Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования

«Финансовый Университет при Правительстве Российской Федерации»

(Финансовый Университет)

Кафедра «Теория вероятностей и математическая статистика»

Курсовая работа

на тему:

«Проверка гипотезы о независимости логарифмической доходности за различные интервалы времени при большом, среднем и малом объеме торгов»

Выполнил:

Сафейкин Р.А.

Москва 2012

Содержание

• Введение
• 1. Теоретическая часть
• 1.1 Проверка статистических гипотез
• 1.2 Ошибки первого и второго рода
• 1.3 ч2-критерий Пирсона
• 1.4 Схема применения критерия ч ²
• 1.5 Р-значение
• 2. Практическая часть
• Результаты
• Заключение
• Cписок используемой литературы
• Приложение
• Введение
• Целью данной курсовой работы является проверка гипотезы о независимости логарифмической доходности за различные интервалы времени при различном объеме торгов. В качестве объекта исследования выступают котировки акций компаний, входящих в индекс MICEH CHM в период с 1 января 2006 года по 31 декабря 2011 года. В данной работе применены некоторые методы математической статистики для проверки статистической гипотезы (в частности - критерий Пирсона).
• Не вызывает сомнения актуальность данной темы, так как, во-первых, статистические гипотезы, их проверка и, как следствие, основанные на них статистические выводы являются одними из центральных задач математической и прикладной статистики, а во-вторых, рынок акций является очень перспективным для успешного долгосрочного и краткосрочного инвестирования.
• Очень часто с проверкой гипотезы можно столкнуться при проведении разного рода статистических исследований, математического моделирования различных социальных и экономических процессов, а также рассматривая временные ряды, встречающиеся в экономических науках. Ведь динамика часто провоцирует неопределенность, которую ученые стараются устранить, установив определенную закономерность. Проверка статистических гипотез также используется, когда необходим обоснованный вывод об уровне доходности ценных бумаг, о значимости математической модели и т. д. Соответственно, проверка гипотез является весьма важной частью любого статистического анализа.
• Характеристики PC:
• Процессор: Intel® Core™ 2 Duo CPU M 480 @ 2.26GHz (4 CPUs)
• Тактовая частота: ~2.27GHz
• Частота системной шины: 2400 MHz
• Объем кэш памяти второго уровня: 512 KB

1. Теоретическая часть

1.1 Проверка статистических гипотез

Статистической гипотезой называется любое предположение о виде или параметрах неизвестного закона распределения.

Например, статистическими являются гипотезы:

1) генеральная совокупность распределена по закону Пуассона;

2) дисперсии двух нормальных совокупностей равны между собой.

В первой гипотезе сделано предположение о виде неизвестного распределения, во второй - о параметрах двух известных распределений.

Статистические гипотезы делятся на гипотезы о параметрах распределения известного вида (это так называемые параметрические гипотезы) и гипотезы о виде неизвестного распределения (непараметрические гипотезы).

Наряду с выдвинутой гипотезой рассматривают и противоречащую ей гипотезу. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то имеет место противоречащая гипотеза. Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу Н₀. Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу Н₁, которая противоречит нулевой.

Гипотезу, однозначно фиксирующую распределение наблюдений, называют простой (в ней идет речь об одном значении параметра), в противном случае - сложной. Например, гипотеза «вероятность появления события в схеме Бернулли равна 1/2» является простой, а гипотеза «вероятность появления события в схеме Бернулли заключена между 0,3 и 0,6» - сложная.

Имея две гипотезы H₀ и H₁, надо на основе выборки Х₁,…,Х_n принять либо основную гипотезу H₀, либо конкурирующую H₁.

Правило, по которому принимается решение принять или отклонить гипотезу H₀ (соответственно, отклонить или принять H₁), называется статистическим критерием (или просто критерием) проверки гипотезы H₀.

Проверку гипотезы осуществляют на основании результатов выборки Х₁, Х₂,…, Х_n, из которых формируют функцию выборки T_n = T(Х₁, Х₂,…, Х_n), называемой статистикой критерия.

