Правило и формулы дифференцирования элементарных функций

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЛИПЕЦКИЙ КОЛЛЕДЖ СТРОИТЕЛЬСТВА АРХИТЕКТУРЫ и ОТРАСЛЕВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Реферат

по математике

на тему: Правило и формулы дифференцирования элементарных функций

Выполнила студентка

Группы ГД-13-1

Намыкина Дарья

Проверил преподаватель

Гольцова М.В.

Липецк 2014

1. Определение

Элементарные функции -- функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций:

· алгебраические:

· степенная;

· рациональная.

· трансцендентные:

· показательная и логарифмическая;

· тригонометрические и обратные тригонометрические.

Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения.

Иногда к основным элементарным функциям относят также гиперболические и обратные гиперболические функции, хотя они могут быть выражены через перечисленные выше основные элементарные функции.

Непрерывная функция -- функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.

Непрерывная функция, вообще говоря, синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее чаще всего этот термин используется в более узком смысле -- для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающим вещественные значения.

2. Элементарные функции по Лиувиллю

Жозеф Лиувилль (фр. Joseph Liouville; 24 марта 1809 -- 8 сентября 1882) -- французский математик. Систематически исследовал разрешимость ряда задач, дал строгое определение понятию элементарной функции и квадратуры. В частности, исследовал возможность интегрирования заданной функции, алгебраической или трансцендентной, в элементарных функциях, и разрешимость в квадратурах линейного уравнения 2-го порядка. Доказал, что специальное уравнение Риккати интегрируется в квадратурах только в тех случаях, которые были даны еще Бернулли. В честь Лиувилля были названы поверхность Лиувилля и сеть Лиувилля, дробный интеграл Лиувилля, а также несколько математических теорем.

Рассматривая функции комплексного переменного, Лиувилль определил элементарные функции несколько шире. Элементарная функция переменной --аналитическая функция, которая может быть представлена как алгебраическая функция

от и функций , причём является логарифмом или экспонентой от некоторой алгебраической функции от , является логарифмом или экспонентой от некоторой алгебраической функции от и и так далее.

Например, -- элементарная функция в этом смысле, поскольку она является алгебраической функцией . Функция тоже является элементарной, поскольку её можно представить в виде:

, где .

Не ограничивая общности рассмотрения, можно считать функции алгебраически независимы, то есть если алгебраическое уравнение

выполняется для всех , то все коэффициенты полинома равны нулю.

3. Дифференцирование элементарных функций

Производная элементарной функции всегда является элементарной функцией и может быть найдена за конечное число действий. Именно, по правилу дифференцирования сложной функции

где равно или или в зависимости от того, логарифм ли или экспонента и т. д. На практике удобно использовать таблицу производных.

Таблица производных элементарных функций

Вывод:

когда и определены,

Вывод:

4. Дифференцируемая функция

Дифференцимруемая (в точке) фумнкция -- это функция, у которой существует дифференциал (в данной точке). Дифференцируемая на некотором множестве функция -- это функция, дифференцируемая в каждой точке данного множества. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет значительное число приложений как в самой математике, так и в других естественных науках.

Приращение дифференцируемой в данной точке функции можно представить как линейную функцию приращения аргумента с точностью до величин более высокого порядка малости. Это означает, что для достаточно малых окрестностей данной точки функцию можно заменить линейной (скорость изменения функции можно считать неизменной). Линейная часть приращения функции называется ее дифференциалом (в данной точке).

Необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости является непрерывность функции. В случае функции от одной вещественной переменной дифференцируемость равносильна существованию производной. В случае функции нескольких вещественных переменных необходимым (но не достаточным) условием дифференцируемости является существование частных производных по всем переменным. Для дифференцируемости функции нескольких переменных в точке достаточно, чтобы частные производные существовали в некоторой окрестности рассматриваемой точки и были непрерывны в данной точке.^[1]

В случае функции комплексной переменной дифференцируемость в точке часто называется моногенностью и существенно отличается от понятия дифференцируемости в вещественном случае. Ключевую роль в этом играет так называемое условие Коши -- Римана. Функция, моногенная в окрестности точки, называется голоморфной в этой точке.^[2][3]

В функциональном анализе существует обобщение понятия дифференцирования на случай отображений бесконечномерных пространств -- производные Гато и Фреше.

