Задачі типу Діріхле для диференціально-операторних рівнянь парного порядку

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

УДК 517.95

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Задачі типу діріхле для диференціально-операторних рівнянь парного порядку

01.01.02 - Диференціальні рівняння

Ярка Уляна Борисівна

Львів ? 2007

Дисертацією є рукопис

Робота виконана у Національному університеті „Львівська політехніка”. Міністерства освіти і науки України. лінійний диференціальний оператор

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Каленюк Петро Іванович, директор Інституту прикладної математики та фундаментальних наук Національного університету „Львівська політехніка”, завідувач кафедри обчислювальної математики та програмування.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Слюсарчук Василь Юхимович, професор кафедри вищої математики Національного університету водного господарства та природокористування, м. Рівне;

кандидат фізико-математичних наук, доцент Бокало Микола Михайлович, доцент кафедри диференціальних рівнянь Львівського національного університету імені Івана Франка.

Провідна установа: Інститут математики Національної Академії Наук України, відділ диференціальних рівнянь з частинними похідними, м. Київ.

Захист відбудеться “ 20 ” вересня 2007 року о 1530 на засіданні спеціалізованої вченої ради К 35.051.07 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою: 79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, аудиторія 377.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка: м. Львів, вул. Драгоманова,5.

Автореферат розіслано “ 3 ” липня 2007 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Остудін Б.А.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Коректність крайових задач для диференціальних рівнянь класичних типів, операторне представлення яких має вигляд

, (*)

вивчалася багатьма вченими. Зокрема, коректність крайових задач для загальних диференціальних та диференціально-операторних задач вивчалася у роботах Горбачука М.Л., Дезіна, М.Л., Мамедова К.С., Нахушева А.М., Скубачевського А.Л., Романко В.К., Хермандера Л., Якубова С.Я. та інших авторів.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню задач вигляду

, (**)

де ? оператор задачі (*) (незбурений оператор) з точковим спектром, а ? функціонально-диференціальний оператор (його називатимемо збуренням оператора ), при умові, що оператори і є ізоспектральні (точковий спектр оператора співпадає з точковим спектром оператора , а його система власних функцій є повною та мінімальною) та подібні ( називатимемо збуреним оператором).

Ізоспектральність диференціальних операторів є важливим об'єктом досліджень в обернених задачах спектральної геометрії, зокрема в роботах Берард П. (Berard P.), а також при вивченні задачі Каца, має важливе застосування для аналізу проблем теплопровідності та хвильових процесів.

Проблему еквівалентності (подібності) диференціальних та інтегральних операторів Вольтера вивчали Дельсарт Ж., Левітан Б.М., Марченко В.А. та інші. Фаге М.К. та Нагнибіда Н.І. досліджували питання еквівалентності для звичайних лінійних диференціальних операторів довільного порядку. Баскаков А.Г. розробив абстрактний підхід при дослідженні подібності для деяких класів необмежених операторів. Оператори перетворення, які виникають з означення подібних операторів, відіграють важливу роль при застосуванні методів оберненої задачі теорії розсіювання.

Крайові задачі для диференціально-різницевих та функціонально- диференціальних рівнянь зі стиском та розтягом аргументу досліджували

Скрябін М.А., Скубачевський А.Л., Росовський Л.І., Шамін Р.В. та інші.

У роботах Ільїна В.А., Іонкіна Н.І., Самарської Т.А., Каленюка П.І., Баранецького Я.О. досліджувались нелокальні задачі для диференціально-операторних рівнянь та рівнянь із частинними похідними з кратним спектром та системою власних та приєднаних функцій, яка містить злічену множину приєднаних. На відміну від інших, Каленюк П.І. та Баранецький Я.О. розглядали оператори цих задач як ізоспектральні збурення (за рахунок зміни крайових умов) операторів відповідних періодичних та нелокальних багатоточкових задач, властивості яких були добре вивчені. Ними встановлено умови існування та єдиності розв'язку таких задач, а також вивчено спектральні властивості відповідних операторів. У подальших роботах Баранецького Я.О. за допомогою цього ж методу досліджено збурені задачі типу Діріхле (за рахунок зміни крайових умов) для лінійних еліптичних та гіпоеліптичних диференціальних рівнянь з частинними похідними та диференціально-операторних рівнянь (з точковим спектром), що залишали незмінним спектр, повноту та мінімальність системи власних функцій вихідної задачі. Також цей метод можна використовувати для дослідження крайових задач, де збурюється рівняння, а крайові умови залишаються незмінними. Баранецький Я.О. дослідив збурену задачу Діріхле (**), де ? оператор Лапласа, ? диференціальний оператор безмежного порядку.