Основной принцип проверки гипотез состоит в следующем. Множество возможных значений статистики критерия T_n разбивается на два непересекающихся подмножества: критическую область S, т.е. область отклонения гипотезы Н₀ и область принятия этой гипотезы. Если фактически наблюдаемое значение статистики критерия (т.е. значение критерия, вычисленное по выборке : Т_набл = Т(х₁,х₂,…,х_n)) попадает в критическую область S, то основанная гипотеза Н₀ отклоняется и принимается альтернативная гипотеза Н₁; если же Т_набл попадает в , то принимается Н₀, а Н₁ отклоняется.

1.2 Ошибки первого и второго рода

При проверке гипотезы может быть принято неправильное решение, т.е. могут быть допущены ошибки двух родов:

Ошибка первого рода состоит в том, что отвергается нулевая гипотеза Н₀, когда на самом деле она верна.

Ошибка второго рода состоит в том, что отвергается альтернативная гипотеза Н₁, когда она на самом деле верна.

Рассматриваемые случаи наглядно иллюстрирует следующая таблица.

Гипотеза H0	Отвергается	Принимается
верна	ошибка 1-го рода	правильное решение
неверна	правильное решение	ошибка 2-го

Вероятность ошибки 1-го рода (обозначается через а) называется уровнем значимости критерия.

Очевидно, а = p(Н₁|Н₀). Чем меньше а, тем меньше вероятность отклонить верную гипотезу. Допустимую ошибку 1-го рода обычно задают заранее.

В одних случаях считается возможным пренебречь событиями, вероятность которых меньше 0,05 (а = 0,05 означает, что в среднем в 5 случаях из 100 испытаний верная гипотеза будет отвергнута), в других случаях, когда речь идет, например, о разрушении сооружений, гибели судна и т.п., нельзя пренебречь обстоятельствами, которые могут появиться с вероятностью, равной 0,001.

Обычно для а используются стандартные значения: а = 0,05; а = 0,01; 0,005; 0,001.

Вероятность ошибки 2-го рода обозначается через в, т.е. в = p(Н₀|Н₁).

Величину 1- в, т.е. вероятность недопущения ошибки 2-го рода (отвергнуть неверную гипотезу Н₀, принять верную Н₁), называется мощностью критерия.

Очевидно, 1- в = p(Н₁|Н₁) = p((х₁,х₂,…,х_n)S|H₁).

Чем больше мощность критерия, тем вероятность ошибки 2-го рода меньше, что, конечно, желательно (как и уменьшение а).

Последствия ошибок 1-го, 2-го рода могут быть совершенно различными: в одних случаях надо минимизировать а, в другом - в. Так, применительно к радиолокации говорят, что а - вероятность пропуска сигнала, в - вероятность ложной тревоги; применительно к производству, к торговле можно сказать, что а - риск поставщика (т.е. прием по выборке всей партии изделий, не удовлетворяющей стандарту); применительно к судебной системе, ошибка 1-го рода приводит к оправданию виновного, ошибка 2-го рода - осуждению невиновного.

Отметим, что одновременное уменьшение ошибок 1-го и 2-го рода возможно лишь при увеличении объема выборок. Поэтому обычно при заданном уровне значимости а отыскивается критерий с наибольшей мощностью.

1.3 ч2-критерий Пирсона

Критерии, с помощью которых определяется удачно или неудачно подобран закон распределения, принято обозначать критериями согласия. Критерий ч² К. Пирсона - наиболее часто употребляемый критерий для проверки простой гипотезы о законе распределения. Он основан на использовании в качестве меры отклонения экспериментальных данных от гипотетического распределения той же величины, которая служит для построения доверительной области для неизвестной плотности, с заменой неизвестных истинных значений вероятностей попадания в интервалы вероятностями, вычисленными по гипотетическому распределению. Предположим, что область возможных значений случайной величины разбита на r интервалов (многомерных, т.е. прямоугольников, в случае векторной величины). Пусть - случайные частоты попадания в эти интервалы, получаемые в результате n опытов, Р₁,…,Р_r - вероятности попадания в те же интервалы, вычисленные по гипотетическому распределению. В общем случае эти вероятности являются функциями оценок неизвестных параметров, получаемых по тем же экспериментальным данным, и потому тоже являются случайными величинами. Предположим, что оценки неизвестных параметров гипотетического распределения вычисляются по той же группированной выборке, что и частоты . Тогда вероятности Р₁,…,Р_r будут некоторыми функциями частот , и для оценки отклонения экспериментальных данных от гипотетического распределения берут величину

, (1)

где Р₁,…,Р_r - определенные функции частот .

