, що приводить до появи незвичайних усталених режимів взаємодії, при яких швидкість обертання вала двигуна досягає значень, які перевищують швидкість обертання вала без коливального навантаження. Показано, що в деяких областях у просторі параметрів розглянутих систем, запізнювання фактично відіграє роль керуючого впливу при стабілізації (дестабілізації) коливань маятника.

Для систем " генератор--випромінювач. Застосування і дослідження нової математичної моделі, що описує процес взаємодії коливальних режимів п'єзокерамічного випромінювача й задавального електрогенератора дозволило встановити, що розглянута задача має виняткову розмаїтість усталених режимів як регулярних, так і хаотичних. По суті, розглянутій динамічній системі властиве значне число ефектів, характерних для задач нелінійної динаміки в цілому. Всі далі перераховані ефекти встановлено вперше.

Вивчено вплив зміни параметрів генератора на виникнення усталених режимів коливань системи. В даній детермінованій системі виявлено кілька типів хаотичних атракторів, у тому числі й два типи гіперхаотичних. Виявлено та пояснено помітні відмінності у фазових портретах, перерізах і відображеннях Пуанкаре, розподілах інваріантної міри та спектральної густини в існуючих у системи хаотичних атракторів. Показано, що системі притаманні кілька сценаріїв переходу від регулярних рухів до хаотичних. Виявлено переходи "порядок--хаос" по сценарію Фейгенбаума, через переміжність першого типу за Помо--Манневіллем, жорсткі переходи до хаосу.

Для вивчення впливу різноманітних факторів запізнювання побудовано математичну модель системи в вигляді системи диференціальних рівнянь з відхиленням аргумента. Показано, що фактори запізнювання істотно впливають на динаміку системи. При змінах значень запізнювання в системі спостерігається велика розмаїтість змін типу усталених режимів вигляду " хаос--порядок" або " порядок--хаос".

Встановлено, що існування детермінованого хаосу в системі пояснюється, головним чином, наявністю взаємодії між підсистемами (генератором і випромінювачем), а не автономними властивостями кожної з окремих підсистем.

Для систем "бак з рідиною--електродвигун". Застосування енергетично коректних принципів математичного моделювання нелінійних процесів взаємодії між баком, заповненим рідиною, й електродвигуном обмеженої потужності дозволило:

1. Вивчити вплив зміни параметрів бака, рідини й джерела збудження коливань (електродвигуна) на появу, розвиток і зникнення детермінованого хаосу в системі.

2. Встановити існування кількох типів хаотичних атракторів досліджуваних детермінованих динамічних систем типу "бак з рідиною--електродвигун", у тому числі так званих одномодових і двоходових атракторів.

3. Виявити та описати новий сценарій переходу до хаосу, який узагальнює класичний сценарій Помо--Манневілля.

4. Побудувати і ретельно проаналізувати основні характеристики, а саме, ляпуновські характеристичні показники, фазові портрети, перерізи й відображення Пуанкаре, розподіли природної інваріантної міри, розподіли спектральної густини хаотичних атракторів системи.

5. Встановити існування хаотичних атракторів у випадку параметричного резонансу в системі, що раніше вважалося неможливим.

6. Показати, що перехід від регулярного руху до хаотичного може відбуватися за різними сценаріями, такими як: каскад біфуркацій подвоєння періоду (сценарій Фейгенбаума), переміжність (класична і узагальнена), жорсткий перехід.

7. Виділити випадки, в яких хаотична динаміка отриманої системи диференціальних рівнянь п'ятого порядка може бути апроксимована за допомогою одновимірного дискретного відображення.

Практичне значення отриманих результатів. Дисертація має теоретичний характер. Істотна частина результатів дисертації використовується при читанні спецкурсів "Теорія динамічних систем" і "Хаос у динамічних системах", які викладаються на фізико-математичному факультеті НТУУ "Київський політехнічний інститут", а також при виконанні студентами дипломних робіт освітньо-кваліфікаційних рівнів "магістр" і "спеціаліст". Ці результати можуть бути використані при читанні спецкурсів з детермінованого хаосу на механіко-математичних, фізичних, радіофізичних факультетах інших університетів.

Результати дисертації можуть знайти застосування в рамках досліджень по хаотичній динаміці, що проводяться в математиці, механіці, гідро- та електродинаміці, фізиці, економіці, біології тощо.

