Дискретная случайная величина
Общая теория о величинах, значение которых изменяются скачками. Построение многоугольника вероятностей. Биномиальный и пуассоновский законы дискретной случайной величины. Свойства системы математического ожидания. Геометрический закон распределения.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лабораторная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 01.03.2015 |
| Размер файла | 56,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра высшей математики
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
по дисциплине: Высшая математика
на тему: Дискретная случайная величина
Выполнил:
Н.С. Жорова
Руководитель:
Г.Г. Соклакова
МИНСК, 2014 ГОД
Содержание
1. Общая теория по Дискретной случайной величине
2. Биномиальный закон распределения
3. Пуассоновский закон распределения
4. Гипергеометрический закон распределения
1. Общая теория по Дискретной случайной величине
Случайная величина - это величина, которая принимает в результате опыта одно значение из множества исходов, причём появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать. Случайная величина называется дискретной, если ее множество значений не более чем счетно, т. е., конечно или счётно.
Соотношение, устанавливающее связь между отдельными возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, называется законом распределения дискретной случайной величины. Если обозначить возможные числовые значения случайной величины Х через:
- вероятность появления значения хi, то дискретная случайная величина полностью определяется табл.:
|
xi |
х1 |
x2 |
xn |
|
|
pi |
p1 |
p2 |
pn |
Таблица называется законом распределения дискретной случайной величины Х:
Ряд распределения можно изобразить графически. Получим многоугольник распределения вероятностей (полигон распределения).
Дискретная случайная величина может быть задана функцией распределения.
Функция F(x) есть неубывающая функция.
Для дискретных случайных величин функция распределения F(х) есть разрывная ступенчатая функция, непрерывная слева:
Вероятность попадания случайной величины Х в промежуток от a до b выражается формулой:
Р(a < = X < b) = F(b) - F(a)
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности. Пусть случайная величина Х может принимать только значения х1, х2, х3, ..., хn вероятности которых соответственно равны p1, p2, p3, ..., pn. Тогда математическое ожидание М(х) случайной величины Х определяется равенством:
M(x) = х1p1 + х2p2 +... + хnpn
Если дискретная случайная величина Х принимает счетное множество возможных значений, причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится. Свойства математического ожидания:
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной;
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания;
3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
M(XY) = M(X) * M(Y)
4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:
M(X + Y) = M(X) + M(Y)
5. Математическое ожидание отклонения равно нулю:
M (X - M(x) = 0)
Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
D(x) = M [X - M(x)] 2
Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания:
D(x) = M (x2) - [M(x)] 2
Свойства дисперсии:
1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю;
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат;
3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:
D(X1 + X2 +... + Xn) = D(X1) + D(X2) +... + D(Xn)
4. Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании D(X).
Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики.
К их числу относится среднее квадратичное отклонение.
Средним квадратичным отклонением случайной величины Х называют квадратный корень из дисперсии:
у(X) = vD ? (X)
Среднее квадратичное отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратичных отклонений этих величин:
2. Биномиальный закон распределения
Случайная величина может принимать значения 0, 1, 2, …, n и каждому значению X = m соответствует постоянная вероятность, где:
p + q = 1
Этот закон распределения считается заданным, если известны числа n и p, через которые выражаются все вероятности.
Случайную величину подчинённою этому закону можно назвать числом появлении события в n независимых опытах, например: по мишени стреляют 5 раз.
Вероятность попадания при каждом выстреле равна р = 0,6. Составить закон распределения дискретной случайной величины, равной числу попаданий в мишень.
Вычислить математическое ожидание, дисперсию.
Получаем: Возможные значения случайной величины - 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Соответствующие вероятности вычисляем по формуле Бернулли:
Запишем закон распределения:
|
X |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
P(Х) |
0,01024 |
0,0768 |
0,2304 |
0,3456 |
0,2592 |
0,07776 |
3. Пуассоновский закон распределения
Случайная величина имеет возможные значения 0, 1, 2, 3 и каждому значению Х = m соответствует вероятность:
Вероятность бесконечно мала и стремиться к нулю, а число m велико стремиться к бесконечности, например: главный филиал банка имеет 10.000 копировальных аппаратов работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что аппарат выйдет из строя во время работы составляет 0,0007. Определить математическое ожидание М (Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение у (Х) случайной величины Х - числа аппаратов, выйдут из строя во время работы.
Получаем:
4. Гипергеометрический закон распределения
Возможные значения X: 0, 1, …, n. И каждому значению X = m соответствует вероятность:
Эта случайная величина, например, равна числу m бракованных изделий среди n взятых наугад из партии объёма N, содержащей M бракованных изделий:
Например: В урне 7 шаров, из которых 4 синих, а остальные красные. Из этой урны наудачу извлекаются 3 шара. Составить закон распределения числа синих шаров в 3-ех взятых. Вычислить математическое ожидание и дисперсию.
Получаем:
Возможные значения случайной величины: 0, 1, 2, 3.
Соответствующие им вероятности подсчитываем следующим образом:
многоугольник дискретный математический
Запишем закон распределения:
Выходит, что:
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Понятия теории вероятностей и математической статистики, применение их на практике. Определение случайной величины. Виды и примеры случайных величин. Закон распределения дискретной случайной величины. Законы распределения непрерывной случайной величины.