Нейман и Пирсон показали, что если для вычисления вероятностей Р₁,…,Р_r применяется асимптотически эффективная и асимптотически нормальная оценка неизвестного s-мерного параметра гипотетического распределения по группированной выборке, то величина Z, определяемая формулой (1), в пределе при n имеет ²-распределение с r-s-1 степенями свободы.

Пользуясь этой теоремой, можно оценивать расхождение экспериментальных данных с гипотетическим распределением с помощью таблиц ²-распределения. Выберем достаточно малую вероятность р, чтобы событие с такой вероятностью можно было считать практически невозможным, и определим из уравнения

, k=r-s-1.

Если реализация =² величины Z, полученная в результате опытов, превосходит или равна , =² , то гипотетическое распределение считают не согласующимся с экспериментальными данными, так как при этом распределении практически невозможно получить при одной выборке =2 . Вероятность такого события при большом числе опытов n приближенно равна р, т.е. пренебрежимо мала. В этом случае говорят, что имеет место значимое отклонение экспериментальных данных от гипотетического распределения. Если же =², то считают, что гипотетическое распределение не противоречит экспериментальным данным, согласуется с ними.

Величина называется 100р-процетпным уровнем значимости отклонения выборки от гипотетического распределения. Обычно пользуются 5-, 1- и 0,1-процентными уровнями значимости, в зависимости от характера задачи.

Для дополнительной проверки согласованности экспериментальных данных с гипотетическим распределением полезно вычислить вероятность того, что при данном гипотетическом распределении величина Z окажется больше полученной в результате опытов ее реализации =², P(Z > ²). Чем больше эта вероятность, тем лучше согласуется выборка с гипотетическим распределением, тем меньше значимость полученного расхождения выборки с гипотетическим распределением. Действительно, если вероятность Р(Z > ²) велика, то при повторении данной серии опытов в случае справедливости выбранной гипотезы о распределении часто будут получаться значения величины Z еще большие, чем полученное в результате опытов значение =².

Обратим внимание на то, что, получив =² < и даже получив высокую вероятность P(Z > ²), мы не делаем определенного вывода, что выбранная гипотеза о распределении справедлива, а говорим лишь, что эта гипотеза не противоречит полученным результатам опытов, что она согласуется с ними, вследствие чего ее можно принять. Чтобы получить достаточно веское доказательство того, что случайная величина действительно подчинена гипотетическому закону распределения, необходимо повторить данную серию опытов достаточно большое число раз и убедиться в том, что полученное согласование гипотезы с результатами опытов устойчиво.

1.4 Схема применения критерия ч 2

Схема применения критерия ч² сводится к следующему:

· Определяется мера расхождения эмпирических и теоретических частот по ч².

· Для выбранного уровня значимости б по таблице ч² -распределения находят критическое значение ч²_б,_k при k=m-r-1.

· Если фактически наблюдаемое значение ч² больше критического, т.е. ч²>ч²_б,_k, то гипотеза H₀ отвергается, если ч²?ч²_б,_k, гипотеза H₀ не противоречит опытным данным.

Необходимо отметить, что статистика

ч²₌

имеет ч² -распределение лишь при n>?, поэтому критерий согласия Пирсона можно использовать только в том случае, если в каждом интервале было по крайней мере 5 наблюдений. Те же интервалы, для которых условие не выполняется объединяют с соседними и соответственно уменьшают число интервалов, так поступают до тех пор, пока для каждого интервала частота будет не меньше 5.