Виявилося, що в межах цього методу не існує диференціальних операторів скінченного порядку, які залишають незмінним точковий спектр, повноту та мінімальність системи власних функцій оператора задачі Діріхле. Природно виникла проблема побудови та аналізу ізоспектральних збурень лінійних диференціальних рівнянь диференціально-функціональними операторами та дослідження властивостей розв'язків задачі типу Діріхле для цих рівнянь. Тому тематика дисертаційної роботи є актуальною і знаходиться в руслі досліджень спектральної теорії диференціальних операторів та теорії крайових задач для диференціальних та диференціально-операторних рівнянь.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов'язана з науковими дослідженнями кафедри обчислювальної математики та програмування Національного університету “Львівська політехніка”. ЇЇ результати включено до наукових звітів про виконання державної теми “Якісні та кількісні методи розв'язування некласичних прикладних задач математичної фізики ” (номер держреєстрації 0105U000600).

Мета і задачі дослідження. Мета дисертаційної роботи полягає у побудові операторів збурень лінійних диференціальних рівнянь парного порядку крайових задач типу Діріхле, що залишають незмінним точковий спектр, повноту та мінімальність системи власних функцій, а також дослідженні властивостей розв'язків задач, отриманих у результаті збурення.

Задачі дослідження:

1. Побудувати класи операторів збурень, що є ізоспектральними до операторів задачі типу Діріхле для звичайних диференціальних рівнянь другого порядку, диференціально-операторних рівнянь парного порядку та еліптичних рівнянь другого порядку.

2. Вивчити спектральні властивості операторів збурених задач.

3. Побудувати розв'язки цих задач.

4. Дослідити умови єдиності розв'язків збурених задач.

Об'єкт дослідження: крайові задачі для звичайних диференціальних рівнянь другого порядку, диференціально-операторних рівнянь парного порядку, диференціальних рівнянь із частинними похідними еліптичного типу другого порядку.

Предмет дослідження: спектральні властивості та властивості розв'язків крайових задач для певних класів лінійних диференціальних рівнянь, що мають однаковий спектр, а системи власних функцій є повними та мінімальними.

Методи дослідження: у дисертації використано результати та методи теорії звичайних диференціальних рівнянь, диференціально-операторних рівнянь, рівнянь із частинними похідними, лінійної алгебри та функціонального аналізу.

При побудові явних формул для розв'язків крайових задач використовується метод відокремлення змінних (метод Фур'є).

Наукова новизна отриманих результатів. У дисертаційній роботі вперше отримані такі результати:

1. Побудовано класи збурених операторів задачі типу Діріхле для

(1) звичайних диференціальних рівнянь другого порядку,

(2) диференціально-операторних рівнянь парного порядку,

(3) еліптичних рівнянь другого порядку,

що залишають незмінним точковий спектр, повноту та мінімальність системи власних функцій.

2. В явному вигляді отримано власні функції збурених операторів та елементи біортогональних систем.

3. Доведено базисність Ріса систем власних функцій операторів збурених задач.

4. Встановлено подібність операторів відповідно збурених і незбурених задач.

5. Доведено єдиність розв'язків збурених задач. Отримано їх зображення та оцінки.