Особистий внесок здобувача. З 28 робіт, опублікованих по темі дисертації в фахових наукових виданнях, 18 написано у співавторстві з Т.С.Краснопольською. В монографії [1] автором, разом з Т.С.Краснопольською, написано розділ 5. В цьому розділі автору належить розробка методики і програм проведення комп'ютерних розрахунків, знаходження областей хаотичної динаміки розглянутих динамічних систем, а також класифікація типів хаотичних і регулярних атракторів. Т.С.Краснопольській належить побудова математичних моделей та дослідження солітонів. У роботах [2-5] автору належить головна ідея дослідження впливу різних факторів запізнювання на динаміку маятникових систем. Також йому належить побудова всіх математичних моделей, обгрунтування застосованих методів дослідження та отримання умов асимптотичної стійкості стаціонарних режимів. Ним проведено ретельний аналіз впливу різноманітних факторів запізнювання на існування та стійкість отриманих стаціонарних режимів коливань. Т.С.Краснопольська брала участь у виведенні деяких рівнянь руху та в спільному обговоренні результатів.

У роботах [6, 9, 25] автору належить побудова математичних моделей, розробка методики та комп'ютерних програм дослідження хаосу, локалізація в просторі параметрів областей хаотизації, класифікація типів регулярних і хаотичних атракторів, дослідження перерізів Пуанкаре та розподілів спектральної густини. Т.С.Краснопольська брала участь в побудові деяких рівнянь руху та спільному обговоренні результатів.

У роботах [7-8, 10-12, 19, 20, 26-28] автору належить розробка методики досліджень по регулярній і хаотичній динаміці, створення оригінального пакету програм для проведення комп'ютерних розрахунків, отримання умов асимптотичної стійкості положень рівноваги, знаходження областей існування детермінованого хаосу, класифікація типів атракторів, дослідження перерізів та відображень Пуанкаре, розподілів інваріантної міри та спектральної густини. Т.С.Краснопольській належить побудова більшості математичних моделей у згаданих в цьому абзаці роботах.

З опублікованих робіт, написаних у співавторстві, на захист виносяться тільки результати отримані автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідалися на багатьох представницьких міжнародних наукових форумах, зокрема:

- на міжнародних з'їздах: 8--th World Congress on the Theory Machines and Mechanisms (Prague, 1991); Українському математичному конгресі (Київ, 2001); IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006);

- на міжнародних(всесоюзних) конференціях: International Conference of Nonlinear Oscillations "ICNO-XI" (Budapest, 1987); Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики (Тернополь, 1989); Нелинейные колебания механических систем (Горький, 1990); 1-st European Fluid Mechanics Conference (Cambridge, 1991);"CHAOS-IV"\, American--Russian--Ukrainian Conference on Chaos (Kiev, 1992); Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики - Вторые боголюбовские чтения (Киев, 1992); Sixth International Conference on Flow-Induced Vibration (London, 1995); International Conference Nonlinear Differential Equations (Kiev, 1995); Dynamical Systems Modelling And Stability Investigation (Kiev, 1999, 2003, 2005, 2007); Симпозіум "Консонанс-2005" (Київ, 2005); IUTAM Symposium on Hamilton Dynamics, Vortex Structures, Turbulence (Moscow, 2006); Lyapunov Memorial Conference (Kharkiv, 2007), Международная конференція "Анализ и особенности", посвященная 70-летию В.И.Арнольда (Москва, 2007);

- на міжнародних семінарах, школах: International Colloquium Euromech (Lisboa, 1991); Крымская Международная школа "Метод функций Ляпунова и его приложения" (Симферополь, 2002 и 2004).

- на українських семінарах: неодноразово на семінарі кафедри математичної фізики фізико-математичного факультету НТУУ "Київський політехнічний інститут" (керівник - професор С.Д.Івасишен), кафедри диференціальних та інтегральних рівнянь механіко-математичного факультету Національного університету ім. Т.Г. Шевченка (керівник - член-кореспондент НАН України М.О.Перестюк), семінарі "Математичні проблеми механіки та обчислювальна математика" Інституту математики НАН України (керівники - академік НАН України І.О.Луковський та член-кореспондент НАН України В.Л.Макаров), семінарі відділів теорії динамічних систем та топології (керівники - академік НАН України О.М.Шарковський та член-кореспондент НАН України В.В.Шарко).

Публікації. Результати дисертаційної роботи опубліковано в 1 монографії [1] і 27 статтях [2-28] в українських і закордонних наукових фахових виданнях, а також в 22 тезах і працях міжнародних наукових конференцій та з'їздів [29-50].

Структура й об'єм дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, шести розділів, висновків і бібліографії, яка нараховує 241 найменування. Повний об'єм роботи становить 334 сторінки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обговорюється актуальність теми, формулюється мета дослідження, висвітлюється питання про наукову новизну, теоретичне і практичне значення, апробацію отриманих результатів, кількість публікацій.

Перший розділ містить історичний огляд по детермінованому хаосу й генезис теорії систем з обмеженим збудженням. В ньому проведено огляд використаних літературних джерел.

В другому розділі зроблено короткий опис основних математичних методів регулярної та хаотичної динаміки. Дається поняття про динамічну систему, граничні множини динамічних систем, типи стійких траєкторій, перерізи і відображення Пуанкаре, спектральну густину та інваріантну міру атрактора. Викладено методи Бенеттіна та Ено.