1.5 Р-значение

Важное понятие в теории проверки статистических гипотез - Р-значение (читается «пэ-значение»).

Р-значением критерия называется максимальный уровень значимости, при котором гипотеза принимается.

Итак, пусть - статистика критерия, - критическая область, соответствующая уровню значимости . Тогда

Рассмотрим правостороннюю критическую область . Тогда

Поскольку при увеличении область расширяется, то уменьшается:

,

где - вероятность, соответствующая гипотезе . Тогда

А при рассмотрении двусторонней области Р-значение принимает следующий вид:

.

Закрывая эту тему, хочется сказать, что Р-значение с гораздо большей точностью, чем обычные способы проверки статистических гипотез (для исследуемой гипотезы такой способ рассматривается ниже), позволяет установить, принимается ли гипотеза или отвергается.

2. Практическая часть

В практической части были использованы данные о котировках 10 акций, входящих в индекс MICEH CHM.

Данная программа находит малый, средний и большой объемы торгов, строя эмпирической распределение по объему (для каждого года и тикера отдельно) и беря соответственно выборку меньше квантиля уровня 1/3, больше квантиля уровня 1/3 и меньше 2/3, и больше 2/3 соответственно. Затем она проверяет независимость логарифмических доходностей двух рядов данных, первый ряд состоит из дней с определенными видами торга, а второй из дней следующих за ними.

В данной курсовой использовались тиккеры следующих компаний:

Название компании	Тикер
ЛУКОЙЛ	LKOH
РОСНЕФТЬ	ROSN
НОВАТЭК	NVTK
ГАЗПРОМ	GAZP
СУРГНФГЗ	SNGS
ТАТНФТ	TATN
ТРАНСНФ	TRNFP
ТНК-ВР	TNBP
СУРГНФГЗ-П	SNGSP
БАШНЕФТ	BANE

Результаты

статистический гипотеза пирсон цена

Таблица 1.

Скорость выполнения программ:

Программы	Результаты
Графики максимального и минимального скачков	16 с
Описание модельных данных	371 мс
Проверка модельных данных	1.8 мс
Проверка реальных данных	8.4 с
Скачки цен	5.7 с
Число торговых дней	5.2 с

Доля проверок, в которых гипотеза принималась при 5% и 1% уровнями значимости составляет соответственно 0,1(8) и 0,0(1).

Число торговых дней с 01.01.2006 по 31.12.2011:

Таблица 2. Число торговых дней

Таблица максимальных относительных скачков цен представлена следующей таблицей:

Таблица 3. Скачки цен

Проанализировав таблицу 2, можно выявить тиккеры с максимальным и минимальным скачками цен. Построим их графики.

Графики максимального и минимального скачков цен

ROSN

График 1. Максимальный скачок

SNGSP

График 2. Минимальный скачок

Проверка модельных данных

Еще одним подтверждением является таблица P-значений:

Таблица 4. Проверка модельных значений

Гистограмма 1.

Заключение

Проведя наши исследования, можно сделать вывод, что доходность ликвидных акций в целом не зависит не от объема торгов (хотя при среднем объеме торгов гипотеза отвергается чаще, однако эта разница не существенна), не от времени, (хотя можно предположить, что гипотеза отвергается все чаще с течением времени для наблюдаемых данных). А значит, фактически нельзя предсказать доходность акции следующего дня в зависимости от доходности сегодняшнего дня, даже исходя из объема торга.

Список используемой литературы

Браилов А.В. Лекции по математической статистике - М.: Финакадемия, 2007.

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов/В.Е. Гмурман. -- 9-е изд., стер. -- М.: Высш. шк., 2003.

Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. -- 2-е изд., перераб. и доп.-- М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.

Пугачев B.C. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие.-- 2-е изд., исправл. и дополи.-- М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2002.

Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Айрис-пресс, 2004.