Практичне значення отриманих результатів. Результати дисертаційної роботи носять теоретичний характер. Їх можна використати при розв'язуванні конкретних задач практики, які моделюються розглянутими в дисертаційній роботі задачами.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертаційної роботи одержані автором самостійно. У спільній роботі [1] науковому керівнику

Каленюку П.І. належить формулювання задачі, передбачення результатів та аналіз отриманих результатів. У спільних роботах [2, 3] методика досліджень належить Баранецькому Я.О., а формулювання і доведення теорем автору дисертації.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались та обговорювались на: Математичному семінарі кафедри обчислювальної математики та програмування Національного університету “Львівська політехніка” (керівник проф. Каленюк П.І.); Львівському міському семінарі з диференціальних рівнянь (керівники проф. Іванчов М.І., проф. Каленюк П.І., чл.-кор. НАН України Пташник Б.Й.); VII міжнародній наукової конференції ім. акад. М. Кравчука (1998р., м. Київ); Міжнародній науковій конференції “Диференціальні та інтегральні рівняння (2000р., м. Одеса); International Conference on Functional Analysis and its Applications (2002, Lviv); Міжнародній науковій конференції “Шості Боголюбовські читання” (2003р., м. Чернівці); Міжнародній науковій конференції ім. В.Я. Скоробагатька (2004р., м. Дрогобич); Одинадцятій міжнародній науковій конференції імені акад. М. Кравчука (2006р., м. Київ); Міжнародній науковій конференції “Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування” (2006р., м. Ужгород); Міжнародній науковій конференції “Диференціальні рівняння та їх застосування” (2006р., м.Чернівці).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані у 5 статтях [1-5] у фахових періодичних виданнях, що входять до переліку ВАК України та додатково висвітлено у 8 тезах доповідей наукових конференцій [6-13].

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, 4 розділів, висновків, списку використаних джерел і має повний обсяг 149 сторінки. Список використаних джерел налічує 68 найменувань на 7 сторінках.

Основний зміст роботи

Використовуватимемо такі позначення: ? множини відповідно натуральних, цілих, дійсних, комплексних чисел; ? множина всіх точок відповідно з цілими додатними, з цілими та дійсними координатами;

;

;

? банахів простір лінійних, неперервних операторів з в ; - сепарабельний гільбертів простір з скалярним добутком та відповідною нормою ; ? тотожний оператор в просторі ;; ? необмежений, самоспряжений, замкнутий, щільно визначений оператор з дискретним спектром; ? сильна похідна в просторі ;

? простір Соболєва-Слободецького.

Розглядаємо оператор , та його розширення на простір, , а також простори, множина замкнутих, щільно визначених операторів,

У вступі обґрунтовано актуальність теми, показано зв'язок роботи з науковими темами, сформульовано мету й задачі дослідження, висвітлено наукову новизну, практичне значення, апробацію отриманих результатів, кількість публікацій та структуру роботи.

У першому розділі наведено огляд літератури за темою дисертації, викладено основні допоміжні відомі поняття та теореми, пов'язані з напрямком досліджень.

У другому розділі досліджено задачу Діріхле для збурених звичайних диференціальних рівнянь другого порядку. Доведено ізоспектральність операторів збурених задач оператору, породженому та умовами Діріхле (незбурена задача). Встановлено базисність Ріса систем власних функцій збурених операторів. Доведено теореми існування та єдиності розв'язків задач Діріхле для збурених рівнянь.

У підрозділі 2.1 досліджено властивості оператора та ортопроекторів. Ортопроектори індукують розклад простору в ортогональну суму просторів і.

Розглянемо задачу

Через позначимо оператор задачі (1), (2) породжений операцією,.

Теорема 2.1. Правильними є такі два твердження:

1. Точковий спектр оператора складається з чисел

2. Множина власних функцій цього оператора

утворює ортонормовану базу простору.

Нехай ? звуження оператора на простір,

Лема 2.5. Правильними є такі твердження:

1. Оператор є прямою сумою операторів,.

2. Оператор має точковий спектр та систему власних функцій, яка утворює ортонормовану базу простору

В цьому ж підрозділі розглянуто умови існування та єдиності розв'язку незбуреної задачі (1), (3).

У підрозділі 2.2 досліджено функціонально-диференціальне збурення задачі (1), (3):

Введемо оператор задачі (4), (2), , та оператор. Докладно розглянуто властивості оператора.

Спектральні властивості оператора досліджено у підрозділі 2.2.1.

Теорема 2.5. Правильними є такі два твердження:

1. Точковий спектр оператора співпадає з точковим спектром оператора,.

2. Система власних функцій оператора повна і мінімальна в просторі.

Теорема 2.7. Система власних функцій оператора утворює базу Ріса в просторі.