Отримані в дисертації нові наукові результати викладені в третьому шостому розділах, кожен з яких супроводжується коротким вступом і висновками по розділу.

В третьому розділі досліджується виникнення детермінованого хаосу в деяких маятникових системах. Спочатку, в підрозділі 3.2, розглядається плоский фізичний маятник, коливання якого збуджуються електродвигуном обмеженої потужності.

Отримано достатні умови асимптотичної стійкості положень рівноваги системи диференціальних рівнянь. Головна увага приділяється вивченню виникнення детермінованого хаосу в системі. Оскільки система (2) є нелінійною, то основні дослідження проводились за допомогою чисельних методів. Була розроблена методика і створений комплекс програм для проведення комп'ютерних чисельних розрахунків. Подібні методики та комплекси програм були розроблені для досліджень з хаотичної динаміки і для всіх інших задач, які розглядались в дисертації.

Наведемо деякі результати, отримані в цьому підрозділі. Залежності старшого, відмінного від нуля, ляпуновского характеристичного показника системи від значень параметра . Наявність в спектрі ляпуновських характеристичних показників (ЛХП) додатногоmпоказника є основним практичним критерієм існування в системі хаотичного атрактора. Як видно з рис. 1а-б, існує кілька інтервалів зміни , в яких система має додатний ляпуновський показник. Отже, в цих інтервалах у даної системи існують хаотичні атрактори. Зауважимо, що параметр залежить від маси і довжини маятника, довжини кривошипа, а також від коефіцієнтів статичної характеристики двигуна. Тобто він є мультипараметром. Тому зміна параметра еквівалентна зміні будь-якого зі згаданих вище параметрів системи. Отже, на рис. 1а-б простежений вплив п'яти параметрів системи (2) на виникнення в ній детермінованого хаосу.

На рис. 1в.-г. наведено фазопараметричні характеристики системи (так звані біфуркаційні дерева), побудовані при тих же границях зміни параметра . Ці характеристики побудовано для координати . Фазопараметричні характеристики для інших координат системи якісно подібні наведеним на рис. 1в.-г. Інтервалам зміни параметра $F$, в яких розташовані окремі гілки "крони" біфуркаційного дерева, відповідають періодичні режими усталених коливань системи (2), а інтервалам, в яких "крона" зображується насичено чорним кольором, через злиття десятків тисяч окремих гілок, відповідають хаотичні режими. При уважному розгляді цього рисунка можливо помітити точки біфуркації як регулярних режимів, так і точки біфуркації, при проходженні яких відбувається зміна регулярного періодичного режиму на нерегулярний хаотичний.

На рис.1 д.-е. наведено фазові портрети хаотичних атракторів системи (2), які існують, відповідно, у правої (рис.1 д) і лівої (рис.1 е) границі одного з інтервалів хаотичності по параметру , а саме . Обидва хаотичні атрактори мають спіральну структуру. Зображуючі точки, належних хаотичним атракторам траєкторій, здійснюють хаотичні блукання по нескінченому числу витків спіралі атрактора з непередбачуваними порушеннями порядку попадання в малий окіл того чи іншого витка.

В підрозділі 3.2 ретельно вивчені фазові портрети, перерізи і відображення Пуанкаре, часові реалізації фазових змінних, розподіли спектральної густини і інваріантної міри атракторів різних типів, які існують в системі (2). Встановлено сценарії переходів від регулярних рухів до хаотичних, які відбуваються в досліджуваній системі. Показано, що такі переходи відбуваються за сценарієм Фейгенбаума (каскад нескінченних біфуркацій подвоєння періодів граничних циклів) і через переміжність першого типу за Помо--Манневіллем.

Знайдено фрактальні розмірності хаотичних атракторів системи. Побудовано залежності фрактальної розмірності від параметрів маятника і двигуна. Побудовано двопараметричну карту динамічних режимів системи "маятник--електродвигун", яка вичерпно описує області розташування регулярних і хаотичних режимів в просторі параметрів системи.

Зауважимо, що якщо розглядати задачу в ідеальній постановці, тобто вважати потужність двигуна необмеженою, то в рівняннях (2) треба покласти D=0. Тоді ця система рівнянь розпадеться на дві підсистеми, розмірність фазових просторів яких відповідно буде дорівнювати два і один. При таких розмірностях фазових просторів існування детермінованого хаосу теоретично неможливо. В розглянутій неідеальній постановці встановлено існування хаотичних атракторів в системі (2). Отже, детермінований хаос в системі "маятник--електродвигун" виникає виключно завдяки нелінійній взаємодії між її підсистемами.

В підрозділі 3.3 розглянуто сферичний маятник, вертикальні коливання точки опори якого збуджуються електродвигуном обмеженої потужності. Застосування принципів математичного моделювання, подібних застосованим в підрозділі 3.2, дозволило отримати наступні рівняння руху.