реферат [174,7 K], добавлен 25.10.2015Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал. Построение графика функции распределения случайной величины. Определение вероятности того, что наудачу взятое изделие отвечает стандарту. Закон распределения дискретной случайной величины.
контрольная работа [104,7 K], добавлен 24.01.2013Дискретные случайные величины и их распределения. Формула полной вероятности и формула Байеса. Общие свойства математического ожидания. Дисперсия случайной величины. Функция распределения случайной величины. Классическое определение вероятностей.
контрольная работа [33,8 K], добавлен 13.12.2010Вычисление математического ожидания, дисперсии, функции распределения и среднеквадратического отклонения случайной величины. Закон распределения случайной величины. Классическое определение вероятности события. Нахождение плотности распределения.
контрольная работа [38,5 K], добавлен 25.03.2015Вычисление вероятностей возможных значений случайной величины по формуле Бернулли. Расчет математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения, медианы и моды. Нахождение интегральной функции, построение многоугольника распределения.
контрольная работа [162,6 K], добавлен 28.05.2012Случайные величины. Функция и плотность распределения вероятностей дискретной случайной величины. Сингулярные случайные величины. Математическое ожидание случайной величины. Неравенство Чебышева. Моменты, кумулянты и характеристическая функция.
реферат [244,6 K], добавлен 03.12.2007Описание случайных ошибок методами теории вероятностей. Непрерывные случайные величины. Числовые характеристики случайных величин. Нормальный закон распределения. Понятие функции случайной величины. Центральная предельная теорема. Закон больших чисел.
реферат [146,5 K], добавлен 19.08.2015Определение вероятностей различных событий по формуле Бернулли. Составление закона распределения дискретной случайной величины, вычисление математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения случайной величины, плотностей вероятности.
контрольная работа [344,8 K], добавлен 31.10.2013Математическое ожидание случайной величины. Свойства математического ожидания, дисперсия случайной величины, их суммы. Функция от случайных величин, ее математическое ожидание. Коэффициент корреляции, виды сходимости последовательности случайных величин.
лекция [285,3 K], добавлен 17.12.2010Возможные варианты расчета вероятности событий. Выборочное пространство и события, их взаимосвязь. Общее правило сложения вероятностей. Законы распределения дискретных случайных величин, их математическое ожидание. Свойства биномиального распределения.
презентация [1,4 M], добавлен 19.07.2015Определение вероятности для двух несовместных и достоверного событий. Закон распределения случайной величины; построение графика функции распределения. Нахождение математического ожидания, дисперсии, среднего квадратичного отклонения случайной величины.
контрольная работа [97,1 K], добавлен 26.02.2012Непрерывная случайная величина и функция распределения. Математическое ожидание непрерывной случайной величины. Среднее квадратичное отклонение. Кривая распределения для непрерывной случайной величины. Понятие однофакторного дисперсионного анализа.
контрольная работа [165,5 K], добавлен 03.01.2012Определение вероятности того, что из урны взят белый шар. Нахождение математического ожидания, среднего квадратического отклонения и дисперсии случайной величины Х, построение гистограммы распределения. Определение параметров распределения Релея.
контрольная работа [91,7 K], добавлен 15.11.2011Плотность распределения непрерывной случайной величины. Характеристика особенностей равномерного и нормального распределения. Вероятность попадания случайной величины в интервал. Свойства функции распределения. Общее понятие о регрессионном анализе.
контрольная работа [318,9 K], добавлен 26.04.2013Понятие и сущность многомерной случайной величины, ее отличие от одномерной и применение для решения статистических задач. Особенности условной вероятности, расчет и определение суммы всех вероятностей. Математический закон распределения событий.
презентация [47,2 K], добавлен 01.11.2013Использование формулы Бернулли для нахождения вероятности происхождения события. Построение графика дискретной случайной величины. Математическое ожидание и свойства интегральной функции распределения. Функция распределения непрерывной случайной величины.
контрольная работа [87,2 K], добавлен 29.01.2014Задачи математической статистики. Распределение случайной величины на основе опытных данных. Эмпирическая функция распределения. Статистические оценки параметров распределения. Нормальный закон распределения случайной величины, проверка гипотезы.
курсовая работа [57,0 K], добавлен 13.10.2009Вероятность появления события в серии из независимых испытаний. Закон распределения дискретной случайной, интегральной, дифференциальной, имперической функции распределения, математическое ожидание, дисперсия, и среднее квадратическое отклонение.
контрольная работа [397,9 K], добавлен 15.11.2010Определение вероятности появления события в каждом из независимых испытаний. Случайные величины, заданные функцией распределения (интегральной функцией), нахождение дифференциальной функции (плотности вероятности), математического ожидания и дисперсии.
контрольная работа [59,7 K], добавлен 26.07.2010Решение задач по определению вероятности событий, ряда и функции распределения с помощью формулы умножения вероятностей. Нахождение константы, математического описания и дисперсии непрерывной случайной величины из функции распределения случайной величины.
контрольная работа [57,3 K], добавлен 07.09.2010