Підрозділ 2.2.2 присвячено знаходженню умов однозначної розв'язності задачі (4), (5).

Теорема 2.8. Для будь-яких і, задача (4), (5) має єдиний розв'язок і виконується нерівність

У підрозділі 2.3 досліджено диференціально-різницеве збурення задачі (1),(2): та крайові умови (2).

Доведено ізоспектральність оператора задачі (6), (2) оператору. Знайдено явний вигляд системи власних функцій оператора. Доведено базисність Ріса цієї системи в просторі.

У підрозділі 2.4 досліджено функціонально-диференціальне збурення задачі (1), (2) порядок якого дорівнює порядку основного рівняння. Доведено ізоспектральність оператора цієї задачі до оператора незбуреної задачі. Знайдено явний вигляд системи власних функцій збуреного оператора. Доведено, що система власних функцій розглядуваної задачі не буде базою Ріса.

У підрозділі 2.5 розглянуто абстрактне збурення оператора.

Вивчається задача: та крайові умови (2).

Нехай - оператор задачі (7), (2),.

Доведено, що точковий спектр оператора співпадає з точковим спектром оператора, а система власних функцій оператора є повною та мінімальною в просторі.

Теорема 2.12. Система власних векторів, оператора утворює базу Ріса в просторі тоді і лише тоді, коли.

Лема 2.11. Нехай, тоді оператори, ? подібні.

У третьому розділі досліджено задачі типу Діріхле для збурених диференціально-операторних рівнянь парного порядку (збурені задачі). Вивчено спектральні властивості відповідних операторів. Встановлена однозначна розв'язність розглянутих задач.

У підрозділі 3.1 розглянуто крайову задачу для диференціально-операторного рівняння 2-го порядку: де ? нульовий елемент простору.

Введемо в розгляд оператор задачі (8), (10):,.

Досліджено напіводнорідні задачі. Розглянуто спектральні властивості оператора задачі (8), (10). Викладено умови існування та єдиності розв'язку задачі (8),(9). Досліджено властивості операторнозначної функції, операторів та простору .

У підрозділі 3.2 досліджено задачу збурену до задачі (8),(9): та крайові умови (9).

Спектральні властивості оператора задачі (11), (10) досліджено у підрозділі 3.2.1.

Теорема 3.5. Правильними є такі два твердження:

1) Точковий спектр оператора співпадає з точковим спектром оператора,.

2) Система власних функцій оператора ? повна та мінімальна в просторі.

В цьому ж підрозділі доведено базисність Ріса системи власних функцій оператора в просторі.

У підрозділі 3.2.2 встановлено умови існування та єдиності розв'язку задачі (11), (9).

Крайові умови (9) запишемо у еквівалентному вигляді

Теорема 3.8. Для будь-яких існує єдиний розв'язок задачі (11), (12) і виконується нерівність

У підрозділі 3.3 розглянуто властивості задачі типу Діріхле для диференціально-операторного рівняння 2n порядку (незбурена задача): де ? нульовий елемент простору.

Викладено спектральні властивості оператора незбуреної задачі (13), (15) та умови існування та єдиності розв'язку задачі (13), (14). Досліджено властивості операторнозначної функції.

У підрозділі 3.4 досліджено задачу типу Діріхле для збуреного диференціально-операторного рівняння 2n порядку:

та крайові умови (14).

Введемо оператори: ? оператор задачі (16),(15), ,

При отримаємо, що.

Спектральні властивості оператора досліджено у підрозділі 3.4.1.

Теорема 3.12. Правильними є такі два твердження:

1. Точковий спектр оператора співпадає з точковим спектром оператора;

2. Система власних функцій оператора є повною та мінімальною в просторі.

Знайдено явний вигляд елементів системи власних функцій оператора та елементів біортогональної системи.

Теорема 3.13. Для кожного фіксованого система власних функцій є базою Ріса в просторі.

Теорема 3.14. Нехай у рівнянні (16) коефіцієнт, тоді система власних функцій оператора є базою Ріса в просторі.

У підрозділі 3.4.2 встановлено умови існування та єдиності розв'язку задачі(16), (14).