Отримана система диференціальних рівнянь п'ятого порядку використовується як математична модель детермінованої коливальної динамічної системи "сферичний маятник--електродвигун". Відмітимо, що більшість досліджень динаміки сферичного маятника проводилося й проводиться при припущенні, що джерело збудження коливань маятника ідеальне, тобто має необмежену потужність. Така ідеалізація джерела збудження коливань на практиці може призвести до грубих помилок у визначенні усталених коливань маятника. Як було показано в роботах Дж.Майлса, при ідеальному збудженні в цій системі не існує усталених хаотичних режимів. В підрозділі 3.3 показано, що врахування нелінійної взаємодії сферичного маятника з двигуном, який збуджує його коливання, дозволяє виявити існування детермінованого хаосу в системі.

В якості біфуркаційного параметру розглядався параметр - кут нахилу статичної характеристики двигуна. Показано, що існують значні, по довжині, інтервали зміни $E$, в яких усталеним режимом системи "сферичний маятник--електродвигун" буде хаотичний атрактор. Побудовано та досліджено кілька типів хаотичних атракторів, притаманних даній системі.

Проекції фазових портретів деяких типів хаотичних атракторів, виявлених в системі. Всі хаотичні атрактори мають спіральну структуру, хоч значно відрізняються один від одного за формою. Положення зображуючої точки траєкторії атрактора, в наперед заданий момент часу, непередбачуване.

На рис. 3а-в наведено перерізи Пуанкаре деяких хаотичних атракторів. Всі перерізи Пуанкаре є точковими хаотичними множинами. Число точок в цих множинах зростає зі зростанням тривалості часу чисельного інтегрування. Жодні з точок не співпадають між собою.

В цьому випадку вихідна п'ятивимірна система може бути з великою точністю апроксимована одновимірним дискретним відображенням, що істотно спрощує дослідження динаміки системи. Переріз Пуанкаре починає втрачати квазістрічковість і, при подальшому зменшенні значення $E$, він перетворюється в розвинену хаотичну множину.

В останньому випадку апроксимація одновимірним відображенням стає неможливою.

Всі спектри є суцільними, що підтверджує хаотичність усталеного режиму системи. Якщо в спектрі чітко проглядаються окремі піки, то на рис. 3д вони значно згладжуються, а спектр, наведений на рис. 3е, являє собою деякий "шумовий" п'єдестал з повною відсутністю помітних піків і відсутністю завалів по всій області розглянутих частот. Як з'ясовано в дисертації, вищеописані особливості, як перерізів Пуанкаре, так і спектральних характеристик, пов'язані з різними сценаріями переходу до хаосу на різних кінцях інтервалу хаотичності. Так, з боку лівої границі цього інтервалу перехід до хаосу відбувається за сценарієм Фейгенбаума, а з правої через переміжність за Помо--Манневіллем. Крім того, знайдено і описано жорсткі переходи типу "хаос--хаос".

Одним з фундаментальних факторів, які істотно впливають на динаміку маятникових систем є різноманітні, за своєю фізичною природою, запізнювання тих чи інших збурень маятникової системи. В четвертому розділі розглянуто вплив різних факторів запізнювання на динаміку маятникових систем. Такі запізнювання збурень завжди присутні в достатньо протяжних системах внаслідок обмеженості швидкості проходження сигналів: хвиль стиснення, розтягування, згину та ін. При коливальних процесах запізнювання призводить до зміни зсуву фаз між динамічними характеристиками системи, тим самим якісно змінюючи їх зв'язок.

В підрозділі 4.2 розглядаються коливання плоского маятника, точка опори якого рухається по певному, наперед заданому, закону. Причому задача вивчається в ідеальній постановці, тобто припускається, що потужність збудника руху точки опори маятника не обмежена. Розглянуто випадок високочастотного збудження точки опори та випадок головного параметричного резонансу. Припускається, що має місце запізнювання імпульса джерела збудження коливань, запізнювання ефективної відновлювальної сили та запізнювання демпфірування. Всі запізнювання вважаються змінними.

Виведено рівняння руху маятника, введено малий параметр та запропоновано деякі заміни змінних, за допомогою яких рівняння руху приводяться до стандартного за Боголюбовим--Митропольским вигляду. Встановлено умови, при яких система дифференціальних рівнянь в стандартному вигляді задовольняє умовам теореми Хейла. Знайдено всі положення рівноваги рівнянь першого наближення. Отримано достатні умови їх асимптотичної стійкості.

Значення коефіцієнтів A, B, C, D, E і G істотно залежать від запізнювання Тому запізнювання значно впливає як на існування положень рівноваги, так і на їхню стійкість. В просторі параметрів системи рівнянь першого наближення можливо виділити значні області, в яких фактор змінного запізнювання відіграє роль керуючого впливу на стабілізацію ( дестабілізацію) коливань маятника. В той же час, запізнювання ефективної відновлювальної сили на стійкість положень рівноваги не впливає. В деяких випадках, завдяки наявності запізнювання положення рівноваги системи першого наближення будуть стійкими (нестійкими) незалежно від інших значень параметрів системи.