5. Функции одной переменной

Функция

одной переменной является дифференцируемой в точке своей области определения , если существует такая константа , что для любой точки верно

при этом число неизбежно равно производной

Функция одной переменной является дифференцируемой в точке тогда и только тогда, когда она имеет производную в этой точке.

График функции представляет собой кривую на плоскости , а график линейной функции

доставляет касательную прямую к этой кривой, проведённую в точке .

Касамтельная прямамя -- прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

Напр., функция определена и дифференцируема в любой вещественной точке, поскольку её можно представить в виде

.

При этом её производная есть

,

а уравнение касательной прямой, проведённой в точке , имеет вид:

.

Элементарные функции могут быть непрерывны в некоторой точке, но не быть в ней дифференцируемы. Напр., функция является непрерывной на всей вещественной оси, но её производная испытывает скачок при переходе через точку, в котором эта функция не является дифференцируемой. В этой точке нельзя провести и касательную к графику функции. Функция тоже непрерывна на всей вещественной оси и её график имеет касательные во всех точках, однако касательная, проведённая в точке , является вертикальной прямой и поэтому производная функции бесконечно велика в точке , а сама функция не дифференцируема в этой точке.

Графики элементарных функций учат, что произвольная функция дифференцируема всюду, за исключением исключительных и изолированных значений аргумента. Первая попытка аналитического доказательства этого утверждения принадлежит Амперу^[4], и поэтому оно носит название гипотезы Ампера. функция математика производное дифференцирование

Это утверждение, однако, не верно в классе аналитически представимых функций, напр., функция Дирихле не является даже непрерывной ни в одной точке^[5]. Нельзя также считать и произвольную непрерывную функцию дифференцируемой, напр., функция Вейерштрасса определена и непрерывная на всей вещественной оси, но не является дифференцируемой ни в одной её точке^[6]. Это в частности означает, что к её графику ни в одной точке нельзя провести касательную прямую. Тем не менее, гипотезу Ампера можно рассматривать как нестрогую формулировку следующей теоремы Лебега: любая монотонная функция имеет определённую конечную производную всюду, кроме, быть может, некоторого множества значений меры нуль.^[7]

Отображения:

Отображение

называется дифференцируемым в точке своей области определения , если существует такое линейное отображение

,

зависящее от точки , что для любой точки верно

то есть, раскрывая символ «o» малое, если

.

Линейное отображение

является дифференциалом отображения в точке .

Если отображение

задано набором функций

то его дифференцируемость в точке равносильна дифференцируемости всех функций в данной точке, и матрица его дифференциала -- это матрица Якоби, составленная из частных производных этих функций в точке .

6. Матрица Якоби

Матрица Якомби (распространено неправильное произношение «матрица Ямкоби») отображения

в точке описывает главную линейную часть произвольного отображения в точке .

Определение:

Пусть задано отображение

имеющее в некоторой точке все частные производные первого порядка. Матрица , составленная из частных производных этих функций в точке , называется матрицей Якоби данной системы функций.

· Если , то определитель матрицы Якоби называется определителем Якоби или якобиамном системы функций .

· Отображение называют невырожденным, если его матрица Якоби имеет максимальный возможный ранг:

Свойства:

· Если все непрерывно дифференцируемы в окрестности , то

· Пусть -- дифференцируемые отображения, -- их матрицы Якоби. Тогда матрица Якоби

· композиции отображений равна произведению их матриц Якоби (свойство функториальности):

Размещено на Allbest.ru