Теорема 3.15. Для будь-якого, існує єдиний розв'язок задачі (16), (14) і виконується нерівність

У четвертому розділі досліджено задачі Діріхле для збурених еліптичних рівнянь другого порядку (збурені задачі). Доведено ізоспектральність операторів збурених задач оператору задачі Діріхле для еліптичного рівняння. Доведено базисність Ріса систем власних функцій операторів розглядуваних задач. Встановлено однозначну розв'язність збурених задач.

У підрозділі 4.1 досліджено властивості операторів.

Розглянуто задачу Діріхле для еліптичного рівняння (незбурена задача):

де функції та задовольняють умови

Введемо оператор задачі (17), (20) :,

Викладено спектральні властивості оператора . Розглянуто умови існування та єдиності розв'язку задачі (17)-(19).

У підрозділі 4.2 досліджено задачу Діріхле для збуреного, за виділеною змінною, еліптичного рівняння: та крайові умови (18).

Визначимо оператори: ? оператор задачі (21), (20),

та оператор ,. Якщо, то.

Спектральні властивості оператора вивчені у підрозділі 4.2.1.

Лема 4.11. Оператор має такі властивості:

Теорема 4.5. Правильними є такі два твердження:

1. Точковий спектр оператора співпадає з точковим спектром оператора,

2. Система власних функцій оператора є повною та мінімальною в просторі .

Знайдено явний вигляд елементів системи власних функцій оператора.

Доведено базисність Ріса системи в просторі .

У підрозділі 4.2.2 встановлено умови існування та єдиності задачі (21), (18).

Теорема 4.9. Для довільних, існує єдиний розв'язок задачі (21), (18) та справджується нерівність

Підрозділ 4.2.3 присвячено дослідженню задачі Діріхле для збуреного, за двома змінними, еліптичного рівняння та крайові умови (20).

Визначимо ? оператор задачі (22), (20), , та оператор

Лема 4.13. Оператор має такі властивості:

Встановлено спектральні властивості оператора. Доведено ізоспектральність оператора збуреної задачі до оператора незбуреної задачі. Знайдено явний вигляд елементів системи власних функцій оператора та елементів біортогональної системи.

Лема 4.14. Оператори та подібні.

Доведено базисність Ріса системи власних функцій оператора, що дало можливість побудувати розв'язок досліджуваної задачі у вигляді ряду за системою власних функцій. Встановлено двосторонні оцінки цього розв'язку.

На основі цих оцінок у підпункті 4.2.4 доведено однозначну розв'язність розглянутої задачі.

Теорема 4.12. Для будь-якої функції існує єдиний розв'язок задачі (22), (20) та виконується оцінка

Висновки

Дисертаційна робота присвячена дослідженню задач типу Діріхле для збурених лінійних диференціальних рівнянь певних класів, диференціально-функціональними операторами, що є ізоспектральними до крайових задач, властивості яких є добре вивчені. Основні результати дисертації розширюють та доповнюють відомі результати, щодо крайових задач для функціонально-диференціальних рівнянь, теорії ізоспектральності та подібності лінійних необмежених операторів.

1. Побудовано класи операторів функціонально-диференціальних та диференціально-різницевих збурень, що є ізоспектральними до оператора задачі Діріхле для звичайного диференціального рівняння другого порядку. Вивчено спектральні властивості збурених задач. В явному вигляді знайдено власні функції цих задач. Доведено базисність Ріса отриманих систем. У випадку функціонально-диференціального збурення встановлено однозначну розв'язність задачі Діріхле, а також оцінку зверху отриманого розв'язку.

2. Досліджено випадок ізоспектрального збурення оператора задачі Діріхле, система власних функцій якої не є базою Ріса.

3. Виділено та вивчено клас операторів подібних оператору незбуреної задачі.

4. Побудовано клас операторів збурень, що є ізоспектральними до оператора задачі типу Діріхле для диференціально-операторного рівняння парного порядку. Вивчено спектральні властивості збуреної задачі. В явному вигляді знайдено власні функції цієї задачі та елементи біортогональної системи.

Виділено клас операторів збурень для якого система власних функцій задачі типу Діріхле буде базою Ріса в просторі вектор-функцій.

5. Встановлено умови існування та єдиності розв'язку збуреної задачі та оцінку зверху отриманого розв'язку.