У випадку основного параметричного резонансу отримано достатні умови асимптотичної стійкості коливань маятника навколо нижнього положення рівноваги. В цьому випадку всі розглянуті фактори запізнювання істотно впливають на стійкість.

В підрозділі 4.3. розглянуто високочастотну стабілізацію маятника при збудженні точки опори електродвигуном обмеженої потужності. Розглядаються випадки горизонтального та вертикального збудження точки опори. В обох випадках отримано систему диференціальних рівнянь, які описують нелінійну взаємодію маятника з джерелом збудження його коливань.

Дослідження рівнянь проводилося за допомогою методу усереднення. Була запропонована заміна змінних, за допомогою якої отримано диференціальні рівняння в стандартному вигляді та встановлено умови, при яких вони задовольняють теоремі Хейла. Після проведення процедури усереднення були отримані рівняння для визначення положень рівноваги системи першого наближення. Встановлено наявність нескінченного числа положень рівноваги двох типів. Отримано достатні умови асимптотичної стійкості положень рівноваги, які можно записати за допомогою наступних нерівностей:

Як видно з отриманих умов стійкості різні фактори запізнювання здійснюють істотний вплив на стійкість положень системи першого наближення. Навіть при незначній зміні запізнювань величини A, F, C, D можуть міняти свій знак на протилежний, що призводить до помітної зміни границь областей стійкості системи першого наближення. При зміні значень запізнювання можлива поява нових стаціонарних розв'язків, а також дестабілізація стійких, при відсутності запізнювання, положень рівноваги і, навпаки, стабілізація нестійких. Цей вплив запізнювань детально проаналізований в роботі на багатьох конкретних прикладах.

Особливо варто підкреслити, що наявність запізнювання може привести до появи стаціонарних швидкостей обертання вала більших, ніж c (швидкість обертання вала без навантаження), що не характерно для коливальних систем з обмеженим збудженням. Вищевказаний ефект виникає тому, що запізнювання може проводити значну корекцію сил, що діють на систему.

Аналогічні дослідження проведено і для випадку горизонтального збудження точки опори. Отримано умови стійкості, подібні до умов, і проведено ретельний аналіз впливу різних факторів запізнювання на існування та стійкість усталених режимів коливань маятника.

В підрозділі 4.4. розглядається резонансна взаємодія маятника з неідеальним джерелом збудження при вертикальному збудженні точки опори і наявності різних факторів запізнювання. Причому запізнювання можуть бути змінними. Отримано систему диференціальних рівнянь нейтрального типу, яка описує нелінійну взаємодію маятника та електродвигуна.

Розглядається випадок головного параметричного резонансу, при якому швидкість обертання вала двигуна близька до подвоєної власної частоти маятника. Для дослідження отриманої системи рівнянь застосовано метод усереднення. Визначено умови математичної коректності застосування цього методу. Зокрема показано, при яких умовах система диференціальних рівнянь в стандартному вигляді задовольняє теоремі Хейла. Досліджено вплив різних факторів запізнювання на існування та стійкість стаціонарних розв'язків системи першого наближення. Встановлено, що в деяких областях в просторі параметрів розглянутих систем, запізнювання грає роль керуючого впливу при стабілізації коливань маятника.

В розділі 5 проведено дослідження усталених режимів коливань п'єзокерамічного перетворювача. Одним з найважливіших складових елементів сучасного навігаційного устаткування є п'єзокерамічні перетворювачі (випромінювачі). Різні типи таких перетворювачів широко використовуються в глибиномірах, далекомірах, пристроях для сканування підводного простору, системах передачі та прийому інформації під водою. Останнім часом, як пристрій для збудження коливань п'єзокерамічного перетворювача, знову почали застосовуватися електролампові LC - генератори. Це пов'язане з тим ренесансом, який переживають аналогові лампові генератори, що дозволяють забезпечити значно більш точні метрологічні характеристики вихідних сигналів у порівнянні із цифровими пристроями.

Основою для функціонування таких випромінювачів є ефект зв'язаності механічного й електричного полів у п'єзокерамічних середовищах. Загальна теорія, яка описує зв'язані електропружні процеси, достатньо розроблена для різних типів п'єзокерамічних перетворювачів. Проте практично в усіх публікаціях задачі про поведінку електропружних тіл розглядаються в так званій ідеальній постановці. Тобто передбачається, що п'єзокерамічне тіло перебуває під дією силових і енергетичних впливів заданого виду. В такій постановці питання про вплив п'єзокерамічного тіла на пристрій збудження коливань, наприклад генератор напруги, не вивчається. В ряді випадків, коли потужність задавального генератора значно перевищує потужність споживану п'єзокерамічним тілом, така ідеалізація є припустимою. В той же час, на практиці, дуже часто зустрічаються випадки, коли потужність задавального електрогенератора є порівнянною з потужністю, яка споживається п'єзокерамічним тілом. В таких випадках застосування різних "ідеальних" моделей може призвести до грубих помилок в описі динаміки сукупної системи "генератор--п'єзокерамічний перетворювач". Зокрема, може бути повністю втрачена інформація про реально існуючі в системі детерміновані хаотичні режими.

