Неопределенные интегралы, дифференциальные уравнения, задача Коши

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание 1.

Задана функция

.

Требуется:

а) найти частные производные функции z;

б) найти градиент функции z в точке M₀(1;-1);

в) вычислить производную функции z в точке M₀ в направлении вектора =(-3;4);

г) вычислить эластичность функции z по x и по y в точке M₀;

д) исследовать на экстремум.

Решение:

а) Найдем частные производные первого и второго порядков функции z:

б) Вычислим значения частных производных первого порядка в точке M0 :



.

Градиент функции z = f(x;y) в точке M₀ есть вектор

Подставляя полученные значения, получаем

.

в) Производная функции z= f(x;y) в точке M₀ в направлении вектора равна:

.

Найдем направляющие косинусы вектора :

Тогда

.

дифференциальный уравнение интеграл градиент

г) Вычислим эластичность функции z по x и по y в точке M₀ :

;

Найдем значение функции z в точке M₀:

Тогда имеем:

Это означает, что если переменную x увеличить на 1%, то значение функции z увеличится на %; если же только значение y увеличить на 1%, то и значение функции z не изменится. д) Исследуем функцию z на экстремум.

Найдем критические точки из системы:

Выразим из 2 уравнения х:

Подставим х=1 в первое уравнение:

Выразим из второго уравнения у:

и

Подставим у=0 в первое уравнение:

и

Критические точки имеют координат: (1;4), (1;-4), (0:0), .

Найдем значения вторых частных производных функции z в этих точках:

,

следовательно, глобального экстремума нет.

,

следовательно, глобального экстремума нет.

,

следовательно, в точке М(0;0) имеется минимум z(0;0).

,

следовательно, глобального экстремума нет.

Значение функции в точке экстремума равно z(0;0)=0.

Ответ: б) (15;0), в) -9, г) E_zx=, E_zy =0, д) Z_min =z(0;0)=0.

Задание 2.

Приведены данные за определенный период по банкам категории B для сумм вклада от 50 тыс. до 500 тыс. долларов для юридических лиц. Найти зависимость вида y = ax+ b величины средней банковской ставки y по срочным валютным депозитам от срока вклада в месяцах x. Вычислить банковскую ставку для вкладов такого рода на срок i месяцев. На сколько в среднем увеличится процентная ставка при увеличении срока вклада на один месяц?

Срок вклада (мес.), x	1	2	3	4	5	6	9
% годовых, y	9,26	10,64	11,7	11,34	11,84	12,84	13,87

Решение

Находим следующие величины:

n	x	y	х2	ху
1	1	9,26	1	9,26
2	2	10,64	4	21,28
3	3	11,7	9	35,1
4	4	11,34	16	45,36
5	5	11,84	25	59,2
6	6	12,84	36	77,04
7	9	13,87	81	124,83
Сумма	30	81,49	172	372,07

Система для определения неизвестных параметров a и b имеет вид:

В нашем случае эта система запишется в виде, при условии n = 7:

Выразим из 2 уравнения выразим b:

Следовательно, искомая зависимость:

Построим график этой зависимости:

Среднее значение равно коэффициенту при переменной x , т.е. 0,526.

Ответ: ;; x_cp =0,526.

Задание 3.

Найти неопределенные интегралы

а)

б)

в)

Решение

а)

Используем:

б)

в)

Ответ: а) ;б) ;

в)

Задание 4.

Найти выигрыш потребителей и выигрыш поставщиков товара, законы спроса и предложения на которые определяются функциями:

,

где x - количество товара, p - цена на этот товар, а=35,6; в=14,8; с=0,3.

Решение

Запишем уравнения спроса и предложения:

,

Вычислим равновесную цену из уравнения:

Решая это уравнение, находим, что х₀=4, тогда р₀:

Выигрыш потребителей равен площади фигуры, ограниченной кривой спроса D и прямой p= p₀ =19,6, х ? 0, т.е.



Выигрыш поставщиков равен площади, заключенной между прямой

p=19,6 и кривой предложения S, т.е.

Ответ: C = 42,67, P = 12,8.

Задание 5.

Найти общее решение дифференциального уравнения.

Решение

Решим линейное уравнение:

Умножим обе части на х²

Заменим

Выразим левую часть в виде:

Разделим обе части на х²:

Ответ: .