6. Побудовано класи операторів збурень за виділеною змінною та за двома змінними, що є ізоспектральними до оператора задачі Діріхле для еліптичного рівняння другого порядку. Знайдено в явному вигляді власні функції операторів збурених задач. Доведено базисність Ріса систем власних функцій збурених операторів.

7. У випадку збурення за виділеною змінною, встановлено однозначну розв'язність збуреної задачі та оцінку зверху отриманого розв'язку. У випадку збурення за двома змінними, використовуючи базисність Ріса, розв'язок напіводнорідної задачі побудований у вигляді ряду за власними функціями, а також встановлено двосторонні оцінки цього розв'язку. На основі цих оцінок доведено однозначну розв'язність збуреної задачі.

Робота носить теоретичний характер. ЇЇ результати можна використати для дослідження обернених задач спектральної геометрії, аналізу деяких проблем теплопровідності та хвильових процесів.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Баранецький Я.О., Каленюк П.І., Ярка У.Б. Збурення крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь другого порядку // Вісник ДУ “Львівська політехніка”. Прикладна математика. - 1998. -№337.- С.70-73.

2. Баранецький Я.О., Ярка У.Б. Про один клас крайових задач для інтегро-диференціальних рівнянь // Вісник ДУ “Львівська політехніка”. Прикладна математика.- 1999.-№ 364.- С. 310-315.

3. Баранецький Я.О., Ярка У.Б. Про один клас крайових задач для диференціально -операторних рівнянь парного порядку // Мат. методи та фіз.-мех. поля.-1999.- 42, №4.- С.1-6.

4. Ярка Уляна. Спектральні властивості граничної задачі для абстрактного диференціального рівняння // Вісн. Львів.ун-ту, сер.мех. мат. 2000. вип. 56. -С.185-192.

5. Ярка У.Б. Про один клас крайових задач для диференціально-фукціональних рівнянь еліптичного типу ізоспектральних задачі Діріхле для рівняння Пуассона // Вісн.Чернівецького ун-ту, сер. Математика 2004. вип.191-192 .-С.146-150.

6. Баранецький Я., Каленюк П., Ярка У. Спектральні властивості для функціонально-диференціального рівняння // VII Міжнар. наук. конф. ім. акад. М.Кравчука. Тези доповідей.- Київ.- 1998.- С. 33.

7. Баранецкий Я.О., Каленюк П.И., Копчук-Кашецкий А.В., Ярка У.Б. Нелокальные эллиптические краевые задачи с одинаковым спектром // Міжнар. наук. конф. “Диференціальні та інтегральні рівняння”. Тези доповідей.- Одеса: АстроПринт.- 2000.- С. 22-23.

8. Баранецький Я.О., Ярка У.Б. Ізоспектральні збурення оператора задачі Діріхле для звичайного диференціального рівняння II порядку // Міжнар. наук. конф. “Диференціальні рівняння та їх застосування ”. Тези доповідей.- Чернівці. - 2006. - С.10.

9. Баранецький Я.О., Ярка У.Б. Диференціально-різницеві збурення задачі Діріхле для звичайного диференціального рівняння II порядку // Міжнар. наук. конф. “Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування”. Тези доповідей.- Ужгород. -2006. - С.8-9.

10. Ярка У.Б. Існування та єдність розв'язку крайової задачі для диференціально-операторного рівняння парного порядку // Міжнар. наук. конф. ім. Скоробагатька В.Я. Тези доповідей. - Львів. - 2004. - C. 240.

11. Ярка У.Б. Абстрактні збурення диференціального оператора задачі Діріхле // XI Міжнар. наук. конф. ім. академіка М. Кравчука. Тези доповідей.- Київ.-2006. - С.668.

12. Ярка У.Б, Баранецький Я.О. Ізоспектральність одного класу крайових задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними в обмеженій області // Міжнар. наук. конф. “Шості Боголюбовські читання ”. Тези доповідей. - Київ. -2003. - С.256.

13. Baranetskij Ya., Yarka U. Solution of boundary value problems for abstract differential equations // International Conference on Functional Analysis and its Applications. Book of abstracts. - Lviv. - 2002. - P. 29.

Анотація

Ярка У.Б. Задачі типу Діріхле для диференціально-операторних рівнянь парного порядку. ? Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. ? Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2007.