Розділ 5 присвячений аналізу нелінійної взаємодії стрижневого п'єзокерамічного перетворювача, який збуджується LC - генератором обмеженої потужності. Особлива увага приділяється можливості виникнення хаотичних режимів у цій детермінованій динамічній системі.

Математична модель взаємодії п'єзокерамічного перетворювача і LC -генератора в безрозмірних змінних може бути записана у вигляді такої системи диференціальних рівнянь. де змінні, характеризують внутрішні процеси, які протікають в генераторі, а змінні, - пропорційні сигналу, який випромінюється п'єзокерамічним перетворювачем в зовнішнє середовище. Коефіцієнти визначаються з достатньо громіздких формул через електромагнітні, геометричні і деформаційні параметри генератора і перетворювача.

При виконанні умови система має нескінчену кількість положень рівноваги. Якщо ж, то система має єдине положення рівноваги: , яке ми будемо називати нульовим.

Таким чином, при виконанні умови і не виконанні хоча б однієї з нерівностей, єдине положення рівноваги системи буде нестійким. У цьому випадку всі траєкторії системи, що стартують з околу початку координат фазового простору, із часом залишають цей окіл і прямують до деяких граничних множин, атракторів, які можуть бути як регулярними, так і хаотичними.

Оскільки система рівнянь (10) є нелінійною системою диференціальних рівнянь четвертого порядку, всі її подальші дослідження проводилися за допомогою чисельних методів. Детальний опис застосовуваних методів і алгоритмів наведений в розділі 3. В просторі параметрів системи було проведено великий комплекс комп'ютерних експериментів, при проведенні яких коефіцієнти системи покладались рівними.

Особливо підкреслимо, що значення параметрів відповідають реальним характеристикам LC - генераторів і п'єзокерамічних випромінювачів. При так обраних параметрах системи у неї існує єдине нульове положення рівноваги, яке є нестійким за Ляпуновим.

Вивчено зміни усталених динамічних режимів, які відбуваються в системи при зміні параметра X. При цьому, особлива увага приділялась виникненню хаотичних атракторів, їхньому детальному опису і сценаріям переходів від регулярних режимів до хаотичних. Як відомо, основним практичним критерієм існування хаотичного атрактора є наявність у спектрі ЛХП хоча б одного додатного показника. Залежність старшого, відмінного від нуля, ляпуновського характеристичного показника від параметра X. Як видно з рисунка, існує ряд інтервалів значень X, в яких величина старшого ляпуновського показника буде додатною. Отже, в цих інтервалах існують хаотичні атрактори системи. Точки перетину цього графіка з горизонтальною координатною віссю відповідають біфуркаційним значенням параметра X.

Ця характеристика побудована відносно координати. Світлим ділянкам "крони" цього дерева відповідають періодичні режими усталених коливань системи, а густо затемненим - хаотичні. Чітко видно точки біфуркацій, при проходженні яких відбувається зміна регулярного періодичного режиму на нерегулярний хаотичний.

Фазові портрети виявлених в системі хаотичних атракторів різних типів. Хаотичні атрактори є гіперхаотичними. В спектрі ЛХП цих атракторів утримується по два додатних показника. Вони існують тільки в динамічних системах, розмірність фазового простору яких більша або дорівнює чотирьом. Наявність двох додатних показників свідчить про існування у фазовому просторі двох напрямків, за якими розбігаються близькі фазові траєкторії атрактора. У хаотичних атракторів в спектрі ЛХП утримується тільки по одному додатному показнику. Отже, існує тільки один напрямок, за яким розбігаються близькі фазові траєкторії.

В цьому ж розділі було побудовано і ретельно проаналізовано інші характеристики хаотичних атракторів - такі, як перерізи і відображення Пуанкаре, розподіли спектральних густин та інваріантних мір. Приведемо деякі з отриманих результатів. Вигляд відображення Пуанкаре хаотичного атрактора при X=8.955 показує, що в цьому випадку система може бути, правда досить грубо, апроксимована одновимірним відображенням, що істотно спростить її дослідження. Вигляд цього відображення, яке може бути замінено набором параболічних і підковоподібних ліній, є ще одним доказом того, що система перебуває в хаотичному режимі. Відображення Пуанкаре гіперхаотичного і хаотичного атрактора при X=4.255 являють собою деякі розвинені хаотичні множини. В цих випадках не може бути й мови про будь-яку одновимірну апроксимацію системи. Розподіли спектральних густин у всіх випадках є суцільними. По мірі зменшення значень параметра X спостерігається зникнення окремих піків Фур'є - спектрів.