Королюк В.С. Справочник по теории вероятностей и математической статистике- М: Наука, 1985.

http://yahoo.finince.com

Приложение

d1 = date(2006,1,1);

d2 = date(2011,12,31);

Tickers = '["GAZP", "LKOH", "NVTK","ROSN", "SNGS", "SNGSP", "TATN","TRNFP"];

Vars = ["LoVol","MidVol","HiVol"];

TabPV = super(#Tickers,#Vars);//суперматрица, размер которой определяется количеством элементов матрицы Tickers и количеством элементов матрицы Vars, все элементы которой являются "пустыми" строками символов

Y=[0:6];

for (y in Y){

d1 = date(2006,1,1);

d2 = date(2006+y,12,31);

for(ticker in Tickers) {

V0 = loaddaily(d1,d2,ticker + ".csv","VOL");

V = select(V0,V0>0);//отбирабтся акции только по рабочим дням

LV = elaw(V);//эмпирическое распределение

v1 = LV.invpl(1/3);//эмпирические квантили(определяется объем торгов уровня квантили 1/3)

v2 = LV.invpl(2/3);//эмпирические квантили(определяется объем торгов уровня квантили 2/3)

P0 = loaddaily(d1,d2,ticker + ".csv","Close");

P = select(P0,V0>0);

assert(min(P)>0);

for(nv in 1:#Vars){

TabPV(ticker.num,nv) = "*";

if(nv==1) C = (V<=v1)(1:#V-1);

if(nv==2) C = (V>v1 & V<v2)(1:#V-1);

if(nv==3) C = (V>=v2)(1:#V-1);

lnR = select(dif(ln(P)), C);//определяется дневная логдоходность для C

m = #lnR;//число наблюдений

if(m<100) continue;//если число наблюдений меньше 100,то прерывается выполнение тела оператора for и начинается переход к следующему элементу матрицы

minR = min(lnR)-1;//нижняя граница

maxR = max(lnR)+1;//верхняя граница

r = elaw(lnR).invpg(1/3);

Q = [-r;r];

D1 = [minR; Q; maxR]; //разбиваем на интервалы

D2 = [minR; Q; maxR]; //разбиваем на интервалы

r1 = #D1-1; //количество интервалов,на которые разбили

r2 = #D2-1;//количество интервалов,на которые разбили

lnR1 = lnR(1:m-1);//дни с данным объемом торгов (первая случайная величина)

lnR2 = lnR(2:m);//все дни, каждый из которых идет за рассмариваемым днем с определенным объемом торгов (вторая случайная величина)

n = #lnR1;

p = 0(r1,r2);

for (i in 1:r1){

for(j in 1:r2){

p(i,j) = sum(lnR1>=D1(i)&lnR1<D1(i+1) & lnR2>=D2(j)&lnR2<D2(j+1))/n;

}

} // p - матрица вероятностей попадания доходностей в получившиеся интервалы

assert(abs(sum(p)-1) < 0.000001); //проверка того, что логдоходность попадает вся в общий интервал

k = (r1-1)*(r2-1);// степень свободы критерия

p2 = sum(cols(p));//сумма столбцов матрицы p

p1 = sum(rows(p));//сумма строк матрицы р

t = 0(r1,r2);

for (i in 1:r1){

for(j in 1:r2)

t(i,j) = p1(i)*p2(j);

}

if(min(t*n) > 5){//если выполняется условие, при котором можно использовать критерий Пирсона: теоритические частоты >=5

Z = 0(r1,r2);

for(i in 1:r1){

for(j in 1:r2)

Z(i,j) = (p(i,j)-t(i,j))^2 / t(i,j);

}

z = sum(Z)*n;

pv = x2law(k).pg(z); // P-значение

TabPV(ticker.num,nv) = pv;

}

}

}

H = ["Тикер",Vars];

Out = [H; [Tickers,TabPV]];

savetable(Out,"tab"+y+".csv");

}

Число торговых дней

Y=[2006:2011];

ny=#Y;

T=["BANE","GAZP", "LKOH", "NVTK","ROSN", "SNGS", "SNGSP", "TATN","TNBP","TRNFP"];

NT=0(#T,#Y);

for (y in Y)

{

d1=date(y,1,1);

d2=date(y,12,31);

for (t in T)