Дисертацію присвячено побудові та дослідженню класів збурених операторів задачі типу Діріхле для звичайних диференціальних рівнянь другого порядку; диференціально-операторних рівнянь парного порядку; еліптичних рівнянь другого порядку, що залишають незмінним точковий спектр, повноту та мінімальність системи власних функцій. Досліджено спектральні властивості розглядуваних операторів. Власні функції операторів збурених задач та елементи біортогональних систем отримано в явному вигляді.

Доведено базисність Ріса систем власних функцій операторів збурених задач.

Встановлено подібність операторів збурених задач до операторів незбурених задач. Доведено однозначну розв'язність досліджуваних задач. Отримано зображення розв'язків збурених задач та їх оцінки зверху.

Ключові слова: звичайні диференціальні рівняння, диференціально-операторні рівняння, рівняння із частинними похідними, еліптичне рівняння, задача Діріхле, ізоспектральність, збурення.

Abstract

Yarka U.B. Dirichlet problems for even order differential-operator equation. ? Manuscript.

The thesis for obtaining Candidate of Science (Physics and Mathematics) degree (Ph. D.) by speciality 01.01.02 ? differential equation.?The Ivan Franko National University of Lviv, Lviv, 2007.

Dissertation is consernet with construction and investigation of perturbed operators' classes to Dirichlet problem for second order ordinary differential equations; even order differential-operator equation; second order elliptic equation such that point spectrum, completeness and minimality for system of eigenfunctions remain invariable. The spectral properties of considered operators have been investigated. Eigenfunctions of operators of perturbed problems and elements of biorthogonal systems have been obtained in an explicit form.

Riss basis property for eigenfunctions' systems of operators of perturbed problems has been proved. The similarity of operators of perturbed problems and operators of nonperturbed problems has been shown. The uniquely solvability of investigated problems has been established. Representation of solutions to perturbed problems and their estimations from above have been obtained.

Key words: ordinary differential equations, differential-operator equation, partial differential equations, elliptic equation, Dirichlet problems, isospectrality, perturbation.

Аннотация

Ярка У.Б. Задачи типа Дирихле для дифференциально-операторных уравнений чётного порядка. ? Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. ? Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2007.

Диссертация посвящена исследованию краевых задач для возмущенных линейных дифференциальных уравнений. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, выводов и списка использованной литературы. Во введении обосновывается актуальность темы, указываются цели и задачи исследования, научная новизна, практическое значение и апробация полученных результатов, количество публикаций.

В первом разделе приведён обзор литературы по теме диссертации, сформулированы основные вспомогательные понятия и теоремы, связанные с направлением исследования.

Во втором разделе исследуется задача Дирихле для возмущённого обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Доказывается, что спектр оператора возмущенной задачи совпадает со спектром невозмущённой задачи, а также полнота, минимальность, базисность Рисса системы собственных функций возмущённого оператора. В этом же разделе исследуется возмущенный оператор, система собственных функций которого не будет базисом Рисса. Построен и изучен класс операторов, подобных оператору невозмущённой задачи. Установлены условия существования и единственности решений рассматриваемых задач, а также оценки сверху полученных решений.

В третьем разделе рассматривается задача типа Дирихле для возмущенных дифференциально-операторных уравнений чётного порядка.

Изучены спектральные свойства рассматриваемых задач, а именно: получено явное представление собственных чисел, собственных функций операторов возмущённых задач. Доказана изоспектральность операторов возмущённых и невозмущенных задач. Доказана базисность Рисса системы собственных функций возмущённых операторов. Установлена однозначная разрешимость рассматриваемых задач, а также оценки сверху полученных решений.

В четвёртом разделе исследуются краевые задачи для возмущённого эллиптического уравнения. Получено явное представление собственных чисел, собственных функций операторов возмущённых задач. Доказана базисность Рисса системы собственных функций возмущённых операторов, что дало возможность построить решения возмущённых задач в виде рядов по системе собственных функций возмущённых операторов.

Ключевые слова: обыкновенные дифференциальные уравнения, дифференциально-операторные уравнения, эллиптическое уравнение, задача Дирихле, изоспектральность, возмущение.

Размещено на Allbest.ru

...