Встановлено, що в більшості випадків перехід від регулярного режиму до хаотичного здійснюється через переміжність першого типу за Помо-Манневіллем. Але виявлені переходи до хаосу і через нескінченний каскад біфуркацій подвоєння періоду. Також виявлено жорсткі переходи типу "хаос-хаос".

В підрозділі 5.4 вивчався вплив факторів запізнювання на динаміку системи "генератор--випромінювач". Показано, що наявність запізнювання в системі може призвести до появи хаотичних атракторів в тих областях в просторі параметрів, в яких вони не існують при відсутності запізнювання. Також запізнювання може призвести і до зникнення хаотичних атракторів, які існують в системі при відсутності запізнювання. Взагалі при змінах значень запізнювання в системі спостерігається велика різноманітність змін типу усталених режимів "хаос--порядок" або "порядок-хаос".

Особливо слід підкреслити, що виявлені явища детермінованого хаосу в системі "випромінювач--генератор" пов'язані виключно з нелінійною взаємодією випромінювача та генератора, а не з їхніми автономними властивостями. При розгляді цієї задачі в ідеальній постановці детермінований хаос неможливий.

В шостому розділі проведено дослідження виникнення динамічного хаосу при обмеженому збудженні коливань бака з рідиною.

В підрозділі 6.2 вивчаються коливання вільної поверхні рідини циліндричного бака, частково заповненого рідиною, який збуджується електродвигуном обмеженої потужності в горизонтальному напрямку. Позначимо через кут обертання вала електродвигуна. Нехай рідина в баку із твердим дном є нев'язкою, нестисливою та має густину . Позначимо радіус циліндричного бака через R, а його поперечний переріз - через S. Припустимо, що рідина заповнює бак до глибини x = -d. Рух рідини в баку будемо описувати за допомогою потенціалу швидкості рідини . Тоді в якості основної математичної моделі, яка описує детерміновану динамічну систему "бак з рідиною--електродвигун" може бути прийнята така система диференціальних рівнянь.

Систему рівнянь для випадку ідеального збудження було отримано Дж. Майлсом і узагальнено на випадок неідеального збудження Т.С. Краснопольською.

В просторі параметрів (, A, B, , , ) цієї системи рівнянь було проведено великий комплекс комп'ютерних розрахунків з метою визначення областей існування хаотичних розв'язків і для дослідження процесу переходу від регулярних розв'язків до хаотичних. Нагадаємо, що для проведення таких розрахунків була запропонована спеціальна методика, яка викладена в розділі 3.

Наведемо кілька основних результатів, отриманих в цьому розділі. Нехай

, , , , .

Спочатку в якості біфуркаційного розглянемо параметр N_1. Цей параметр характеризує кут нахилу статичної характеристики електродвигуна.

При N_1=-0.1 в системі (21) виникає дуже своєрідний стійкий граничний цикл із нульовою другою домінантною модою, тобто, граничний цикл вигляду: , де - певні періодичні функції від .

Починаючи зі значення N_1=-0.10153 в системі відбувається каскад біфуркацій подвоєння періоду граничних циклів. Цей нескінченний каскад біфуркацій подвоєння завершується виникненням хаотичного атрактора при N_1=-0.101632$. На рис. 7а наведена двовимірна проекція хаотичного атрактора, побудованого при значенні N_1=-0.10164. Перехід до хаосу тут відбувається по сценарію Фейгенбаума. Відзначимо дуже цікаву особливість, яка полягає в тому, що всі біфуркації каскаду подвоєння періоду та сам хаотичний атрактор мають нульову другу домінантну моду коливань. Хаотичний атрактор має спіральну структуру. Зображуючі точки траєкторій атрактора непередбачено блукають вздовж витків його спіралей. Побудований хаотичний атрактор дуже схожий на хаотичні атрактори, розглянуті при вивченні хаотичних коливань плоского маятника.

Будемо називати такі атрактори одномодовими.

Переріз Пуанкаре площиною хаотичного атрактора при N_1=-0.10164. Переріз Пуанкаре являє собою хаотичну точкову множину, що має стрічкову структуру. Такий вигляд перерізу Пуанкаре свідчить, що у цьому випадку дослідження системи може бути зведене до вивчення одновимірного дискретного відображення.

Відмітимо, що каскад біфуркацій подвоєння відбувається на дуже малому по довжині інтервалі зміни N_1. Ще меншим є інтервал існування одномодового хаотичного атрактора. Так, при N_1=-0.10165 одномодовий атрактор зникає і в системі виникає хаотичний атрактор зовсім іншого типу.