{

X=loaddaily(d1,d2,"../"+"Data/"+t+".csv","CLOSE");

NT(t.num,y.num)=sum(X>0);

}

}

F=["год/тикер","2006","2007","2008","2009","2010","2011"];

tiker=[F;'T,NT];

savetable(tiker,"Число торговых дней.csv");

Скачки цен

Y=2006:2011;

T=["GAZP", "LKOH", "NVTK","ROSN", "SNGS", "SNGSP", "TATN","TRNFP"];

NT=0(#T,#Y);

for (y in Y)

{

d1=date(y,1,1);

d2=date(y,12,31);

for (t in T)

{

X=loaddaily(d1,d2,t+".csv","CLOSE");

X1=loaddaily(d1+1,d2+1,t+".csv","CLOSE");

C=(X>0);I=select(X,C);

I1=select(X1,C);

NT(t.num,y.num)=max(I1/I);

}

}

F=["год/тикер","2006","2007","2008","2009","2010","2011"];

U=[F;'T,NT-1];

savetable(U,"Скачки цен.csv");

Графики максимального и минимального скачков цен

d1=date(2006,1,1);

d2=date(2011,12,31);

T=["ROSN";"SNGSP"];

for (i in 1:#T)

{

X=loaddaily(d1,d2,"../"+"Data/"+T(i)+".csv","Close");

C2=(X>0);I2=select(X,C2);

line(select(1:#I2,I2>0),select(I2,I2>0),blue,1);

wintitle(T(i));

axes();

show();

erase();

}

Проверка модельных данных

T=[1:10];

Y = '[2006:2011];

pv = 0(#T,#Y); // вектор p-значений по критерию Пирсона

for (j in 1:#Y) {

d1 = date(Y(j),1,1); d2 = date(Y(j)+1,12,31);

for (i in 1:#T){

I0 = loaddaily(d1,d2,"../"+"Data/"+"M"+T(i)+".csv","Close"); // столбец ежедневных значений курса акций

I = select(I0,I0>0); // столбец ненулевых значений курса акций

R = dif(ln(I)); // столбец ежедневных значений лог-доходности

if (#R<=50) message(Tik(i)+": Недостаточный объём выборки!",#R);

// для правомерности проверки гипотезы объём выборки

// должен быть не менее 50

// Гипотетическое нормальное распределение с параметрами по выборке

L = nlaw(mean(R),stdev(R));

// Проверка по критерию Пирсона

z = max(R); // первоначальные границы разбиения

h = stdev(R)/5;

while (min(L.intefr(-z:z:h,#R).c(3))<5) {z=z-h/2; h=h*(3*z)/(3*z-h);}

XX = -z:z:h; // сужаем границы разбиения, пока

// ожидаемые частоты в каждом из интервалов

// будут не менее 5

NPTeor = L.intefr(XX,#R).c(3); // теоретические частоты

NPEmpir = R.intfr(XX).c(3); // эмпирические частоты

if(min(NPTeor)<5) message([Tik(i)+": Разбиение по инетрвалам неудачно!"; NPTeor]);

// для правомерности использования критерия

// ожидаемые частоты в каждом из интервалов выборки

// должны быть не менее 5

x2 = sum((NPEmpir-NPTeor)^2/NPTeor); // вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона

pv(i,j) = round(x2law((#XX-1)-3).pg(x2),5); // р-значение критерия Пирсона

}

}

J=["год/тикер",Y ; T, pv];

savetable(J, "таблица_PV.csv");

//Гистограмма р-значений и итоговый результат проверки гипотезы

pp = 0:1:0.001;

EF = elaw(pv).pl(pp);

TF = ulaw(0,1).pl(pp);

u = max(abs(TF-EF))*((#pv)^0.5);

if (u<crKolm(0.05)) rez = "Гипотеза принимается";

else rez = "Гипотеза отвергается";

axes();

wintitle("p-значение: "+pvKolm(u)+" "+rez);

hist(pv.intfr(0:1:0.05), gold);

Размещено на Allbest.ru

...