Задание 6.

а) Решить задачу Коши:

б) Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение:

а) Решить задачу Коши:

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению:

Корнями характеристического уравнения являются значения:

Так как корни характеристического уравнения действительные не совпадающие числа, то общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Неизвестные константы C₁ и C₂ найдем из условий:

Найдем y?:

Тогда, подставляя начальные условия в y (x) и y?(x), получим

или

Решим систему:

Выразим из 1 уравнения С₁ и подставим во 2 уравнение:

Тогда С₁ =2.

Значит, решение задачи Коши имеет вид:

б) Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составим характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению:

Корнями характеристического уравнения являются значения k₁= k₂=?5.

Так как корни характеристического уравнения - действительные совпадающие числа, то общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Ответ: а) , б)

Задание 7.

Найти общее решение дифференциального уравнения.

Решение:

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

Общее решение исходного дифференциального уравнения будем искать в виде суммы двух функций

где (x) ? общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения ,y*(x) ? частное решение неоднородного дифференциального уравнения .

Найдем общее решение однородного дифференциального уравнения

.

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению:

Корнями характеристического уравнения являются значения k₁= k₂=3.

Так как корни характеристического уравнения - действительные совпадающие числа, то общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

.

Найдем y*(x).

Рассмотрим правую часть исходного дифференциального уравнения

Правая часть уравнения является функцией специального вида

Значит, частное решение y*(x) будет иметь вид

По условию имеем

.

Параметр t равен количеству совпадений числа с корнями характеристического уравнения.



Где

В данном случае

и

Так как совпадений нет, то t = 0.

Степень многочленов определяется из условия s=max{n,m}.

В данном примере

значит, n = 2, m = 2. Тогда s=max{2, 2}=2. Откуда

Подставляя найденные параметры, получим

Вычислим неизвестные коэффициенты A, B и C по методу неопределенных коэффициентов. Для этого найдем (y*)? и (y*)??



Так как (y*)? - это решение дифференциального уравнения

,

то, подставляя в уравнение вместо y*,(y*)? и (y*)?? найденные выражения, получим

Приравняем коэффициенты в левой и правой частях уравнения при одинаковых степенях:

Из второго уравнения выразим В:

Найдем С:

Следовательно, частное решение исходного дифференциального уравнения примет вид

Тогда общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид

Ответ:

Задание 8.

Найти интервал сходимости степенных рядов:

Решение:

Определим n -ый и (n +1)-ый члены ряда:

,

Воспользуемся признаком Д'Аламбера:

По признаку Д'Аламбера ряд будет сходиться, причем абсолютно, если

Итак, интервал (?2;8) есть интервал сходимости исходного ряда.

Ответ: (-2;8).

Список литературы

1. Жевняк, Р.М. Общий курс высшей математики: учебное пособие для студентов экономических специальностей вузов / Р.М. Жевняк, А.А. Карпук, А.И. Марченко, В.Т. Унукович - Орша: Оршанская типография, 1996. - 320 с.

2. Индивидуальные задания по высшей математике: учеб. пос.: в 4-х ч. Ч. 2: Неопределенные и определенные интегралы. Функции нескольких переменных. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Под общ. ред. А.П. Рябушко. - 4-е изд. - Минск : Высшая школа, 2008. - 396 с.

3. Кузнецов, А.В. Сборник задач и упражнений по высшей математике: Общий курс: Учебное пособие для студентов экономических специальностей вузов / А.В. Кузнецов, Д.С. Кузнецова, Е.И. Шилкина [и др.]. - Мн: Выш. шк., 1994. - 284 c.

4. Минюк, С.А. Высшая математика для экономистов: учеб. пос. / С.А. Минюк. - 2-е изд. испр. - Мн, 2007. - 512 с.

5. Сборник задач по высшей математике для экономистов: уч. пос. / Под ред. В.И. Ермакова. - 2-е изд. - М., 2008. - 575 с.

6. Яблонский, А.И. Высшая математика: Общий курс: учебник для студентов экономических специальностей вузов / А.И. Яблонский, А.В. Кузнецов, Е.И. Шилкина [и др.]. - 2-е изд., перераб. - Мн: Выш. шк., 2000. - 351 c.

Размещено на Allbest.ru

...