Насамперед, він відрізняється від одномодового атрактора збудженням коливань по другій домінантній моді. Крім того, помітно, що у кілька разів зростають амплітуди хаотичних коливань по першій домінантній моді. В зв'язку з цим, у кілька разів зростає об'єм області фазового простору, в якій локалізуються траєкторії виниклого хаотичного атрактора. Так можна помітити невелику, густо затемнену, область в околі точки (1,0). Ця затемнена область приблизно відповідає області локалізації у фазовому просторі зниклого одномодового атрактора.

Уважне вивчення цього фрагмента дозволяє виявити помітну подібність між ним і відповідною проекцією одномодового атрактора. Це прояснює механізм виникнення "двомодового"\, хаотичного атрактора, що виникає в результаті переміжності між зниклим хаотичним одномодовим атрактором і сідловим граничним циклом, який існував по сусідству з областю локалізації у фазовому просторі одномодового хаотичного атрактора. При N_1=-0.10165 одномодовий атрактор та сідловий цикл зникають і в системі (21) виникає новий хаотичний атрактор, рух траєкторій по якому включає три фази: ламінарну, турбулентну і ще одну, яку назвемо груболамінарною. Ламінарній фазі відповідають близькі до періодичних рухи в околі зниклого граничного циклу. В непередбачений наперед момент часу відбувається турбулентний сплеск і траєкторії відходять в область зниклого одномодового хаотичного атрактора (густо затемнена область в околі точки (1,0). Далі, на протязі достатньо тривалого часу, траєкторії здійснюють хаотичні блукання вздовж витків зниклого хаотичного атрактора. По аналогії з термінологією, введеною в статистичній фізиці, назвемо цю фазу руху груболамінарною. Потім, в непередбачений момент часу, відбувається новий турбулентний сплеск і траєкторія повертається в область зниклого граничного циклу.

Вищеописаний процес повторюється нескінченне число разів. Таким чином, має місце переміжність, відмінна від класичних типів, розглянутих Помо і Манневіллем. Відзначимо, що виникнення двомодового хаотичного атрактора супроводжується більш ніж трикратним збільшенням величини максимального ляпуновського характеристичного показника системи.

Переріз Пуанкаре втрачає стрічкову структуру, яка існувала в перерізі одномодового атрактора, і набуває вигляду деякої хаотичної точкової множини. Проте, уважний погляд дозволяє помітити, що складовою частиною перерізу Пуанкаре двомодового хаотичного атрактора є стрічка зниклого одномодового атрактора. Природно, що для двомодового хаотичного атрактора неможлива будь-яка одновимірна дискретна апроксимація.

Проекції фазового портрету та перерізу Пуанкаре розвиненого хаотичного атрактора системи, які побудовані при N_{1}=-0.25. Він має дуже складну структуру проекцій фазового портрету. Проекція перерізу повністю втрачає квазістрічкову структуру й набуває вигляду деякої розвиненої хаотичної точкової множини. Неможливою, і в цьому випадку, стає будь-яка одновимірна дискретна апроксимація відображення Пуанкаре. Розвинені хаотичні атрактори типу наведеного на рис. 8 є найбільш характерними для системи. Вони існують при переважній більшості значень N_1 з відрізка [-0.373, -0.10165].

Детально вивчались біфуркації, які мають місце в системі при зміні параметрів N_3 (мультипараметр, який залежить від частоти основного тону коливань вільної поверхні рідини і від характеристик електродвигуна) і (коефіцієнт демпфірування). Було встановлено, що перехід до хаосу відбувається через каскад біфуркацій подвоєння періоду і через переміжність. Також знову була виявлена та описана переміжність "хаос--хаос,, яка відбувається за сценарієм, відмінним від класичних сценаріїв Помо-Манневілля. На інтервалах хаотичності біфуркаційних параметрів були виявлені численні вікна періодичності і вивчена поведінка системи при проходженні цих вікон. Також були виділені області в фазовому просторі, в яких хаотичний атрактор є єдиним атрактором системи.

Зупинимося на деяких особливостях переходу до хаосу при зміні значення N_3. Так, при N_3=-0.38 в системі існує стійкий граничний цикл. При зменшенні значень N_3 починається нескінченний каскад біфуркацій подвоєння періоду, який закінчується виникненням хаотичного атрактора при N_3 -0.395. Виниклий хаотичний атрактор існує на дуже малому інтервалі зміни N_3 і вже при N_3=-0.39504 в результаті переміжності змінюється хаотичним атрактором іншого типу. Знову виниклий хаотичний атрактор існує вже на значно більшому інтервалі зміни N_3. Дана ситуація нагадує розглянуту раніше при вивченні біфуркацій по параметру N_1, причому також біля правого порога існування хаосу. Проте в останньому випадку є одна істотна відмінність. Як граничні цикли, так і хаотичний атрактор не є одномодовими. В них присутні коливання по обох домінантних модах.